108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程數學》

核心觀念

1. 矩陣對角化（Matrix Diagonalization）：當一個 $n \times n$ 方陣 $A$ 擁有 $n$ 個線性獨立（Linearly Independent）的特徵向量時，該矩陣可透過相似變換（Similarity Transformation）進行對角化。
2. 特徵值與特徵向量之定義：設 $\lambda_i$ 為矩陣 $A$ 的特徵值（Eigenvalue），$\mathbf{x}_i$ 為其對應的非零特徵向量（Eigenvector），則滿足 basic 關係式：
   $A\mathbf{x}_i = \lambda_i \mathbf{x}_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$
3. 特徵矩陣與可逆性（Invertibility）：將 $n$ 個線性獨立的特徵向量組合為矩陣 $X = [\mathbf{x}_1 \ \mathbf{x}_2 \ \dots \ \mathbf{x}_n]$。因其行向量線性獨立，故行列式 $\det(X) \neq 0$，確保反矩陣 $X^{-1}$ 必定存在。

解題方法

本題切入點為利用特徵值與特徵向量的定義，分別推導矩陣乘積 $AX$ 與 $XD$，證明兩者相等後，再利用 $X^{-1}$ 的存在性完成左乘導出。

步驟一：設定矩陣結構

設 $A$ 為 $n \times n$ 方陣，其 $n$ 個特徵值分別為 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，對應的線性獨立特徵向量分別為 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_n$。

定義特徵矩陣（Modal Matrix）$X$ 為：
$X = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \dots & \mathbf{x}_n \end{bmatrix}$

定義對角矩陣（Diagonal Matrix）$D$ 為：
$D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix}$

步驟二：推導 $AX$

將矩陣 $A$ 與矩陣 $X$ 相乘，根據矩陣分塊乘法（Block Multiplication）：
$AX = A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \dots & \mathbf{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A\mathbf{x}_1 & A\mathbf{x}_2 & \dots & A\mathbf{x}_n \end{bmatrix}$

代入特徵值定義式 $A\mathbf{x}_i = \lambda_i \mathbf{x}_i$：
$AX = \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf{x}_1 & \lambda_2 \mathbf{x}_2 & \dots & \lambda_n \mathbf{x}_n \end{bmatrix}$

步驟三：推導 $XD$

將矩陣 $X$ 與對角矩陣 $D$ 相乘：

核心觀念

本題的核心觀念為向量微積分中的**格林定理（Green's Theorem in the Plane）**及其應用：

1. 格林定理（平面）之定義與條件：
   設 $R$ 為 $xy$ 平面上一有界閉區域，其邊界 $\partial R$（或記為 $C$）由一條或多條分段平滑（piecewise smooth）、簡單（simple）且封閉的曲線組成，並取正向定向（逆時針方向，即沿著前進方向時區域 $R$ 恆在左側）。
   若函數 $P(x, y)$ 與 $Q(x, y)$ 以及其一階偏導數 $\frac{\partial P}{\partial y}$、$\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在包含 $R$ 及其邊界 $\partial R$ 的開區域上皆為連續函數，則有：

   $$\oint_{\partial R} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$$

2. 混合偏導數之對偶性質：
   在選取適當的向量場分量 $(P, Q)$ 時，格林定理可將二維區域上的雙重積分轉化為沿邊界曲線的線積分。
   特別地，當偏導數 $\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}$ 與 $\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x}$ 連續時，由克萊羅定理（Clairaut's Theorem）知兩者相等。透過將被積函數對應至特定形式的偏微分，即可證明其與邊界線積分的恆等關係。

解題方法

本題分為兩大部分：第一部分敘述「Green 定理」，第二部分進行「恆等式證明」。

第一部分：描述 Green 定理

Green 定理陳述：
設 $R$ 為平面上由分段平滑、正向定向（逆時針方向）之簡單閉曲線 $\partial R$ 所圍成的有界區域。若單值函數 $P(x, y)$ 與 $Q(x, y)$ 及其一階偏導數在包含 $R$ 及其邊界的開區域上處處連續，則區域 $R$ 上的雙重積分與沿邊界 $\partial R$ 的線積分滿足以下關係式：

第二部分：證明題給恆等式

欲證明：

注意事項：在標準格林定理的符號定義下，正向線積分 $\oint_{\partial R} P\,dx$ 對應的是 $-\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,dy$。題目式中左式無負號，表示邊界積分的方向已透過題意定義為順時針方向（順向），或此處等式兩側之方向取向與常見標準相反。以下給出嚴謹推導與方向約定的完整證明：

推導步驟：

1. 選定格林定理中的函數分量：
   令：

   $$P(x, y) = -\frac{\partial w}{\partial y}$$ $$Q(x, y) = 0$$

   假設純量函數 $w(x, y)$ 具連續二階偏導數，則：

   $$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}$$

   若直接採用標準格林定理，此選法會引入 $\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}$，並非題目的 $\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}$。

2. 利用微積分基本定理與分部積分推導（對 $x$ 方向作積分）：
   若直接考慮雙重積分的形式，設區域 $R$ 為一型區域（Type I / $x$-simple domain），其邊界由下方曲線 $y=c(x)$、上方曲線 $y=d(x)$ 以及兩側垂直線段所圍成，或以標準 Green 定理之第一分量形式出發：

   $$\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,dy = -\oint_{\partial R} P\,dx$$

   現在令：

   $$P(x, y) = -\frac{\partial w}{\partial x}$$

   則：

   $$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right) = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x}$$

   根據克萊羅定理（混合偏導與微分次序無關）：

   $$\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}$$

   代入得：

   $$\iint_R \left(-\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}\right) dx\,dy = -\oint_{\partial R} \left(-\frac{\partial w}{\partial x}\right) dx = \oint_{\partial R} \frac{\partial w}{\partial x}\,dx$$

   這給出沿 $x$ 偏導的關係。

3. 針對題給形式 $\oint_{\partial R} \frac{\partial w}{\partial y}\,dx$ 之證明：
   若令 Green 定理中之向量場分量為：

核心觀念

質量－彈簧－阻尼系統的自由振動方程為

題圖顯示位移作衰減震盪，表示系統為欠阻尼。欠阻尼解的振幅包絡線按下式衰減：

因此，指數中的衰減率為 $\frac{c}{2m}$。

解題方法

圖中包絡線標示為 $e^{(-1/4)t}=e^{-t/4}$，故其衰減率是 $\frac{1}{4}$。與理論包絡線比較：

核心觀念

這題考阻尼受迫振動的位移放大率。先由圖上的自由振動包絡線 $e^{-t/4}$ 求阻尼係數，再求使穩態位移振幅最大的外力角頻率。

解題方法

質量—彈簧—阻尼系統的自由振動振幅包絡線為 $e^{-\frac{c}{2m}t}$。與圖中 $e^{-t/4}$ 比較：

因此受迫振動方程為

令固有角頻率與阻尼比為

設頻率比 $r=\omega/\omega_n$。穩態位移振幅相對於靜態位移的放大率為

核心觀念

本題考阻尼受迫振動與杜哈美積分。圖中的自由振動包絡線可用來求阻尼係數；外力只在有限時間內作用，位移則由「初始條件造成的自由響應」加上「外力造成的受迫響應」組成。

解題方法

原卷圖的縱軸是位移（m）、橫軸是時間（sec），衰減震盪的包絡線標示為 $e^{-t/4}$；前文給定初始條件 $y(0)=1$、$y'(0)=0$。本小題仍以 $\omega$ 表示外力角頻率，因此保留一般 $\omega$。

對質量為 $m$、阻尼係數為 $c$ 的欠阻尼系統，自由振動包絡線為 $e^{-ct/(2m)}$。代入 $m=2$ 與圖示包絡線：

令外力停止作用的時間為 $T=2\pi$。運動方程為

除以 $2$ 後，

特徵方程的根為 $-\frac14\pm i\Omega$，其中阻尼振動角頻率

由 $y(0)=1$、$y'(0)=0$，初始條件造成的自由響應為

核心觀念

無阻尼且無外力時，阻尼係數 $c=0$，質量—彈簧系統的運動方程為

將 $m=2$、$k=20$ 代入，得到二階常係數齊次微分方程。題目沿用前文的初始條件 $y(0)=1$、$y'(0)=0$。

解題方法

先把二階方程改寫成一階系統，再求系統矩陣的特徵值與特徵向量，利用特徵值解出位移。

令狀態向量 $\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}y(t)\\y'(t)\end{bmatrix}$。由

可得

求矩陣 $A$ 的特徵值：

所以

對應的特徵向量可取為