115 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）乙組《微積分》

核心觀念

本題考查：

• 無窮大極限中根式最高次項的處理。
• $x\to 0$ 時的泰勒展開。
• 透過保留足夠階數的展開項，找出分子與分母的最低非零階次。

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(a) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2+3}}{4x-1}$

解題方法

分子含有 $\sqrt{x^2}$，當 $x\to\infty$ 時，$x>0$，因此：

$$\sqrt{x^2}=x.$$

將分子分母同除以 $x$：

$$\frac{\sqrt{9x^2+3}}{4x-1} = \frac{\sqrt{x^2\left(9+\frac{3}{x^2}\right)}}{x\left(4-\frac1x\right)}.$$

因為 $x\to\infty$ 且 $x>0$，可得：

$$\sqrt{x^2\left(9+\frac{3}{x^2}\right)} = x\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}.$$

所以：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2+3}}{4x-1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{4-\frac1x}.$$

取極限：

$$\frac{\sqrt{9+0}}{4-0} = \frac34.$$

解題技巧

根式多項式的無窮大極限，可直接比較最高次項：

$$\sqrt{9x^2+3}\sim 3x,\qquad 4x-1\sim 4x.$$

因此極限為最高次項係數之比：

$$\frac34.$$

必須注意：若趨近的是 $x\to-\infty$，則 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$，不能直接寫成 $x$。

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(b) $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac1{2x^2}+\frac1{x^3}+\frac1{x^4}-\frac{e^{\sin x}}{x^4}\right)$

核心觀念

先通分：

$$\frac1{2x^2}+\frac1{x^3}+\frac1{x^4}-\frac{e^{\sin x}}{x^4} = \frac{\frac{x^2}{2}+x+1-e^{\sin x}}{x^4}.$$

分母為 $x^4$，所以必須將 $e^{\sin x}$ 展開至 $x^4$ 項，才能判斷極限。

使用公式：

$$e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+\frac{u^4}{4!}+o(u^4),$$

以及：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4).$$

本題考驗學生對對數律、連鎖律、乘積法則以及高階導數的計算能力。

(a) 處理對數函數的微分，首先利用對數律簡化函數。
$f(x) = \ln(x^3(4x + 1)^5)$
利用對數律 $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ 和 $\ln(a^n) = n \ln a$：
$f(x) = \ln(x^3) + \ln((4x + 1)^5)$
$f(x) = 3 \ln x + 5 \ln(4x + 1)$

現在對 $f(x)$ 進行微分。
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
$\frac{d}{dx}(\ln(4x + 1)) = \frac{1}{4x+1} \cdot \frac{d}{dx}(4x+1) = \frac{1}{4x+1} \cdot 4 = \frac{4}{4x+1}$

所以，$f'(x)$ 為：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3 \ln x) + \frac{d}{dx}(5 \ln(4x + 1))$
$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{4}{4x+1}$
$f'(x) = \frac{3}{x} + \frac{20}{4x+1}$

為了得到一個統一的分數形式，我們可以通分：
$f'(x) = \frac{3(4x+1) + 20x}{x(4x+1)}$
$f'(x) = \frac{12x + 3 + 20x}{4x^2 + x}$
$f'(x) = \frac{32x + 3}{4x^2 + x}$

【答案】$f'(x) = \frac{3}{x} + \frac{20}{4x+1}$ 或 $f'(x) = \frac{32x + 3}{4x^2 + x}$

(b) 計算高階導數，特別是對於 $x^2 \arctan(x)$ 在 $x=0$ 的值，通常利用泰勒級數展開。
我們知道 $\arctan(x)$ 的泰勒級數為：

第 3 題

核心觀念

本題分別考查：

• 三角函數代換法：利用 $\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$。
• 指數函數積分與特殊函數 $\operatorname{erfi}$。
• 定積分的對稱性與變數代換。

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(a) $\displaystyle \int \frac{2}{\cos^2 x}\sqrt{6+\tan x}\,dx$

解題方法

注意到被積分式中同時出現 $\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2x$ 與 $6+\tan x$，適合令

$$u=6+\tan x.$$

則

$$du=\sec^2x\,dx=\frac{1}{\cos^2x}\,dx.$$

原積分變為

$$\int 2\sqrt{u}\,du =2\int u^{1/2}\,du.$$

因此

$$2\int u^{1/2}\,du =2\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} =\frac{4}{3}u^{3/2}+C.$$

代回 $u=6+\tan x$，得

$$\boxed{\int \frac{2}{\cos^2 x}\sqrt{6+\tan x}\,dx =\frac{4}{3}(6+\tan x)^{3/2}+C}.$$

解題技巧

看到 $\tan x$ 的函數內又乘上 $\sec^2x$，應立即聯想到代換

$$u=\tan x.$$

本題的常數 $6$ 不影響代換，直接併入 $u=6+\tan x$ 即可。

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(b) $\displaystyle \int_0^1 e^{3x^2+2}\,dx\,dy$

題目資訊說明

題式末端出現 $dy$，但積分範圍只給出 $x$ 的上下限，且被積分函數不含 $y$；因此二重積分的 $y$ 積分範圍缺漏。以下依題目結構，採用合理假設：末端的 $dy$ 為筆誤，原題應為

$$\int_0^1 e^{3x^2+2}\,dx.$$

核心觀念

先提出常數因子：

$$e^{3x^2+2}=e^2e^{3x^2}.$$

然而 $e^{3x^2}$ 沒有初等函數形式的反導函數，因此使用虛誤差函數 $\operatorname{erfi}$：

$$\operatorname{erfi}(z) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{t^2}\,dt.$$

解題方法

原積分為

$$I=\int_0^1 e^{3x^2+2}\,dx =e^2\int_0^1 e^{3x^2}\,dx.$$

令

$$t=\sqrt{3}\,x, \qquad dx=\frac{dt}{\sqrt{3}}.$$

當 $x=0$ 時，$t=0$；當 $x=1$ 時，$t=\sqrt{3}$。因此

$$I =\frac{e^2}{\sqrt{3}}\int_0^{\sqrt{3}}e^{t^2}\,dt.$$

由 $\operatorname{erfi}$ 的定義，

核心觀念

本題主要考查：

1. 微積分基本定理：
   $\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)\,dt=f(x)。$
2. 臨界點的判定：令 $F'(x)=0$ 或 $F'(x)$ 不存在。
3. 一階導數判別法：利用導數正負判斷局部極大值與局部極小值。
4. 變數代換法與鏈鎖律。

由於 $\sqrt{t}$ 在實數範圍要求 $t\ge 0$，本題函數的定義域為 $x\ge 0$。

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（a）求 $F(x)$ 的所有臨界點

由微積分基本定理，

$$F'(x)=\sqrt{x}\sin x。$$

臨界點首先由

$$F'(x)=0$$

求得：

$$\sqrt{x}\sin x=0。$$

因為 $x\ge 0$，所以：

• $\sqrt{x}=0$ 給出 $x=0$；
• $\sin x=0$ 給出 $x=n\pi$，其中 $n$ 為整數。

在定義域 $x\ge 0$ 中，臨界點為

$$x=n\pi,\qquad n=0,1,2,\ldots$$

嚴格按照「定義域內點且導數存在」的標準，$x=0$ 是端點，通常只列內部臨界點：

$$x=\pi,2\pi,3\pi,\ldots$$

若採用包含端點的廣義習慣，則可將 $x=0$ 一併列入。

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（b）判斷 $x=\pi$ 是局部極大值或局部極小值

由

$$F'(x)=\sqrt{x}\sin x$$

判斷 $x=\pi$ 左右兩側的導數符號。

當 $0<x<\pi$ 時，

$$\sin x>0,\qquad \sqrt{x}>0,$$

因此

$$F'(x)>0。$$

當 $\pi<x<2\pi$ 時，

$$\sin x<0,\qquad \sqrt{x}>0,$$

因此

$$F'(x)<0。$$

所以 $F(x)$ 在 $x=\pi$ 左側遞增、右側遞減：

$$F'(x):\quad +\ \longrightarrow\ 0\ \longrightarrow\ -。$$

因此依一階導數判別法，$F(x)$ 在 $x=\pi$ 有局部極大值。

其函數值為

$$F(\pi)=\int_0^\pi \sqrt{t}\sin t\,dt,$$

但題目只要求判斷極大或極小，不必計算此積分。

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（c）求 $a,b,c,d$

先直接計算 $G(x)$。令

$$u=t^2,\qquad du=2t\,dt,$$

則

$$t\,dt=\frac12\,du。$$

當 $t=0$ 時，$u=0$；當 $t=x$ 時，$u=x^2$。因此

本題考驗學生對經濟學中供需曲線、市場均衡、消費者剩餘與生產者剩餘的計算能力。

1. 尋找市場均衡點 (Equilibrium Point)
   市場均衡點發生在需求量等於供給量，即 $D(q) = S(q)$。
   $\frac{250}{q + 20} = q + 5$
   將等式兩邊同乘以 $(q+20)$：
   $250 = (q + 5)(q + 20)$
   $250 = q^2 + 20q + 5q + 100$
   $250 = q^2 + 25q + 100$
   將所有項移到一邊，形成一個二次方程式：
   $q^2 + 25q + 100 - 250 = 0$
   $q^2 + 25q - 150 = 0$
   我們可以使用二次方程式求根公式 $q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=25, c=-150$。
   $q = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4(1)(-150)}}{2(1)}$
   $q = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 600}}{2}$
   $q = \frac{-25 \pm \sqrt{1225}}{2}$
   $\sqrt{1225} = 35$。
   $q = \frac{-25 \pm 35}{2}$
   有兩個可能的解：
   $q_1 = \frac{-25 + 35}{2} = \frac{10}{2} = 5$
   $q_2 = \frac{-25 - 35}{2} = \frac{-60}{2} = -30$
   由於數量 $q$ 不能為負，我們捨棄 $q_2 = -30$。
   因此，均衡數量為 $q_e = 5$。

   均衡價格 $p_e$ 可以通過將 $q_e=5$ 代入需求函數或供給函數來計算。
   使用供給函數 $S(q) = q + 5$:
   $p_e = S(5) = 5 + 5 = 10$。
   使用需求函數 $D(q) = \frac{250}{q + 20}$:
   $p_e = D(5) = \frac{250}{5 + 20} = \frac{250}{25} = 10$。
   兩者結果一致。
   所以，均衡點是 $(q_e, p_e) = (5, 10)$。

2. 計算消費者剩餘 (Consumer's Surplus, CS)
   消費者剩餘是消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額的總和。它由需求曲線、市場價格線以及數量軸所圍成的區域面積表示。

本題考驗學生對約束優化問題的處理能力，特別是利用拉格朗日乘數法或代入法求解。

問題是要在約束條件 $4x + 2y = 80$ 下，最大化利潤函數 $P(x, y) = x^2 + 2y^2$。
同時，生產數量 $x$ 和 $y$ 必須是非負的，即 $x \ge 0$ 且 $y \ge 0$。

方法一：代入法
首先，我們從約束條件 $4x + 2y = 80$ 中解出一個變數。
將等式兩邊同除以 2：
$2x + y = 40$
解出 $y$:
$y = 40 - 2x$

由於 $y \ge 0$，我們有 $40 - 2x \ge 0 \implies 40 \ge 2x \implies 20 \ge x$。
同時，我們也有 $x \ge 0$。
所以，變數 $x$ 的範圍是 $[0, 20]$。

現在將 $y = 40 - 2x$ 代入利潤函數 $P(x, y)$：
$P(x) = x^2 + 2(40 - 2x)^2$
$P(x) = x^2 + 2(1600 - 160x + 4x^2)$
$P(x) = x^2 + 3200 - 320x + 8x^2$
$P(x) = 9x^2 - 320x + 3200$

我們需要找到函數 $P(x) = 9x^2 - 320x + 3200$ 在區間 $[0, 20]$ 上的最大值。
這是一個開口向上的二次函數，其最大值可能在區間的端點處取得。
首先，我們尋找函數的臨界點，即 $P'(x) = 0$ 的地方。
$P'(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 320x + 3200)$
$P'(x) = 18x - 320$
令 $P'(x) = 0$:
$18x - 320 = 0$
$18x = 320$
$x = \frac{320}{18} = \frac{160}{9}$

檢查 $x = \frac{160}{9}$ 是否在區間 $[0, 20]$ 內。
$\frac{160}{9} \approx 17.78$。這個值在 $[0, 20]$ 內。
由於 $P''(x) = 18 > 0$，所以 $x = \frac{160}{9}$ 是函數 $P(x)$ 的局部最小值點。
因此，最大值必須在區間的端點 $x=0$ 或 $x=20$ 處取得。

計算在端點處的利潤值：
當 $x = 0$:
$y = 40 - 2(0) = 40$。
$P(0, 40) = 0^2 + 2(40^2) = 2(1600) = 3200$。

當 $x = 20$:
$y = 40 - 2(20) = 40 - 40 = 0$。
$P(20, 0) = 20^2 + 2(0^2) = 400$。

比較兩個端點的值，3200 > 400。
因此，最大利潤發生在 $x=0$ 和 $y=40$。

方法二：拉格朗日乘數法
我們需要最大化 $P(x, y) = x^2 + 2y^2$ 在約束 $g(x, y) = 4x + 2y - 80 = 0$ 下。
拉格朗日函數為 $L(x, y, \lambda) = P(x, y) - \lambda g(x, y) = x^2 + 2y^2 - \lambda(4x + 2y - 80)$。
我們需要找到偏導數為零的點：

1. $\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 4\lambda = 0 \implies x = 2\lambda$