112 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）乙組《微積分》

這題是求一個 $1^\infty$ 型的極限，我們通常會使用對數法來處理。

我們令 $L$ 為欲求的極限值。
$L = \lim_{x \to 0^+} [\cos(3x)]^{\frac{1}{x}}$
取自然對數：
$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \ln \left( [\cos(3x)]^{\frac{1}{x}} \right)$
$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln(\cos(3x))$
$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\cos(3x))}{x}$
當 $x \to 0^+$, $\cos(3x) \to \cos(0) = 1$, 所以 $\ln(\cos(3x)) \to \ln(1) = 0$。

這題是求一個乘積的微分，我們需要使用乘法法則 (Product Rule) 和連鎖法則 (Chain Rule)。

令 $f(x) = (2-3x^4)^2$ 且 $g(x) = \ln(x^2 + 1)$。
我們要計算 $\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。

首先，計算 $f'(x)$:
$f(x) = (2-3x^4)^2$
使用連鎖法則，令 $u = 2-3x^4$，則 $f(x) = u^2$。
$\frac{df}{du} = 2u$
$\frac{du}{dx} = -12x^3$
所以，$f'(x) = \frac{df}{du} \frac{du}{dx} = 2u \cdot (-12x^3) = 2(2-3x^4) \cdot (-12x^3) = -24x^3 (2-3x^4)$。

接著，計算 $g'(x)$:
$g(x) = \ln(x^2 + 1)$
使用連鎖法則，令 $v = x^2 + 1$，則 $g(x) = \ln(v)$。
$\frac{dg}{dv} = \frac{1}{v}$
$\frac{dv}{dx} = 2x$
所以，$g'(x) = \frac{dg}{dv} \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} \cdot (2x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$。

最後，將 $f(x), g(x), f'(x), g'(x)$ 代入乘法法則：
$\frac{d}{dx} \left[ (2-3x^4)^2 \ln(x^2 + 1) \right] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

本題包含三個積分問題，分別是部分分式分解、換元積分與分部積分。

(a) $\int \frac{2x-3}{x^3+x} dx$

首先，我們對被積函數進行部分分式分解。
分母 $x^3+x = x(x^2+1)$。
我們將 $\frac{2x-3}{x(x^2+1)}$ 分解為：
$\frac{2x-3}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
通分後得到：
$2x-3 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$
$2x-3 = Ax^2+A + Bx^2+Cx$
$2x-3 = (A+B)x^2 + Cx + A$
比較係數：
常數項：$A = -3$
一次項：$C = 2$
二次項：$A+B = 0 \implies -3+B = 0 \implies B = 3$

所以，
$\frac{2x-3}{x^3+x} = \frac{-3}{x} + \frac{3x+2}{x^2+1}$
現在我們積分：
$\int \frac{2x-3}{x^3+x} dx = \int \left( \frac{-3}{x} + \frac{3x+2}{x^2+1} \right) dx$
$= -3 \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{3x}{x^2+1} dx + \int \frac{2}{x^2+1} dx$
第一項積分是 $-3 \ln|x|$。
第二項積分，令 $u = x^2+1$, $du = 2x dx$。
$\int \frac{3x}{x^2+1} dx = \frac{3}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \ln|u| = \frac{3}{2} \ln(x^2+1)$
第三項積分是 $\int \frac{2}{x^2+1} dx = 2 \arctan(x)$。

綜合以上結果：
$\int \frac{2x-3}{x^3+x} dx = -3 \ln|x| + \frac{3}{2} \ln(x^2+1) + 2 \arctan(x) + C$

(b) $\int x^2 \sqrt[3]{x^2-5} dx$

這題看起來比較棘手。我們嘗試使用換元積分法。
考慮令 $u = x^2-5$。那麼 $du = 2x dx$。
這表示 $x dx = \frac{1}{2} du$。
然而，我們有 $x^2$ 和 $\sqrt[3]{x^2-5}$。
從 $u = x^2-5$ 可知 $x^2 = u+5$。
所以，我們可以將積分寫成：
$\int x \cdot x \cdot (x^2-5)^{1/3} dx$
$= \int (u+5) u^{1/3} \left( \frac{1}{2} du \right)$

本題要求判斷兩個無窮級數的收斂性，需說明使用的判別法並展示過程。

(a) $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{3^{k+1}}{(k+1)^2 e^k}$

我們觀察級數的項 $a_k = \frac{3^{k+1}}{(k+1)^2 e^k} = \frac{3 \cdot 3^k}{(k+1)^2 e^k} = 3 \left(\frac{3}{e}\right)^k \frac{1}{(k+1)^2}$。
由於級數中包含指數項 $\left(\frac{3}{e}\right)^k$，且 $\frac{3}{e} > 1$ (因為 $e \approx 2.718$)，這提示我們可以使用 ratio test (比值檢驗法) 或 root test (根值檢驗法)。我們使用 ratio test。

令 $a_k = \frac{3^{k+1}}{(k+1)^2 e^k}$。
我們計算極限 $\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|$。
$a_{k+1} = \frac{3^{(k+1)+1}}{((k+1)+1)^2 e^{k+1}} = \frac{3^{k+2}}{(k+2)^2 e^{k+1}}$
$\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{3^{k+2}}{(k+2)^2 e^{k+1}}}{\frac{3^{k+1}}{(k+1)^2 e^k}} = \frac{3^{k+2}}{(k+2)^2 e^{k+1}} \cdot \frac{(k+1)^2 e^k}{3^{k+1}}$
$= \frac{3^{k+2}}{3^{k+1}} \cdot \frac{e^k}{e^{k+1}} \cdot \frac{(k+1)^2}{(k+2)^2} = 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \left(\frac{k+1}{k+2}\right)^2$
$= \frac{3}{e} \left(\frac{k+1}{k+2}\right)^2$
現在計算極限：
$\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{3}{e} \left(\frac{k+1}{k+2}\right)^2$

這是一個優化問題，我們需要找出能使公司總收入 (Revenue) 最大的訂單數量。

設訂單數量為 $n$ (pairs)。
設每雙鞋的價格為 $P(n)$ (dollars/pair)。
設總收入為 $R(n)$ (dollars)。
總收入 $R(n) = n \cdot P(n)$。

根據題目描述，價格 $P(n)$ 有兩種情況：

情況 1：訂購數量少於 50 對 ($n < 50$)
此時，每雙鞋的價格固定為 $20 美元。$P(n) = 20$總收入$R(n) = n \cdot 20 = 20n$。 在這個區間$0 < n < 50$內，收入$R(n)$是一個遞增函數。當$n$趨近 50 時，收入趨近$20 \times 50 = 1000$ 美元。

情況 2：訂購數量 50 對或以上，但最多 600 對 ($50 \le n \le 600$)
此時，每雙鞋的價格會根據訂購數量減少。
每雙鞋價格減少的金額是 2 美分 (即 $0.02 美元) 乘以訂購的數量$n$。 所以，每雙鞋的價格為：$P(n) = 20 - 0.02n$總收入$R(n) = n \cdot P(n) = n(20 - 0.02n) = 20n - 0.02n^2$。

這是一個關於市場均衡與消費者剩餘的經濟學應用問題，需要結合微積分的概念來求解。

首先，我們需要找到市場均衡點。市場均衡發生在需求量等於供給量時，即 $D(x) = S(x)$。
我們將給定的函數代入：
$1000 - 25x = 100 + x^2$
將所有項移到一邊，形成一個二次方程式：
$x^2 + 25x + 100 - 1000 = 0$
$x^2 + 25x - 900 = 0$

我們需要解這個二次方程式來找到均衡數量 $x_e$。可以使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=25, c=-900$。
$x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4(1)(-900)}}{2(1)}$
$x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 3600}}{2}$
$x = \frac{-25 \pm \sqrt{4225}}{2}$
$\sqrt{4225} = 65$ (因為 $60^2=3600$, $70^2=4900$, 尾數是5，所以試試65。$65 \times 65 = (60+5)(60+5) = 3600 + 300 + 300 + 25 = 4225$)
$x = \frac{-25 \pm 65}{2}$

我們得到兩個可能的解：
$x_1 = \frac{-25 + 65}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-25 - 65}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

由於商品的數量 $x$ 不能為負數，所以我們取正的解。
均衡數量 $x_e = 20$。

接下來，我們需要找到市場均衡價格 $P_e$。我們將均衡數量 $x_e = 20$ 代入需求函數或供給函數（兩者在此點的值應相等）。

核心觀念

本題為商管研究所微積分與個體經濟學之經典「受約束極值問題」（Constrained Optimization）及「比較靜態分析」（Comparative Statics），涉及以下核心數學與經濟觀念：

1. 拉格朗日乘數法（Lagrange Multiplier Method）：
   在等式限制條件 $g(x, y) = P_x x + P_y y - I = 0$ 下，求解目標函數 $U(x, y)$ 的極大值。拉格朗日函數定義為：

   $$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = U(x, y) - \lambda(P_x x + P_y y - I)$$

   一階必要條件（First-Order Conditions, FOC）為：

   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$$

2. 消費者均衡條件（Consumer's Equilibrium）：
   在內生解條件下，兩財貨之邊際替代率（Marginal Rate of Substitution, $MRS$）必須等於兩財貨的價格比：

   $$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{P_x}{P_y}$$

3. 柯布-道格拉斯效用函數（Cobb-Douglas Utility Function）：
   對於 $U(x, y) = x^\alpha y^\beta$，消費者花費在 $x$ 與 $y$ 的支出比例固定為：

   $$P_x x = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} I, \quad P_y y = \frac{\beta}{\alpha + \beta} I$$

4. 間接效用函數與包絡線定理（Indirect Utility Function & Envelope Theorem）：
   最佳化效用值隨所得變化的變動量可精確計算 $\Delta U^* = U^*(I') - U^*(I)$；或透過所得的邊際效用（拉格朗日乘數 $\lambda$）進行線性近似 $\frac{dU^*}{dI} = \lambda$。

解題方法

第一部分：求解所得為 $20 時的最佳消費組合 $(x^*, y^*)$

1. 設定最佳化數學模型：

   $$\max_{x, y} \quad U(x, y) = x^2 y$$ $$\text{s.t.} \quad 2x + y = 20 \quad (x \ge 0, y \ge 0)$$

2. 建立拉格朗日函數（Lagrangian）：

   $$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 y - \lambda(2x + y - 20)$$

3. 求一階條件（FOC）：

   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2xy - 2\lambda = 0 \implies \lambda = xy$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x^2 - \lambda = 0 \implies \lambda = x^2$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(2x + y - 20) = 0 \implies 2x + y = 20$$

4. 求解聯立方程式：
   由前兩式相除（或由 $\lambda = xy = x^2$ 且 $x > 0$）：

   $$xy = x^2 \implies y = x$$

   將 $y = x$ 代入預算限制式：

   $$2x + x = 20 \implies 3x = 20 \implies x^* = \frac{20}{3}$$ $$y^* = x^* = \frac{20}{3}$$

5. 計算此時的最大效用值 $U^*(20)$：

   $$U^*(20) = (x^*)^2 y^* = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \left(\frac{20}{3}\right) = \left(\frac{20}{3}\right)^3 = \frac{8000}{27}$$

第二部分：計算支出增加至 $21 時的最佳效用變大量