109 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）乙組《微積分》

此題主要考驗對機率密度函數的性質以及積分的微分運算。

首先，我們需要利用正規分佈的機率密度函數的特性來簡化 $g(x)$ 的表達式。
設 $f(t)$ 為平均值為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ 的常態分佈機率密度函數。
根據期望值的定義，我們知道：
$E[t] = \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) dt = \mu$
$E[c] = \int_{-\infty}^{\infty} c f(t) dt = c \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = c \cdot 1 = c$
因此，
$\int_{-\infty}^{\infty} (t-x)f(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) dt - \int_{-\infty}^{\infty} x f(t) dt$
$= E[t] - x \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt$
由於 $f(t)$ 是機率密度函數，其總積分為 1，即 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = 1$。
所以，
$\int_{-\infty}^{\infty} (t-x)f(t) dt = \mu - x \cdot 1 = \mu - x$
將此結果代回 $g(x)$ 的定義式：

此題涉及經濟學中的利潤最大化問題，核心是利用微積分求極值。

首先定義利潤函數 $P(x)$。利潤等於總收入 $R(x)$ 減去總成本 $C(x)$。
總收入 $R(x) = p \cdot x$。
給定價格方程式 $p = 200 - 3x$，所以
$R(x) = (200 - 3x)x = 200x - 3x^2$。
給定成本函數 $C(x) = 75 + 80x - x^2$。
因此，利潤函數為：
$P(x) = R(x) - C(x)$
$P(x) = (200x - 3x^2) - (75 + 80x - x^2)$
$P(x) = 200x - 3x^2 - 75 - 80x + x^2$
$P(x) = -2x^2 + 120x - 75$
定義域為 $0 \le x \le 40$。

(a) 確定最大化利潤的 $x$ 值及對應價格。
我們需要找到 $P(x)$ 在區間 $[0, 40]$ 上的最大值。
首先找臨界點，令 $P'(x) = 0$。
$P'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 120x - 75) = -4x + 120$
令 $P'(x) = 0 \Rightarrow -4x + 120 = 0 \Rightarrow 4x = 120 \Rightarrow x = 30$。
這個臨界點 $x=30$ 在定義域 $[0, 40]$ 內。
接下來，我們需要比較臨界點和區間端點的函數值：
$P(0) = -2(0)^2 + 120(0) - 75 = -75$
$P(30) = -2(30)^2 + 120(30) - 75 = -2(900) + 3600 - 75 = -1800 + 3600 - 75 = 1800 - 75 = 1725$
$P(40) = -2(40)^2 + 120(40) - 75 = -2(1600) + 4800 - 75 = -3200 + 4800 - 75 = 1600 - 75 = 1525$
比較三個值，最大利潤為 1725，發生在 $x=30$。
對應的價格為 $p = 200 - 3x = 200 - 3(30) = 200 - 90 = 110$。

【答案】最大化利潤的 $x$ 值為 30，對應價格為 110。

(b) 若政府徵收每單位 4 元的稅，求最大化利潤的新價格。
政府徵收稅後，公司的總成本會增加。新的成本函數 $C_{new}(x)$ 為：
$C_{new}(x) = C(x) + 4x = (75 + 80x - x^2) + 4x = 75 + 84x - x^2$。
新的利潤函數 $P_{new}(x)$ 為：
$P_{new}(x) = R(x) - C_{new}(x)$
$P_{new}(x) = (200x - 3x^2) - (75 + 84x - x^2)$
$P_{new}(x) = 200x - 3x^2 - 75 - 84x + x^2$
$P_{new}(x) = -2x^2 + 116x - 75$
定義域仍為 $0 \le x \le 40$。
尋找最大化 $P_{new}(x)$ 的 $x$ 值。
$P_{new}'(x) = -4x + 116$
令 $P_{new}'(x) = 0 \Rightarrow -4x + 116 = 0 \Rightarrow 4x = 116 \Rightarrow x = 29$。
這個臨界點 $x=29$ 在定義域 $[0, 40]$ 內。
比較臨界點和區間端點的函數值：
$P_{new}(0) = -75$
$P_{new}(29) = -2(29)^2 + 116(29) - 75 = -2(841) + 3364 - 75 = -1682 + 3364 - 75 = 1682 - 75 = 1607$
$P_{new}(40) = -2(40)^2 + 116(40) - 75 = -2(1600) + 4640 - 75 = -3200 + 4640 - 75 = 1440 - 75 = 1365$
最大利潤為 1607，發生在 $x=29$。
對應的新價格為 $p = 200 - 3x = 200 - 3(29) = 200 - 87 = 113$。

【答案】最大化利潤的新價格為 113。

(c) 若政府徵收每單位 $T$ 元的稅 ($0 < T < 120$)，求最大化利潤的 $x$ 值。
新的成本函數 $C_{T}(x)$ 為：

核心觀念

局部極值點通常出現在

$$f'(x)=0$$

因此本題要將 Newton's method 用於方程

$$g(x)=f'(x)=0$$

而不是直接對 $f(x)$ 使用 Newton 法。

Newton 迭代公式為

$$x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}$$

由於 $g(x)=f'(x)$，所以

$$x_{n+1} =x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}.$$

本題函數為

$$f(x)=x^3-2x^2+2,$$

其一階與二階導數為

$$f'(x)=3x^2-4x,$$ $$f''(x)=6x-4.$$

故迭代公式為

$$x_{n+1} =x_n-\frac{3x_n^2-4x_n}{6x_n-4}.$$

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解題方法與四次迭代

已知

$$x_0=\frac34=0.75.$$

第一次迭代

$$x_1 =x_0-\frac{3x_0^2-4x_0}{6x_0-4}$$ $$=\frac34-\frac{3\left(\frac34\right)^2-4\left(\frac34\right)} {6\left(\frac34\right)-4}$$ $$=\frac34-\frac{-\frac{21}{16}}{\frac12} =\frac{27}{8} =3.375.$$

第二次迭代

代入 $x_1=\frac{27}{8}$：

$$x_2 =x_1-\frac{3x_1^2-4x_1}{6x_1-4}$$ $$=\frac{27}{8} -\frac{\frac{1323}{64}}{\frac{65}{4}}$$ $$=\frac{27}{8}-\frac{1323}{1040} =\frac{2187}{1040} \approx 2.103846.$$

第三次迭代

$$x_3 =x_2-\frac{3x_2^2-4x_2}{6x_2-4}$$

代入 $x_2\approx 2.103846$：

$$x_3 \approx 2.103846- \frac{3(2.103846)^2-4(2.103846)} {6(2.103846)-4}$$ $$\approx 1.539880.$$

第四次迭代

$$x_4 =x_3-\frac{3x_3^2-4x_3}{6x_3-4}$$

代入 $x_3\approx1.539880$：

此題考驗泰勒展開式的應用，特別是針對對數函數，並利用其求特定值。

首先，我們要求 $\log(1-x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展開式。
我們知道一個常見的幾何級數展開式：
$\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} u^n, \quad |u| < 1$
對此式進行積分，可以得到 $\log(1-x)$ 的展開式。
令 $u = t$，則 $\frac{1}{1-t} = 1 + t + t^2 + t^3 + \dots$。
對兩邊從 $0$ 積到 $x$：
$\int_0^x \frac{1}{1-t} dt = \int_0^x (1 + t + t^2 + t^3 + \dots) dt$
左邊積分：
$\int_0^x \frac{1}{1-t} dt = [-\log|1-t|]_0^x = -\log|1-x| - (-\log|1-0|) = -\log(1-x) - 0 = -\log(1-x)$
（由於 $x < 1$，所以 $1-x > 0$，故 $|1-x| = 1-x$；當 $t=0$ 時，$\log|1-0| = \log 1 = 0$）。
右邊積分：
$\int_0^x (1 + t + t^2 + t^3 + \dots) dt = \left[ t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4} + \dots \right]_0^x$
$= \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots \right) - (0 + 0 + 0 + \dots)$
$= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots$
所以，我們得到：
$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots$
因此，