109 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所科技管理組（一般生）《微積分》

此題考驗對邊際成本的理解與求極值的方法。邊際成本 (Marginal Cost, MC) 是總成本 (Total Cost, TC) 對產量 $x$ 的一階導數。要求邊際成本最小，即要求邊際成本函數的最小值。

首先，我們計算總成本函數 $C(x)$ 的一階導數，即邊際成本函數 $MC(x)$：
$C(x) = x^3 - 6x^2 + 13x + 18$
$MC(x) = C'(x) = \frac{dC}{dx} = 3x^2 - 12x + 13$

接著，我們要求邊際成本函數 $MC(x)$ 的最小值。這需要找到 $MC(x)$ 的一階導數（即總成本函數的二階導數），並令其等於零，然後進行二階導數檢定。

核心觀念

本題考查：

• 鏈鎖律
• 商法則
• 冪函數微分公式

將原式改寫為

$$y=\left(\frac{2x^2+3}{3x+4}\right)^3$$

若令

$$u=\frac{2x^2+3}{3x+4},$$

則 $y=u^3$。依鏈鎖律，

$$\frac{dy}{dx}=3u^2\frac{du}{dx}.$$

---

解題方法

先對

$$u=\frac{2x^2+3}{3x+4}$$

使用商法則：

$$\frac{du}{dx} = \frac{(3x+4)\frac{d}{dx}(2x^2+3)-(2x^2+3)\frac{d}{dx}(3x+4)} {(3x+4)^2}.$$

因為

$$\frac{d}{dx}(2x^2+3)=4x,\qquad \frac{d}{dx}(3x+4)=3,$$

所以

$$\frac{du}{dx} = \frac{(3x+4)(4x)-3(2x^2+3)} {(3x+4)^2}.$$

整理分子：

$$(3x+4)(4x)-3(2x^2+3) =12x^2+16x-6x^2-9 =6x^2+16x-9.$$

因此

$$\frac{du}{dx} = \frac{6x^2+16x-9}{(3x+4)^2}.$$

代回鏈鎖律：

此題考驗隱函數微分法 (Implicit Differentiation)。我們對給定的方程式兩邊同時對 $x$ 微分，並將 $\frac{dy}{dx}$ 作為一個整體來求解。

給定方程式：
$x^3 - xy + y^3 = 2$

對兩邊關於 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx}(x^3 - xy + y^3) = \frac{d}{dx}(2)$

逐項微分：
$\frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^3) = 0$

計算各項的導數：

1. $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
2. $\frac{d}{dx}(xy)$：這裡需要使用乘法定律 (Product Rule)。視 $y$ 為 $x$ 的函數，即 $y=y(x)$。
   $\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(x) \cdot y + x \cdot \frac{d}{dx}(y) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$

此題考驗微分方程的建立與求解，特別是關於彈性的概念。我們被給予價格彈性的定義，並要求找出滿足彈性為常數的函數形式。

價格彈性的定義為：
$E = -\frac{P}{Q} \frac{dQ}{dP}$

題目要求彈性 $E$ 為常數 $0.5$。所以我們有：
$0.5 = -\frac{P}{Q} \frac{dQ}{dP}$

將這個方程式改寫成微分方程的形式：
$\frac{dQ}{dP} = -0.5 \frac{Q}{P}$

這是一個可分離變數的微分方程。我們將 $Q$ 的項移到左邊，$P$ 的項移到右邊：
$\frac{dQ}{Q} = -0.5 \frac{dP}{P}$

現在，對兩邊進行積分：
$\int \frac{dQ}{Q} = \int -0.5 \frac{dP}{P}$

計算積分：
$\ln|Q| = -0.5 \ln|P| + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。

此題考驗積分技巧，特別是針對分母為二次多項式的積分。我們需要觀察積分式的分子與分母的關係。

考慮被積函數 $\frac{2x-1}{x^2-x+2}$。
觀察分母 $x^2 - x + 2$。我們計算其導數：
$\frac{d}{dx}(x^2 - x + 2) = 2x - 1$

我們發現，積分式的分子 $2x-1$ 正好是分母 $x^2 - x + 2$ 的導數。
這種形式的積分 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ 的結果是 $\ln|f(x)| + C$。

核心觀念

本題考查：

1. 對數運算公式
   $\ln(ab)=\ln a+\ln b$

2. $\ln(1+x)$ 的泰勒展開式
   $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots,\qquad |x|<1$

因為 $8.01$ 非常接近 $8$，可先寫成

$$8.01=8\left(1+\frac{0.01}{8}\right) =8(1.00125),$$

使泰勒展開中的 $x=0.00125$ 很小，計算會快速收斂。

解題方法

由對數乘法公式，

$$\ln(8.01)=\ln 8+\ln(1.00125).$$

又因為 $8=2^3$，所以

$$\ln 8=3\ln 2=3(0.69315)=2.07945.$$

接著令 $x=0.00125$，使用

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots.$$

因此

$$\ln(1.00125) = 0.00125-\frac{(0.00125)^2}{2} +\frac{(0.00125)^3}{3} -\cdots.$$

計算前幾項：

$$(0.00125)^2=0.0000015625,$$ $$\frac{(0.00125)^2}{2}=0.00000078125,$$ $$(0.00125)^3=0.000000001953125,$$

此題考驗分部積分法 (Integration by Parts)。被積函數是多項式 $x^3$ 與指數函數 $e^{3x}$ 的乘積。由於多項式的次方會隨著微分次數增加而降低，我們需要重複使用分部積分法。

分部積分法的公式是 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
我們選擇 $u$ 為多項式部分，以便微分後次數降低。

第一次分部積分：
令 $u = x^3$，則 $du = 3x^2 dx$。
令 $dv = e^{3x} dx$，則 $v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}$。

$\int x^3 e^{3x} dx = x^3 \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) - \int \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) (3x^2 dx)$
$= \frac{1}{3} x^3 e^{3x} - \int x^2 e^{3x} dx$

現在我們需要計算 $\int x^2 e^{3x} dx$。再次使用分部積分法。
第二次分部積分：
令 $u = x^2$，則 $du = 2x dx$。
令 $dv = e^{3x} dx$，則 $v = \frac{1}{3} e^{3x}$。

$\int x^2 e^{3x} dx = x^2 \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) - \int \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) (2x dx)$
$= \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx$

將此結果代回第一次積分的結果：
$\int x^3 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^3 e^{3x} - \left( \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx \right)$
$= \frac{1}{3} x^3 e^{3x} - \frac{1}{3} x^2 e^{3x} + \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx$

此題考驗二階偏導數的計算。我們需要先計算對 $x$ 的偏導數 $f_x$，然後再對 $y$ 求偏導數。

給定函數 $f(x,y) = xy\ln(x^2 + xy)$。

第一步：計算對 $x$ 的偏導數 $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$。
我們需要使用乘法定律和連鎖法則。將 $y$ 視為常數。
$f_x = \frac{\partial}{\partial x} (xy \ln(x^2 + xy))$
$f_x = y \frac{\partial}{\partial x} (x \ln(x^2 + xy))$
$f_x = y \left[ \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot \ln(x^2 + xy) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + xy)) \right]$
$f_x = y \left[ 1 \cdot \ln(x^2 + xy) + x \cdot \left( \frac{1}{x^2 + xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + xy) \right) \right]$
$f_x = y \left[ \ln(x^2 + xy) + x \cdot \left( \frac{1}{x^2 + xy} \cdot (2x + y) \right) \right]$
$f_x = y \ln(x^2 + xy) + \frac{xy(2x+y)}{x^2 + xy}$
$f_x = y \ln(x^2 + xy) + \frac{2x^2y + xy^2}{x^2 + xy}$

第二步：計算對 $y$ 的偏導數 $f_{x,y} = \frac{\partial f_x}{\partial y}$。
我們需要對 $f_x$ 的每一項分別求對 $y$ 的偏導數。

第一項：$\frac{\partial}{\partial y} (y \ln(x^2 + xy))$
使用乘法定律：
$= \frac{\partial}{\partial y}(y) \cdot \ln(x^2 + xy) + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + xy))$
$= 1 \cdot \ln(x^2 + xy) + y \cdot \left( \frac{1}{x^2 + xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + xy) \right)$
$= \ln(x^2 + xy) + y \cdot \left( \frac{1}{x^2 + xy} \cdot x \right)$
$= \ln(x^2 + xy) + \frac{xy}{x^2 + xy}$

此題考驗多變數函數的條件極值問題，具體來說是使用拉格朗日乘數法 (Lagrange Multiplier Method)。我們需要最小化總成本函數 $C(x,y)$，同時滿足總產量為定值的約束條件。

總成本函數為 $C(x,y) = \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} + 180$。
總產量約束為 $x + y = 9000$。

我們定義拉格朗日函數 $L(x,y,\lambda)$ 如下：
$L(x,y,\lambda) = C(x,y) - \lambda(g(x,y) - k)$
其中 $g(x,y) = x+y$ 是約束函數， $k=9000$ 是約束值。
$L(x,y,\lambda) = \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} + 180 - \lambda(x + y - 9000)$

為了找到極值點，我們對 $L$ 分別對 $x, y, \lambda$ 求偏導數，並令其等於零：

1. $\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{2x}{8} - \lambda = \frac{x}{4} - \lambda = 0 \implies \frac{x}{4} = \lambda \implies x = 4\lambda$
2. $\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{2y}{4} - \lambda = \frac{y}{2} - \lambda = 0 \implies \frac{y}{2} = \lambda \implies y = 2\lambda$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + y - 9000) = 0 \implies x + y = 9000$

從前兩個方程式，我們得到 $x = 4\lambda$ 和 $y = 2\lambda$。
將這兩個關係代入第三個方程式（約束條件）：
$(4\lambda) + (2\lambda) = 9000$
$6\lambda = 9000$
$\lambda = \frac{9000}{6} = 1500$

此題考驗定積分在計算面積中的應用。我們需要計算函數 $y = x^3$ 在給定區間內與 $x$ 軸所圍成的面積。

首先，我們需要確定函數 $y = x^3$ 在區間 $[-2, 2]$ 的正負情況，因為面積的計算需要考慮函數值是否在 $x$ 軸上方（正值）或下方（負值）。

函數 $f(x) = x^3$ 的特性：
當 $x > 0$ 時，$x^3 > 0$。
當 $x < 0$ 時，$x^3 < 0$。
當 $x = 0$ 時，$x^3 = 0$。

在區間 $[-2, 2]$，函數 $f(x) = x^3$ 在 $[-2, 0)$ 區域是負的，在 $(0, 2]$ 區域是正的。
因此，我們需要將積分分成兩個部分來計算面積：

1. 從 $x=-2$ 到 $x=0$ 的區域，函數值為負，所以面積為 $-\int_{-2}^{0} x^3 dx$。
2. 從 $x=0$ 到 $x=2$ 的區域，函數值為正，所以面積為 $\int_{0}^{2} x^3 dx$。

總面積 $A$ 為這兩部分面積之和：
$A = -\int_{-2}^{0} x^3 dx + \int_{0}^{2} x^3 dx$

計算不定積分 $\int x^3 dx$：
$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$

現在計算定積分：
第一部分：
$-\int_{-2}^{0} x^3 dx = - \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0}$
$= - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} \right)$