111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組在職生《統計學》

本題主要在探討兩種不同的偏好調查方法：敘述性偏好調查 (stated preference) 與顯示性偏好調查 (revealed preference)，以及如何整合兩者。

1. 敘述性偏好調查 (Stated Preference, SP)

• 內容: SP 調查透過設計實驗情境，讓受訪者在虛擬的選擇或評估情境中，表明他們對不同屬性組合的偏好。常見的方法包括選擇實驗 (Choice Experiment)、排序 (Ranking) 和評分 (Rating) 等。受訪者被要求在假設的產品、服務或政策選項中做出選擇，或者對不同選項的屬性進行排序或評分。
• 優點:
  • 能夠衡量難以在現實世界中觀察到的屬性（例如，環境品質、風險等級、時間價值）。
  • 可以設計出不存在於市場上的新產品或服務，以評估其潛在市場。
  • 能夠直接詢問受訪者對特定屬性變化的敏感度。
  • 相對容易控制實驗條件，確保所有受訪者面對相同的選項組合。
• 缺點:
  • 策略性回應 (Strategic Responding): 受訪者可能不會如實表達其真實偏好，而是根據自身利益（例如，希望獲得更多公共資源）做出策略性選擇。
  • 不熟悉或不確定性 (Unfamiliarity/Uncertainty): 受訪者可能對虛擬情境或屬性不熟悉，導致其決策不穩定或不準確。
  • 不一致性 (Inconsistency): 受訪者在不同情境下可能表現出不一致的偏好。
  • 過度依賴屬性 (Attribute Non-attendance): 受訪者可能只關注部分屬性，忽略其他屬性，導致結果偏差。
  • 設計難度高: 設計一個能夠準確反映真實偏好的 SP 實驗需要專業知識和仔細考量。
• 使用時機:
  • 當研究對象是公共財、環境品、健康風險等難以在市場上觀察其價值的項目時。
  • 當需要評估新產品或服務的市場潛力時。
  • 當需要了解人們對不同政策選項或服務水平的偏好時。
  • 當現實世界的數據不足或無法取得時。

2. 顯示性偏好調查 (Revealed Preference, RP)

• 內容: RP 調查透過觀察人們在現實世界中的實際消費行為、選擇或決策來推斷其偏好。這些數據通常來自市場交易記錄、交通出行數據、消費調查等。例如，觀察人們購買不同品牌、不同價格的產品，或選擇不同交通工具出行，來推斷其對價格、品質、時間等屬性的偏好。
• 優點:
  • 真實性高 (High Realism): 數據來自實際行為，反映了人們在面臨真實權衡 (trade-offs) 時的決策，較不易受到策略性回應的影響。
  • 數據豐富: 許多領域（如交通、消費）都有大量的現成 RP 數據可供使用。
  • 成本相對較低: 若能取得現成數據，則無需額外進行大規模調查。
• 缺點:
  • 無法觀察的屬性: 難以直接衡量那些不在實際交易中體現的屬性（例如，空氣品質、社區安全感）。
  • 無法評估新產品/政策: 無法直接評估市場上不存在的產品或政策的潛在接受度。
  • 受限的權衡: 只能觀察到現實中發生的權衡，無法設計特定的權衡來測試特定屬性的影響。
  • 數據收集限制: 獲取精確的行為數據可能很困難，且數據可能存在偏差（例如，僅能觀察到購買行為，但無法得知購買動機）。
  • 難以分離屬性影響: 在實際行為中，多個屬性同時影響決策，難以精確分離單一屬性的影響。
• 使用時機:
  • 當研究對象是市場上的商品或服務，且有足夠的交易數據可供分析時。
  • 當需要了解人們在真實條件下的權衡和決策時。
  • 當研究重點在於實際消費行為的模式和驅動因素時。
  • 作為 SP 調查結果驗證的基礎。

3. 整合 (Merge) 敘述性與顯示性偏好調查資料的做法

整合 SP 和 RP 資料是為了結合兩者的優點，克服各自的缺點，從而獲得更全面、更準確的偏好估計。常見的整合方法包括：

本題考查柴比雪夫定理 (Chebyshev's theorem) 的應用，要求根據給定的樣本數據，計算樣本觀測值落在以平均數為中心、標準差倍數為範圍的區間內的最低機率。

1. 計算樣本平均數 ($\bar{x}$)

樣本數據為: 15, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 26
樣本數 $n = 12$

$\bar{x} = \frac{15+19+20+20+20+20+21+21+21+21+22+26}{12} = \frac{255}{12} = 21.25$

2. 計算樣本標準差 (s)

首先計算樣本變異數 ($s^2$):
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
$(x_i - \bar{x})^2:$
$(15-21.25)^2 = (-6.25)^2 = 39.0625$
$(19-21.25)^2 = (-2.25)^2 = 5.0625$
$(20-21.25)^2 = (-1.25)^2 = 1.5625 \quad \text{(出現 4 次)}$
$(21-21.25)^2 = (-0.25)^2 = 0.0625 \quad \text{(出現 4 次)}$
$(22-21.25)^2 = (0.75)^2 = 0.5625$
$(26-21.25)^2 = (4.75)^2 = 22.5625$

$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 39.0625 + 5.0625 + 4 \times 1.5625 + 4 \times 0.0625 + 0.5625 + 22.5625$
$= 39.0625 + 5.0625 + 6.25 + 0.25 + 0.5625 + 22.5625$
$= 73.75$

$s^2 = \frac{73.75}{12-1} = \frac{73.75}{11} \approx 6.7045$

樣本標準差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73.75}{11}} \approx \sqrt{6.7045} \approx 2.5893$

3. 應用柴比雪夫定理

柴比雪夫定理指出：對於任何數據分佈，至少有 $1 - \frac{1}{k^2}$ 的數據落在距離平均數 $k$ 個標準差以內的範圍內，其中 $k > 1$。
即：$P(|\frac{X-\mu}{\sigma}| \le k) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$
對於樣本數據，我們使用樣本平均數 $\bar{x}$ 和樣本標準差 $s$ 來估計。
定理的敘述是：至少有 $1 - \frac{1}{k^2}$ 的觀測值落在區間 $[\bar{x} - ks, \bar{x} + ks]$ 內。

題目要求計算樣本觀測值在三個標準差的區間範圍，這意味著 $k=3$。
所以，至少有 $1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ 的樣本觀測值落在區間 $[\bar{x} - 3s, \bar{x} + 3s]$ 內。

題目中提到「計算樣本觀測值在三個標準差至少為 $\frac{8}{9}$ 的區間範圍」。

本題考查對普瓦生分配 (Poisson distribution) 的理解與應用，要求計算在給定的平均數下，隨機變數超過特定值的機率。

1. 確定普瓦生分配的參數
普瓦生分配用於描述在一個固定的時間或空間單位內，隨機發生的事件次數。其機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中：

• $X$ 是隨機變數，代表事件發生的次數。
• $k$ 是事件發生的具體次數 ($k = 0, 1, 2, ...$)。
• $\lambda$ 是平均發生率（平均數），即 $E(X) = \lambda$。
• $e$ 是自然對數的底數 ($e \approx 2.71828$)。

題目中提到「每公頃麥田的平均地鼠數量為 10 隻」。這表示我們考慮的是「每公頃麥田」這個單位，而平均地鼠數量是 10 隻。因此，普瓦生分配的參數 $\lambda = 10$。

2. 設定問題
我們要求的是「每公頃麥田的平均地鼠數量超過 15 隻的機率」。這可以表示為：
$P(X > 15)$
其中 $X \sim \text{Poisson}(\lambda=10)$。

3. 計算機率
直接計算 $P(X > 15)$ 比較複雜，因為它需要計算 $P(X=16) + P(X=17) + ...$ 直到無限。通常，我們計算其補集的機率，即 $P(X \le 15)$，然後用 1 減去它：
$P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)$
$P(X \le 15) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=15)$
$P(X \le 15) = \sum_{k=0}^{15} \frac{e^{-10} 10^k}{k!}$

由於手算此累計機率非常繁瑣，通常會藉助統計軟體、計算機的普瓦生分佈函數，或普瓦生累積機率表。

使用統計軟體或查表，我們可以找到 Poisson 分佈，$\lambda=10$，累積機率 $P(X \le 15)$ 的值。

使用 Python (SciPy) 計算:

本題考查簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 的應用，要求根據給定的數據建立迴歸模型 $y = a + bx$，並計算迴歸係數 $a$ (截距) 和 $b$ (斜率)。

1. 計算所需的統計量
首先，我們需要計算一些基本統計量：樣本數 $n$、各變數的總和 ($\sum x$, $\sum y$)、平方和 ($\sum x^2$, $\sum y^2$) 以及交叉乘積和 ($\sum xy$)。

學生編號	$x$ (智力)	$y$ (化學)	$x^2$	$y^2$	$xy$
1	65	85	4225	7225	5525
2	50	74	2500	5476	3700
3	55	76	3025	5776	4180
4	65	90	4225	8100	5850
5	55	85	3025	7225	4675
6	70	87	4900	7569	6090
7	65	94	4225	8836	6110
8	70	98	4900	9604	6860
9	55	81	3025	6561	4455
10	70	91	4900	8281	6370
11	50	76	2500	5776	3800
12	55	74	3025	5476	4070
總計	$\sum x = 720$	$\sum y = 1011$	$\sum x^2 = 47450$	$\sum y^2 = 84909$	$\sum xy = 65685$

樣本數 $n = 12$。

2. 計算樣本平均數
$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{720}{12} = 60$
$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{1011}{12} = 84.25$

3. 計算迴歸係數 $b$ (斜率)
迴歸係數 $b$ 的計算公式為：
$b = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$
代入數值：
$b = \frac{12(65685) - (720)(1011)}{12(47450) - (720)^2}$
$b = \frac{788220 - 727920}{569400 - 518400}$
$b = \frac{60300}{51000}$
$b = \frac{603}{510} = \frac{201}{170} \approx 1.18235$

4. 計算迴歸係數 $a$ (截距)
迴歸係數 $a$ 的計算公式為：
$a = \bar{y} - b\bar{x}$
代入數值：
$a = 84.25 - \left(\frac{201}{170}\right)(60)$
$a = 84.25 - \frac{12060}{170}$
$a = 84.25 - 70.941176...$
$a = 13.308823...$

本題考查卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test)，用於檢定觀察到的數據是否與某個理論分配（在此為均一分配）相符。

1. 設定虛無與對立假設

• $H_0$: 骰子出現的點數服從均一分配 (即 $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6}$)。
• $H_1$: 骰子出現的點數不服從均一分配。

2. 確定檢定統計量
卡方適合度檢定的檢定統計量為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
其中：

• $O_i$ 是第 $i$ 個類別的觀察頻率。
• $E_i$ 是第 $i$ 個類別的期望頻率。
• $k$ 是類別的總數。

在本題中，類別數 $k=6$ (骰子的六個點數)。

3. 計算檢定統計量的值
根據題目提供的數據：

點數 (i)	觀察次數 ($O_i$)	期望次數 ($E_i$)	$(O_i - E_i)$	$(O_i - E_i)^2$	$\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
1	20	20	0	0	0
2	22	20	2	4	$\frac{4}{20} = 0.2$
3	17	20	-3	9	$\frac{9}{20} = 0.45$
4	18	20	-2	4	$\frac{4}{20} = 0.2$
5	19	20	-1	1	$\frac{1}{20} = 0.05$
6	24	20	4	16	$\frac{16}{20} = 0.8$
總計					$\chi^2 = 0 + 0.2 + 0.45 + 0.2 + 0.05 + 0.8 = 1.7$

計算得到的檢定統計量 $\chi^2 = 1.7$。

4. 確定自由度
卡方適合度檢定的自由度為 $df = k - 1$。
在本題中，$df = 6 - 1 = 5$。

5. 決定臨界值或計算 p-value
我們需要在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下進行檢定。

• 臨界值法: 查閱卡方分配表 (Chi-squared distribution table)，找到自由度 $df=5$ 和顯著水準 $\alpha=0.05$ 對應的臨界值。
  從附表查得，當 $df=5$ 且右尾機率為 $0.05$ 時，臨界值為 $\chi^2_{0.05, 5} = 11.070$。