111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《材料力學》

本題為材料力學的基礎名詞解釋題，主要考察考生對材料力學基本概念的理解與應用。

(a) 彈性、塑性 (Elasticity, Plasticity)

• 定義:
  • 彈性 (Elasticity): 材料在外力作用下產生變形，當外力移除後，材料能完全恢復其原有形狀和大小的性質。在彈性範圍內，應力與應變成正比（虎克定律）。
  • 塑性 (Plasticity): 材料在外力作用下產生永久變形，當外力移除後，材料無法完全恢復其原有形狀和大小的性質。塑性變形是不可逆的。
• 繪圖說明:
  • 繪製一典型的應力-應變曲線 (Stress-Strain Curve)。
  • 曲線上標示出彈性區 (Elastic Region) 和塑性區 (Plastic Region)。
  • 彈性區內，應力移除後應變回到零。
  • 塑性區內，應力移除後會殘留永久應變。

(b) 降伏應力、極限應力 (Yield Stress, Ultimate Stress)

• 定義:
  • 降伏應力 (Yield Stress, $\sigma_y$): 材料開始發生顯著塑性變形的應力值。對於某些材料，降伏點是應力-應變曲線上的明顯轉折點；對於另一些材料（如鋼），常用0.2%永久應變線與曲線的交點來定義。
  • 極限應力 (Ultimate Stress, $\sigma_u$): 材料在單軸拉伸試驗中所能承受的最大應力值。此時材料通常會開始出現頸縮 (necking) 現象，之後應力會下降直至斷裂。
• 繪圖說明:
  • 在應力-應變曲線上標示出降伏應力 ($\sigma_y$) 和極限應力 ($\sigma_u$)。
  • 通常 $\sigma_u$ 會大於 $\sigma_y$。

(c) 延展性材料、脆性材料 (Ductile Materials, Brittle Materials)

• 定義:
  • 延展性材料 (Ductile Materials): 指材料在斷裂前能產生較大塑性變形（伸長量或面積縮減量）的材料。例如，大多數金屬（如低碳鋼）是延展性材料。
  • 脆性材料 (Brittle Materials): 指材料在斷裂前幾乎不產生顯著塑性變形，斷裂發生時應力-應變曲線下降趨勢不明顯的材料。例如，鑄鐵、玻璃、混凝土是脆性材料。
• 繪圖說明:
  • 在應力-應變曲線上比較兩者的差異。
  • 延展性材料的斷裂前應變較大，曲線在降伏點後有較長的平台或斜坡。
  • 脆性材料的斷裂前應變較小，應力達到極限值後迅速斷裂。

(d) 平面應力、平面應變 (Plane Stress, Plane Strain)

核心觀念

本題考查懸臂構件的：

• 靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M_A=0$
• 三角形分布載重的合力與作用位置
• 軸向壓縮變形：$\delta=\dfrac{PL}{AE}$
• 剪力圖與彎矩圖
• 實心圓形截面的慣性矩：$I=\dfrac{\pi d^4}{64}$
• 彎曲正應力公式：$\sigma=\dfrac{Mc}{I}$

取 $x$ 軸由固定端 $A$ 指向自由端 $B$，且 $L=10\text{ m}$。

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解題方法

一、載重合力

垂直分布載重為三角形：

$$W=\frac{1}{2}(10)(20)=100\text{ kN}$$

因為最大載重位於 $A$ 端，三角形合力作用於距離大載重端 $A$：

$$x_W=\frac{L}{3}=\frac{10}{3}=3.333\text{ m}$$

另外，$B$ 端有垂直集中載重 $100\text{ kN}$，以及水平集中載重 $1000\text{ kN}$。

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（1）固定端 $A$ 處的反力

水平反力

$B$ 端水平載重為 $1000\text{ kN}$，方向向左，因此：

$$R_{Ax}=1000\text{ kN}$$

方向向右。

垂直反力

所有垂直載重總和為：

$$100+100=200\text{ kN}$$

因此：

$$R_{Ay}=200\text{ kN}$$

方向向上。

固定端反力矩

以 $A$ 點取矩：

$$M_A=100(3.333)+100(10)$$ $$M_A=333.333+1000=1333.333\text{ kN}\cdot\text{m}$$

外載重對 $A$ 造成順時針力矩，因此固定端反力矩為逆時針：

$$M_A=1333.333\text{ kN}\cdot\text{m}$$

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（2）水平集中載重造成的壓縮量

水平載重沿圓柱軸線作用，造成均勻軸向壓縮。

圓柱截面積：

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(1)^2}{4} =0.7854\text{ m}^2$$

壓縮量公式：

$$\delta=\frac{PL}{AE}$$

其中：

$$P=1000\text{ kN},\qquad L=10\text{ m},\qquad E=25\text{ GPa}=25\times10^6\text{ kN/m}^2$$

代入：

$$\delta =\frac{(1000)(10)} {(0.7854)(25\times10^6)} =0.0005093\text{ m}$$

因此：

$$\boxed{\delta=0.509\text{ mm}}$$

此變形為壓縮變形。

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（3）剪力圖與彎矩圖

以下採用「右側外力合力」定義剪力，令向下剪力為正；彎矩以懸臂梁常見的負號表示上凹、固定端產生負彎矩。

剪力函數

三角形分布載重在位置 $x$ 右側的合力為：

$$W_x=\frac{1}{2}(10-x)\left[20\left(1-\frac{x}{10}\right)\right]$$

整理得：

$$W_x=(10-x)^2$$

再加上 $B$ 端的 $100\text{ kN}$ 集中載重，故 $A$ 到 $B$ 之間的剪力為：

$$V(x)=100+(10-x)^2 \qquad (0\leq x<10)$$

因此剪力圖為一條拋物線。

各點數值如下：

$A$ 點

$$V_A=100+(10)^2=200\text{ kN}$$

$C$ 點，$x=5\text{ m}$

$$V_C=100+(5)^2=125\text{ kN}$$

$B$ 點左側

$$V_{B^-}=100\text{ kN}$$

在 $B$ 點受到向下 $100\text{ kN}$ 集中載重後，剪力跳降至零：

$$V_B=0$$

彎矩函數

右側集中載重對剖面之力矩為：

$$100(10-x)$$

右側三角形分布載重對剖面之力矩為：

$$\frac{(10-x)^3}{3}$$

因此：

核心觀念

本題考查二維應力狀態的轉換、應力莫爾圓（Mohr's Circle）的繪製與應用，並採用大地工程與土壤力學常用的**「壓逆為正」**符號慣例：

1. 正向應力（$\sigma$）：受壓（Compression）為正，受拉（Tension）為負。
2. 剪應力（$\tau$）：對作用單元中心產生逆時針（Counter-Clockwise, CCW）旋轉力矩者為正，順時針（Clockwise, CW）為負。
3. 應力莫爾圓基本要素：
   • 圓心座標 $C = \left(\dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2},\, 0\right)$
   • 半徑 $R = \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_y - \sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
   • 最大主應力 $\sigma_1 = C + R$、最小主應力 $\sigma_3 = C - R$
4. 斜平面應力轉換關係：
   題目給定角度 $\theta = 26.565^\circ$，其特徵為 $\tan\theta = 0.5 = \dfrac{1}{2}$，在莫爾圓上的對應圓心角為 $2\theta = 53.13^\circ$（滿足 $\sin 2\theta = 0.8$、$\cos 2\theta = 0.6$，為標準 $3:4:5$ 直角三角形幾何）。

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解題方法

第 (1) 小題：繪製應力莫爾圓並標註圓心、半徑與主應力

依題圖所示應力狀態與「壓逆為正」慣例：

• 垂直面（$x$ 面，法線為水平方向）：
  • 正向壓應力：$\sigma_x = 60\text{ kPa}$
  • 剪應力方向使元素產生逆時針旋轉：$\tau_x = +30\text{ kPa}$
  • 對應莫爾圓上一點 $V(60,\, 30)$。
• 水平面（$y$ 面，法線為垂直方向）：
  • 正向壓應力：$\sigma_y = 140\text{ kPa}$
  • 剪應力方向使元素產生順時針旋轉：$\tau_y = -30\text{ kPa}$
  • 對應莫爾圓上一點 $H(140,\, -30)$。

1. 莫爾圓圓心（Center）：
   $C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2},\, 0\right) = \left(\frac{60 + 140}{2},\, 0\right) = (100,\, 0)\text{ kPa}$

2. 莫爾圓半徑（Radius）：
   $R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_y - \sigma_x}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\frac{140 - 60}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\text{ kPa}$

3. 最大主應力（$\sigma_1$）與最小主應力（$\sigma_3$）：
   $\sigma_1 = C + R = 100 + 50 = 150\text{ kPa}$
   $\sigma_3 = C - R = 100 - 50 = 50\text{ kPa}$

4. 莫爾圓繪製特徵說明：

   • 橫軸為正向應力 $\sigma$（受壓向右為正），縱軸為剪應力 $\tau$（逆時針向上為正）。
   • 以 $(100,\, 0)$ 為圓心、半徑 $50\text{ kPa}$ 畫圓。
   • 圓周通過垂直面點 $V(60,\, 30)$ 與水平面點 $H(140,\, -30)$，兩點連線即為通過圓心的直徑。
   • 與橫軸之交點分別為最大主應力點 $(150,\, 0)$ 與最小主應力點 $(50,\, 0)$。

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第 (2) 小題：求與垂直面及水平面夾角 $26.565^\circ$ 兩平面之應力值

角度幾何關係：

• 給定夾角 $\theta = 26.565^\circ$，即 $\tan\theta = 0.5$。
• 對應三角函數值：
  $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{1 - 0.25}{1 + 0.25} = 0.6$
  $\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{2 \times 0.5}{1 + 0.25} = 0.8$