115 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）甲組《統計學》

核心觀念

本題考查「不放回抽樣」與常見離散型機率分配的辨識。

共有 $10$ 把鑰匙，其中恰有 $1$ 把正確。每次隨機選取一把鑰匙，若錯誤便排除，因此每把鑰匙最多只會被嘗試一次。令 $X$ 表示找到正確鑰匙所需的試驗次數。

由於正確鑰匙在這 $10$ 把鑰匙的隨機排列中，可能位於第 $1,2,\ldots,10$ 個位置，而且每個位置出現的機率相同，因此

$$P(X=x)=\frac{1}{10},\qquad x=1,2,\ldots,10.$$

所以 $X$ 服從離散均勻分配：

$$X\sim \text{Uniform}\{1,2,\ldots,10\}.$$

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解題方法

將 $10$ 把鑰匙視為先隨機排列，再依序嘗試。正確鑰匙在隨機排列中的位置，就是找到正確鑰匙所需的試驗次數 $X$。

例如：

• 正確鑰匙排在第 $1$ 位，則 $X=1$；
• 正確鑰匙排在第 $5$ 位，則前四把皆錯，第五把才成功，因此 $X=5$；
• 正確鑰匙排在第 $10$ 位，則 $X=10$。

由於正確鑰匙在各位置的機率相等，故

$$P(X=1)=P(X=2)=\cdots=P(X=10)=\frac{1}{10}.$$

因此 $X$ 是在 $\{1,2,\ldots,10\}$ 上的離散均勻分配。

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選項分析

(a) Uniform[1,2,..,10]

正確。

$X$ 的可能值為 $1$ 到 $10$，且每一個值的機率皆為 $1/10$，因此

$$X\sim \text{Uniform}\{1,2,\ldots,10\}.$$

這正是本題的模型。

(b) Hypergeometric(10,1,1)

錯誤。

核心觀念

本題考查「母體平均數 $\mu$ 的 95% 信賴區間」之正確解釋。

若以樣本平均數 $\bar X$ 建立母體平均數的信賴區間，典型形式為：

$$\bar X \pm \text{臨界值}\times \text{標準誤}$$

例如母體標準差已知時：

$$\bar X \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

其中 95% 信賴水準代表：

$$1-\alpha=0.95$$

其真正意義是：若從同一母體以相同方法重複抽取大量樣本，並為每個樣本建立信賴區間，長期而言約有 95% 的區間會包含固定但未知的母體平均數 $\mu$。

必須注意，頻率學派的信賴區間中，$\mu$ 是固定參數，隨機的是樣本以及由樣本計算出的區間。因此，嚴格說法不是「這一個已算出的區間有 95% 機率包含 $\mu$」，而是「此種建構區間的方法具有 95% 的長期涵蓋率」。

解題方法

判斷各選項是否符合信賴區間的重複抽樣解釋：

1. 將同一抽樣程序重複執行。
2. 每次取得樣本後，建立一個信賴區間。
3. 比較這些區間是否包含真實母體平均數 $\mu$。
4. 長期而言，約 95% 的區間會涵蓋 $\mu$。

因此，只要選項表達「重複抽樣下，信賴區間約有 95% 會包含真實參數」，即為正確解釋。

選項分析

(a) 正確

此選項表示：

如果取得所有可能樣本並建立信賴區間，其中 95% 的區間會包含真實母體平均數。

這正是 95% 信賴區間的標準頻率學派解釋。信賴水準 95% 指的是此區間估計方法的長期成功比例約為 95%。

因此，(a) 正確。

(b) 正確

此選項表示：

本題考驗在比較兩個母體平均數時，根據母體變異數的已知與否、是否相等，應選擇何種統計檢定方法。

題幹給定條件：

1. 比較兩個母體平均數 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 是否相等。
2. 兩個母體變異數 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 相等。
3. 兩個母體變異數是未知的。

我們來分析各個選項：

(a) A t-test must be performed
當我們比較兩個母體平均數時，如果母體變異數未知，則通常使用 t 檢定。

• 如果兩個母體變異數相等（無論是已知還是未知），我們可以使用合併變異數的 t 檢定 (pooled variance t-test)。
• 如果兩個母體變異數不等（且未知），我們可以使用Welch's t-test。
  在本題中，變異數相等且未知，所以合併變異數的 t 檢定是適用的。因此，t 檢定是可行的。

(b) An analysis of variance must be performed
變異數分析 (ANOVA) 主要用於比較三個或三個以上母體平均數的差異。雖然 ANOVA 的基本原理也建立在變異數的比較上，但它不是比較兩個母體平均數的「首選」或「必要」方法。ANOVA 可以用來比較兩個群體，但這時它與合併變異數的 t 檢定是等價的。然而，通常情況下，當只有兩個群體時，直接使用 t 檢定更為直接和常見。

(c) Either a t-test or an analysis of variance can be performed
如上所述，t 檢定（特別是合併變異數 t 檢定）是適用的。

本題考驗比較兩個母體比例 (population proportions) 時應使用的統計檢定方法。

題幹條件：

1. 比較兩個母體比例 ($p_1$ vs $p_2$)。
2. 數據只有兩個類別 (categories)，這意味著我們處理的是二元變數 (binary variable)，例如成功/失敗、是/否、買/不買等。

我們逐一分析選項：

(a) The z-test.
當我們比較兩個母體比例時，如果樣本量足夠大（通常要求 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$），我們可以使用 z-test。這個檢定是基於比例的樣本分佈近似於常態分佈。z-test 可以用於檢定兩個母體比例是否相等。

(b) The chi-squared test.
卡方檢定 (chi-squared test) 也可以用於比較兩個母體比例。具體來說，我們可以構造一個 2x2 的列聯表 (contingency table)，其中有兩列代表兩個母體（或兩個樣本），兩欄代表兩個類別（例如，第一類別和第二類別）。然後進行卡方獨立性檢定。

本題考驗對迴歸分析中預測區間 (prediction interval) 寬度的影響因素的理解。題目中提到「predicted value of y」，這通常是指對於一個新的 x 值，我們預測其對應的 y 值。這個預測通常伴隨一個預測區間，用來表示預測值的變異性。

在簡單線性迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中，對於一個給定的 $x_0$ 值，我們有兩種主要的區間估計：

1. 信賴區間 (Confidence Interval for the Mean Response)：估計母體平均反應 $E(Y|X=x_0) = \beta_0 + \beta_1 x_0$ 的區間。
2. 預測區間 (Prediction Interval for a New Observation)：預測一個新的、單獨的觀測值 $Y_{new}$ 在 $X=x_0$ 時的區間。

這兩種區間的寬度都與以下幾個因素有關，但預測區間的寬度通常比信賴區間更寬，因為它包含了新的隨機誤差項 $\epsilon$ 的變異。

預測區間的公式形式（針對 $Y_{new}$ 在 $X=x_0$ 時）通常為：
$\hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE_{pred}$
其中，$\hat{y}_0$ 是在 $x_0$ 處的預測值， $t_{\alpha/2, n-2}$ 是來自 t 分佈的值，而 $SE_{pred}$ 是預測的標準誤差。

預測的標準誤差 $SE_{pred}$ 的公式通常是：
$SE_{pred} = \sqrt{s_e^2 \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\right)}$
其中：

• $s_e^2$ 是殘差變異數的估計值 (MSE)，它是對母體誤差變異數 $\sigma^2$ 的估計。
• $n$ 是樣本大小。
• $x_0$ 是我們進行預測的特定 x 值。
• $\bar{x}$ 是樣本平均值。
• $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ 是 x 的離差平方和。

現在我們來分析選項：

(a) The standard error of the estimate
標準誤差 (standard error) 是影響區間寬度的關鍵因素。

本題考驗對 p-value 的正確理解，以及其與機率陳述的區別。

核心觀念：p-value 的定義是在虛無假設 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到現有樣本結果或比現有樣本結果更極端結果的機率。

題目給定：

• 檢定：$H_0: \mu = 100$ vs $H_1: \mu > 100$ (單尾右側檢定)。
• p-value = 0.074。
• 樣本平均數 $\bar{x} = 105$。

根據 p-value 的定義，p-value = 0.074 意味著：
在虛無假設 $H_0: \mu = 100$ 為真的情況下，觀察到樣本平均數 $\bar{x} \ge 105$ （或比 105 更極端的值，在此單尾檢定中就是 $\ge 105$）的機率是 0.074。

現在我們逐一分析選項：

(a) The probability of observing a sample mean at least as large as 105 from a population whose mean is 100 is 0.074.
這個敘述完全符合 p-value 的定義。它假設了母體平均數 $\mu=100$（即 $H_0$ 為真），然後計算了觀察到樣本平均數 $\bar{x} \ge 105$ 的機率，並給出了 0.074。這是正確的。

本題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解，特別是當母體分佈本身不是常態分佈時。

題目給定：

• 母體分佈：偏態 (skewed)。
• 母體平均數 $\mu = 24$ 年。
• 母體標準差 $\sigma = 4$ 年。
• 樣本大小 $n = 100$。

我們要判斷關於樣本平均數的抽樣分佈 (sampling distribution of the sample mean) 的哪個敘述是錯誤的。

根據中央極限定理 (CLT)：

1. 抽樣分佈的平均數：樣本平均數的抽樣分佈的平均數等於母體平均數。
   $\mu_{\bar{x}} = \mu$
   在本題中，$\mu_{\bar{x}} = 24$ 年。
   因此，選項 (a)「The mean of the sampling distribution of sample mean is equal to 24 years.」是正確的。

2. 抽樣分佈的標準差：樣本平均數的抽樣分佈的標準差（也稱為標準誤, standard error of the mean, SEM）等於母體標準差除以樣本大小的平方根。
   $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

本題考驗對比例抽樣分佈的理解，並使用常態近似來計算機率。

題目給定：

• 樣本大小 $n = 51$。
• 母體比例 $p = 0.85$。
• 我們要計算樣本比例 $\hat{p}$ 介於 0.9115 和 0.946 之間的機率，即 $P(0.9115 < \hat{p} < 0.946)$。

由於樣本大小 $n=51$ 且母體比例 $p=0.85$，我們可以檢查常態近似的條件：

• $np = 51 \times 0.85 = 43.35 \ge 10$
• $n(1-p) = 51 \times (1-0.85) = 51 \times 0.15 = 7.65$

這裡 $n(1-p) = 7.65$ 小於 10。在某些教科書中，這個條件可能被認為是勉強可以接受的，或者需要使用更精確的二項分佈計算。然而，通常在考題中，如果給出了選項，且常態近似是唯一可行的計算方法，我們就假設可以使用常態近似。

樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似為：
平均數：$\mu_{\hat{p}} = p = 0.85$
標準差（標準誤）：$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.85 \times 0.15}{51}} = \sqrt{\frac{0.1275}{51}} = \sqrt{0.0025} = 0.05$

現在我們將樣本比例的範圍轉換為 z 分數：
對於 $\hat{p}_1 = 0.9115$：
$z_1 = \frac{\hat{p}_1 - \mu_{\hat{p}}}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.9115 - 0.85}{0.05} = \frac{0.0615}{0.05} = 1.23$

對於 $\hat{p}_2 = 0.946$：
$z_2 = \frac{\hat{p}_2 - \mu_{\hat{p}}}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.946 - 0.85}{0.05} = \frac{0.096}{0.05} = 1.92$

我們需要計算 $P(1.23 < Z < 1.92)$，其中 Z 是標準常態分佈。
$P(1.23 < Z < 1.92) = P(Z < 1.92) - P(Z < 1.23)$

從標準常態分佈表 (Z-table) 中查找：

• $P(Z < 1.92) \approx 0.9726$

本題考驗假設檢定中，如何根據檢定的目標來設定拒絕域 (rejection region)。

首先，我們需要確定在虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_a$) 下，隨機變數 X（抽到紅球的次數）的機率分佈。

虛無假設 $H_0: p = 1/3$
如果 $H_0$ 為真，則抽到紅球的機率是 $p=1/3$。
我們從選定的碗中抽取三顆球，一次一個且有放回。這是一個獨立的伯努利試驗序列，每次試驗成功（抽到紅球）的機率是 $p=1/3$。
因此，在 $H_0$ 為真時，X 服從二項分佈 $B(n=3, p=1/3)$。
X 的可能值為 0, 1, 2, 3。
各點機率為：

• $P(X=0 | H_0) = \binom{3}{0} (1/3)^0 (2/3)^3 = 1 \times 1 \times 8/27 = 8/27$
• $P(X=1 | H_0) = \binom{3}{1} (1/3)^1 (2/3)^2 = 3 \times (1/3) \times (4/9) = 12/27$
• $P(X=2 | H_0) = \binom{3}{2} (1/3)^2 (2/3)^1 = 3 \times (1/9) \times (2/3) = 6/27$
• $P(X=3 | H_0) = \binom{3}{3} (1/3)^3 (2/3)^0 = 1 \times (1/27) \times 1 = 1/27$
  總和：$(8+12+6+1)/27 = 27/27 = 1$。

對立假設 $H_a: p = 2/3$
如果 $H_a$ 為真，則抽到紅球的機率是 $p=2/3$。
同樣，X 服從二項分佈 $B(n=3, p=2/3)$。
各點機率為：

• $P(X=0 | H_a) = \binom{3}{0} (2/3)^0 (1/3)^3 = 1 \times 1 \times 1/27 = 1/27$
• $P(X=1 | H_a) = \binom{3}{1} (2/3)^1 (1/3)^2 = 3 \times (2/3) \times (1/9) = 6/27$
• $P(X=2 | H_a) = \binom{3}{2} (2/3)^2 (1/3)^1 = 3 \times (4/9) \times (1/3) = 12/27$
• $P(X=3 | H_a) = \binom{3}{3} (2/3)^3 (1/3)^0 = 1 \times 8/27 \times 1 = 8/27$
  總和：$(1+6+12+8)/27 = 27/27 = 1$。

檢定目標：
我們要檢定 $H_0: p=1/3$ 對抗 $H_a: p=2/3$。
注意，如果 $p=1/3$，抽到紅球的機率較低。如果 $p=2/3$，抽到紅球的機率較高。
因此，觀察到較多的紅球（較大的 X 值）會支持對立假設 $H_a$（即 $p=2/3$）。
反之，觀察到較少的紅球（較小的 X 值）會支持虛無假設 $H_0$（即 $p=1/3$）。

設定拒絕域：
拒絕域應該包含那些在 $H_0$ 下機率很小，但在 $H_a$ 下機率相對較大的 X 值。
我們比較 $H_0$ 和 $H_a$ 下的機率：

• $P(X=0 | H_0) = 8/27$, $P(X=0 | H_a) = 1/27$
• $P(X=1 | H_0) = 12/27$, $P(X=1 | H_a) = 6/27$
• $P(X=2 | H_0) = 6/27$, $P(X=2 | H_a) = 12/27$
• $P(X=3 | H_0) = 1/27$, $P(X=3 | H_a) = 8/27$

觀察 X 值和對應的機率：

• X=0：在 $H_0$ 下機率為 8/27，在 $H_a$ 下機率為 1/27。X=0 較支持 $H_0$。
• X=1：在 $H_0$ 下機率為 12/27，在 $H_a$ 下機率為 6/27。X=1 較支持 $H_0$。
• X=2：在 $H_0$ 下機率為 6/27，在 $H_a$ 下機率為 12/27。X=2 較支持 $H_a$。
• X=3：在 $H_0$ 下機率為 1/27，在 $H_a$ 下機率為 8/27。X=3 較支持 $H_a$。

為了檢定 $H_0: p=1/3$ 對抗 $H_a: p=2/3$，我們應該拒絕 $H_0$ 當觀察到的 X 值傾向於支持 $H_a$ 時。這意味著 X 值應該偏大。
因此，拒絕域應該包含較大的 X 值。

我們檢查選項：
(a) Reject Ho if X > 2
這意味著拒絕域是 {X=3}。
在 $H_0$ 下的機率 (Type I error rate, $\alpha$) = $P(X=3 | H_0) = 1/27 \approx 0.037$。
在 $H_a$ 下的機率 (power, $1-\beta$) = $P(X=3 | H_a) = 8/27 \approx 0.296$。
這個拒絕域是合理的，因為它包含了最支持 $H_a$ 的結果 (X=3)。

(b) Reject Ho if X < 2
這意味著拒絕域是 {X=0, X=1}。

本題考驗顯著水準 (level of significance, $\alpha$) 和第二類錯誤機率 (probability of Type II error, $\beta$) 之間的關係。

在假設檢定中：

• 第一類錯誤 (Type I Error)：當虛無假設 ($H_0$) 為真時，錯誤地拒絕 $H_0$。其機率用 $\alpha$ 表示。
• 第二類錯誤 (Type II Error)：當對立假設 ($H_a$) 為真時，錯誤地未能拒絕 $H_0$。其機率用 $\beta$ 表示。
• 檢定力 (Power of the test)：當對立假設 ($H_a$) 為真時，正確地拒絕 $H_0$ 的機率，即 $1 - \beta$。

題目描述：顯著水準 $\alpha$ 從 0.01 提高到 0.05。
這意味著我們對拒絕 $H_0$ 的標準放寬了。當 $H_0$ 為真時，我們現在更有可能拒絕它（因為 $\alpha$ 變大了）。

核心觀念

題目給定離散均勻分配：

$$f(x)=\frac{1}{2a+1},\qquad x=-a,-a+1,\ldots,0,\ldots,a-1,a$$

其中 $a$ 為非負整數，樣本空間共有 $2a+1$ 個可能值。

五個觀察值為：

$$3,-1,-5,2,1$$

這題主要考：

• 離散均勻分配的機率函數；
• 參數 $a$ 對可能值範圍的限制；
• 最大概似法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。

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解題方法

由於所有觀察值都必須落在 $[-a,a]$ 之內，因此必須滿足：

$$-a\leq -5,\qquad 5\leq a$$

所以 $a$ 至少為 $5$。

對於給定的 $a$，五筆獨立觀察值同時出現的概似函數為：

$$L(a) =\prod_{i=1}^{5}f(x_i) =\left(\frac{1}{2a+1}\right)^5, \qquad a\geq 5$$

由於 $a$ 越大，$2a+1$ 越大，故

本題要求計算用於檢定性別與顏色偏好之間是否存在差異的檢定統計量。這是一個關於分類資料的獨立性檢定問題。

題目給定：

• 樣本大小 $N = 100$。
• 數據為列聯表 (contingency table) 的形式，包含性別 (Men/Women) 和顏色偏好 (Red/Yellow/Blue)。
• 表格中的數值是樣本比例 (sample proportions)，不是實際觀察次數 (counts)。
• 檢定目標：判斷性別與顏色偏好之間是否存在差異，即檢定兩個變數是否獨立。

首先，我們需要將表格中的比例轉換為實際的觀察次數，因為卡方檢定是基於實際次數進行計算的。
總樣本數 $N=100$。
由於表格中的數值是比例，我們將它們乘以總樣本數 100 得到實際次數：

Gender	Red	Yellow	Blue	Row Total
Men	0.13	0.19	0.28	0.13+0.19+0.28 = 0.60
Women	0.07	0.11	0.22	0.07+0.11+0.22 = 0.40
Column Total	0.20	0.30	0.50	1.00

將比例乘以 100 得到觀察次數 (Observed counts, $O_{ij}$):

Gender	Red	Yellow	Blue	Row Total
Men	13	19	28	60
Women	7	11	22	40
Column Total	20	30	50	100

虛無假設 $H_0$：性別與顏色偏好是獨立的（即沒有差異）。
對立假設 $H_a$：性別與顏色偏好是相關的（即存在差異）。

我們使用卡方獨立性檢定。檢定統計量為：
$\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中，$O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是在 $H_0$ 為真時的期望次數。

期望次數 $E_{ij}$ 的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$

我們計算每個單元的期望次數：

• $E_{\text{Men, Red}} = \frac{60 \times 20}{100} = 12$
• $E_{\text{Men, Yellow}} = \frac{60 \times 30}{100} = 18$
• $E_{\text{Men, Blue}} = \frac{60 \times 50}{100} = 30$
• $E_{\text{Women, Red}} = \frac{40 \times 20}{100} = 8$
• $E_{\text{Women, Yellow}} = \frac{40 \times 30}{100} = 12$
• $E_{\text{Women, Blue}} = \frac{40 \times 50}{100} = 20$

本題考驗對假設檢定中顯著水準 ($\alpha$)、檢定力 (power, $1-\beta$) 以及保守性 (conservativeness) 的理解。

題目給定：

• 兩實驗室檢定相同的 $H_0: \mu = 100$ vs $H_1: \mu > 100$。
• Lab A: $\alpha_A = 0.05$, Power$_A = 0.70$ (當 $\mu = 105$ 時)。
• Lab B: $\alpha_B = 0.01$, Power$_B = 0.50$ (當 $\mu = 105$ 時)。

核心概念：

• 顯著水準 $\alpha$：當 $H_0$ 為真時，拒絕 $H_0$ 的機率（第一類錯誤）。$\alpha$ 越小，檢定越「嚴格」或越「保守」。
• 檢定力 (Power)：當 $H_a$ 為真時，正確拒絕 $H_0$ 的機率 ($1-\beta$)。檢定力越高，檢定越「靈敏」，越能偵測到真實的效應。
• 保守性 (Conservativeness)：在假設檢定中，一個檢定被認為是保守的，如果它在 $H_0$ 為真時，實際犯第一類錯誤的機率小於或等於其名目顯著水準 $\alpha$。通常，較低的 $\alpha$ 值意味著更保守的檢定。

(a) Which lab's test is more conservative?

保守性與顯著水準 $\alpha$ 直接相關。$\alpha$ 值越小，表示在 $H_0$ 為真時拒絕 $H_0$ 的機率越低，檢定越保守。

• Lab A 的 $\alpha_A = 0.05$。
• Lab B 的 $\alpha_B = 0.01$。

由於 $\alpha_B < \alpha_A$ (0.01 < 0.05)，Lab B 的檢定標準更嚴格，它在 $H_0$ 為真時，犯第一類錯誤的機率更小。因此，Lab B 的檢定更保守。

答案 (a)：Lab B 的檢定更保守。

核心觀念

本題考查四分位距與離群值判定、統計量的定義，以及如何由五數摘要判斷分配的偏態。

四分位距為

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$

依 Tukey 的 $1.5\mathrm{IQR}$ 規則，低於下界或高於上界的觀測值判定為離群值：

$$\text{下界}=Q_1-1.5\mathrm{IQR},\qquad \text{上界}=Q_3+1.5\mathrm{IQR}$$

**統計量（statistic）**是由樣本資料計算出的數值；本題的摘要來自 100 位服務生的樣本。

解題方法

先計算四分位距與離群值界限：

$$\mathrm{IQR}=141-114=27$$ $$\text{下界}=114-1.5(27)=73.5$$ $$\text{上界}=141+1.5(27)=181.5$$

比較最小值 75 與最大值 145：兩者都落在 $[73.5,181.5]$ 範圍內，因此都不屬於離群值。

判斷偏態時，比較中位數兩側及尾端的長度：

中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 是統計學中最重要和最有用的定理之一。它描述了當樣本量足夠大時，樣本平均數的抽樣分佈的性質，即使母體分佈本身不是常態分佈。

中央極限定理 (CLT) 的敘述：

設從任何一個具有有限平均數 $\mu$ 和有限變異數 $\sigma^2 > 0$ 的母體中，隨機抽取大小為 $n$ 的樣本。當樣本大小 $n$ 足夠大時（通常認為 $n \ge 30$ 就足夠），樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈近似於一個常態分佈，其平均數為 $\mu$ 且標準差（標準誤）為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

用數學式表示：
若 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是從一個母體中隨機抽取的獨立同分佈 (i.i.d.) 的隨機變數，且 $E(X_i) = \mu$ 和 $Var(X_i) = \sigma^2 < \infty$。
則當 $n \to \infty$ 時，標準化樣本平均數：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
的機率分佈趨近於標準常態分佈 $N(0, 1)$。

更直觀地說：
$\bar{X} \approx N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

CLT 的假設 (Assumptions)：

1. 隨機抽樣 (Random Sampling)：樣本必須是從母體中隨機抽取的。這確保了樣本的代表性，使得樣本統計量能夠反映母體參數。
2. 獨立性 (Independence)：樣本中的各個觀測值必須是相互獨立的。如果樣本是從有限母體中抽取且未進行重新放回，則通常要求樣本大小 $n$ 相對於母體大小 $N$ 較小（例如 $n \le 0.05N$），以近似獨立性。如果母體是無限的，則獨立性通常是直接滿足的。
3. 有限的平均數和變異數 (Finite Mean and Variance)：母體的平均數 $\mu$ 和變異數 $\sigma^2$ 必須是有限的。

核心觀念

這題考「含類別自變數的多元迴歸」與「兩個迴歸係數的聯合 $F$ 檢定」。令應變數為 $Y$，迴歸模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1Z_{1i}+\beta_2Z_{2i}+\varepsilon_i.$$

其中方法 A、方法 B 各以虛擬變數表示；兩者皆為 0 的組別是參考組。題目未提供應變數觀測值、各組樣本數或迴歸摘要，因此無法算出數值答案；以下列出可直接代入資料的定案公式。

(a) 估計迴歸係數

設參考組、方法 A、方法 B 的樣本平均數分別為 $\bar Y_0$、$\bar Y_A$、$\bar Y_B$。在模型中，各組的預測平均數為：

• 參考組：$\hat Y=\hat\beta_0$
• 方法 A：$\hat Y=\hat\beta_0+\hat\beta_1$
• 方法 B：$\hat Y=\hat\beta_0+\hat\beta_2$

最小平方法會使各組的預測平均數等於該組的樣本平均數，因此

$$\hat\beta_0=\bar Y_0, \qquad \hat\beta_1=\bar Y_A-\bar Y_0, \qquad \hat\beta_2=\bar Y_B-\bar Y_0.$$

也就是說，截距是參考組的平均應變數；兩個虛擬變數的係數，分別是方法 A、方法 B 相對於參考組的平均差。

(b) 聯合檢定

檢定假設為

$$H_0:\beta_1=\beta_2=0, \qquad H_1:\text{至少一個係數不為 }0.$$

虛無假設下只有截距，表示三組平均數相同；完整模型則允許方法 A、方法 B 的平均數與參考組不同。此為兩個限制的部分 $F$ 檢定，統計量為

$$F= \frac{(SSE_R-SSE_F)/2}{SSE_F/(n-3)},$$

核心觀念

本題考查：

• 離散型隨機變數的機率函數。
• 期望值：
  $E(X)=\sum_x xP(X=x)$
• 變異數：
  $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$
• 重複獨立試驗與二項分配。

每次抽球時：

• 抽到黑球的機率為
  $P(\text{黑球})=\frac{2}{10}=\frac15$
• 抽到白球的機率為
  $P(\text{白球})=\frac{8}{10}=\frac45$

令 $X$ 表示單次遊戲的 winnings。

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解題方法

(a) 求 $X$ 的機率函數

抽到黑球時贏得 $2$ 元，因此 $X=2$；抽到白球時輸掉 $1$ 元，因此 $X=-1$。

故機率函數為：

$X=x$	$P(X=x)$
$2$	$\frac15$
$-1$	$\frac45$

以分段函數表示：

$$p_X(x)=P(X=x)= \begin{cases} \frac15, & x=2,\\[4pt] \frac45, & x=-1,\\[4pt] 0, & \text{其他情況}. \end{cases}$$

檢查機率總和：

$$\frac15+\frac45=1$$

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(b) 求期望值 $E(X)$

離散型隨機變數的期望值為：

$$E(X)=\sum_x xP(X=x)$$

代入本題數值：

$$\begin{aligned} E(X) &=2\left(\frac15\right)+(-1)\left(\frac45\right)\\ &=\frac25-\frac45\\ &=-\frac25 \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{E(X)=-\frac25=-0.4}$$

表示每玩一次，長期平均而言會損失 $0.4$ 元。

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(c) 求變異數 $\operatorname{Var}(X)$

先計算 $E(X^2)$：

$$\begin{aligned} E(X^2) &=2^2\left(\frac15\right)+(-1)^2\left(\frac45\right)\\ &=4\left(\frac15\right)+1\left(\frac45\right)\\ &=\frac45+\frac45\\ &=\frac85 \end{aligned}$$

利用公式：

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$

得到：

核心觀念

本題探討常態分配（Normal Distribution）之標準化與二項隨機變數的期望值（Expected Value）。

1. 智商（IQ）的常態常模假設：在統計學與心理測驗學標準定義中，一般族群之智商分數 $X$ 服從常態分配，其平均數 $\mu = 100$、標準差 $\sigma = 15$，即： $$X \sim N(100, 15^2)$$
2. 標準化轉換（$Z$-score Transformation）： $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$
3. 期望人數計算：設隨機抽出 $n$ 位學生中，IQ 小於 90 的人數為 $Y$，則 $Y \sim \text{Binomial}(n, p)$，其中 $p = P(X < 90)$。其期望值為： $$E(Y) = n \times p$$

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解題方法

步驟一：計算單一學生 IQ 小於 90 的機率 $p$

由常規魏氏智力量表（Wechsler Adult Intelligence Scale）常模設定 $\mu = 100$、$\sigma = 15$。將 $X = 90$ 進行標準化：

$$Z = \frac{90 - 100}{15} = -\frac{10}{15} \approx -0.67$$

查標準常態分配累積機率表（Standard Normal Cumulative Table）：

$$p = P(X < 90) = P(Z < -0.67) = \Phi(-0.67) \approx 0.2514$$

本題考驗對單一觀測值機率和樣本平均數機率的比較，以及中央極限定理的應用。

題目要求比較兩種情況的可能性：

1. 隨機選取一個學生，其 IQ 分數大於 105 的機率。
2. 隨機選取一個包含 15 名學生的樣本，其樣本平均 IQ 分數大於 105 的機率。

我們需要計算這兩種機率，並進行比較。

給定資訊：

• IQ 分數服從常態分佈。
• 母體平均數 $\mu = 100$。
• 母體標準差 $\sigma = 15$。

情況 1：單一學生的 IQ 分數大於 105
我們計算 $P(X > 105)$，其中 X 代表單一學生的 IQ 分數。
將 $X=105$ 轉換為 z 分數：
$z = \frac{105 - \mu}{\sigma} = \frac{105 - 100}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0.33$

查找標準常態分佈表中 $z = 0.33$ 對應的機率：
$P(Z > 0.33) = 1 - P(Z \le 0.33)$
查表可知，$P(Z \le 0.33) \approx 0.6293$。
所以，$P(X > 105) \approx 1 - 0.6293 = 0.3707$。

情況 2：15 名學生的樣本平均 IQ 分數大於 105
我們計算 $P(\bar{X} > 105)$，其中 $\bar{X}$ 是樣本平均 IQ 分數，樣本大小 $n = 15$。
由於 IQ 分數服從常態分佈，根據中央極限定理 (CLT)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈也服從常態分佈。

• 抽樣分佈的平均數：$\mu_{\bar{X}} = \mu = 100$。
• 抽樣分佈的標準差（標準誤）：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{15}}$。

計算標準誤：
$\sigma_{\bar{X}} = \frac{15}{\sqrt{15}} = \frac{15 \sqrt{15}}{15} = \sqrt{15} \approx 3.873$。

現在，我們將樣本平均數 $\bar{X}=105$ 轉換為 z 分數：
$z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{105 - 100}{\sqrt{15}} = \frac{5}{\sqrt{15}}$
$z = \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5 \sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3} \approx \frac{3.873}{3} \approx 1.291$

查找標準常態分佈表中 $z \approx 1.29$ 對應的機率：
$P(Z > 1.29) = 1 - P(Z \le 1.29)$
查表可知，$P(Z \le 1.29) \approx 0.9015$。

本題要求進行一個假設檢定，根據樣本結果判斷母體平均 IQ 分數是否有所提升。

檢定步驟：

1. 設定假設：

   • 虛無假設 $H_0$：母體平均 IQ 分數沒有增加，即 $\mu = 100$（或 $\mu \le 100$）。
   • 對立假設 $H_1$：母體平均 IQ 分數有所增加，即 $\mu > 100$。
     這是一個單尾右側檢定。

2. 設定顯著水準 $\alpha$：
   題目指定 $\alpha = 0.05$。

3. 收集樣本資料並計算檢定統計量：

   • 樣本大小 $n = 100$。
   • 樣本平均數 $\bar{x} = 102$。
   • 母體標準差 $\sigma = 15$ (假設已知)。
   • 由於樣本大小 $n=100$ 很大，即使母體標準差未知，我們也可以使用 z 檢定，並用樣本標準差 $s$ 來估計 $\sigma$。但題目給定了 $\sigma=15$，所以我們直接使用 z 檢定。
   • 檢定統計量 z 的計算公式為：
     $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
     其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數。

   代入數值：
   $z = \frac{102 - 100}{15/\sqrt{100}}$
   $z = \frac{2}{15/10}$
   $z = \frac{2}{1.5}$
   $z = \frac{4}{3} \approx 1.333$

4. 計算 p-value：
   p-value 是在 $H_0$ 為真時，觀察到現有樣本結果或比現有樣本結果更極端（在此為右側）的機率。
   p-value = $P(Z \ge z_{\text{calculated}})$
   p-value = $P(Z \ge 1.333)$