108 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《統計學A》

本題考查標準常態分配的商的分配以及動差生成函數。

核心觀念：

1. 兩個獨立標準常態分配變數的商服從標準柯西分配 (Standard Cauchy Distribution)。
2. 柯西分配沒有動差生成函數 (Moment Generating Function, MGF)。

解題過程：
令 $X \sim N(0, 1)$ 且 $Y \sim N(0, 1)$，且 $X$ 與 $Y$ 獨立。
我們考慮 $U = X/Y$。
標準柯西分配的機率密度函數 (PDF) 為 $f(u) = \frac{1}{\pi(1+u^2)}$，對於 $-\infty < u < \infty$。
標準常態分配的機率密度函數 (PDF) 為 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$。
標準常態分配的累積分布函數 (CDF) 為 $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} dt$。

考慮 $U = X/Y$ 的 CDF：
$P(U \leq u) = P(X/Y \leq u)$
這裡需要考慮 $Y>0$ 和 $Y<0$ 的情況。
$P(X/Y \leq u) = P(X \leq uY, Y>0) + P(X \geq uY, Y<0)$
$= \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{uy} f_X(x) f_Y(y) dx dy + \int_{-\infty}^{0} \int_{uy}^{\infty} f_X(x) f_Y(y) dx dy$

本題考查常態分配的期望值與大數法則。

核心觀念：

1. 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $E(X^2) = \text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \sigma^2 + \mu^2$。
2. 大數法則 (Law of Large Numbers) 指出，獨立同分佈隨機變數的樣本平均數，在樣本數趨近無限大時，會依機率收斂至其期望值。

解題過程：
給定隨機變數 $X$ 服從 $N(0, \sigma^2)$ 分配。
這表示 $X$ 的期望值 $\mu = E(X) = 0$，變異數 $\sigma^2 = \text{Var}(X)$。

(3) 計算 $E(X^2)$：
根據期望值與變異數的關係，我們有：
$E(X^2) = \text{Var}(X) + [E(X)]^2$
將 $\mu=0$ 和 $\text{Var}(X)=\sigma^2$ 代入：

本題考查指數分配的樣本平均數的漸近分配，以及利用 Delta Method 求函數的漸近分配。

核心觀念：

1. 指數分配的參數與期望值、變異數。
2. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)。
3. Delta Method。

解題過程：
給定機率密度函數 $f(x) = e^{-x}$，其中 $0 < x < \infty$。
這是一個參數為 $\lambda=1$ 的指數分配 (Exponential Distribution)。
其期望值為 $E(X) = 1/\lambda = 1/1 = 1$。
其變異數為 $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2 = 1/1^2 = 1$。

(5) 求 $Y = \sqrt{n}(\bar{X}-1)$ 的漸近分配：
根據中央極限定理 (CLT)，對於一個來自具有有限期望值 $\mu$ 和有限變異數 $\sigma^2$ 的母體之隨機樣本 $\bar{X}$，當 $n \to \infty$ 時，
$\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$。
在本題中，$\mu = E(X) = 1$ 且 $\sigma^2 = \text{Var}(X) = 1$。
所以，$\sqrt{n}(\bar{X} - 1) \xrightarrow{d} N(0, 1)$。
因此，$Y = \sqrt{n}(\bar{X}-1)$ 的漸近分配是標準常態分配 $N(0, 1)$。

(6) 求 $Z = \sqrt{n}(\sqrt{\bar{X}}-1)$ 的漸近分配：
我們已經知道 $\sqrt{n}(\bar{X}-1) \xrightarrow{d} N(0, 1)$。

核心觀念

本題考查：

• 最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）
• 概似函數與對數概似函數
• 概似比統計量（Likelihood Ratio Statistic）

給定隨機樣本 $X_1,\ldots,X_n$，其機率密度函數為

$$f(x;\theta)=\theta(1-x)^{\theta-1},\qquad 0<x<1,\ \theta>0.$$

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解題方法

令

$$S=\sum_{i=1}^n\ln(1-X_i).$$

由於 $0<X_i<1$，所以 $\ln(1-X_i)<0$，因此 $S<0$。

一、求最大概似估計量

隨機樣本的概似函數為

$$L(\theta) =\prod_{i=1}^n \theta(1-X_i)^{\theta-1} =\theta^n\prod_{i=1}^n(1-X_i)^{\theta-1}.$$

取對數概似函數：

$$\ell(\theta) =n\ln\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^n\ln(1-X_i) =n\ln\theta+(\theta-1)S.$$

對 $\theta$ 微分：

$$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} =\frac{n}{\theta}+S.$$

令一階導數等於 $0$：

$$\frac{n}{\theta}+S=0,$$

得到

$$\widehat{\theta} =-\frac{n}{S} =-\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\ln(1-X_i)}.$$

再由二階導數

$$\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} =-\frac{n}{\theta^2}<0,$$

可知此臨界點確實使對數概似函數達到最大值。因此

$$\boxed{\widehat{\theta} =-\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\ln(1-X_i)}}.$$

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二、求概似比統計量

檢定假設為

$$H_0:\theta=1 \qquad\text{對抗}\qquad H_1:\theta\neq 1.$$

概似比統計量定義為

$$\Lambda =\frac{\displaystyle\sup_{\theta\in\Theta_0}L(\theta)} {\displaystyle\sup_{\theta>0}L(\theta)} =\frac{L(1)}{L(\widehat{\theta})}.$$

在虛無假設 $\theta=1$ 下，

$$L(1) =1^n\prod_{i=1}^n(1-X_i)^0 =1.$$

另一方面，

$$L(\widehat{\theta}) =\widehat{\theta}^{\,n} \exp\left\{(\widehat{\theta}-1)S\right\}.$$

由

$$S=-\frac{n}{\widehat{\theta}},$$

可得

本題考查線性模型下誤差項變異數的最大概似估計量及其變異數。

核心觀念：

1. 最大概似估計量 (MLE) 的求法。
2. 常態分配的變異數的 MLE。
3. 常態分配的變異數的變異數。

解題過程：
給定線性模型 $Y_i = \beta_0 + u_i$，其中 $u_i \sim N(0, \sigma_u^2)$ 且獨立。
這表示 $Y_i$ 的條件分配是 $Y_i | \beta_0 \sim N(\beta_0, \sigma_u^2)$。
我們有一個來自此分配的隨機樣本 $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$。

首先，我們需要對 $\beta_0$ 和 $\sigma_u^2$ 進行估計。
假設 $\beta_0$ 是已知的。如果 $\beta_0$ 未知，則 MLE 過程會更複雜。
然而，題目只要求 $\sigma_u^2$ 的 MLE。通常在這種情況下，我們假設 $\beta_0$ 也是透過 MLE 估計的。
首先，我們估計 $\beta_0$。
條件概似函數為：
$L(\beta_0, \sigma_u^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_u^2}} \exp\left(-\frac{(y_i - \beta_0)^2}{2\sigma_u^2}\right)$
$L(\beta_0, \sigma_u^2) = (2\pi\sigma_u^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma_u^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0)^2\right)$

取對數概似函數：
$l(\beta_0, \sigma_u^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma_u^2) - \frac{1}{2\sigma_u^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0)^2$

為了找到 $\beta_0$ 的 MLE，我們對 $l$ 對 $\beta_0$ 微分並令其為 0：
$\frac{\partial l}{\partial \beta_0} = -\frac{1}{2\sigma_u^2} \sum_{i=1}^{n} 2(y_i - \beta_0)(-1) = \frac{1}{\sigma_u^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0)$
令 $\frac{\partial l}{\partial \beta_0} = 0 \implies \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta}_0) = 0 \implies \sum y_i - n\hat{\beta}_0 = 0 \implies \hat{\beta}_0 = \frac{\sum y_i}{n} = \bar{y}$。
所以 $\beta_0$ 的 MLE 是樣本平均數 $\bar{Y}$。

現在，我們將 $\hat{\beta}_0 = \bar{Y}$ 代回對數概似函數，得到關於 $\sigma_u^2$ 的函數：
$l(\bar{Y}, \sigma_u^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma_u^2) - \frac{1}{2\sigma_u^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$

為了找到 $\sigma_u^2$ 的 MLE，我們對 $l$ 對 $\sigma_u^2$ 微分並令其為 0：
令 $\sigma^2 = \sigma_u^2$。
$\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2} \frac{1}{\sigma^2} - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 (-\frac{1}{(\sigma^2)^2})$
$\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$

令 $\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = 0$：
$-\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = 0$
$\frac{n}{2\sigma^2} = \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$
$n\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$
$\hat{\sigma}_u^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$

所以，$\sigma_u^2$ 的 MLE 是 $\hat{\sigma}_u^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$。
這就是樣本變異數的 MLE，除以 $n$ 而非 $n-1$。

(9) $\hat{\sigma}_u^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$。

核心觀念

本題考查兩個觀念：

1. Logit 模型中連續變數的平均邊際效果（average marginal effect, AME）。
2. McFadden pseudo $R^2$ 的計算。

模型為

$$\Pr(Y=1\mid X_1,\dots,X_k)=\Lambda(z_i)$$

其中

$$z_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\cdots+\beta_kX_{ki}$$

且

$$\Lambda(z_i)=\frac{\exp(z_i)}{1+\exp(z_i)}.$$

---

解題方法一：求 $X_1$ 的平均邊際效果

對第 $i$ 個觀察值，$X_1$ 對條件期望的邊際效果為

$$\frac{\partial E(Y_i\mid X_i)}{\partial X_{1i}} = \frac{\partial \Lambda(z_i)}{\partial X_{1i}}.$$

由鏈鎖律，

$$\frac{\partial \Lambda(z_i)}{\partial X_{1i}} = \Lambda'(z_i)\frac{\partial z_i}{\partial X_{1i}}.$$

Logistic 函數的導數為

$$\Lambda'(z_i)=\Lambda(z_i)\bigl[1-\Lambda(z_i)\bigr],$$

而

$$\frac{\partial z_i}{\partial X_{1i}}=\beta_1.$$

因此，第 $i$ 個觀察值的邊際效果為

$$ME_{1i} = \beta_1\Lambda(z_i)\bigl[1-\Lambda(z_i)\bigr].$$

將所有 $n$ 個觀察值的邊際效果取平均，即得平均邊際效果：

$$AME_{X_1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \beta_1\Lambda(z_i)\bigl[1-\Lambda(z_i)\bigr].$$

也可寫成

$$AME_{X_1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \beta_1 \frac{\exp(z_i)}{[1+\exp(z_i)]^2}.$$

題目未提供 $\beta_1$、各觀察值的 $X$ 資料或預測機率，因此無法計算 AME 的數值；但其正確表達式如上。

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解題方法二：計算 pseudo $R^2$

McFadden pseudo $R^2$ 定義為

$$R^2_{\text{McFadden}} = 1-\frac{\ell_{\text{full}}}{\ell_{\text{null}}},$$

其中：

• $\ell_{\text{full}}$：包含所有解釋變數的完整模型之 log-likelihood；
• $\ell_{\text{null}}$：僅含截距模型之 log-likelihood。

代入題目數值：

核心觀念

本題考查 MA(1) 模型的自我共變異數、自我相關係數，以及考慮長期變異後的 Sharpe ratio。

給定

$$r_t=0.002+\epsilon_t+0.05\epsilon_{t-1},$$

其中 $\epsilon_t\sim N(0,\sigma_\epsilon^2)$，且 $\{\epsilon_t\}$ 為相互獨立的白噪音序列，因此

$$E(\epsilon_t)=0,\qquad \operatorname{Var}(\epsilon_t)=\sigma_\epsilon^2,\qquad \operatorname{Cov}(\epsilon_t,\epsilon_{t-k})=0\quad(k\neq 0).$$

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一、理論相關係數

令

$$\theta=0.05,\qquad \mu=0.002.$$

由於 $\epsilon_t$ 的期望值為 0，

$$E(r_t)=\mu=0.002.$$

扣除平均數後：

$$r_t-\mu=\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1}.$$

因此，$r_t$ 的變異數為

$$\begin{aligned} \gamma_0 &=\operatorname{Var}(r_t)\\ &=\operatorname{Var}(\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1})\\ &=\sigma_\epsilon^2+\theta^2\sigma_\epsilon^2\\ &=(1+\theta^2)\sigma_\epsilon^2. \end{aligned}$$

代入 $\theta=0.05$：

$$\gamma_0=(1+0.05^2)\sigma_\epsilon^2 =1.0025\sigma_\epsilon^2.$$

接著計算 $r_t$ 與 $r_{t-1}$ 的共變異數。由

$$r_{t-1}-\mu=\epsilon_{t-1}+\theta\epsilon_{t-2},$$

可得

$$\begin{aligned} \gamma_1 &=\operatorname{Cov}(r_t,r_{t-1})\\ &=\operatorname{Cov} (\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-1}+\theta\epsilon_{t-2})\\ &=\theta\operatorname{Var}(\epsilon_{t-1})\\ &=\theta\sigma_\epsilon^2. \end{aligned}$$

所以理論相關係數為

$$\rho_1=\frac{\gamma_1}{\gamma_0} =\frac{\theta\sigma_\epsilon^2} {(1+\theta^2)\sigma_\epsilon^2} =\frac{\theta}{1+\theta^2}.$$

代入 $\theta=0.05$：

$$\boxed{ \rho_1=\frac{0.05}{1.0025} \approx 0.049875 }$$

因此，第（13）格為

$$\boxed{0.049875\text{，約為 }0.05}.$$

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二、長期 Sharpe ratio

一般單期 Sharpe ratio 為

$$\frac{E(r_t)-r_f}{\sqrt{\operatorname{Var}(r_t)}}.$$

本題考查如何利用線性迴歸來檢定單一樣本的平均數。

核心觀念：

1. 單一樣本平均數檢定的標準方法。
2. 線性迴歸模型中，參數估計與假設檢定。
3. t 檢定的建構。

解題過程：
我們要檢定假設 $H_0: \mu_Y = c$ 對 $H_1: \mu_Y \neq c$。
標準的檢定統計量是：
$t = \frac{\bar{Y} - c}{s_Y/\sqrt{n}}$
其中 $\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum Y_i$ 是樣本平均數， $s_Y = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(Y_i - \bar{Y})^2}$ 是樣本標準差。
在 $H_0$ 為真的情況下，這個統計量服從自由度為 $n-1$ 的 t 分配。

現在，我們需要解釋如何透過線性迴歸來進行這個檢定，並證明其統計量與上述標準 t 統計量相同。

考慮一個簡單的線性迴歸模型，其中我們試圖預測 $Y_i$ 的值。
我們可以設定一個模型，其中沒有解釋變數，只有一個截距項。
模型為：$Y_i = \mu_Y + u_i$，其中 $u_i \sim N(0, \sigma_Y^2)$ 且獨立。
我們可以將此模型寫成：$Y_i = \beta_0 + u_i$，其中 $\beta_0 = \mu_Y$ 是我們要估計的參數，且 $u_i \sim N(0, \sigma_Y^2)$。

在這個模型中，我們對參數 $\beta_0$ 進行估計。
OLS (Ordinary Least Squares) 估計量為：
$\hat{\beta}_0 = \bar{Y}$
誤差項的平方和為：
$SSE = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_0)^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$
估計的誤差變異數為：
$\hat{\sigma}_Y^2 = \frac{SSE}{n-1} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2 = s_Y^2$。

因此，我們得到 $\beta_0$ 的估計值 $\hat{\beta}_0 = \bar{Y}$，以及其標準誤 (standard error)

本題考查資產定價理論中的隨機折現因子、消費增長模型以及無風險利率的計算。

核心觀念：

1. 消費增長模型的指數形式。
2. 隨機折現因子 (Stochastic Discount Factor, SDF) 的定義。
3. 無風險利率與 SDF 的關係。
4. 期望值的計算，特別是涉及對數常態分配的期望值。

解題過程：
給定模型參數：
$\beta = 0.99$ (時間偏好因子)
$\gamma = 5$ (相對風險厭惡係數)
$\mu_c = 0.0016$ (消費增長率的預期值)
$\sigma_c = 0.0025$ (消費增長率的標準差)
$\epsilon_{c,t+1} \sim N(0, 1)$

消費增長過程為：
$\ln \frac{C_{t+1}}{C_t} = \mu_c + \sigma_c \epsilon_{c,t+1}$
取指數得到消費增長率：
$\frac{C_{t+1}}{C_t} = \exp(\mu_c + \sigma_c \epsilon_{c,t+1})$
令 $g_{t+1} = \frac{C_{t+1}}{C_t}$ 為消費增長因子。則 $g_{t+1} = \exp(\mu_c + \sigma_c \epsilon_{c,t+1})$。
這表示消費增長因子 $g_{t+1}$ 服從對數常態分配 (Lognormal Distribution)。

隨機折現因子 (SDF) 的定義為：
$M_{t+1} = \beta \frac{C_{t+1}}{C_t} = \beta g_{t+1}$
在某些理論中，SDF 的形式是 $M_{t+1} = \beta \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\gamma}$。
這裡題目給定的 SDF 是 $M_{t+1} = \beta \frac{C_{t+1}}{C_t}$。請注意，這與常見的 HJB 方程推導出的 $M_{t+1}$ 形式不同，後者通常包含 $-\gamma$ 指數。
我們必須嚴格按照題目給定的公式來計算。

無風險利率 $R_{f,t+1}$ 與 SDF 的關係是：
$R_{f,t+1} = \frac{1}{E_t(M_{t+1})}$
這裡 $E_t(\cdot)$ 表示在時間 $t$ 的條件期望。

我們需要計算 $E_t(M_{t+1})$。
$E_t(M_{t+1}) = E_t\left(\beta \frac{C_{t+1}}{C_t}\right)$
$= \beta E_t\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)$
$= \beta E_t(g_{t+1})$

因為 $g_{t+1} = \exp(\mu_c + \sigma_c \epsilon_{c,t+1})$，且 $\epsilon_{c,t+1}$ 在時間 $t$ 是未知的，所以 $E_t(g_{t+1})$ 是對 $\epsilon_{c,t+1}$ 的條件期望。
對於一個服從對數常態分配的變數 $X = \exp(a + bZ)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$，其期望值為 $E(X) = \exp(a + \frac{1}{2}b^2)$。
在這裡，我們的變數是 $g_{t+1} = \exp(\mu_c + \sigma_c \epsilon_{c,t+1})$。
所以，$a = \mu_c$ 且 $b = \sigma_c$。
$E_t(g_{t+1}) = \exp(\mu_c + \frac{1}{2}\sigma_c^2)$。

將此代入 $E_t(M_{t+1})$：
$E_t(M_{t+1}) = \beta \exp(\mu_c + \frac{1}{2}\sigma_c^2)$。

現在計算無風險利率 $R_{f,t+1}$：
$R_{f,t+1} = \frac{1}{E_t(M_{t+1})} = \frac{1}{\beta \exp(\mu_c + \frac{1}{2}\sigma_c^2)}$。

代入給定的參數值：
$\beta = 0.99$
$\mu_c = 0.0016$
$\sigma_c = 0.0025$

首先計算 $\frac{1}{2}\sigma_c^2$:
$\sigma_c^2 = (0.0025)^2 = 0.00000625$
$\frac{1}{2}\sigma_c^2 = 0.000003125$

計算指數部分：
$\mu_c + \frac{1}{2}\sigma_c^2 = 0.0016 + 0.000003125 = 0.001603125$

本題考查 ROC 曲線下面積 (AUC) 的計算與模型績效評估。

核心觀念：

1. ROC 曲線的定義：Sensitivity (True Positive Rate, TPR) 對 (1-Specificity) (False Positive Rate, FPR) 的圖。
2. AUC (Area Under the Curve) 的計算。
3. 模型績效評估：AUC 的數值意義。

解題過程：
ROC 曲線繪製的是 Sensitivity (TPR) 作為縱軸，1-Specificity (FPR) 作為橫軸。
給定的表格提供了不同 Cut point 下的 Sensitivity 和 Specificity。
我們需要從 Specificity 計算 FPR (1-Specificity)。

Cut point	Sensitivity (TPR)	Specificity	FPR (1-Specificity)
0.2	0.9718	0.1517	$1 - 0.1517 = 0.8483$
0.3	0.8767	0.3608	$1 - 0.3608 = 0.6392$
0.4	0.6527	0.5898	$1 - 0.5898 = 0.4102$

ROC 曲線上的點是 (FPR, TPR)。我們可以將這些點繪製出來。
為了計算 ROC 曲線下面積 (AUC)，我們通常假設這些點是按照 FPR 的升序排列的。
從表中可以看到，FPR 的值是 0.8483, 0.6392, 0.4102。這不是升序。
我們需要將點重新排序，通常是按照 FPR 的值從低到高排列。
點 (FPR, TPR)：
P1: (0.4102, 0.6527) (Cut point = 0.4)
P2: (0.6392, 0.8767) (Cut point = 0.3)
P3: (0.8483, 0.9718) (Cut point = 0.2)

在計算 AUC 時，我們通常將曲線下的面積看作是梯形面積的總和。
我們還需要考慮兩個極端點：(0, 0) 和 (1, 1)。
理論上，ROC 曲線會從 (0,0) 開始，經過這些點，最終到達 (1,1)。
然而，這裡只給了三個點，我們假設曲線由這些點連接而成，並補上起始和結束點。

通常，AUC 可以通過對這些點之間的梯形面積求和來近似計算。
我們將點按照 FPR 排序：
(0, 0) - 起始點
(0.4102, 0.6527) - P1
(0.6392, 0.8767) - P2
(0.8483, 0.9718) - P3
(1, 1) - 結束點 (假設)

AUC 的計算方法：
將曲線看作是連接 (0,0), P1, P2, P3, (1,1) 的折線。
AUC = 面積(0,0 到 P1) + 面積(P1 到 P2) + 面積(P2 到 P3) + 面積(P3 到 (1,1))

面積(0,0 到 P1): 梯形面積，底邊為 x 軸上的 0 到 0.4102，高為 TPR。
這不是一個標準的梯形公式。
標準的 AUC 計算方法是，對於排序後的點 $(x_i, y_i)$，AUC 是 $\sum_{i=1}^{N-1} \frac{y_i + y_{i+1}}{2} (x_{i+1} - x_i)$。
這裡 $x$ 是 FPR，$y$ 是 TPR。

排序點 $(x_i, y_i)$:
$x_0=0, y_0=0$
$x_1=0.4102, y_1=0.6527$
$x_2=0.6392, y_2=0.8767$
$x_3=0.8483, y_3=0.9718$
$x_4=1, y_4=1$ (假設)

AUC = $\frac{y_0+y_1}{2}(x_1-x_0) + \frac{y_1+y_2}{2}(x_2-x_1) + \frac{y_2+y_3}{2}(x_3-x_2) + \frac{y_3+y_4}{2}(x_4-x_3)$
AUC = $\frac{0+0.6527}{2}(0.4102-0) + \frac{0.6527+0.8767}{2}(0.6392-0.4102) + \frac{0.8767+0.9718}{2}(0.8483-0.6392) + \frac{0.9718+1}{2}(1-0.8483)$