110 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所科技管理組（一般生）《微積分》

本題主要考驗學生對極限的計算能力，包含代數技巧與重要極限定理的應用。

(1) 計算 $\lim_{n\to\infty} 8n(\sqrt{n^2+1} - n)$

核心觀念：當極限出現 $\infty - \infty$ 的不定型時，通常可以利用乘以共軛表達式來化簡。

解題過程：
原式為 $8 \lim_{n\to\infty} n(\sqrt{n^2+1} - n)$。
當 $n \to \infty$ 時，$\sqrt{n^2+1} - n$ 呈現 $\infty - \infty$ 的不定型。
我們將括號內的表達式乘以其共軛表達式：
$\sqrt{n^2+1} - n = (\sqrt{n^2+1} - n) \times \frac{\sqrt{n^2+1} + n}{\sqrt{n^2+1} + n}$
$= \frac{(n^2+1) - n^2}{\sqrt{n^2+1} + n} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n}$
因此，原極限變為：
$8 \lim_{n\to\infty} n \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} \right) = 8 \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1} + n}$
為了計算當 $n \to \infty$ 時的極限，我們可以將分子和分母同除以 $n$（或分子同除以 $n$，分母同除以 $\sqrt{n^2}$，因為 $n>0$）。
$8 \lim_{n\to\infty} \frac{n/n}{\sqrt{n^2+1}/n + n/n} = 8 \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2/n^2+1/n^2} + 1}$
$= 8 \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n^2} + 1}$
當 $n \to \infty$ 時，$1/n^2 \to 0$。
$= 8 \times \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = 8 \times \frac{1}{1+1} = 8 \times \frac{1}{2} = 4$

【答案】4

(2) 計算 $\lim_{y\to 0} (1 + 2y)^{1/y}$

本題考驗學生對多元函數的偏導數概念的應用，利用全微分來估計函數值的變化。

核心觀念：利用多元函數的全微分來估計函數值在小範圍變動下的變化量。

解題過程：
獲利函數為 $P(x,y) = -0.006x^2 - 0.005y^2 - 0.002xy + 14x + 12y - 300$。
目前的銷售量為 $(x_0, y_0) = (1000, 1500)$。
新的銷售量為 $(x_1, y_1) = (1050, 1450)$。
變動量為 $\Delta x = x_1 - x_0 = 1050 - 1000 = 50$，$\Delta y = y_1 - y_0 = 1450 - 1500 = -50$。
我們需要估計獲利函數的變化量 $\Delta P$。當 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 相對較小時，我們可以用全微分來近似 $\Delta P$：
$\Delta P \approx dP = \frac{\partial P}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial P}{\partial y} \Delta y$。

首先，我們計算偏導數：
$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-0.006x^2 - 0.005y^2 - 0.002xy + 14x + 12y - 300)$
$\frac{\partial P}{\partial x} = -0.012x - 0.002y + 14$

本題考驗學生對積分在累積量計算上的應用，以及定積分的計算。

核心觀念：累積量等於變化率的定積分。

解題過程：
年募款率（變化率）函數為 $f(t) = \sqrt{2t^2+1}$ 百萬元/年。
$t$ 為從現在起算的年份。
我們需要計算從現在 ($t=0$) 到兩年後 ($t=2$) 所累積的募款總量。
累積募款總量 $M$ 可以透過對年募款率進行定積分來計算：
$M = \int_{0}^{2} \sqrt{2t^2+1} \, dt$
這個積分形式 $\int \sqrt{a^2x^2+b^2} \, dx$ 通常需要使用三角換元法或公式來計算。
觀察被積函數 $\sqrt{2t^2+1}$，可以令 $\sqrt{2}t = \tan\theta$。
則 $t = \frac{1}{\sqrt{2}}\tan\theta$。
微分得到 $dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2\theta \, d\theta$。
當 $t=0$ 時，$\tan\theta = 0 \implies \theta = 0$。
當 $t=2$ 時，$\tan\theta = 2\sqrt{2} \implies \theta = \arctan(2\sqrt{2})$。
$\sqrt{2t^2+1} = \sqrt{(\sqrt{2}t)^2+1} = \sqrt{\tan^2\theta+1} = \sqrt{\sec^2\theta} = |\sec\theta|$。
在積分範圍 $0 \le t \le 2$ 內，$\theta$ 在 $[0, \arctan(2\sqrt{2})]$ 範圍內，此時 $\sec\theta > 0$，所以 $|\sec\theta| = \sec\theta$。
積分變為：
$M = \int_{0}^{\arctan(2\sqrt{2})} \sec\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2\theta \, d\theta$
$M = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\arctan(2\sqrt{2})} \sec^3\theta \, d\theta$
$\int \sec^3\theta \, d\theta$ 的積分是標準積分，結果為 $\frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta + \tan\theta|)$。
所以，
$M = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta + \tan\theta|) \right]_{0}^{\arctan(2\sqrt{2})}$
令 $\alpha = \arctan(2\sqrt{2})$。則 $\tan\alpha = 2\sqrt{2}$。
我們可以畫一個直角三角形，對邊為 $2\sqrt{2}$，鄰邊為 1，斜邊為 $\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$。
所以 $\sec\alpha = \frac{\text{斜邊}}{\text{鄰邊}} = \frac{3}{1} = 3$。

代入積分上限：
$\frac{1}{2}(\sec\alpha\tan\alpha + \ln|\sec\alpha + \tan\alpha|) = \frac{1}{2}(3 \cdot 2\sqrt{2} + \ln|3 + 2\sqrt{2}|)$
$= \frac{1}{2}(6\sqrt{2} + \ln(3 + 2\sqrt{2}))$
代入積分下限 $\theta=0$：
$\sec 0 = 1$, $\tan 0 = 0$, $\ln|1+0| = \ln 1 = 0$。所以下限的值為 0。

因此，
$M = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} (6\sqrt{2} + \ln(3 + 2\sqrt{2}))$
$M = \frac{1}{2\sqrt{2}} (6\sqrt{2} + \ln(3 + 2\sqrt{2}))$
$M = 3 + \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln(3 + 2\sqrt{2})$
$M = 3 + \frac{\sqrt{2}}{4} \ln(3 + 2\sqrt{2})$

本題考驗學生對邊際函數與總函數的關係，以及如何利用積分計算總函數，並結合給定的條件求解未知量。

核心觀念：總收益 (Total Revenue, TR) 的變化率是邊際收益 (Marginal Revenue, MR)，總成本 (Total Cost, TC) 的變化率是邊際成本 (Marginal Cost, MC)。獲利 (Profit, $\pi$) 等於總收益減總成本 ($\pi = TR - TC$)。

解題過程：
設總收益函數為 $R(x)$，總成本函數為 $C(x)$，獲利函數為 $\pi(x)$。
邊際收益 (MR) 是 $R'(x) = 200x^{-1/2}$。
邊際成本 (MC) 是 $C'(x) = 0.4x$。

1. 計算總收益函數 $R(x)$：
   對邊際收益進行積分：
   $R(x) = \int R'(x) dx = \int 200x^{-1/2} dx$
   $R(x) = 200 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + K_1 = 200 \frac{x^{1/2}}{1/2} + K_1 = 400x^{1/2} + K_1$
   其中 $K_1$ 是積分常數。通常情況下，當生產 0 件時，總收益為 0，即 $R(0)=0$。但此處 $R(0)$ 無定義。我們暫時保留 $K_1$。

2. 計算總成本函數 $C(x)$：
   對邊際成本進行積分：
   $C(x) = \int C'(x) dx = \int 0.4x dx$
   $C(x) = 0.4 \frac{x^2}{2} + K_2 = 0.2x^2 + K_2$
   其中 $K_2$ 是積分常數。

核心觀念

本題考查「變動率與累積變化量」的關係。若外籍醫護人員比例以百分點表示，且每十年的變動率為

$$R(t)=5e^{1/(t+1)},$$

則十年內比例增加的百分點數為變動率在 $t=0$ 到 $t=1$ 間的定積分：

$$\Delta P=\int_0^1 R(t)\,dt.$$

因此，十年後的比例為

$$P(1)=P(0)+\int_0^1R(t)\,dt.$$

其中 $P(0)=30\%$。

解題方法

代入變動率函數：

$$P(1)=30+\int_0^1 5e^{1/(t+1)}\,dt.$$

令

$$u=t+1,$$

則 $du=dt$，且當 $t=0$ 時 $u=1$；當 $t=1$ 時 $u=2$。所以

$$\int_0^1 5e^{1/(t+1)}\,dt = 5\int_1^2e^{1/u}\,du.$$

此積分沒有初等函數形式，可利用指數積分函數 $\operatorname{Ei}(x)$：

$$\int e^{1/u}\,du = ue^{1/u}-\operatorname{Ei}\left(\frac1u\right).$$

因此，

核心觀念

本題考查：

• 三角代換 $x=\sin\theta$。
• 半角公式：

$$\sqrt{1+\sin\theta}=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2},\qquad \sqrt{1-\sin\theta}=\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}.$$

• 分部積分公式：
  $\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

由根號內必須為非負數，實數範圍為 $-1\le x\le 1$；在此範圍內對數的真數為正。

解題方法

令

$$x=\sin\theta,\qquad -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}.$$

則

$$dx=\cos\theta\,d\theta.$$

因為在上述範圍內半角的餘弦為正，所以

$$\sqrt{1-\sin\theta}=\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2},$$ $$\sqrt{1+\sin\theta}=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}.$$

兩式相加得

$$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} =2\cos\frac{\theta}{2}.$$

因此原積分變為

$$I=\int \ln\left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)\cos\theta\,d\theta.$$

再令

$$u=\frac{\theta}{2},$$

則 $\theta=2u$、$d\theta=2\,du$，故

$$I=2\int \cos 2u\ln(2\cos u)\,du.$$

利用

$$d(\sin 2u)=2\cos 2u\,du,$$

進行分部積分：

$$I=\int \ln(2\cos u)\,d(\sin 2u)$$ $$=\sin 2u\ln(2\cos u) -\int \sin 2u\left(-\tan u\right)\,du.$$

所以

本題考驗學生對多元函數鏈式法則 (Chain Rule) 的應用，計算複合函數對單一變數的偏導數。

核心觀念：多元函數的鏈式法則。若 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函數，而 $x$ 和 $y$ 又是 $t$ 的函數，則 $z$ 對 $t$ 的導數為：
$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

解題過程：

1. 計算 $\frac{\partial z}{\partial x}$：
   $z = x^2y - \sqrt{y}$。將 $y$ 視為常數，對 $x$ 求偏導數：
   $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y - y^{1/2}) = 2xy$

2. 計算 $\frac{\partial z}{\partial y}$：
   $z = x^2y - \sqrt{y}$。將 $x$ 視為常數，對 $y$ 求偏導數：
   $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y - y^{1/2}) = x^2 - \frac{1}{2}y^{-1/2} = x^2 - \frac{1}{2\sqrt{y}}$

3. 計算 $\frac{dx}{dt}$：
   $x = e^{2t}$。對 $t$ 求導數：
   $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{2t}) = e^{2t} \cdot 2 = 2e^{2t}$

本題考驗學生對曲線積分求面積的能力，需要先分析曲線的形狀，並確定積分的範圍。

核心觀念：利用定積分計算曲線所圍成的面積。

解題過程：
曲線方程式為 $y^2 = x^2(1-x^2)$。
首先，我們需要分析此曲線的形狀。
從方程式可知，$y^2 \ge 0$，所以 $x^2(1-x^2) \ge 0$。
由於 $x^2 \ge 0$，所以必須 $1-x^2 \ge 0$，即 $x^2 \le 1$，所以 $-1 \le x \le 1$。
當 $x=0$ 或 $x=\pm 1$ 時，$y^2=0$，即 $y=0$。
當 $x=\pm 1/\sqrt{2}$ 時，$x^2 = 1/2$，所以 $y^2 = (1/2)(1-1/2) = 1/4$，即 $y = \pm 1/2$。

曲線是關於 $x$ 軸和 $y$ 軸對稱的，因為方程式中 $y$ 只出現 $y^2$ 項，且 $x$ 只出現 $x^2$ 項。
我們可以先計算 $x \in [0, 1]$ 範圍內，上半部曲線 ($y = x\sqrt{1-x^2}$) 與 $x$ 軸所圍成的面積，然後乘以 4（因為對稱性）。

上半部曲線方程式為 $y = x\sqrt{1-x^2}$ (當 $y \ge 0$)。
我們計算從 $x=0$ 到 $x=1$ 的面積：
$A_{part} = \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx$
為了計算這個積分，我們可以使用換元法。令 $u = 1-x^2$。
則 $du = -2x dx$，所以 $x dx = -\frac{1}{2} du$。
當 $x=0$ 時，$u = 1-0^2 = 1$。
當 $x=1$ 時，$u = 1-1^2 = 0$。
積分變為：
$A_{part} = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2} du\right)$
$A_{part} = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{1/2} du$
$A_{part} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} du$
$A_{part} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A_{part} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{1}$

核心觀念

本題考「二變數函數在矩形區域上的平均值」。

若生產函數為 $Q(X,Y)$，且資本額與勞動力分別在

$$10\le X\le 12,\qquad 2700\le Y\le 3200$$

之間變動，則每月平均產量為矩形區域上的平均值：

$$\overline Q = \frac{1}{(12-10)(3200-2700)} \int_{10}^{12}\int_{2700}^{3200}Q(X,Y)\,dY\,dX.$$

這裡假設 $X$ 與 $Y$ 在各自的區間內均勻變動。

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解題方法

生產函數為

$$Q(X,Y)=100X^{3/4}Y^{1/4}.$$

因此

$$\overline Q = \frac{1}{2\cdot 500} \int_{10}^{12}\int_{2700}^{3200} 100X^{3/4}Y^{1/4}\,dY\,dX.$$

由於函數可分離為 $X^{3/4}$ 與 $Y^{1/4}$ 的乘積，可分別積分：

$$\overline Q = 100 \left[ \frac{1}{12-10}\int_{10}^{12}X^{3/4}\,dX \right] \left[ \frac{1}{3200-2700}\int_{2700}^{3200}Y^{1/4}\,dY \right].$$

先計算資本額部分

本題考驗學生對微分方程的應用，特別是求解均衡狀態下的微分方程。

核心觀念：市場均衡表示需求量等於供給量。此時，價格 $P(t)$ 滿足一個一階線性微分方程。求解此方程的通解，並利用初始條件求出特定解。最後分析長期均衡價格。

解題過程：

1. 建立均衡條件下的微分方程：
   市場達到均衡時，需求量等於供給量，$D(t) = S(t)$。
   $48 - P(t) + 2P'(t) = 30 + 2P(t) + 3P'(t)$
   將所有項移到一邊，整理成標準微分方程形式：
   $(3P'(t) - 2P'(t)) + (2P(t) - (-P(t))) + (30 - 48) = 0$
   $P'(t) + 3P(t) - 18 = 0$
   這是一個一階線性非齊次微分方程：$P'(t) + 3P(t) = 18$。

2. 求解微分方程：
   這個微分方程可以通過積分因子法或通解加特解的方法來求解。

   方法一：積分因子法
   積分因子為 $e^{\int 3 dt} = e^{3t}$。
   將方程兩邊乘以積分因子：
   $e^{3t} P'(t) + 3e^{3t} P(t) = 18e^{3t}$
   左邊是 $(e^{3t} P(t))$ 的導數：
   $\frac{d}{dt}(e^{3t} P(t)) = 18e^{3t}$
   對兩邊積分：
   $e^{3t} P(t) = \int 18e^{3t} dt$
   $e^{3t} P(t) = 18 \times \frac{1}{3} e^{3t} + C$
   $e^{3t} P(t) = 6e^{3t} + C$
   解出 $P(t)$：
   $P(t) = 6 + Ce^{-3t}$
   這就是均衡價格 $P(t)$ 的通解。