113 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《統計學A》

本題主要在考驗樣本比例的假設檢定、常態近似二項分配，以及利用中央極限定理處理大樣本問題。

(1) 關於樣本比例的假設檢定

此小題欲判斷樣本比例是否能支持該地區關心營養的比例高於全國平均的 40%。

• 核心觀念： 單一比例的假設檢定。
• 檢定步驟：
  1. 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
     • $H_0$: 該地區關心營養的比例 $p \le 0.4$ (即不比全國高)
     • $H_1$: 該地區關心營養的比例 $p > 0.4$ (即比全國高)
  2. 計算樣本比例：
     樣本數 $n=10$，其中 5 位表示關心營養。
     樣本比例 $\hat{p} = \frac{5}{10} = 0.5$。
  3. 計算檢定統計量：
     由於樣本數 $n=10$ 較小，且我們無法確定 $np_0$ 和 $n(1-p_0)$ 是否足夠大（在此 $p_0=0.4$），故此處應使用二項分配進行精確檢定 (Exact test)。然而，若題目預期我們使用近似方法，則需注意其限制。在此，我們假設題目可能期望使用近似方法，但實際上對小樣本，精確檢定更為合適。
     若使用近似方法（z-test），則檢定統計量為：
     $z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.5 - 0.4}{\sqrt{\frac{0.4(1-0.4)}{10}}} = \frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{10}}} = \frac{0.1}{\sqrt{\frac{0.24}{10}}} = \frac{0.1}{\sqrt{0.024}} \approx \frac{0.1}{0.1549} \approx 0.6455$
  4. 決定檢定區域與 p-value (使用近似方法)：
     此為右尾檢定。若使用顯著水準 $\alpha = 0.05$，則臨界值 $z_{0.05} \approx 1.645$。
     計算 p-value：$P(Z > 0.6455)$。由標準常態分配表可知，此值遠大於 0.05。
  5. 決策：
     由於檢定統計量 $0.6455 < 1.645$ (或 p-value > 0.05)，我們無法拒絕虛無假設。
  6. 結論：
     沒有足夠的證據顯示該地區關心營養的比例高於全國的 40%。
     注意： 對於 $n=10$ 的小樣本，使用二項分配進行精確檢定會是更嚴謹的做法。其 p-value 為 $P(X \ge 5|n=10, p=0.4) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} (0.4)^k (0.6)^{10-k}$，此計算結果會與近似值不同。若無指定顯著水準，則無法做決策，但題目問「Is this reason to believe」，暗示我們需要判斷證據強度。

(2) 計算 X 介於 220 與 230 的機率

當樣本數變大（$n=600$），且假設母體比例 $p=0.4$ 為真時，我們可以用中央極限定理將二項分配近似為常態分配。

• 核心觀念： 中央極限定理，二項分配的常態近似。
• 參數設定：
  • 二項分配 $X \sim Binomial(n=600, p=0.4)$。
  • 近似的常態分配參數：

核心觀念

本題考查：

1. 單一母體平均數的雙尾假設檢定。
2. 母體標準差未知時，使用單一樣本 $t$ 檢定。
3. 第二類錯誤（Type II error）的計算。
4. 在指定顯著水準 $\alpha$ 與第二類錯誤機率 $\beta$ 下，反推所需樣本數。

設母體平均租金為 $\mu$，題目給定：

$$\mu_0=2358,\qquad n=100,\qquad \bar{x}=2288,\qquad s=511$$

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解題方法

（1）在 $0.05$ 顯著水準下檢定調查結果是否應被拒絕

題目要確認調查報告的平均租金 $2358$ 是否合理，因此採雙尾檢定：

$$H_0:\mu=2358$$ $$H_1:\mu\neq2358$$

因為母體標準差未知，使用單一樣本 $t$ 統計量：

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

代入資料：

$$t=\frac{2288-2358}{511/\sqrt{100}} =\frac{-70}{51} =-1.3725$$

自由度為：

$$df=n-1=99$$

雙尾檢定且 $\alpha=0.05$，臨界值為：

$$\pm t_{0.025,99}\approx \pm1.984$$

拒絕域為：

$$t<-1.984\quad\text{或}\quad t>1.984$$

由於：

$$-1.984<-1.3725<1.984$$

因此統計量未落入拒絕域，故：

$$\boxed{\text{不拒絕 }H_0}$$

也就是在 $5\%$ 顯著水準下，沒有足夠證據認為實際平均租金不同於 NTD2358，調查報告的數值不應被拒絕。

以 $p$ 值表示：

$$p\text{-value}=2P(T_{99}\geq1.3725)\approx0.173$$

因為 $p\text{-value}>0.05$，結論相同。

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（2）若實際平均租金為 NTD2230，犯第二類錯誤的機率

第二類錯誤是：

實際平均租金確實不是 NTD2358，但檢定結果卻未拒絕 $H_0$。

本題假設實際平均數為：

$$\mu_1=2230$$

由於樣本數 $n=100$ 很大，第二類錯誤機率以常態近似計算。以題目給定的樣本標準差 $s=511$ 作為母體標準差估計值，因此：

$$\sigma_{\bar X}\approx\frac{511}{\sqrt{100}}=51.1$$

在雙尾檢定下，採用常態臨界值 $z_{0.025}=1.96$，不拒絕域為：

$$\mu_0-1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} \leq \bar X\leq \mu_0+1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

代入數值：

$$2358-1.96(51.1) \leq \bar X\leq 2358+1.96(51.1)$$

因此：

$$2257.844\leq \bar X\leq2458.156$$

當實際平均數為 $2230$ 時：

$$\bar X\sim N\left(2230,\frac{511}{\sqrt{100}}\right) =N(2230,51.1)$$

所以第二類錯誤機率為：

$$\beta =P(2257.844\leq\bar X\leq2458.156\mid\mu=2230)$$

標準化：

本題主要考驗複迴歸分析的假設檢定、判定係數的調整，以及均方誤差 (MSE) 的概念與計算。

題目資訊整理：

• 樣本數：$n = 25$
• 迴歸模型：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$
• 估計結果：
  • $\hat{\beta}_0 = 14.44$, $SE(\hat{\beta}_0) = 8.19$
  • $\hat{\beta}_1 = 8.60$, $SE(\hat{\beta}_1) = 3.96$
  • $\hat{\beta}_2 = 1.36$, $SE(\hat{\beta}_2) = 0.69$
  • $\hat{\beta}_3 = -5.95$, $SE(\hat{\beta}_3) = 3.30$
• 總變異數 (SST)：$SST = 722.5$
• 殘差標準差 (估計值)：$s = 4.7$

注意： $s$ 是殘差標準差的估計值，即 $s = \sqrt{MSE}$。

(1) 檢定各迴歸係數的顯著性

• 核心觀念： 複迴歸中，對個別迴歸係數進行 t 檢定，判斷其是否顯著異於零。

• 檢定步驟 (對每個係數)：

  1. 設定假設：
     • 虛無假設 ($H_0$): $\beta_i = 0$ (該自變數對應的迴歸係數不顯著)
     • 對立假設 ($H_1$): $\beta_i \ne 0$ (該自變數對應的迴歸係數顯著)
  2. 計算檢定統計量：
     使用 t 統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_i - 0}{SE(\hat{\beta}_i)}$
  3. 決定臨界值與自由度：
     顯著水準 $\alpha = 0.05$ (雙尾檢定)。
     自由度 (degree of freedom, df) = $n - k - 1$，其中 $n$ 是樣本數，$k$ 是自變數的個數。
     在此，$n=25$, $k=3$ (X1, X2, X3)。
     所以，$df = 25 - 3 - 1 = 21$。
     臨界值為 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 21}$。查 t 分配表可知，$t_{0.025, 21} \approx 2.0796$。
  4. 決策：
     若 $|t_{calculated}| > t_{0.025, 21}$，則拒絕 $H_0$。

• 對各迴歸係數進行檢定：

  • Intercept ($\beta_0$)：

    • $H_0: \beta_0 = 0$
    • $H_1: \beta_0 \ne 0$
    • $t = \frac{14.44}{8.19} \approx 1.763$
    • $|1.763| < 2.0796$。
    • 決策： 無法拒絕 $H_0$。
    • 結論： Intercept 在 0.05 顯著水準下不顯著。

  • $X_1$ (Working Experience)：

    • $H_0: \beta_1 = 0$
    • $H_1: \beta_1 \ne 0$
    • $t = \frac{8.60}{3.96} \approx 2.172$
    • $|2.172| > 2.0796$。
    • 決策： 拒絕 $H_0$。
    • 結論： $X_1$ 在 0.05 顯著水準下顯著。這表示工作經驗對員工滿意度有顯著影響（每增加一年的工作經驗，預期滿意度增加 8.60 分）。

  • $X_2$ (Salary)：

    • $H_0: \beta_2 = 0$
    • $H_1: \beta_2 \ne 0$
    • $t = \frac{1.36}{0.69} \approx 1.971$
    • $|1.971| < 2.0796$。
    • 決策： 無法拒絕 $H_0$。

本題主要考驗卡方分配的適合度檢定 (Goodness-of-Fit Test)，用於檢測觀察到的數據分佈是否與理論上預期的均勻分佈一致。

題目資訊整理：

• 總事故數：$N = 6 + 8 + 18 + 9 + 5 + 13 + 17 + 9 = 85$
• 觀察到的類別數：$k = 8$ (共 8 個時間區間)
• 顯著水準：$\alpha = 0.02$
• 假設：事故均勻分佈於一天中。

(1) 進行適合度檢定

• 核心觀念： 卡方適合度檢定。
• 檢定步驟：

  1. 設定假設：

     • 虛無假設 ($H_0$): 事故在一天中的分佈是均勻的。
     • 對立假設 ($H_1$): 事故在一天中的分佈不是均勻的。

  2. 計算預期次數 ($E_i$)：
     如果事故均勻分佈，則每個時間區間的預期事故數應相等。
     總事故數 $N = 85$。
     類別數 $k = 8$。
     預期次數 $E_i = \frac{N}{k} = \frac{85}{8} = 10.625$。
     （確保每個 $E_i$ 都足夠大，通常要求 $E_i \ge 5$。此處 $10.625 \ge 5$，故可以使用卡方檢定。）

  3. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)：
     $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
     其中 $O_i$ 是觀察到的次數。

     Time Interval	Observed ($O_i$)	Expected ($E_i$)	$O_i - E_i$	$(O_i - E_i)^2$	$\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
     8-9 AM	6	10.625	-4.625	21.390625	2.0132
     9-10 AM	8	10.625	-2.625	6.890625	0.6485