113 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所科技管理組（一般生）《微積分》

這兩題是基本的極限與定積分計算題。

(1) 這是一個求極限的題目，當 $x \to 0$ 時，分子和分母都趨近於 0，屬於 $0/0$ 型不定式，可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)。

對分子和分母分別微分：
分子：$\frac{d}{dx}(\sin 2x - 2x) = 2\cos 2x - 2$
分母：$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

所以原極限變成 $\lim_{x\to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{3x^2}$。
當 $x \to 0$ 時，分子 $2\cos(0) - 2 = 2 - 2 = 0$，分母 $3(0)^2 = 0$，仍然是 $0/0$ 型不定式，再次使用羅必達法則。

對新的分子和分母分別微分：
分子：$\frac{d}{dx}(2\cos 2x - 2) = -4\sin 2x$
分母：$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

所以原極限變成 $\lim_{x\to 0} \frac{-4\sin 2x}{6x}$。
當 $x \to 0$ 時，分子 $-4\sin(0) = 0$，分母 $6(0) = 0$，仍然是 $0/0$ 型不定式，再次使用羅必達法則。

這是一個計算體積分的題目，積分區域 $E$ 定義為一個球殼的一部分，因此使用球座標 (spherical coordinates) 來計算會比較簡便。

區域 $E$ 的定義為：
$1 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 9$ 表示點 $(x, y, z)$ 位於半徑為 1 的球體外部且在半徑為 3 的球體內部。
$z \ge 0$ 表示點 $(x, y, z)$ 位於 xy 平面或其上方。
綜合以上條件，積分區域 $E$ 是由兩個同心球體 (半徑為 1 和 3) 所夾的區域，且只取 $z \ge 0$ 的上半部分。

在球座標中，轉換關係為：
$x = \rho \sin \phi \cos \theta$
$y = \rho \sin \phi \sin \theta$
$z = \rho \cos \phi$
$x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$
體積元素 $dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$

根據區域 $E$ 的定義，參數的範圍為：
$\rho^2$ 的範圍是 $[1, 9]$，所以 $\rho$ 的範圍是 $[1, 3]$。
$z \ge 0$ 意味著 $\rho \cos \phi \ge 0$。由於 $\rho \ge 0$，所以 $\cos \phi \ge 0$，這表示 $\phi$ 的範圍是 $[0, \frac{\pi}{2}]$。

這是一個計算二重積分的題目，積分區域是由兩個部分組成，且被積函數 $e^{x^2+y^2}$ 提示我們可以使用極座標 (polar coordinates) 來簡化計算。

首先，我們需要確定積分的總區域。
第一個積分：$\int_0^{\sqrt{3}} \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{\sqrt{16-y^2}} e^{x^2+y^2} dx dy$
這裡 $y$ 的範圍是 $[0, \sqrt{3}]$。
對於每一個 $y$， $x$ 的範圍是 $[-\sqrt{16-y^2}, \sqrt{16-y^2}]$。
這表示 $x^2 \le 16-y^2$，即 $x^2+y^2 \le 16$。
所以，第一個積分的區域是 $x^2+y^2 \le 16$ 且 $0 \le y \le \sqrt{3}$。

第二個積分：$\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{16}} \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{\sqrt{16-y^2}} e^{x^2+y^2} dx dy$
這裡 $y$ 的範圍是 $[\sqrt{3}, \sqrt{16}] = [\sqrt{3}, 4]$。
對於每一個 $y$， $x$ 的範圍是 $[-\sqrt{16-y^2}, \sqrt{16-y^2}]$。
這表示 $x^2 \le 16-y^2$，即 $x^2+y^2 \le 16$。
所以，第二個積分的區域是 $x^2+y^2 \le 16$ 且 $\sqrt{3} \le y \le 4$。

將兩個積分區域合併，總積分區域 $D$ 是滿足 $x^2+y^2 \le 16$ 且 $0 \le y \le 4$ 的部分。
這個區域是在圓 $x^2+y^2 = 16$ (半徑為 4) 的內部，且 $y \ge 0$ (上半圓)，並限制在 $y$ 的範圍內。
由於 $y$ 的範圍是 $[0, 4]$，這實際上就是整個上半圓 $x^2+y^2 \le 16, y \ge 0$。
注意，在第二個積分的範圍中，$y$ 的上限是 $\sqrt{16}=4$，所以 $y$ 的範圍是 $[\sqrt{3}, 4]$。
當 $y=\sqrt{3}$ 時，$x$ 的範圍是 $[-\sqrt{16-3}, \sqrt{16-3}] = [-\sqrt{13}, \sqrt{13}]$。

核心觀念

本題涉及：

• 微積分基本定理：
  $\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)\,dt=f(x)。$
• 定積分上下限相同時，積分值必為 $0$：
  $\int_0^0 f(t)\,dt=0。$
• 多項式函數微分後仍為多項式函數。

解題方法

先令 $x=0$。由題目左側可得：

$$\int_0^0 f(t)\,dt=0。$$

但右側為：

$$4(0^2+2\cdot0+2)^{\frac32}-4 =4\cdot 2^{\frac32}-4 =8\sqrt2-4\neq 0。$$

左右兩側已經矛盾，因此題目所給的等式不可能對任何實係數多項式 $f(x)$ 成立。

即使忽略 $x=0$ 的矛盾，對等式兩側微分仍有：

$$f(x)=\frac{d}{dx}\left[4(x^2+2x+2)^{\frac32}-4\right].$$

利用鏈鎖律：

核心觀念

本題考一階線性微分方程式：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

其標準解法是使用積分因子：

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$$

本題中

$$P(x)=\frac{2}{1+x^2},\qquad Q(x)=e^{6x}.$$

由於

$$\int \frac{2}{1+x^2}\,dx=2\arctan x,$$

因此積分因子為

$$\mu(x)=e^{2\arctan x}.$$

---

解題方法

原微分方程式為

$$\frac{dy}{dx}+\frac{2}{1+x^2}y=e^{6x}.$$

第一步：求積分因子

積分因子為

$$\mu(x) =e^{\int \frac{2}{1+x^2}\,dx} =e^{2\arctan x}.$$

第二步：方程式兩邊同乘積分因子

$$e^{2\arctan x}\frac{dy}{dx} +\frac{2}{1+x^2}e^{2\arctan x}y =e^{6x+2\arctan x}.$$

注意到

$$\frac{d}{dx}\left(e^{2\arctan x}\right) =e^{2\arctan x}\cdot\frac{2}{1+x^2},$$

因此左側正好是乘積微分：

$$\frac{d}{dx}\left(e^{2\arctan x}y\right) =e^{6x+2\arctan x}.$$

第三步：兩邊積分

$$e^{2\arctan x}y =\int e^{6x+2\arctan x}\,dx+C.$$

所以

核心觀念

本題考查：

• 不定積分的變數代換法。
• 對數函數基本積分：
  $\int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C.$
• 利用條件 $x>0$ 判定根號與對數的正負號。

雖然直接令 $u=1+x^2$ 即可完成，但題目提示令

$$t=x-\frac1x$$

因此以下依提示作答。

解題方法

由

$$t=x-\frac1x$$

可得

$$\frac{dt}{dx}=1+\frac1{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2},$$

所以

$$dx=\frac{x^2}{x^2+1}\,dt.$$

此外，由 $t=x-\frac1x$ 可得

$$t^2+4 =\left(x-\frac1x\right)^2+4 =x^2+2+\frac1{x^2} =\left(x+\frac1x\right)^2.$$

因為 $x>0$，所以 $x+\frac1x>0$，因此

$$\sqrt{t^2+4}=x+\frac1x=\frac{x^2+1}{x}.$$

原積分為

$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx.$$

由

$$\frac{x}{1+x^2} =\frac1{x+\frac1x} =\frac1{\sqrt{t^2+4}},$$

且

$$dx=\frac{x^2}{1+x^2}\,dt =\frac{x}{x+\frac1x}\,dt =\frac{x}{\sqrt{t^2+4}}\,dt,$$

故

$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx =\int \frac{x}{t^2+4}\,dt.$$

再由

$$t=x-\frac1x$$

以及

$$\sqrt{t^2+4}=x+\frac1x,$$

相加得

$$t+\sqrt{t^2+4}=2x,$$

所以

$$x=\frac{t+\sqrt{t^2+4}}2.$$

因此

這是一個關於連續隨機變數的機率問題，涉及機率密度函數、累積分布函數、期望值和變異數的計算。

題目提到，非假日時遊園車每 10 分鐘一班，等待時間 $X$ 是一個連續隨機變數。
這意味著等待時間 $X$ 在一個區間內是均勻分布的。由於車子每 10 分鐘一班，那麼等待時間最長就是 10 分鐘 (如果剛好錯過一班車)，最短就是 0 分鐘 (如果剛好趕上)。
因此，隨機變數 $X$ 的範圍是 $[0, 10]$。

(1) 機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 和累積分布函數 (Cumulative Distribution Function, CDF)。
由於 $X$ 在 $[0, 10]$ 上是均勻分布的，其機率密度函數 $f(x)$ 在此區間內為常數。
對於均勻分布 $U(a, b)$，其 PDF 為 $f(x) = \frac{1}{b-a}$ 對於 $a \le x \le b$，否則為 0。
在這裡，$a=0$, $b=10$。
所以，$f(x) = \frac{1}{10-0} = \frac{1}{10}$，對於 $0 \le x \le 10$。
$f(x) = 0$，否則。

機率密度函數為：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{10} & \text{if } 0 \le x \le 10 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

接下來，計算等遊園車不超過 4 分鐘的機率，即 $P(X \le 4)$。
$P(X \le 4) = \int_{-\infty}^{4} f(x) dx$
由於 $f(x)$ 在 $x < 0$ 時為 0，且在 $0 \le x \le 10$ 時為 $\frac{1}{10}$，我們計算：
$P(X \le 4) = \int_{0}^{4} \frac{1}{10} dx$
$= \left[ \frac{1}{10}x \right]_0^4$
$= \frac{1}{10}(4) - \frac{1}{10}(0)$
$= \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。

【答案】機率密度函數為 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{10} & \text{if } 0 \le x \le 10 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$。等遊園車不超過 4 分鐘的機率為 $\frac{2}{5}$。

這是一個計算生產者剩餘 (Producer Surplus, PS) 的問題。生產者剩餘衡量了生產者願意接受的最低價格與實際市場價格之間的差額。

供給函數 $p = S(x)$ 表示在給定數量 $x$ 下，廠商願意供給的最低價格。
生產者剩餘的計算公式為：
$PS = \int_0^{x_0} (p_0 - S(x)) dx$
其中 $p_0$ 是市場價格， $x_0$ 是在市場價格 $p_0$ 下的供給量。

題目給定：
供給函數 $S(x) = 0.06x^2 + 4$。
市場價格 $p_0 = 58$ 元。

首先，我們需要找出在市場價格 $p_0 = 58$ 元時，對應的供給量 $x_0$。
將 $p_0$ 代入供給函數：
$58 = 0.06x_0^2 + 4$
$58 - 4 = 0.06x_0^2$
$54 = 0.06x_0^2$
$x_0^2 = \frac{54}{0.06} = \frac{5400}{6} = 900$
$x_0 = \sqrt{900} = 30$。
（我們取正的平方根，因為供給量 $x$ 通常是非負的。）

所以，當產品價格為 58 元時，供給量為 30 件。

這是一個關於彈性 (elasticity) 和相對變化的問題，在經濟學和微觀經濟學中很常見。題目要求計算生產函數 $z = f(x, y)$ 在勞力 $x$ 和資本 $y$ 的輸入發生小幅度變化時，產出 $z$ 的百分比變化。

生產函數為 $z = f(x, y) = 60x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$。
勞力 $x$ 增加 $2\%$，即 $\frac{\Delta x}{x} \approx 0.02$。
資本 $y$ 增加 $1\%$，即 $\frac{\Delta y}{y} \approx 0.01$。
我們需要計算 $z$ 的百分比變化，即 $\frac{\Delta z}{z}$。

對於生產函數 $z = f(x, y)$，當輸入 $x$ 和 $y$ 發生小幅度變化時，產出 $z$ 的變化量 $\Delta z$ 可以近似為：
$\Delta z \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$

為了計算百分比變化，我們將兩邊除以 $z = f(x, y)$:
$\frac{\Delta z}{z} \approx \frac{1}{z} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \right)$
$\frac{\Delta z}{z} \approx \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\Delta x}{z} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\Delta y}{z}$

我們可以將其寫成與彈性相關的形式。
勞力彈性 (Elasticity of Labor) $\epsilon_x = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{x}{f}$。
資本彈性 (Elasticity of Capital) $\epsilon_y = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{y}{f}$。

則：
$\frac{\Delta z}{z} \approx \frac{\partial f}{\partial x} \frac{x}{f} \frac{\Delta x}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{y}{f} \frac{\Delta y}{y}$
$\frac{\Delta z}{z} \approx \epsilon_x \frac{\Delta x}{x} + \epsilon_y \frac{\Delta y}{y}$

現在，我們計算生產函數的偏導數。
$z = 60x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

對 $x$ 的偏導數：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 60 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} y^{\frac{1}{3}} = 20 x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}$。

對 $y$ 的偏導數：
$\frac{\partial f}{\partial y} = 60 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3}-1} = 20 x^{\frac{1}{3}} y^{-\frac{2}{3}}$。

現在計算彈性 $\epsilon_x$ 和 $\epsilon_y$。
$\epsilon_x = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{x}{f} = (20 x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}) \frac{x}{60x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}}$
$= \frac{20 x^{1-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}}{60 x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{20 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}{60 x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$。

核心觀念

連續型二維隨機變數落在矩形區域 $R$ 的機率，應由二重積分求得：

$$P\bigl((X,Y)\in R\bigr)=\iint_R f(x,y)\,dA.$$

本題指定的事件為：

$$3\le X\le 4,\qquad 1\le Y\le 2.$$

因此若 $f(x,y)$ 確實是合法的機率密度函數，應計算

$$P=\int_3^4\int_1^2 \frac{9}{\sqrt{25-x^2}(4-y)} \,dy\,dx.$$

解題方法

由於被積函數可分離為只含 $x$ 與只含 $y$ 的乘積：

$$\frac{9}{\sqrt{25-x^2}(4-y)} = 9\cdot \frac{1}{\sqrt{25-x^2}}\cdot\frac{1}{4-y},$$

故可拆成兩個定積分：

$$P= 9\left(\int_3^4\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}\,dx\right) \left(\int_1^2\frac{1}{4-y}\,dy\right).$$

先計算 $x$ 的部分。利用公式

$$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right),$$

可得

$$\int_3^4\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}\,dx = \sin^{-1}\left(\frac45\right) - \sin^{-1}\left(\frac35\right).$$

再計算 $y$ 的部分：

$$\int_1^2\frac{1}{4-y}\,dy = -\ln(4-y)\Big|_1^2 = -\ln2+\ln3 = \ln\frac32.$$

因此依照題目所給公式直接積分，得到

$$P= 9\left[ \sin^{-1}\left(\frac45\right) - \sin^{-1}\left(\frac35\right) \right]\ln\frac32.$$

由於