110 年 國立政治大學企業管理學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考查：

1. 箱型圖與離群值判定
2. 單一母體平均數的單尾 $t$ 檢定
3. 兩獨立母體平均數差的合併變異數 $t$ 檢定
4. 樣本平均數與樣本變異數的計算：

$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$ $$s^2=\frac{\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}$$

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(a) $PopDensity$ 的箱型圖與離群值

1. 排序資料

將人口密度由小至大排列：

$$\begin{aligned} &61.53,\ 70.37,\ 120.15,\ 211.77,\ 263.71,\ 294.42,\ 299.27,\\ &395.98,\ 452.57,\ 526.83,\ 828.58,\ 857.40,\ 922.82,\ 1183.00,\\ &1271.69,\ 1846.39,\ 1960.29,\ 2777.91,\ 4315.06,\ 4455.97,\\ &9695.69 \end{aligned}$$

共有 $n=22$ 筆資料。

2. 五數摘要

中位數為第 $11$ 與第 $12$ 筆的平均：

$$Q_2=\frac{828.58+857.40}{2}=842.99$$

下半部共有 11 筆，因此第一四分位數為下半部第 6 筆：

$$Q_1=294.42$$

上半部共有 11 筆，因此第三四分位數為上半部第 6 筆，也就是完整資料的第 17 筆：

$$Q_3=1960.29$$

因此：

• 最小值：$61.53$
• 第一四分位數：$294.42$
• 中位數：$842.99$
• 第三四分位數：$1960.29$
• 最大值：$9695.69$

四分位距為：

$$IQR=Q_3-Q_1=1960.29-294.42=1665.87$$

3. 離群值判定

箱型圖的上下界為：

$$\text{下界}=Q_1-1.5(IQR)$$ $$=294.42-1.5(1665.87) =-2198.385$$ $$\text{上界}=Q_3+1.5(IQR)$$ $$=1960.29+1.5(1665.87) =4458.095$$

人口密度超過 $4458.095$ 者視為離群值。

只有臺北市：

$$9695.69>4458.095$$

因此箱型圖中：

• 下鬚：$61.53$，即臺東縣
• 箱體範圍：$294.42$ 至 $1960.29$
• 箱內中位數：$842.99$
• 上鬚：$4455.97$，即嘉義市
• 離群值：$9695.69$，即臺北市

解題技巧

判定離群值時，不是直接看最大值是否突出，而是必須依照：

$$Q_3+1.5(IQR)$$

計算上界。本題嘉義市的人口密度為 $4455.97$，雖然很高，但仍低於上界 $4458.095$，所以不列為離群值；臺北市則明確超過上界。

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(b) 檢定人口密度的母體平均數是否大於 620

1. 建立假設

題目要檢定平均人口密度是否大於 620，因此採用右尾檢定：

$$H_0:\mu\leq 620$$ $$H_1:\mu>620$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

由於母體變異數未知，且樣本數為 $22$，使用單一樣本 $t$ 檢定。

2. 計算樣本平均數

$$\bar{x}=\frac{33751.14}{22}=1534.143$$

3. 計算樣本變異數

$$s^2= \frac{154576544-\frac{(33751.14)^2}{22}}{21}$$ $$s^2=4895074.71$$

因此：

$$s=\sqrt{4895074.71}=2212.48$$

樣本平均數的標準誤為：

$$SE(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{2212.48}{\sqrt{22}} =471.84$$

4. 計算檢定統計量

$$t= \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{1534.143-620}{471.84} =1.94$$

自由度為：

$$df=n-1=21$$

右尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下的臨界值為：

$$t_{0.95,21}=1.721$$

因為：

$$1.94>1.721$$

本題主要考驗對迴歸分析 (Regression Analysis) 的理解，包括係數的解釋、顯著性檢定、變異數分析表 (ANOVA table) 的建構，以及調整 $R^2$ 的計算。

(a) 解釋 $Municipality$ 係數的意義

在迴歸模型中，$HospitalBed = \beta_0 + \beta_1 PopDensity + \beta_2 Municipality + \epsilon$。
$Municipality$ 是一個虛擬變數 (dummy variable)，其值為 1 代表直轄市，0 代表非直轄市。
係數 $\beta_2$ (估計值為 15359.73) 代表當其他自變數 (在此為 $PopDensity$) 固定時，$Municipality$ 從 0 變為 1 所引起的應變數 ($HospitalBed$) 的平均變化量。

因此，$Municipality$ 的係數估計值 15359.73 的意義是：在控制了人口密度 ($PopDensity$) 的影響後，直轄市的平均醫療院所床數比非直轄市高出約 15359.73 床。

(b) 識別顯著的解釋變數

要判斷解釋變數是否顯著，我們需要進行個別係數的顯著性檢定。對於每個係數 $\beta_i$，虛無假設是 $\beta_i = 0$，對立假設是 $\beta_i \ne 0$。通常使用 t 檢定。
檢定統計量 $t = \frac{\hat{\beta}_i}{SE(\hat{\beta}_i)}$，其中 $\hat{\beta}_i$ 是係數的估計值，$SE(\hat{\beta}_i)$ 是其標準誤。

• Constant (截距項 $\beta_0$):
  估計值 $\hat{\beta}_0 = 2660.16$, 標準誤 $SE(\hat{\beta}_0) = 746.23$
  $t = \frac{2660.16}{746.23} \approx 3.565$
  自由度 $df = n - k - 1$，其中 $n$ 是樣本數 (來自 Question 1，共 23 個觀測值)，$k$ 是解釋變數的個數 (PopDensity 和 Municipality，共 2 個)。所以 $df = 23 - 2 - 1 = 20$。
  查 t 表，在 $df=20$ 下，$t_{0.025, 20} \approx 2.086$。
  |t| = 3.565 > 2.086，因此截距項顯著。

• $PopDensity$ ($\beta_1$):
  估計值 $\hat{\beta}_1 = 0.57$, 標準誤 $SE(\hat{\beta}_1) = 0.29$
  $t = \frac{0.57}{0.29} \approx 1.9655$
  |t| = 1.9655。與臨界值 2.086 相比，$|t| < 2.086$ (稍微接近，但未達顯著水準 0.05)。
  注意：題目中通常會給定顯著水準，這裡預設為 0.05。如果題目沒有明確說明，我們通常會採用 0.05。在此情況下，$PopDensity$ 的係數在 0.05 的顯著水準下 不顯著。

• $Municipality$ ($\beta_2$):
  估計值 $\hat{\beta}_2 = 15359.73$, 標準誤 $SE(\hat{\beta}_2) = 1388.89$
  $t = \frac{15359.73}{1388.89} \approx 11.059$
  |t| = 11.059 > 2.086。因此 $Municipality$ 的係數顯著。

結論： 在 0.05 的顯著水準下，解釋變數 $Municipality$ 是顯著的。截距項也是顯著的。$PopDensity$ 在此顯著水準下不顯著。

(c) 完成變異數分析表 (ANOVA table)

變異數分析表用於評估整體迴歸模型的顯著性。其結構通常如下：

來源 (Source)	自由度 (df)	總平方和 (SS)	平均平方和 (MS)	F 值
迴歸 (Regression)	k	SSR	MSR = SSR/k	F = MSR/MSE
殘差 (Residual)	n-k-1	SSE	MSE = SSE/(n-k-1)
總計 (Total)	n-1	SST

其中：

• $n$ = 樣本數 = 23 (來自 Question 1)
• $k$ = 解釋變數的數量 = 2 ($PopDensity$ 和 $Municipality$)
• $n-k-1$ = 殘差自由度 = 23 - 2 - 1 = 20
• $n-1$ = 總自由度 = 23 - 1 = 22
• $s$ = 迴歸的標準誤 (estimated standard error for regression) = 2720.15。$s^2$ 是殘差的平均平方和 (MSE)。
  $MSE = s^2 = (2720.15)^2 \approx 7400210.22$

核心觀念

本題考查四個重要觀念：

1. 超幾何分配：不放回抽樣時，計算抽到特定數量瑕疵品的機率。
2. 單一母體比例的信賴區間：以樣本比例估計母體瑕疵比例。
3. 兩母體比例差的假設檢定：比較供應商 A 與 C 的瑕疵比例是否相同。
4. 多母體比例的同質性檢定：利用列聯表卡方檢定，比較三家供應商的瑕疵比例是否相同。

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(a) 從供應商 C 抽出 4 個零件，恰有 1 個瑕疵品的機率

解題方法

供應商 C 共有 $500$ 個零件，其中：

• 瑕疵品：$40$ 個
• 良品：$460$ 個
• 抽樣數：$4$ 個

因為抽樣後不放回，適用超幾何分配：

$$P(X=x)= \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}} {\binom{N}{n}}$$

其中 $X$ 表示抽出的瑕疵品數，$N=500$、$K=40$、$n=4$。

因此，

$$P(X=1) = \frac{\binom{40}{1}\binom{460}{3}} {\binom{500}{4}}$$

亦可寫成：

$$P(X=1) = \frac{40\binom{460}{3}}{\binom{500}{4}} \approx 0.2505$$

所以機率約為：

$$\boxed{25.05\%}$$

解題技巧

若題目明確表示「從有限批量中抽取，且不放回」，應優先想到超幾何分配。若抽樣比例極小，才可用二項分配近似；本題抽取比例為 $4/500$，用二項分配所得結果會非常接近，但精確答案應使用超幾何分配。

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(b) 供應商 A 瑕疵比例的 95% 信賴區間

核心觀念

單一母體比例的近似信賴區間為：

$$\hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$

其中：

• $\hat p$：樣本瑕疵比例
• $n$：樣本數
• 95% 信賴水準下，$z_{0.025}=1.96$

計算樣本比例

供應商 A 有 $15$ 個瑕疵品，樣本數為 $500$，因此：

$$\hat p_A=\frac{15}{500}=0.03$$

樣本比例的標準誤為：

$$SE(\hat p_A) = \sqrt{\frac{0.03(1-0.03)}{500}} = \sqrt{\frac{0.0291}{500}} \approx 0.00763$$

誤差範圍為：

$$1.96(0.00763)\approx 0.01495$$

因此，95% 信賴區間為：

$$0.03\pm 0.01495$$ $$\boxed{(0.01505,\ 0.04495)}$$

換成百分比：

$$\boxed{1.51\%\leq p_A\leq 4.50\%}$$

解釋

在 95% 信賴水準下，供應商 A 所提供零件的真實瑕疵比例估計介於約 $1.51\%$ 至 $4.50\%$ 之間。

解題技巧

先確認常態近似條件：

$$n\hat p=500(0.03)=15,\qquad n(1-\hat p)=485$$

兩者皆大於 $5$，因此使用比例的常態近似信賴區間是合理的。

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(c) 檢定供應商 A 與供應商 C 的瑕疵比例是否相同

建立假設

令 $p_A$ 為供應商 A 的母體瑕疵比例，$p_C$ 為供應商 C 的母體瑕疵比例。

$$H_0:p_A=p_C$$ $$H_1:p_A\neq p_C$$

這是雙尾檢定。取顯著水準 $\alpha=0.05$。

計算樣本比例

$$\hat p_A=\frac{15}{500}=0.03$$ $$\hat p_C=\frac{40}{500}=0.08$$

樣本比例差為：

$$\hat p_A-\hat p_C=0.03-0.08=-0.05$$

計算合併比例

在虛無假設 $H_0:p_A=p_C$ 下，使用合併比例：

$$\hat p = \frac{x_A+x_C}{n_A+n_C} = \frac{15+40}{500+500} = 0.055$$

因此：

$$1-\hat p=0.945$$

合併標準誤為：

$$SE = \sqrt{ \hat p(1-\hat p) \left(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_C}\right) }$$ $$= \sqrt{ (0.055)(0.945) \left(\frac{1}{500}+\frac{1}{500}\right) } \approx 0.01442$$

計算檢定統計量

本題考驗單一樣本的假設檢定，主要為 Z 檢定或 t 檢定。由於母體標準差未知，且樣本數不大（n=23），應使用 t 檢定。

1. 設定假設與顯著水準

• 虛無假設 ($H_0$)：母體平均人口密度 $\mu \le 620$。
• 對立假設 ($H_a$)：母體平均人口密度 $\mu > 620$。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05。

2. 計算樣本統計量
從題目給的數據中，我們需要計算樣本平均數 ($\bar{x}$) 和樣本標準差 ($s$)。

• 樣本數 ($n$) = 23 (來自 Question 1 的表格，共有 23 個縣市)。
• 樣本總和 ($\sum x_i$) = 33751.14 (來自 Question 1 表格的「總和」)。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$) = $\frac{\sum x_i}{n} = \frac{33751.14}{23} \approx 1467.44$。
• 樣本平方和 ($\sum x_i^2$) = 154576544 (來自 Question 1 表格的「平方和」)。
• 樣本變異數 ($s^2$) = $\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$
  $s^2 = \frac{154576544 - 23 \times (1467.44)^2}{23-1}$
  $s^2 = \frac{154576544 - 23 \times 2153389.7}{22} = \frac{154576544 - 49527963.1}{22} = \frac{105048580.9}{22} \approx 4774935.5$

本題考驗獨立樣本 t 檢定，用於比較兩組獨立樣本的平均數是否存在顯著差異。題目假設兩組母體變異數相等。

1. 分組與設定假設
根據「直轄市 ($Municipality$)」變數，我們將數據分成兩組：

• 直轄市 (Municipal cities): $Municipality = 1$。共 $n_1 = 6$ 個觀測值。

• 非直轄市 (Non-municipal cities): $Municipality = 0$。共 $n_2 = 17$ 個觀測值。

• 虛無假設 ($H_0$)：兩個母體平均人口密度相等，即 $\mu_1 = \mu_2$。

• 對立假設 ($H_a$)：兩個母體平均人口密度不相等，即 $\mu_1 \ne \mu_2$。

• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05。

2. 計算兩組的樣本統計量
我們需要計算每組的樣本平均數 ($\bar{x}_1, \bar{x}_2$)、樣本標準差 ($s_1, s_2$)，以及用於計算合併變異數的平方和。

• 直轄市 ($n_1 = 6$):
  數據：1960.29, 9695.69, 1846.39, 1271.69, 857.40, 939.74
  總和 = 16571.20
  平均數 $\bar{x}_1 = \frac{16571.20}{6} \approx 2761.87$
  平方和 $\sum x_1^2 = 1960.29^2 + 9695.69^2 + 1846.39^2 + 1271.69^2 + 857.40^2 + 939.74^2 \approx 104584356.78$
  樣本變異數 $s_1^2 = \frac{\sum x_1^2 - n_1\bar{x}_1^2}{n_1-1} = \frac{104584356.78 - 6 \times (2761.87)^2}{5} \approx 11763196.1$
  樣本標準差 $s_1 = \sqrt{s_1^2} \approx 3430.04$

• 非直轄市 ($n_2 = 17$):
  數據：211.77, 395.98, 299.27, 1183.00, 120.15, 526.83, 263.71, 294.42, 61.53, 70.37, 828.58, 2777.91, 4315.06, 4455.97, 922.82, 452.57
  總和 = 17179.94
  平均數 $\bar{x}_2 = \frac{17179.94}{17} \approx 1010.58$
  平方和 $\sum x_2^2$ (可由總平方和減去直轄市的平方和)：$154576544 - 104584356.78 = 49992187.22$

此題考驗對迴歸模型中虛擬變數 (dummy variable) 係數解釋的理解。

迴歸模型為：
$HospitalBed = \beta_0 + \beta_1 PopDensity + \beta_2 Municipality + \epsilon$

其中：

• $HospitalBed$ 是應變數 (response variable)。
• $PopDensity$ 是解釋變數 (explanatory variable)。
• $Municipality$ 是一個虛擬變數，其值為 1 代表該縣市為直轄市 (municipal city)，值為 0 代表非直轄市 (non-municipal city)。
• $\beta_0$ 是截距項。
• $\beta_1$ 是 $PopDensity$ 的迴歸係數。
• $\beta_2$ 是 $Municipality$ 的迴歸係數。
• $\epsilon$ 是誤差項。

題目提供的迴歸結果中，$Municipality$ 的係數估計值為 $\hat{\beta}_2 = 15359.73$。

係數 $\hat{\beta}_2$ 的解釋：
當其他解釋變數（在此為 $PopDensity$）保持不變時，虛擬變數 $Municipality$ 從 0 變為 1 所引起的應變數 ($HospitalBed$) 平均變化的量。

• 當 $Municipality = 0$ (非直轄市)，預測的平均醫療院所床數為：

本題考驗對迴歸模型中個別係數顯著性檢定的理解。我們需要對每個解釋變數的係數進行 t 檢定。

1. 確定樣本數與自由度

• 樣本數 ($n$) = 23 (來自 Question 1 的表格)。
• 解釋變數的個數 ($k$) = 2 ($PopDensity$ 和 $Municipality$)。
• 殘差自由度 ($df$) = $n - k - 1 = 23 - 2 - 1 = 20$。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05 (預設值，題目未明確給定)。
• 臨界 t 值 (雙尾檢定) = $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 20} \approx 2.086$。

2. 對每個解釋變數進行 t 檢定
檢定統計量公式為：$t = \frac{\hat{\beta}_i}{SE(\hat{\beta}_i)}$

• 截距項 (Constant):
  • 估計值 $\hat{\beta}_0 = 2660.16$
  • 標準誤 $SE(\hat{\beta}_0) = 746.23$
  • $t = \frac{2660.16}{746.23} \approx 3.565$
  • 絕對值 $|t| = 3.565 > 2.086$。

本題要求根據給定的迴歸標準誤，完成變異數分析表 (ANOVA table)。ANOVA 表用於評估整體迴歸模型的顯著性。

1. 確定迴歸模型的參數

• 應變數 (Response variable)：$HospitalBed$
• 解釋變數 (Explanatory variables)：$PopDensity$, $Municipality$
• 樣本數 ($n$) = 23 (來自 Question 1)
• 解釋變數數量 ($k$) = 2
• 迴歸標準誤 ($s$) = 2720.15

2. 計算 ANOVA 表所需的各項值

ANOVA 表的基本結構：

來源 (Source)	自由度 (df)	總平方和 (SS)	平均平方和 (MS)	F 值
迴歸 (Regression)	$k$	SSR	MSR = SSR/k	F = MSR/MSE
殘差 (Residual)	$n-k-1$	SSE	MSE = SSE/(n-k-1)
總計 (Total)	$n-1$	SST

• 自由度 (df):

  • 迴歸自由度 = $k = 2$
  • 殘差自由度 = $n-k-1 = 23 - 2 - 1 = 20$
  • 總自由度 = $n-1 = 23 - 1 = 22$

• 殘差平方和 (SSE):
  迴歸標準誤 $s$ 是殘差標準差的估計值，即 $s = \sqrt{MSE}$。
  $MSE = s^2 = (2720.15)^2 \approx 7400210.22$
  SSE = $MSE \times (\text{殘差自由度}) = 7400210.22 \times 20 = 148004204.4$

• 總平方和 (SST):
  SST 是應變數 $HospitalBed$ 的總平方和。我們需要從 Question 1 的數據中計算。
  總和 $\sum HospitalBed = 169853$
  平方和 $\sum HospitalBed^2 = 2643127703$
  $SST = \sum HospitalBed^2 - \frac{(\sum HospitalBed)^2}{n}$

本題考驗對調整 $R^2$ (Adjusted $R^2$) 的計算。調整 $R^2$ 是對普通 $R^2$ 的修正，考慮了模型中解釋變數的個數，當解釋變數增加時，它不會像 $R^2$ 那樣必然增加。

1. 計算 $R^2$
$R^2$ 代表模型解釋的應變數變異的比例。
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中 SSE (殘差平方和) 和 SST (總平方和) 可以從 ANOVA 表或直接計算得到。
根據 Question 2(c) 的計算：

• $SSE = 148004204.4$
• $SST = 1388777607$

$R^2 = 1 - \frac{148004204.4}{1388777607} \approx 1 - 0.10657 \approx 0.89343$

2. 計算調整 $R^2$
調整 $R^2$ 的公式為：
$Adjusted \ R^2 = 1 - \frac{(1 - R^2)(n-1)}{n-k-1}$
其中：

• $n$ = 樣本數 = 23
• $k$ = 解釋變數的數量 = 2
• $n-1$ = 總自由度 = 22
• $n-k-1$ = 殘差自由度 = 20

本題考驗超幾何分配 (Hypergeometric Distribution) 的應用，用於計算從有限母體中進行無放回抽樣，且母體中存在兩種不同類型的樣本時，抽中特定數量樣本的機率。

1. 確定母體參數
根據題目，我們從供應商 C 的零件中抽取。

• 供應商 C 的總零件數 ($N$) = 不良品數 + 良品數 = 40 + 460 = 500。
• 供應商 C 的不良品數量 ($K$) = 40。
• 供應商 C 的良品數量 ($N-K$) = 460。

2. 確定抽樣參數

• 抽樣數量 ($n$) = 4。
• 我們感興趣的是抽中 1 個不良品，所以抽中的不良品數量 ($k$) = 1。
• 這意味著抽中的良品數量為 $n-k = 4-1 = 3$。

3. 套用超幾何分配公式
超幾何分配的機率公式為：
$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

將參數代入：
$P(X=1) = \frac{\binom{40}{1} \binom{500-40}{4-1}}{\binom{500}{4}} = \frac{\binom{40}{1} \binom{460}{3}}{\binom{500}{4}}$

4. 計算組合數

• $\binom{40}{1} = 40$
• $\binom{460}{3} = \frac{460 \times 459 \times 458}{3 \times 2 \times 1} = 460 \times 153 \times 458 = 32193780$

本題考驗比例的信賴區間 (Confidence Interval for Proportion) 計算。

1. 確定樣本統計量

• 供應商 A 的樣本數 ($n_A$) = 不良品數 + 良品數 = 15 + 485 = 500。
• 供應商 A 的不良品數量 ($x_A$) = 15。
• 供應商 A 的不良品比例估計值 ($\hat{p}_A$) = $\frac{x_A}{n_A} = \frac{15}{500} = 0.03$。

2. 確定信賴水準與臨界值

• 信賴水準 = 95%。
• 對應的顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
• 對於比例的信賴區間，我們使用標準常態分配 (Z 分配)。
• 臨界值 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。

3. 計算比例的標準誤
比例的標準誤公式為：$SE(\hat{p}_A) = \sqrt{\frac{\hat{p}_A(1-\hat{p}_A)}{n_A}}$

本題考驗兩個獨立比例的假設檢定 (Two-proportion z-test)。

1. 設定假設與顯著水準

• 虛無假設 ($H_0$)：供應商 A 和供應商 C 的不良品比例相等，即 $p_A = p_C$。
• 對立假設 ($H_a$)：供應商 A 和供應商 C 的不良品比例不相等，即 $p_A \ne p_C$。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05 (預設值)。

2. 計算樣本比例與樣本數

• 供應商 A：
  • 樣本數 $n_A = 15 + 485 = 500$
  • 不良品數 $x_A = 15$
  • 不良品比例 $\hat{p}_A = \frac{x_A}{n_A} = \frac{15}{500} = 0.03$
• 供應商 C：
  • 樣本數 $n_C = 40 + 460 = 500$
  • 不良品數 $x_C = 40$
  • 不良品比例 $\hat{p}_C = \frac{x_C}{n_C} = \frac{40}{500} = 0.08$

3. 計算合併比例 (pooled proportion)
在虛無假設 $p_A = p_C$ 下，我們使用合併的樣本比例作為共同的母體比例估計值。
合併比例 $\hat{p} = \frac{x_A + x_C}{n_A + n_C} = \frac{15 + 40}{500 + 500} = \frac{55}{1000} = 0.055$。

4. 計算標準誤
標準誤的公式為：$SE(\hat{p}_A - \hat{p}_C) = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_C})}$

本題考驗卡方檢定 (Chi-squared test) 用於檢定多個比例是否相等的應用，也稱為獨立性檢定或齊一性檢定。

1. 設定假設與顯著水準

• 虛無假設 ($H_0$)：所有供應商的不良品比例相等，即 $p_A = p_B = p_C$。
• 對立假設 ($H_a$)：至少有一個供應商的不良品比例與其他不同。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05 (預設值)。

2. 建立列聯表與計算總計
首先，整理數據並計算總計。

Supplier	Defective (O)	Good (O)	Total (n)	Proportion ($\hat{p}$)
A	15	485	500	15/500 = 0.03
B	20	480	500	20/500 = 0.04
C	40	460	500	40/500 = 0.08
Total	75	1425	1500

3. 計算預期次數 (Expected Counts)
在虛無假設下，所有供應商的不良品比例都等於總體不良品比例。
總體不良品比例 $\hat{p}_{total} = \frac{\text{總不良品數}}{\text{總樣本數}} = \frac{75}{1500} = 0.05$。
預期不良品數 E(Defective) = 樣本數 $\times \hat{p}_{total}$。
預期良品數 E(Good) = 樣本數 $\times (1 - \hat{p}_{total})$。

• 供應商 A：
  • E(Defective) = $500 \times 0.05 = 25$
  • E(Good) = $500 \times (1-0.05) = 500 \times 0.95 = 475$
• 供應商 B：
  • E(Defective) = $500 \times 0.05 = 25$
  • E(Good) = $500 \times 0.95 = 475$
• 供應商 C：
  • E(Defective) = $500 \times 0.05 = 25$
  • E(Good) = $500 \times 0.95 = 475$

4. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)
卡方統計量公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$，其中 O 是觀察次數，E 是預期次數。