114 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）乙組《微積分》

此題考驗對極限的計算能力，特別是處理 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的不定型。

我們觀察到當 $x \to \infty$ 時，分子 $x(\ln 2) \to \infty$，而分母 $(1+\ln x) \to \infty$。這是一個 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型，可以使用 L'Hôpital's Rule。

令 $f(x) = x(\ln 2)$，則 $f'(x) = \ln 2$。
令 $g(x) = 1+\ln x$，則 $g'(x) = \frac{1}{x}$。

此題考察極限的計算，特別是如何利用極限值為一常數來推導係數。

首先，我們觀察到當 $x \to 0$ 時，分母 $2x^2 + 3x^5 \to 0$。
由於極限值為 1（一個有限的常數），因此分子也必須趨近於 0。
當 $x \to 0$ 時，
$ax^2 \to a(0)^2 = 0$
$b(e^x - 1) \to b(e^0 - 1) = b(1 - 1) = 0$
$\sin(cx) \to \sin(c \cdot 0) = \sin(0) = 0$
所以，分子 $ax^2 + b(e^x - 1) + \sin(cx) \to 0$。

接下來，我們使用泰勒展開式來分析分子和分母在 $x \to 0$ 的行為。
$e^x - 1 = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots) - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$
$\sin(cx) = cx - \frac{(cx)^3}{3!} + \frac{(cx)^5}{5!} - \dots$

將這些代入極限表達式：
$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + b(x + \frac{x^2}{2} + \dots) + (cx - \frac{(cx)^3}{6} + \dots)}{2x^2 + 3x^5} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + \frac{b}{2}x^2 + \dots + cx - \frac{c^3}{6}x^3 + \dots}{2x^2 + 3x^5} = 1$

為了讓極限值為有限值 1，當 $x \to 0$ 時，最低次方的項必須能夠抵銷，使得分母的最低次項 $2x^2$ 不會導致極限為 0 或 $\infty$。

將分子按 $x$ 的次方重新排列：
$\lim_{x \to 0} \frac{(b)x + (a + \frac{b}{2})x^2 + (\text{higher order terms involving } x)}{2x^2 + 3x^5} = 1$

為了使極限存在且為 1，分子中 $x$ 的最低次方項必須是 $x^2$，且其係數必須與分母中 $x^2$ 的係數相同，才能抵銷掉。
然而，我們看到分子中有一項 $bx$。如果 $b \neq 0$，那麼當 $x \to 0$ 時，分子的最低階項是 $bx$，而分母的最低階項是 $2x^2$。

此題要求計算一個函數的導數，該函數由兩部分組成：一個三角函數的部分和一個無窮級數的部分。我們將分別計算兩部分的導數，然後相加。

第一部分：設 $f_1(x) = \frac{\sec x}{1 + \tan x}$。
我們使用除法定則來計算 $f_1'(x)$。
令 $u = \sec x$，$u' = \sec x \tan x$。
令 $v = 1 + \tan x$，$v' = \sec^2 x$。
$f_1'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(\sec x \tan x)(1 + \tan x) - (\sec x)(\sec^2 x)}{(1 + \tan x)^2}$
$f_1'(x) = \frac{\sec x \tan x + \sec x \tan^2 x - \sec^3 x}{(1 + \tan x)^2}$
我們可以進一步簡化這個表達式。
注意到 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$。
$f_1'(x) = \frac{\sec x \tan x + \sec x (\sec^2 x - 1) - \sec^3 x}{(1 + \tan x)^2}$
$f_1'(x) = \frac{\sec x \tan x + \sec^3 x - \sec x - \sec^3 x}{(1 + \tan x)^2}$
$f_1'(x) = \frac{\sec x \tan x - \sec x}{(1 + \tan x)^2}$
$f_1'(x) = \frac{\sec x (\tan x - 1)}{(1 + \tan x)^2}$

第二部分：設 $f_2(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^2}{(n+1)!}$。
我們可以逐項微分這個級數，前提是級數在給定的 $x$ 值範圍內是收斂的，並且可以逐項微分。
$f_2'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^2}{(n+1)!} \right)$
$f_2'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx} \left( \frac{nx^2}{(n+1)!} \right)$

此題考驗的是微積分基本定理與連鎖律的結合應用。

函數 $g(x)$ 的形式是 $\int_{a}^{u(x)} f(t) dt$，其中 $a$ 是常數， $u(x)$ 是一個關於 $x$ 的函數，而 $f(t)$ 是一個關於 $t$ 的函數。
根據微積分基本定理，如果 $F(u) = \int_{a}^{u} f(t) dt$，則 $F'(u) = f(u)$。
在本題中，我們令 $u(x) = x^2$ 且 $f(u) = (\sin u)^{2025}$。
則 $g(x) = \int_{0}^{u(x)} f(u) du$。

我們需要計算 $g'(x)$。根據連鎖律，
$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{u(x)} f(u) du \right)$

此題是一個定積分計算，可以通過適當的變數代換來簡化。

觀察被積函數 $\frac{\cos x \sin x}{3 + \cos^2 x}$，我們注意到 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的導數分別是 $-\cos x$ 和 $\sin x$。這提示我們可以進行換元積分。

令 $u = 3 + \cos^2 x$。
則 $du = \frac{d}{dx}(3 + \cos^2 x) dx = (0 + 2 \cos x (-\sin x)) dx = -2 \sin x \cos x dx$。
所以，$\sin x \cos x dx = -\frac{1}{2} du$。

接下來，我們需要計算積分的上下限。
當 $x = 0$ 時，$u = 3 + \cos^2(0) = 3 + 1^2 = 4$。
當 $x = \pi/3$ 時，$u = 3 + \cos^2(\pi/3) = 3 + (\frac{1}{2})^2 = 3 + \frac{1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4}$。

現在，我們將積分轉換為關於 $u$ 的積分：
$\int_{0}^{\pi/3} \frac{\cos x \sin x}{3 + \cos^2 x} dx = \int_{4}^{13/4} \frac{1}{u} \left(-\frac{1}{2} du\right)$
$= -\frac{1}{2} \int_{4}^{13/4} \frac{1}{u} du$
$= -\frac{1}{2} [\ln|u|]_{4}^{13/4}$
$= -\frac{1}{2} \left( \ln\left|\frac{13}{4}\right| - \ln|4| \right)$
$= -\frac{1}{2} \left( \ln\left(\frac{13}{4}\right) - \ln(4) \right)$
$= -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{13/4}{4}\right)$

此題是計算定積分，被積函數是 $x^2 \arctan(x)$。由於 $\arctan(x)$ 的導數是 $\frac{1}{1+x^2}$，而 $x^2$ 可以積分，這提示我們使用分部積分法。

分部積分公式為 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
我們選擇 $u = \arctan(x)$ 和 $dv = x^2 dx$。
則 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$。
對 $dv$ 積分得到 $v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$。

現在應用分部積分公式：
$\int_{0}^{1} x^2 \arctan(x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \arctan(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$

首先計算第一項：
$\left[ \frac{x^3}{3} \arctan(x) \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} \arctan(1) \right) - \left( \frac{0^3}{3} \arctan(0) \right)$
$= \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4} \right) - (0) = \frac{\pi}{12}$

接下來計算第二項的積分：
$\int_{0}^{1} \frac{x^3}{3(1+x^2)} dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{x^3}{1+x^2} dx$
被積函數 $\frac{x^3}{1+x^2}$ 是一個有理函數，其中分子次數大於分母次數，我們可以進行多項式長除法或觀察法來簡化。
$\frac{x^3}{1+x^2} = \frac{x(x^2)}{1+x^2} = \frac{x(1+x^2 - 1)}{1+x^2} = \frac{x(1+x^2)}{1+x^2} - \frac{x}{1+x^2} = x - \frac{x}{1+x^2}$
所以，積分變為：

此題要求計算高階導數在某一點的值，對於形如 $f(x) = xe^{-x^2}$ 的函數，直接計算 2025 次導數是極其困難的。更有效的方法是利用泰勒級數展開。

首先，我們知道函數 $e^u$ 的泰勒級數展開為：
$e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!} = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$
將 $u = -x^2$ 代入，得到 $e^{-x^2}$ 的級數展開：
$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \dots$
現在，我們將 $f(x) = xe^{-x^2}$ 表示為級數：
$f(x) = x \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!}$
$f(x) = x - x^3 + \frac{x^5}{2!} - \frac{x^7}{3!} + \dots$

函數 $f(x)$ 的泰勒級數展開在 $x=0$ 處的定義是：
$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$

這是一個應用題，涉及線性需求方程、收入函數以及最大化問題。

我們有兩個數據點：

1. $(p_1, x_1) = (700, 1000)$
2. $(p_2, x_2) = (600, 1200)$

其中 $p$ 是價格， $x$ 是需求量（客戶數）。

(a) Find the weekly demand equation.
假設需求方程是線性的，形式為 $x = mp + b$ 或 $p = mx + b$。通常，需求曲線是 $p$ 作為 $x$ 的函數，但題目中也常以 $x$ 作為 $p$ 的函數。我們這裡假設 $p$ 是自變數， $x$ 是應變數，即 $x = mp + b$。

利用兩個數據點計算斜率 $m$：
$m = \frac{x_2 - x_1}{p_2 - p_1} = \frac{1200 - 1000}{600 - 700} = \frac{200}{-100} = -2$
現在使用點斜式來找到截距 $b$。使用點 $(p_1, x_1) = (700, 1000)$：
$x - x_1 = m(p - p_1)$
$x - 1000 = -2(p - 700)$
$x - 1000 = -2p + 1400$
$x = -2p + 1400 + 1000$
$x = -2p + 2400$

因此，每週的需求方程是 $x = -2p + 2400$。

如果我們假設 $p$ 是自變數，形式為 $p = mx + b$：
斜率 $m = \frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1} = \frac{600 - 700}{1200 - 1000} = \frac{-100}{200} = -\frac{1}{2}$。
使用點 $(x_1, p_1) = (1000, 700)$：
$p - p_1 = m(x - x_1)$
$p - 700 = -\frac{1}{2}(x - 1000)$
$p - 700 = -\frac{1}{2}x + 500$
$p = -\frac{1}{2}x + 1200$
這個形式通常稱為價格函數（inverse demand function）。

題目要求「demand equation」，通常是指 $x$ 作為 $p$ 的函數，所以我們採用 $x = -2p + 2400$。

【答案】$x = -2p + 2400$

此題涉及機率密度函數（或稱機率密度），以及加權平均值的計算。

首先，我們需要找到總學生數。學生數與積分 $\int_{a}^{b} rx \, dx$ 成正比。總學生數對應於所有可能的睡眠時間範圍，即從 0 到 $T$。
總學生數（正比於）$= \int_{0}^{T} rx \, dx$
$\int_{0}^{T} rx \, dx = r \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{T} = r \left( \frac{T^2}{2} - 0 \right) = \frac{1}{2} r T^2$
我們將 $\frac{1}{2} r T^2$ 視為總學生數的「總量」。

(a) What fraction of the students got less than $T/2$ hours of sleep?
「少於 $T/2$ 小時睡眠」的學生數對應於積分範圍從 0 到 $T/2$。
學生數（少於 $T/2$）$= \int_{0}^{T/2} rx \, dx$
$\int_{0}^{T/2} rx \, dx = r \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{T/2} = r \left( \frac{(T/2)^2}{2} - 0 \right) = r \left( \frac{T^2/4}{2} \right) = \frac{1}{8} r T^2$
分數（或比例）等於（少於 $T/2$ 的學生數）/（總學生數）。
$\text{Fraction} = \frac{\frac{1}{8} r T^2}{\frac{1}{2} r T^2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$

因此，有四分之一的學生睡眠少於 $T/2$ 小時。

【答案】$\frac{1}{4}$

(b) It is known that their scores, $G(x)$, are proportional to the amount of sleep $x$ (in hours) they got, that is, $G(x) = 100 \times \frac{x}{T}$. Find the (correctly weighted) average score in the class.
要求的是「正確加權」的平均分數。這意味著我們需要計算一個加權平均值，其中每個學生的分數 $G(x)$ 被其「人數」或「學生密度」所加權。

首先，我們需要確定「學生密度」函數。從題目給出的積分形式 $\int_{a}^{b} rx \, dx$，我們可以推斷出學生數的密度函數（或稱機率密度函數 PDF）是 $f(x) = rx$。
總學生數（或總機率）是 $\int_{0}^{T} rx \, dx = \frac{1}{2} r T^2$。
我們可以將此密度函數正規化，使其積分為 1，得到機率密度函數 $p(x)$：

此題要求使用數值積分方法（梯形法則和辛普森法則）來近似計算定積分。

我們要計算的積分是 $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^3} dx$。
區間為 $[a, b] = [0, 1]$。
我們使用 $n=4$ 個區間。
每個區間的寬度 $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$。

分割點為 $x_0 = 0, x_1 = 0.25, x_2 = 0.5, x_3 = 0.75, x_4 = 1$。
我們需要計算函數 $f(x) = \frac{1}{1+x^3}$ 在這些點的值。
$f(x_0) = f(0) = \frac{1}{1+0^3} = 1$
$f(x_1) = f(0.25) = \frac{1}{1+(0.25)^3} = \frac{1}{1+0.015625} = \frac{1}{1.015625} \approx 0.984615$
$f(x_2) = f(0.5) = \frac{1}{1+(0.5)^3} = \frac{1}{1+0.125} = \frac{1}{1.125} \approx 0.888889$
$f(x_3) = f(0.75) = \frac{1}{1+(0.75)^3} = \frac{1}{1+0.421875} = \frac{1}{1.421875} \approx 0.703297$
$f(x_4) = f(1) = \frac{1}{1+1^3} = \frac{1}{2} = 0.5$

(a) using the Trapezoidal rule with four intervals.
梯形法則公式為：