113 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）乙組《微積分》

核心觀念

本題考查：

• 夾擠定理：若 $|f(x)|\leq g(x)$ 且 $g(x)\to 0$，則 $f(x)\to 0$。
• 數列極限與有限和公式：
  $\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$
• 判斷表面上類似黎曼和的式子時，必須確認是否含有正確的 $\frac{1}{n}$ 因子。

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（a）$\displaystyle \lim_{x \to 1} (x-1)^2 \sin\left(\frac{2}{x-1}\right)$

解題方法

當 $x\to 1$ 時，$\dfrac{2}{x-1}$ 會劇烈振盪，因此不直接計算正弦函數內部的極限。利用基本不等式：

$$-1\leq \sin\left(\frac{2}{x-1}\right)\leq 1.$$

由於 $(x-1)^2\geq 0$，可得

$$-(x-1)^2 \leq (x-1)^2\sin\left(\frac{2}{x-1}\right) \leq (x-1)^2.$$

而當 $x\to 1$ 時，

$$\lim_{x\to 1}[-(x-1)^2]=0, \qquad \lim_{x\to 1}(x-1)^2=0.$$

因此依夾擠定理，

$$\boxed{ \lim_{x \to 1} (x-1)^2 \sin\left(\frac{2}{x-1}\right)=0 }.$$

解題技巧

即使 $\sin\left(\frac{2}{x-1}\right)$ 沒有極限，只要它被有界函數控制，且外部乘上的因子 $(x-1)^2$ 趨近於 $0$，整體極限仍可由夾擠定理判定為 $0$。

更快的寫法是：

$$\left|(x-1)^2\sin\left(\frac{2}{x-1}\right)\right| \leq (x-1)^2\to 0.$$

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（b）$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[

\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)
+\frac{2}{n}\left(\frac{2}{n}\right)
+\cdots+
\frac{n}{n}\left(\frac{n}{n}\right)
\right]$

解題方法

將一般項寫成：

本題主要考驗學生對微積分基本定理及對數微分法的應用。

(a) 此小題考驗微積分基本定理的應用。
設 $F(t)$ 為 $e^{-t}$ 的一個反導函數，即 $F'(t) = e^{-t}$。
則 $\int_{\ln x}^{\sin(e^t)} e^{-t} dt = F(\sin(e^t)) - F(\ln x)$。
我們要求的是 $\frac{d}{dx} \left( F(\sin(e^t)) - F(\ln x) \right)$。
根據連鎖律，
$\frac{d}{dx} F(\sin(e^t)) = F'(\sin(e^t)) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(e^t))$
$= e^{-\sin(e^t)} \cdot \cos(e^t) \cdot e^t$。
注意：這裡的 $t$ 是一個變數，但積分上限是 $\sin(e^t)$。如果積分上限是 $\sin(e^x)$，則會直接套用。
題目中的積分上限是 $\sin(e^t)$，這是一個常數，因為 $t$ 在積分時被固定了。
但是，如果 $t$ 在積分時是被視為一個與 $x$ 無關的變數，那麼 $\sin(e^t)$ 就是一個常數。
然而，這通常表示積分變數是 $t$，而上限是關於 $x$ 的函數。
讓我們假設積分上限是 $\sin(e^x)$。
如果積分上限是 $\sin(e^x)$，則：
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\ln x}^{\sin(e^x)} e^{-t} dt \right) = \frac{d}{dx} \left( F(\sin(e^x)) - F(\ln x) \right)$
$= F'(\sin(e^x)) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(e^x)) - F'(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
$= e^{-\sin(e^x)} \cdot \cos(e^x) \cdot e^x - e^{-\ln x} \cdot \frac{1}{x}$
$= e^{-\sin(e^x)} \cos(e^x) e^x - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$
$= e^{-\sin(e^x)} \cos(e^x) e^x - \frac{1}{x^2}$。

但是，題目寫的是 $\sin(e^t)$。這表示 $t$ 是一個常數，或者題目印刷錯誤。
在標準的微積分問題中，積分變數是 $t$，而積分上限通常是關於 $x$ 的函數。
如果題目是 $\frac{d}{dx} \left( \int_{\ln x}^{\sin(e^x)} e^{-t} dt \right)$，則上述計算是正確的。

讓我們假設題目確實是 $\sin(e^t)$，而 $t$ 是一個常數。
那麼 $\sin(e^t)$ 是一個常數 $C$。
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\ln x}^{C} e^{-t} dt \right) = \frac{d}{dx} \left( [F(t)]_{\ln x}^{C} \right) = \frac{d}{dx} (F(C) - F(\ln x))$
$= 0 - F'(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
$= -e^{-\ln x} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$。

這兩種解釋都有可能。
通常，如果積分變數是 $t$，積分上限會是關於 $x$ 的函數，例如 $\sin(e^x)$。
如果題目印刷無誤，那麼 $t$ 是一個常數，則 $\sin(e^t)$ 也是一個常數。
我們按照題目印刷的字面意思來解答。
設 $C = \sin(e^t)$。
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\ln x}^{C} e^{-t} dt \right)$

本題主要考驗學生對三角換元積分法和指數函數積分法的應用。

(a) 此小題考驗三角換元積分法。
令 $x = \tan \theta$，則 $dx = \sec^2 \theta d\theta$。
$x^2+1 = \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$。
$(x^2+1)^2 = (\sec^2 \theta)^2 = \sec^4 \theta$。
原積分變為：
$\int \frac{1}{\sec^4 \theta} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{1}{\sec^2 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta$。
利用降冪公式 $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$：
$\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1+\cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right) + C$
$= \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin(2\theta) + C$。
現在將 $\theta$ 和 $\sin(2\theta)$ 換回 $x$。
從 $x = \tan \theta$，我們有 $\theta = \arctan x$。
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$。
從直角三角形，若對邊為 $x$，鄰邊為 $1$，斜邊為 $\sqrt{x^2+1}$，則 $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$。
所以，$\sin(2\theta) = 2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x}{x^2+1}$。
代回積分結果：

本題主要考驗學生對級數收斂性的判斷，特別是條件收斂、絕對收斂和發散的區別。

首先，我們考慮級數的絕對收斂性。
絕對收斂是指級數 $\sum_{n=2}^{\infty} \left| (-1)^n \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \right|$ 收斂。
由於 $\left| (-1)^n \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \right| = \left| \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \right|$。
因為 $n \ge 2$，所以 $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1$。
因此，$\ln\left(\frac{n+1}{n}\right) > 0$。
所以，級數的絕對值就是 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。

我們需要判斷級數 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 是否收斂。
當 $n \to \infty$ 時，$\frac{1}{n} \to 0$。
我們可以使用泰勒展開式來近似 $\ln(1+x)$。
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$
當 $x = \frac{1}{n}$ 時，$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} - \dots$。
對於大的 $n$，$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的行為類似於 $\frac{1}{n}$。
我們使用極限比較檢驗法 (Limit Comparison Test)。
令 $a_n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 和 $b_n = \frac{1}{n}$。
計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$。
令 $x = \frac{1}{n}$。當 $n \to \infty$，則 $x \to 0$。
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$。
這是一個 $\frac{0}{0}$ 型的不定式，可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)。
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \frac{1}{1+0} = 1$。

本題考驗對冪級數收斂區間的判斷、冪級數的微分性質以及常見級數的求和。

(a) 尋找冪級數的收斂區間。
給定的冪級數是 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$。
這是以 $a=1$ 為中心的冪級數。
我們使用 ratio test (比值檢驗法) 來尋找收斂半徑。
令 $a_n = \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$。
$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(-1)^{n}(x-1)^{n+1}}{n+1}}{\frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}} \right| = \left| \frac{(-1)^{n}(x-1)^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{(-1)^{n-1}(x-1)^n} \right|$
$= \left| \frac{-1(x-1)(n)}{n+1} \right| = |x-1| \frac{n}{n+1}$。
取極限：
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} |x-1| \frac{n}{n+1} = |x-1| \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = |x-1| \cdot 1 = |x-1|$。
根據 ratio test，級數在 $L < 1$ 時收斂。
所以，$|x-1| < 1$。
$-1 < x-1 < 1$
$0 < x < 2$。
收斂半徑 $R=1$。

現在我們需要檢查區間的端點 $x=0$ 和 $x=2$。
當 $x=0$ 時：
級數變為 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(0-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。
這是調和級數的負數倍，是發散的。

當 $x=2$ 時：
級數變為 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(2-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$。
這是交錯調和級數 (alternating harmonic series)，它是條件收斂的。
（可以通過交錯級數檢驗法證明）。

因此，冪級數在區間 $(0, 2]$ 上收斂。
即 $0 < x \le 2$。

【答案】(a) $0 < x \le 2$

(b) 尋找 $f^{(8)}(1)$。
給定的冪級數是 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$。
我們可以將其改寫成標準的泰勒級數形式 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$。
$f(x) = \frac{(-1)^{1-1}(x-1)^1}{1} + \frac{(-1)^{2-1}(x-1)^2}{2} + \frac{(-1)^{3-1}(x-1)^3}{3} + \dots$
$f(x) = \frac{(x-1)}{1} - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots$
這是一個以 $a=1$ 為中心的冪級數。
標準的泰勒級數展開式為 $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$。
我們需要將給定的級數與標準形式對比。
$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^n$。
將級數從 $n=1$ 開始寫出來：
$n=1: \frac{(-1)^0}{1} (x-1)^1 = 1 \cdot (x-1)^1$
$n=2: \frac{(-1)^1}{2} (x-1)^2 = -\frac{1}{2} (x-1)^2$
$n=3: \frac{(-1)^2}{3} (x-1)^3 = \frac{1}{3} (x-1)^3$
$n=k: \frac{(-1)^{k-1}}{k} (x-1)^k$

核心觀念

本題考查：

• 線性需求函數的建立
• 收入函數與微分
• 以一階導數求最大收入
• 利潤函數與邊際利潤
• 邊際量與實際增量的差異

令：

• $x$：每週售出的平板電腦數量
• $p(x)$：每台平板電腦的價格
• $R(x)$：每週收入
• $C(x)$：每週成本
• $P(x)$：每週利潤

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(a) 求需求函數

已知價格為每台 350 美元時，每週售出 1200 台。

價格每降低 10 美元，每週增加銷售 80 台，因此價格對銷售量的變化率為

$$\frac{\Delta p}{\Delta x} = \frac{-10}{80} = -\frac{1}{8}$$

需求函數為線性函數，設為

$$p(x)=-\frac{1}{8}x+b$$

代入已知點 $(x,p)=(1200,350)$：

$$350=-\frac{1}{8}(1200)+b$$ $$350=-150+b$$ $$b=500$$

因此需求函數為

$$\boxed{p(x)=500-\frac{x}{8}}$$

其中 $p(x)$ 表示每台平板電腦的價格。

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(b) 求使收入最大的價格

每週收入等於「單價乘以銷售量」，因此

$$R(x)=xp(x)$$

代入需求函數：

$$R(x)=x\left(500-\frac{x}{8}\right)$$ $$R(x)=500x-\frac{x^2}{8}$$

對收入函數微分：

$$R'(x)=500-\frac{x}{4}$$

令一階導數等於零：

$$500-\frac{x}{4}=0$$ $$x=2000$$

收入函數的二階導數為

$$R''(x)=-\frac{1}{4}<0$$

因此 $x=2000$ 時收入達到最大。

將 $x=2000$ 代回需求函數：

$$p(2000)=500-\frac{2000}{8}$$ $$p(2000)=500-250=250$$

所以應將價格設定為

$$\boxed{250\text{ 美元}}$$

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(c) 求邊際利潤函數

利潤等於收入減去成本：

$$P(x)=R(x)-C(x)$$

已知

$$R(x)=500x-\frac{x^2}{8}$$

且

$$C(x)=35000+120x$$

因此

$$P(x) = 500x-\frac{x^2}{8}-(35000+120x)$$

整理得

$$P(x)=380x-\frac{x^2}{8}-35000$$

本題考驗學生對需求彈性、單一彈性以及收益與彈性之間關係的理解。

(a) 計算 $p=5$ 時的需求價格彈性。
需求價格彈性 $E_d$ 的公式為：
$E_d = -\frac{p}{x} \frac{dx}{dp}$。
首先，我們需要找到需求函數 $x(p)$ 對 $p$ 的導數 $\frac{dx}{dp}$。
$x = \sqrt{169-p^2} = (169-p^2)^{1/2}$。
$\frac{dx}{dp} = \frac{1}{2}(169-p^2)^{-1/2} \cdot (-2p) = -p (169-p^2)^{-1/2} = -\frac{p}{\sqrt{169-p^2}}$。
注意，$\sqrt{169-p^2} = x$，所以 $\frac{dx}{dp} = -\frac{p}{x}$。

現在將此代入彈性公式：
$E_d = -\frac{p}{x} \left(-\frac{p}{x}\right) = \frac{p^2}{x^2}$。
將 $x^2 = 169-p^2$ 代入：
$E_d = \frac{p^2}{169-p^2}$。

現在計算當 $p=5$ 時的彈性值。
$E_d(5) = \frac{5^2}{169-5^2} = \frac{25}{169-25} = \frac{25}{144}$。

【答案】(a) $\frac{25}{144}$

(b) 判斷 $p=5$ 時需求是彈性還是非彈性。
需求彈性 $|E_d|$ 的值用於判斷：

• 如果 $|E_d| > 1$，則需求是彈性的 (elastic)。
• 如果 $|E_d| < 1$，則需求是非彈性的 (inelastic)。
• 如果 $|E_d| = 1$，則需求是單一彈性的 (unitary elastic)。

我們計算出的 $E_d(5) = \frac{25}{144}$。
由於 $25 < 144$，所以 $\frac{25}{144} < 1$。
因此， $|E_d(5)| = \frac{25}{144} < 1$。
當 $p=5$ 時，需求是非彈性的。

【答案】(b) 非彈性 (inelastic)

(c) 尋找需求單一彈性的價格 $p$。
需求單一彈性發生在 $|E_d| = 1$ 時。
我們知道 $E_d = \frac{p^2}{169-p^2}$。
令 $E_d = 1$：
$\frac{p^2}{169-p^2} = 1$
$p^2 = 169-p^2$
$2p^2 = 169$
$p^2 = \frac{169}{2}$
$p = \sqrt{\frac{169}{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2}$。