112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《統計學》

本題主要在考察統計學中點估計 (Point Estimation) 的基本概念與方法。點估計是利用樣本數據來估計母體參數的單一數值。

以下列出三種常見的點估計方法，並詳述其內容與特性：

1. 最大概似估計法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)

   • 內容： 最大概似估計法的核心思想是，對於給定的樣本數據，選擇最有可能產生這些數據的母體參數值。它透過最大化樣本數據的概似函數 (Likelihood Function) 來找到最佳的估計量。概似函數 $L(\theta | x_1, x_2, ..., x_n)$ 是所有樣本點 $x_i$ 的聯合機率密度函數 (或機率質量函數)，將母體參數 $\theta$ 視為變數。
   • 特性：
     • 一致性 (Consistency)： 當樣本數 $n$ 趨近無限大時，MLE 估計量會趨近真實的母體參數。
     • 漸近有效性 (Asymptotic Efficiency)： 當樣本數足夠大時，MLE 估計量具有最小的漸近方差，其效率接近 Cramér-Rao 下界。
     • 漸近常態性 (Asymptotic Normality)： 當樣本數足夠大時，MLE 估計量近似於一個常態分配。
     • 不變性 (Invariance)： 若 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的 MLE，則 $g(\hat{\theta})$ 是 $g(\theta)$ 的 MLE，其中 $g$ 是一個函數。
     • 缺點： 在小樣本情況下，MLE 可能不是最佳的估計量，有時可能無法找到閉形式解，需要數值方法求解。

2. 動差法 (Method of Moments, MOM)

   • 內容： 動差法是一種較為直觀的估計方法。

本題包含兩個部分：一是計算母體平均數的信賴區間，二是計算確定樣本大小以達到特定抽樣誤差和信賴水準。

核心觀念：

1. 常態分配母體下，當母體標準差已知時，計算平均數信賴區間使用 Z 分配。
2. 樣本大小的決定與信賴水準、預期抽樣誤差有關。

已知條件：

• 母體分配：常態分配
• 母體標準差 $\sigma = 40$ 小時
• 樣本數 $n = 30$ 組
• 樣本平均壽命 $\bar{x} = 800$ 小時
• 信賴水準 (Part 1)：95%
• 要求抽樣誤差 $\le 10$ 小時
• 要求機率 (Part 2)：90%

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Part 1: 計算平均壽命時數的95%信賴區間

由於母體為常態分配且母體標準差 $\sigma$ 已知，我們可以使用 Z 分配來建構信賴區間。

信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中：

• $\bar{x} = 800$
• $\sigma = 40$
• $n = 30$
• $Z_{\alpha/2}$ 是對應於 95% 信賴水準的 Z 值。對於 95% 信賴水準，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。查標準常態分配表可知，$Z_{0.025} \approx 1.96$。

計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{30}}$

$\sqrt{30} \approx 5.477$
$SE \approx \frac{40}{5.477} \approx 7.303$

本題為單一樣本平均數的假設檢定。我們需要檢定母體平均行駛里程是否顯著大於特定數值。

核心觀念：
單一樣本平均數的 Z 檢定或 T 檢定。由於題目提供了樣本標準差，並且樣本數 $n=250$ 較大，我們可以近似使用 Z 檢定，或者嚴謹地使用 T 檢定（因為我們使用的是樣本標準差來估計母體標準差）。在此我們採用 T 檢定，因為它在樣本數較大時，其結果會非常接近 Z 檢定。

已知條件：

• 樣本數 $n = 250$ 部
• 樣本平均里程 $\bar{x} = 12,000$ 公里
• 樣本標準差 $s = 2,500$ 公里
• 檢定數值 $\mu_0 = 10,000$ 公里
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$
• 檢定方向：是否超過 10,000 公里（右尾檢定）

步驟：

1. 建立虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)

   • 虛無假設 $H_0$: 母體平均行駛里程 $\mu \le 10,000$ 公里。
   • 對立假設 $H_1$: 母體平均行駛里程 $\mu > 10,000$ 公里。
     這是右尾檢定，因為我們想檢定的是「是否超過」。

2. 計算檢定統計量
   由於我們使用樣本標準差 $s$ 來估計母體標準差 $\sigma$，且樣本數 $n=250$ 很大，我們可以使用 t 檢定統計量：
   $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

   將已知數值代入：
   $t = \frac{12,000 - 10,000}{2,500 / \sqrt{250}}$

   計算分母：
   $\sqrt{250} \approx 15.811$
   $s/\sqrt{n} = \frac{2,500}{15.811} \approx 158.11$

   計算 t 值：
   $t = \frac{2,000}{158.11} \approx 12.65$

核心觀念

本題考查一元簡單線性迴歸的最小平方法，以及樣本相關係數的計算。

設迴歸模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $\beta_0$：截距
• $\beta_1$：斜率
• $x_i$：行駛速度
• $y_i$：煞車後滑行距離

最小平方法估計式為

$$\hat{y}=b_0+b_1x$$

其中

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum (x_i-\bar{x})^2}$$ $$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}$$

樣本相關係數為

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$

其中

$$S_{yy}=\sum (y_i-\bar{y})^2$$

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解題方法與計算

共有 $n=12$ 筆資料。先計算各項總和：

$$\sum x_i=780,\qquad \sum y_i=53.3$$

因此

$$\bar{x}=\frac{780}{12}=65$$ $$\bar{y}=\frac{53.3}{12}=4.4417$$

為方便計算，再求：

$$\sum x_i^2=56500$$ $$\sum y_i^2=268.61$$ $$\sum x_iy_i=3889$$

因此

$$S_{xx} =\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$$ $$=56500-\frac{780^2}{12} =56500-50700 =5900$$

交叉離差平方和為

$$S_{xy} =\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$$ $$=3889-\frac{(780)(53.3)}{12}$$ $$=3889-3464.5 =424.5$$

因此迴歸斜率為

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{424.5}{5900} =0.07195$$

截距為

$$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}$$

本題旨在考察對因素分析 (Factor Analysis, FA) 和主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 這兩種多變量統計技術的理解，以及它們之間的異同。

核心觀念：
兩者都是用來處理高維度數據，試圖尋找潛在結構或簡化變數空間的方法。

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1. 因素分析 (Factor Analysis, FA)

• 內容：
  因素分析是一種統計技術，用於識別變數集合中潛在的、不可觀測的「因素」(factors)。它假設觀測到的變數是基於少數幾個共同因素 (common factors) 和獨特因素 (unique factors) 的線性組合。其主要目的是尋找這些共同因素，以便能夠解釋原始變數之間的共變異 (covariance) 或相關性。
  FA 的模型通常表示為：
  $X_j = \mu_j + \sum_{i=1}^k l_{ji} F_i + u_j E_j$
  其中，$X_j$ 是第 $j$ 個觀測變數，$F_i$ 是第 $i$ 個共同因素，$l_{ji}$ 是第 $j$ 個變數對第 $i$ 個共同因素的負荷量 (factor loading)，$E_j$ 是第 $j$ 個變數的獨特因素 (unique factor)，$u_j$ 是獨特因素的強度。
  FA 的重點在於「模型」：它假設變數的變異中，一部分是由共同因素解釋的（共變異），另一部分是獨特因素造成的（特異變異）。FA 的目標是估計這些共同因素和它們的負荷量。

• 目的：

  • 識別潛在結構或維度。
  • 數據簡化與降維。
  • 解釋變數之間的相關性。
  • 用於構建問卷、測驗等。

• 假設：

  • 變數是連續的。
  • 存在共同因素，它們是所有或部分變數的線性組合。
  • 獨特因素與共同因素及其他獨特因素是不相關的。

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2. 主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA)

• 內容：
  主成分分析是一種統計技術，用於將一組可能相關的變數轉換為一組線性不相關的新變數，稱為「主成分」(principal components)。這些主成分是原始變數的線性組合，並且按照它們所解釋的總變異量 (total variance) 的多少進行排序。第一個主成分解釋的變異量最多，第二個次之，以此類推。
  PCA 的目標是找到這些主成分，以便用較少的主成分來近似原始數據集，從而達到降維的目的。
  PCA 的模型可以看作是將原始變數 $X$ 轉換為一組新的變數 $Y$ (主成分)，其中 $Y = AX$，A 是變換矩陣，其行向量是特徵向量。

• 目的：

  • 降維 (Dimensionality Reduction)：用較少的主成分來代表原始變數。
  • 數據壓縮。
  • 去除變數間的相關性。
  • 為後續的分析（如迴歸、聚類）提供一個更簡潔的輸入。

• 假設：

  • PCA 本身沒有嚴格的統計模型假設，它主要是一種數學轉換。
  • 通常在變數具有不同尺度時，會對數據進行標準化處理。

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3. 主要差異 (Differences)