108 年 國立成功大學能源工程國際碩士學位學程《熱力學》

核心觀念

本題是封閉系統的非定常加熱問題，考查：

• 封閉系統第一定律
• 電功輸入與邊界功的區分
• 理想氣體狀態方程式
• 定容比熱與定壓比熱的關係

取「傳入空氣的熱量及輸入空氣的功為正」，則能量方程式為

$$\Delta U=Q+W_{\text{電，入}}-W_b$$

其中 $W_b$ 為活塞對外所做的邊界功。

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解題方法

將活塞視為在大氣壓下移動，因此外界壓力為

$$P_{\text{ext}}=1\ \text{atm}=101.325\ \text{kPa}$$

空氣視為理想氣體，取

$$R=0.287\ \text{kJ/(kg·K)}$$

已知

$$m=1.6\ \text{kg},\qquad P_1=0.3\ \text{MPa}=300\ \text{kPa}$$ $$T_1=25^\circ\text{C}=298.15\ \text{K}$$ $$c_p=1.005\ \text{kJ/(kg·K)}$$

因此

$$c_v=c_p-R=1.005-0.287 =0.718\ \text{kJ/(kg·K)}$$

電阻輸入的電功為

$$W_{\text{電，入}} =(0.4\ \text{kW})(8\times 60\ \text{s}) =192\ \text{kJ}$$

由於有 $15\ \text{kJ}$ 熱量由空氣傳給外界，

$$Q=-15\ \text{kJ}$$

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(a) 求最終溫度

首先由理想氣體方程式求初始體積：

$$V_1=\frac{mRT_1}{P_1}$$ $$V_1 =\frac{(1.6)(0.287)(298.15)}{300} =0.4564\ \text{m}^3$$

體積加倍，因此

$$V_2=2V_1=0.9127\ \text{m}^3$$

邊界功為

$$W_b=P_{\text{ext}}(V_2-V_1)$$

因為 $V_2-V_1=V_1$，所以

$$W_b=(101.325)(0.4564) =46.24\ \text{kJ}$$

內能變化為

$$\Delta U =Q+W_{\text{電，入}}-W_b$$ $$\Delta U=-15+192-46.24 =130.76\ \text{kJ}$$

對理想氣體而言，

$$\Delta U=mc_v(T_2-T_1)$$

所以

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程與熵平衡：

1. 穩態流動第一定律

   忽略動能與位能變化時，
   $q-w=h_2-h_1$

   其中 $q$ 為流入渦輪的熱量，$w$ 為每公斤空氣所產生的功。

2. 理想氣體熵變

   $s_2-s_1=c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R\ln\frac{P_2}{P_1}$

   空氣取
   $R=0.287\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

3. 穩態熵平衡

   $s_{\mathrm{gen}}=(s_2-s_1)-\frac{q}{T_b}$

   $T_b$ 為熱傳遞邊界的絕對溫度。依第二定律，實際過程必須滿足
   $s_{\mathrm{gen}}\geq 0$

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解題方法

以 $1\ \text{kg}$ 空氣為基準，並將渦輪視為穩態控制體。題目未提供速度與高度資料，因此忽略動能及位能變化。

已知：

$P_1=600\ \text{kPa},\qquad T_1=950\ \text{K}$

$P_2=150\ \text{kPa},\qquad T_2=650\ \text{K}$

$c_p=1.4\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

熱量由渦輪向外傳出，因此以控制體為基準：

$q=-45\ \text{kJ/kg}$

邊界溫度為

$T_b=35^\circ\text{C}=308.15\ \text{K}$

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(a) 每公斤空氣所產生的功

定容比熱不變時，

$h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)$

因此

$h_2-h_1=1.4(650-950)=-420\ \text{kJ/kg}$

由穩態能量方程：

$q-w=h_2-h_1$

代入數值：

$-45-w=-420$

解得

$w=375\ \text{kJ/kg}$

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(b) 渦輪內的熵產生量

先計算空氣的熵變：

$$s_2-s_1 =c_p\ln\frac{T_2}{T_1} -R\ln\frac{P_2}{P_1}$$

代入：

$$s_2-s_1 =1.4\ln\frac{650}{950} -0.287\ln\frac{150}{600}$$ $$s_2-s_1 =1.4\ln(0.6842)-0.287\ln(0.25)$$

核心觀念

房屋在穩態下必須補入與散熱相同的熱量，因此熱泵的供熱率為 $\dot Q_H=40\ \text{kW}$。最低驅動功率由可逆卡諾熱泵決定。

比較三種供熱方式時，以室外溫度作為環境溫度 $T_0$。在溫度 $T_H$ 傳入房屋的熱量，其火用率為

$$\dot X_Q=\dot Q_H\left(1-\frac{T_0}{T_H}\right)$$

穩態下的火用毀滅率可由火用平衡求得：火用輸入減去火用輸出。

解題方法

先將攝氏溫度換成絕對溫度：

$$T_H=27+273.15=300.15\ \text{K}$$ $$T_0=T_L=-3+273.15=270.15\ \text{K}$$

（1）熱泵最低所需功率

可逆熱泵的性能係數為

$$\mathrm{COP}_{HP,\mathrm{rev}} =\frac{T_H}{T_H-T_L} =\frac{300.15}{300.15-270.15} =10.005$$

因此，維持房屋溫度所需的最低功率為

$$\dot W_{\min} =\frac{\dot Q_H}{\mathrm{COP}_{HP,\mathrm{rev}}} =\frac{40}{10.005} \approx 4.00\ \text{kW}$$

（2）三種供熱方式的火用毀滅比較

房屋收到的熱量所帶有的火用率為

$$\dot X_Q =40\left(1-\frac{270.15}{300.15}\right) \approx 4.00\ \text{kW}$$

熱泵從室外環境取熱；在本題以室外環境作為基準時，該熱源的火用率為零。

核心觀念

本題考查「可逆過程」與「系統熵變」的關係：

• 可逆過程的熵產生為零：

$$S_{\mathrm{gen}}=0$$

• 但這不代表系統熵變為零。對可逆過程而言：

$$dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}$$

因此，系統熵變為：

$$\Delta S=\int_1^2\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}$$

必須知道熱量傳遞時的絕對溫度分布，才能計算熵變。

解題方法

採用封閉系統第一定律，可先判斷已知資料能提供哪些資訊。取「系統對外作功」為正，並以系統吸熱為正，則：

$$\Delta U=Q-W$$

題目給出：

$$Q=-7\ \mathrm{kJ},\qquad W=5\ \mathrm{kJ}$$

所以：

$$\Delta U=(-7)-5=-12\ \mathrm{kJ}$$

這只能得到系統內能的變化，無法直接得到熵變。

對可逆過程：

$$\Delta S=\int_1^2\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}$$

題目只提供總熱量 $Q=-7\ \mathrm{kJ}$，沒有提供熱量傳遞時的溫度，也沒有說明過程是否為等溫。因此不能將熵變直接寫成：

$$\Delta S=\frac{Q}{T}$$

除非已知熱量均在固定溫度 $T$ 下傳遞。

「可逆」的真正含義是沒有熵產生：

此題考驗封閉系統在不可逆過程中的熵變化判斷。

首先，我們定義系統和過程的已知條件：
系統經歷一個不可逆過程。
系統對外做的功 $W_{\text{out}} = 5 \, \text{kJ}$。
系統向外散失的熱量 $Q_{\text{out}} = 7 \, \text{kJ}$。
我們需要判斷系統的熵變化 $\Delta S$。

根據熱力學第一類定律（能量守恆），對於一個封閉系統：
$\Delta U = Q_{\text{net,in}} - W_{\text{net,out}}$
其中 $Q_{\text{net,in}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}$，以及 $W_{\text{net,out}} = W_{\text{out}} - W_{\text{in}}$。
題目中給出 $W_{\text{out}} = 5 \, \text{kJ}$， $Q_{\text{out}} = 7 \, \text{kJ}$。
假設沒有其他功的輸入或輸出，也沒有其他熱量的傳入。
所以，$Q_{\text{net,in}} = 0 - 7 \, \text{kJ} = -7 \, \text{kJ}$。
$W_{\text{net,out}} = 5 \, \text{kJ} - 0 = 5 \, \text{kJ}$。
$\Delta U = (-7 \, \text{kJ}) - (5 \, \text{kJ}) = -12 \, \text{kJ}$。
內能的變化是 $-12 \, \text{kJ}$。

接下來，我們考慮熱力學第二類定律。對於一個不可逆過程，熵變的計算公式為：
$\Delta S = \int \frac{\delta Q}{T} + S_{\text{gen}}$
其中 $\int \frac{\delta Q}{T}$ 是由於熱量傳遞引起的熵變化，而 $S_{\text{gen}}$ 是由於過程不可逆性引起的熵產生（必須大於或等於零）。
$\Delta S \ge \int \frac{\delta Q}{T}$

我們知道淨熱量傳入 $Q_{\text{in}} = -7 \, \text{kJ}$。
但是，我們不知道系統的溫度 $T$ 在過程中的變化情況，也不知道 $S_{\text{gen}}$ 的具體數值。
由於過程是不可逆的，我們無法直接使用 $Q_{\text{in}}/T$ 來計算熵變，因為 $T$ 並不代表系統的單一溫度，而且還存在熵產生項 $S_{\text{gen}}$。

例如，考慮兩種情況：
情況一：系統溫度始終高於散熱的熱源溫度。
如果系統的溫度 $T$ 始終高於散熱的平均溫度，那麼向外散失熱量會導致系統熵的減小。
但同時，不可逆性會產生熵。
如果系統的平均溫度 $T_{\text{avg}}$ 很高，而 $S_{\text{gen}}$ 相對較小，則 $\Delta S$ 可能為負。

核心觀念

本題考查「熵變」與「不可逆過程」的關係，以及熱力學第一定律與第二定律的區別。

對一個系統而言，熵平衡式為

$$\Delta S_{\text{system}} = \int \frac{\delta Q}{T_b} + S_{\text{gen}}$$

其中：

• $\Delta S_{\text{system}}$：系統熵的變化量。
• $\delta Q$：傳入系統的熱量。
• $T_b$：熱量通過系統邊界時的邊界溫度。
• $S_{\text{gen}}$：熵生成量。

不可逆過程的特徵是

$$S_{\text{gen}} > 0$$

但這只能表示過程產生正的熵，不能直接判定系統本身的 $\Delta S$ 為正、負或零。系統熵變還取決於熱傳發生時的溫度分布，以及系統的初、終狀態。

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解題方法

題目給出：

• 熱加入系統：$Q=7\ \text{kJ}$
• 系統對外作功：$W=5\ \text{kJ}$
• 過程為不可逆過程

若採用「輸入系統的熱量為正、系統對外作功為正」的慣例，熱力學第一定律為

$$\Delta U=Q-W$$

因此

$$\Delta U=7-5=2\ \text{kJ}$$

這只能得到系統內能增加 $2\ \text{kJ}$，並不能得到熵變。

熵是狀態函數，其變化量必須由系統的初、終狀態決定。若系統為簡單可壓縮物質，常見的熵變關係可寫成

$$\Delta S = m c_v\ln\frac{T_2}{T_1} + mR\ln\frac{V_2}{V_1}$$

或依其他物質模型使用相應的性質關係。題目沒有提供初、終狀態、溫度、體積、壓力，也沒有提供熱量傳遞時的溫度，因此無法計算 $\Delta S$。

不可逆性只能確定

$$S_{\text{gen}}>0$$

而系統熵變仍可能為正、負或零。例如：