112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組在職生《統計學》

本題主要在考察統計學中點估計（Point Estimation）的基本概念與方法。點估計是使用樣本數據來估計母體參數的單一數值。

統計學中常見的三種點估計方法包括：

1. 矩量法 (Method of Moments, MoM)：

   • 內容：此方法是將樣本的各階矩（例如樣本平均數、樣本變異數）與母體的各階矩相等，然後解出母體參數。最常見的是使用一階矩（樣本平均數）來估計母體平均數。
   • 特性：
     • 優點：計算相對簡單，直觀，且通常能得到參數的一致估計量（consistent estimator）。
     • 缺點：不一定能得到有效估計量（efficient estimator），即估計量的變異數可能不是最小的。有時解聯立方程式可能很複雜。

2. 最大概似法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)：

   • 內容：此方法是尋找一組母體參數，使得在這些參數下，觀察到當前樣本數據的機率（或機率密度）最大。這個過程通常涉及建立樣本的概似函數（likelihood function），然後對概似函數求導，令其等於零來尋找最大值點，或者取對數概似函數（log-likelihood function）來簡化計算。
   • 特性：

本題分為兩個子問題：
(a) 計算母體平均壽命時數在95%信賴水準下的信賴區間。
(b) 計算要達到指定抽樣誤差與信賴水準所需的樣本數。

已知資訊：

• 母體壽命時數服從常態分配。
• 母體標準差 $\sigma = 40$ 小時。
• 樣本數 $n = 30$ 組。
• 樣本平均壽命時數 $\bar{x} = 800$ 小時。
• 信賴水準為 95%。

(a) 計算95%信賴區間

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們可以使用 Z 分配來計算信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中：

• $\bar{x} = 800$
• $\sigma = 40$
• $n = 30$
• 信賴水準為 95%，表示 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
• $z_{\alpha/2} = z_{0.05/2} = z_{0.025}$。由標準常態分配表可知，$z_{0.025} \approx 1.96$。

計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{30}} \approx \frac{40}{5.477} \approx 7.303$

計算邊際誤差 (Margin of Error, ME)：
$ME = z_{\alpha/2} \cdot SE = 1.96 \cdot 7.303 \approx 14.314$

本題為一典型的假設檢定問題，我們要檢定母體平均行駛里程是否顯著大於某特定值。

已知資訊：

• 樣本數 $n = 250$ 部。
• 樣本平均里程 $\bar{x} = 12,000$ 公里。
• 樣本標準差 $s = 2,500$ 公里。
• 檢定值（待檢定是否超過）$\mu_0 = 10,000$ 公里。
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$。

步驟一：建立假設

我們想檢定的是「平均行駛里程是否超過 10,000 公里」。

• 虛無假設 $H_0$：母體平均里程 $\mu \le 10,000$ 公里。
• 對立假設 $H_1$：母體平均里程 $\mu > 10,000$ 公里。（這是我們要證明的，屬於右尾檢定）

步驟二：選擇檢定統計量

由於樣本數 $n=250$ 很大（通常 $n \ge 30$ 即可視為大樣本），且母體標準差 $\sigma$ 未知，我們可以使用 Z 檢定，以樣本標準差 $s$ 近似母體標準差 $\sigma$。
檢定統計量為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

步驟三：計算檢定統計量的值

將已知數據代入公式：
$Z = \frac{12,000 - 10,000}{2,500/\sqrt{250}}$
$Z = \frac{2,000}{2,500/15.811}$
$Z = \frac{2,000}{158.11}$
$Z \approx 12.65$

步驟四：決定檢定區域（或計算 P 值）

本題要求我們利用最小平方法估計簡單線性迴歸方程式，並計算樣本相關係數。

已知資訊：

• 樣本數 $n = 12$。
• 自變數 $x_i$：行駛速度 (公里/小時)。
• 應變數 $y_i$：滑行距離 (公寸)。
• 數據如下表：
  • $x = [30, 40, 40, 50, 50, 60, 70, 80, 80, 90, 90, 100]$
  • $y = [1.6, 2.1, 2.6, 3.6, 4.2, 4.3, 4.9, 5.5, 5.3, 6.2, 6.0, 7.0]$

第一部分：估計迴歸方程式 (最小平方法)

簡單線性迴歸模型為 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$。
最小平方法旨在最小化殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR)：$SSR = \sum_{i=1}^n (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2$。
估計的迴歸方程式為 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$。

估計量 $\hat{\beta}_1$ 和 $\hat{\beta}_0$ 的公式為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$

首先，我們需要計算所需的總和：

1. $\sum x_i = 30+40+40+50+50+60+70+80+80+90+90+100 = 780$
2. $\sum y_i = 1.6+2.1+2.6+3.6+4.2+4.3+4.9+5.5+5.3+6.2+6.0+7.0 = 53.3$
3. $\sum x_i^2 = 30^2+40^2+40^2+50^2+50^2+60^2+70^2+80^2+80^2+90^2+90^2+100^2$
   $= 900+1600+1600+2500+2500+3600+4900+6400+6400+8100+8100+10000 = 56600$
4. $\sum x_i y_i = (30 \times 1.6) + (40 \times 2.1) + (40 \times 2.6) + (50 \times 3.6) + (50 \times 4.2) + (60 \times 4.3) + (70 \times 4.9) + (80 \times 5.5) + (80 \times 5.3) + (90 \times 6.2) + (90 \times 6.0) + (100 \times 7.0)$
   $= 48 + 84 + 104 + 180 + 210 + 258 + 343 + 440 + 424 + 558 + 540 + 700 = 3889$

計算 $\hat{\beta}_1$：
$n\sum x_i y_i = 12 \times 3889 = 46668$
$(\sum x_i)(\sum y_i) = 780 \times 53.3 = 41574$

本題主要在比較和對比統計學中兩種常用的降維技術：因素分析 (Factor Analysis, FA) 和主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA)。

1. 因素分析 (Factor Analysis, FA)

• 內容：
  因素分析是一種統計技術，用於識別觀測變數（例如問卷中的問題、多項測驗分數）背後潛在的、不可直接測量的潛在變數（稱為「因素」或「因子」）。其基本假設是，觀測變數的變異性可以被少數幾個未觀測的共同因素（common factors）和獨特因素（unique factors）所解釋。

  • 模型：$X_i = \mu_i + \lambda_{i1}F_1 + \lambda_{i2}F_2 + \dots + \lambda_{ik}F_k + \epsilon_i$
    其中，$X_i$ 是第 $i$ 個觀測變數，$F_j$ 是第 $j$ 個共同因素，$\lambda_{ij}$ 是第 $i$ 個變數與第 $j$ 個因素的負荷量 (factor loading)，表示因素對變數的影響程度，$\epsilon_i$ 是獨特因素（包含誤差項）。
  • 目標：尋找能夠解釋變數之間共變異（covariance）或相關性（correlation）的潛在因素。它試圖將變數的變異分解為共同變異和獨特變異。

• 主要目的：

  • 結構檢驗：檢驗潛在的理論結構，例如人格特質、態度、認知能力等。
  • 變數簡化：將大量的觀測變數歸納為少數幾個更易於管理的潛在因素。
  • 概念化：幫助研究者理解和命名變數之間的潛在關係。

2. 主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA)

• 內容：
  主成分分析是一種數據降維技術，旨在將原始的、可能高度相關的一組變數轉換為一組新的、線性組合的不相關變數，稱為「主成分」。這些主成分是原始變數的線性組合，並且按照它們所能解釋的變異量大小進行排序。第一個主成分解釋了數據中最大的變異量，第二個主成分解釋了剩餘變異量中的最大部分，且與第一個主成分不相關，依此類推。

  • 模型：$PC_j = a_{j1}X_1 + a_{j2}X_2 + \dots + a_{jp}X_p$
    其中，$PC_j$ 是第 $j$ 個主成分，$X_i$ 是第 $i$ 個原始變數，$a_{ji}$ 是第 $j$ 個主成分的係數。
  • 目標：最大化每個主成分所能解釋的總變異量，並使各主成分之間相互獨立。它關注的是數據的總體變異（total variance）。

• 主要目的：

  • 降維：減少數據的維度，同時盡可能保留原始數據中的大部分變異。
  • 特徵提取：提取數據中的主要變化模式。
  • 數據壓縮：為後續的分析（如迴歸、分類）創建一個更簡潔的數據集。

兩者主要差異