112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程數學》

已知同齊次方程

$(x+2)y''-(2x+5)y'+2y=0$

的解 $y_1=e^{2x}$，先求第二個線性獨立解。將方程除以 $(x+2)$，得標準形

$$y''-\frac{2x+5}{x+2}y'+\frac{2}{x+2}y=0 , \qquad P(x)=-\frac{2x+5}{x+2}.$$

利用降階法

$$y_2=y_1\int\frac{e^{-\int Pdx}}{y_1^{2}}dx =e^{2x}\int\frac{(x+2)e^{2x}}{e^{4x}}dx =e^{2x}\int (x+2)e^{-2x}dx =-(x/2+5/4).$$

取 $y_2=x+\frac52$（常數可吸收），故同齊次通解

$y_h=C_1e^{2x}+C_2\Bigl(x+\frac52\Bigr).$

對於非齊次方程

$(x+2)y''-(2x+5)y'+2y=(x+1)e^{x},$

解題步驟

1. 假設冪級數解

$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{\,n},\qquad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{\,n-1},\qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{\,n-2}$$

2. 代入 Legendre 方程

$(1-x^{2})y''-2xy'+30y=0$

把級數展開並整理同次冪係數得到

$$\sum_{n=0}^{\infty}\Big[(n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^{2}+n-30)a_{n}\Big]x^{\,n}=0$$

3. 遞迴關係
   令每個係數為零，可得

$$a_{n+2}= \frac{n^{2}+n-30}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}, \qquad n\ge 0.$$

4. 切斷條件
   為使級數在 $n\to\infty$ 時不發散，必須在某個 $n$ 使分子為零。

$n^{2}+n-30=0\Longrightarrow n=5\;\text{或}\;n=-6.$

取正整數根 $n=5$，即 $a_{7}=0$，導致級數在 $n>5$ 全部截斷，得到多項式解。

5. 計算係數

$y''+4y'+4y=e^{-2t}\,\bigl[0<t<1\bigr],\qquad y(0)=y'(0)=0$

Laplace 變換

$(s^{2}Y+4sY+4Y)=F(s)$

$Y(s)=\frac{F(s)}{(s+2)^{2}}$

外力之拉氏變換（區間 $0<t<1$ 用單位階函數）

$F(s)=\int_{0}^{1}e^{-2t}e^{-st}\,dt=\frac{1-e^{-(s+2)}}{s+2}$

故

$Y(s)=\frac{1-e^{-(s+2)}}{(s+2)^{3}}$

分解與反變換

$Y(s)=\frac{1}{(s+2)^{3}}-\frac{e^{-(s+2)}}{(s+2)^{3}}$

核心觀念

1. 矩陣高次方運算（Matrix Powers）：求解矩陣次方 $A^n$ 時，常用的三種方法如下：

   • 直接矩陣乘法（Direct Matrix Multiplication）：依序計算 $A^2 = A \cdot A$，再計算 $A^3 = A^2 \cdot A$。當次方數較小（如 $n=3$）時，此法計算步驟最為直接且不易出錯。
   • 凱利－哈密頓定理（Cayley-Hamilton Theorem）：利用矩陣必滿足其特徵方程式 $P(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0$，可得 $P(A) = O$，進而將高次方矩陣降階表達為低次方矩陣的線性組合。
   • 矩陣對角化（Matrix Diagonalization）：若 $A$ 可對角化為 $A = P D P^{-1}$，則 $A^n = P D^n P^{-1}$。

2. 實對稱矩陣性質（Symmetric Matrix Properties）：原矩陣 $A$ 為實對稱矩陣（即 $A^T = A$），因此其任意正整數次方 $A^k$ 亦必為實對稱矩陣（$(A^k)^T = A^k$）。此性質可做為計算過程中各對角線對稱位置元素的即時驗算依據。

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解題方法

【解法一：直接矩陣乘法】

步驟一：計算 $A^2 = A \cdot A$

$A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

對各列與各行元素進行內積：

• 第 1 列：
  • $(1,1) = 4(4) + 2(2) + (-2)(-2) = 16 + 4 + 4 = 24$
  • $(1,2) = 4(2) + 2(5) + (-2)(0) = 8 + 10 + 0 = 18$
  • $(1,3) = 4(-2) + 2(0) + (-2)(3) = -8 + 0 - 6 = -14$
• 第 2 列：
  • $(2,1) = 2(4) + 5(2) + 0(-2) = 8 + 10 + 0 = 18$
  • $(2,2) = 2(2) + 5(5) + 0(0) = 4 + 25 + 0 = 29$
  • $(2,3) = 2(-2) + 5(0) + 0(3) = -4 + 0 + 0 = -4$
• 第 3 列：
  • $(3,1) = (-2)(4) + 0(2) + 3(-2) = -8 + 0 - 6 = -14$
  • $(3,2) = (-2)(2) + 0(5) + 3(0) = -4 + 0 + 0 = -4$
  • $(3,3) = (-2)(-2) + 0(0) + 3(3) = 4 + 0 + 9 = 13$

得 $A^2$ 為：

$A^2 = \begin{bmatrix} 24 & 18 & -14 \\ 18 & 29 & -4 \\ -14 & -4 & 13 \end{bmatrix}$

步驟二：計算 $A^3 = A^2 \cdot A$

$A^3 = \begin{bmatrix} 24 & 18 & -14 \\ 18 & 29 & -4 \\ -14 & -4 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

逐項計算各元素：

• 第 1 列：
  • $(1,1) = 24(4) + 18(2) + (-14)(-2) = 96 + 36 + 28 = 160$
  • $(1,2) = 24(2) + 18(5) + (-14)(0) = 48 + 90 + 0 = 138$
  • $(1,3) = 24(-2) + 18(0) + (-14)(3) = -48 + 0 - 42 = -90$
• 第 2 列：
  • $(2,1) = 18(4) + 29(2) + (-4)(-2) = 72 + 58 + 8 = 138$
  • $(2,2) = 18(2) + 29(5) + (-4)(0) = 36 + 145 + 0 = 181$
  • $(2,3) = 18(-2) + 29(0) + (-4)(3) = -36 + 0 - 12 = -48$
• 第 3 列：
  • $(3,1) = (-14)(4) + (-4)(2) + 13(-2) = -56 - 8 - 26 = -90$
  • $(3,2) = (-14)(2) + (-4)(5) + 13(0) = -28 - 20 + 0 = -48$
  • $(3,3) = (-14)(-2) + (-4)(0) + 13(3) = 28 + 0 + 39 = 67$

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【解法二：凱利－哈密頓定理（Cayley-Hamilton Theorem）降階驗算】

步驟一：求矩陣 $A$ 之特徵方程式

核心觀念

本題旨在考查向量微積分（Vector Calculus）中**平面格林定理（Green's Theorem in the Plane）與斯托克斯定理（Stokes' Theorem）**之間的關係。

1. 平面格林定理（Green's Theorem in the Plane）：
   設 $R$ 為 $xy$ 平面上一封閉、有界的區域，其邊界 $C$ 為分段平滑的正向（逆時針方向）簡單封閉曲線。若連續函數 $P(x, y)$ 與 $Q(x, y)$ 在 $R$ 及其邊界 $C$ 上具備連續的一階偏導函數，則：
   $\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

2. 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）：
   設 $S$ 為三維空間中具備方向性的光滑曲面，其邊界 $C$ 為分段平滑的封閉曲線，邊界方向與曲面單位法向量 $\mathbf{n}$ 遵循右手法則。若向量場 $\mathbf{F}(x, y, z) = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$ 在包含 $S$ 的區域內一階偏連續，則沿邊界 $C$ 的線積分等於向量場旋度（Curl）通過曲面 $S$ 的通量（Flux）：
   $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$

3. 兩者關係的核心結論：
   平面格林定理是斯托克斯定理在二維平面上的特殊退化情形（Special 2D Case）。

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解題方法

說明兩定理關係的切入點，是將三維空間的斯托克斯定理限制在 $xy$ 二維平面上，進行嚴謹的數學降維推導：

步驟一：設定二維特例條件

將斯托克斯定理的幾何與向量場條件限制在 $xy$ 平面上：

1. 曲面與區域：設曲面 $S$ 為位於 $xy$ 平面上的封閉平面區域 $R$（即 $z = 0$）。
2. 法向量：此時曲面的單位法向量朝向 $+z$ 軸，即 $\mathbf{n} = \mathbf{k}$。
3. 向量場：將向量場限制為二維向量場，即分量 $R = 0$，且 $P, Q$僅為 $x, y$ 之函數：
   $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y) \mathbf{i} + Q(x, y) \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}$
4. 位置向量微元：邊界曲線 $C$ 的微元向量為 $d\mathbf{r} = dx \mathbf{i} + dy \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}$。

步驟二：推導左式（線積分）

計算向量場沿邊界曲線 $C$ 的對應線積分：
$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}) \cdot (dx \mathbf{i} + dy \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}) = P \, dx + Q \, dy$
故斯托克斯定理左邊之閉合線積分展開為：
$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C (P \, dx + Q \, dy)$

步驟三：推導右式（旋度與通量）

1. 計算向量場 $\mathbf{F}$ 的旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$：
   $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P(x,y) & Q(x,y) & 0 \end{vmatrix}$
   由於 $P, Q$ 不含 $z$ 變數，故：
   $\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x} = 0$
   代入展開得：
   $\nabla \times \mathbf{F} = 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}$

2. 將旋度與法向量 $\mathbf{n} = \mathbf{k}$ 作內積：