114 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所科技管理組（一般生）《微積分》

這組題目主要考驗三角函數的積分技巧與極限的計算，其中極限部分需要用到羅必達法則或泰勒展開。

(1) 針對 $\int \sin 4x \cos 3x \, dx$：
我們可以使用三角函數的積化和差公式：$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$。
令 $A = 4x$ 且 $B = 3x$，則
$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin(4x+3x) + \sin(4x-3x)]$
$= \frac{1}{2}[\sin 7x + \sin x]$
積分可得：
$\int \sin 4x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \int \sin 7x \, dx + \frac{1}{2} \int \sin x \, dx$
$= \frac{1}{2} \left(-\frac{\cos 7x}{7}\right) + \frac{1}{2} (-\cos x) + C$
$= -\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{2} \cos x + C$

(2) 針對 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(a+4x) - 2\sin(a+2x) + \sin a}{x^2}$：
直接代入 $x=0$ 時，分子為 $\sin a - 2\sin a + \sin a = 0$，分母為 $0^2 = 0$，故為 $\frac{0}{0}$ 型不定形式，可使用羅必達法則。
對分子和分母分別微分一次：
分子微分：$\frac{d}{dx}[\sin(a+4x) - 2\sin(a+2x) + \sin a] = \cos(a+4x) \cdot 4 - 2\cos(a+2x) \cdot 2 + 0 = 4\cos(a+4x) - 4\cos(a+2x)$
分母微分：$\frac{d}{dx}[x^2] = 2x$
新的極限為 $\lim_{x \to 0} \frac{4\cos(a+4x) - 4\cos(a+2x)}{2x}$。
再次代入 $x=0$ 時，分子為 $4\cos a - 4\cos a = 0$，分母為 $2 \cdot 0 = 0$，故仍為 $\frac{0}{0}$ 型不定形式，再次使用羅必達法則。
對分子和分母分別微分一次：
分子微分：$\frac{d}{dx}[4\cos(a+4x) - 4\cos(a+2x)] = 4(-\sin(a+4x) \cdot 4) - 4(-\sin(a+2x) \cdot 2)$
$= -16\sin(a+4x) + 8\sin(a+2x)$

此題考驗反三角函數的積分，通常使用分部積分法來求解。

我們要求解 $\int \cos^{-1} x \, dx$。
使用分部積分法，令 $u = \cos^{-1} x$ 且 $dv = dx$。
則 $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ 且 $v = x$。
根據分部積分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我們有：
$\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \int x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx$
$= x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

現在我們需要計算積分 $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$。

核心觀念

本題考查：

• 瑕積分的收斂性；
• 函數在積分下限附近的行為；
• 微分基本定理的適用條件。

被積函數為

$$\frac{e^{t^2-1}}{t^2}.$$

由於 $t=0$ 時分母為 $0$，必須先判斷瑕積分是否收斂，不能直接套用微分公式。

解題方法

當 $t\to 0$ 時，

$$e^{t^2-1}\to e^{-1}>0.$$

因此被積函數在 $t=0$ 附近的主要行為為

$$\frac{e^{t^2-1}}{t^2}\sim \frac{e^{-1}}{t^2}.$$

而

$$\int_0^a \frac{1}{t^2}\,dt = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^a \frac{1}{t^2}\,dt = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left[-\frac1t\right]_{\varepsilon}^{a} = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left(\frac1\varepsilon-\frac1a\right) =+\infty.$$

所以

此題考驗的是求解微分方程式，方程式的形式為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ 的 Bernoulli 方程式。

原微分方程式為：$\frac{dy}{dx} + y^4 e^{2x} + y = 0$
重新整理為標準形式：$\frac{dy}{dx} + y = -y^4 e^{2x}$
這是一個 Bernoulli 方程式，其中 $P(x) = 1$, $Q(x) = -e^{2x}$, $n = 4$。

為了求解此方程式，我們進行變數代換。令 $v = y^{1-n} = y^{1-4} = y^{-3}$。
對 $v$ 對 $x$ 微分：
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(y^{-3}) = -3y^{-4} \frac{dy}{dx}$。
從原方程式，我們有 $\frac{dy}{dx} = -y - y^4 e^{2x}$。
將此代入 $\frac{dv}{dx}$：
$\frac{dv}{dx} = -3y^{-4} (-y - y^4 e^{2x})$
$\frac{dv}{dx} = 3y^{-3} + 3e^{2x}$
由於 $v = y^{-3}$，所以：
$\frac{dv}{dx} = 3v + 3e^{2x}$。

現在我們得到一個關於 $v$ 的一階線性微分方程式：
$\frac{dv}{dx} - 3v = 3e^{2x}$。

這個方程式的形式為 $\frac{dv}{dx} + P_1(x)v = Q_1(x)$，其中 $P_1(x) = -3$ 且 $Q_1(x) = 3e^{2x}$。
我們可以使用積分因子法來求解。積分因子為：

此題考驗求函數在某一點的切線方程式。切線方程式需要點斜式 $y - y_0 = m(x - x_0)$，其中 $(x_0, y_0)$ 是切點，而 $m$ 是斜率，即函數在該點的導數。

首先，我們需要找到切點的 $y$ 座標，即 $f(-1)$。
$f(-1) = 4 + \int_{1}^{-1} \sec(t-1) \, dt$
利用積分的性質 $\int_{a}^{b} f(t) \, dt = -\int_{b}^{a} f(t) \, dt$：
$f(-1) = 4 - \int_{-1}^{1} \sec(t-1) \, dt$。

接著，我們需要計算積分 $\int_{-1}^{1} \sec(t-1) \, dt$。
令 $u = t-1$，則 $du = dt$。
當 $t = -1$ 時，$u = -1-1 = -2$。
當 $t = 1$ 時，$u = 1-1 = 0$。
所以，積分變為 $\int_{-2}^{0} \sec(u) \, du$。
$\int \sec(u) \, du = \ln|\sec u + \tan u| + C$。
因此，
$\int_{-2}^{0} \sec(u) \, du = [\ln|\sec u + \tan u|]_{-2}^{0}$
$= (\ln|\sec 0 + \tan 0|) - (\ln|\sec(-2) + \tan(-2)|)$
$= (\ln|1 + 0|) - (\ln|\sec 2 - \tan 2|)$
$= \ln 1 - \ln|\sec 2 - \tan 2|$
$= 0 - \ln|\sec 2 - \tan 2|$
$= -\ln|\sec 2 - \tan 2|$。

所以，$f(-1) = 4 - (-\ln|\sec 2 - \tan 2|) = 4 + \ln|\sec 2 - \tan 2|$。
這裡的 $\sec 2$ 和 $\tan 2$ 是以弧度計算。$\sec 2 \approx -2.4$ 且 $\tan 2 \approx -2.18$。
$\sec 2 - \tan 2 \approx -2.4 - (-2.18) = -0.22$。
$|\sec 2 - \tan 2| \approx 0.22$。
$\ln(0.22)$ 是負值。

然而，我們需要的是切線方程式，通常在這種情況下，積分的計算可能不是直接要求。
我們需要計算斜率 $m = f'(-1)$。
根據微分積分學基本定理，如果 $f(x) = C + \int_{a}^{x} g(t) \, dt$，則 $f'(x) = g(x)$。
在這裡，$g(t) = \sec(t-1)$。
所以，$f'(x) = \sec(x-1)$。

現在計算斜率 $m$：
$m = f'(-1) = \sec(-1-1) = \sec(-2)$。
由於 $\sec(-x) = \sec(x)$，所以 $m = \sec(2)$。

現在我們有切點的 $x$ 座標 $x_0 = -1$，斜率 $m = \sec(2)$。
我們還需要切點的 $y$ 座標 $y_0 = f(-1)$。
$f(-1) = 4 + \int_{1}^{-1} \sec(t-1) \, dt = 4 - \int_{-1}^{1} \sec(t-1) \, dt$。
令 $u = t-1$, $du = dt$。
當 $t=-1 \implies u=-2$。當 $t=1 \implies u=0$。
$f(-1) = 4 - \int_{-2}^{0} \sec(u) \, du = 4 - [\ln|\sec u + \tan u|]_{-2}^{0}$
$f(-1) = 4 - (\ln|\sec 0 + \tan 0| - \ln|\sec(-2) + \tan(-2)|)$

這是一個關於隨機變數轉換與機率計算的問題。

(1) 求解常數 $c$：
機率密度函數 $f(X)$ 必須滿足 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。
在這個例子中，積分範圍是 $(0, 1)$。
$\int_{0}^{1} c(1-x) \, dx = 1$
$c \int_{0}^{1} (1-x) \, dx = 1$
$c \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1$
$c \left[ (1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - \frac{0^2}{2}) \right] = 1$
$c \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 1$
$c \cdot \frac{1}{2} = 1$
$c = 2$。

(2) 推導 $Y$ 的機率密度函數 $f(Y)$：
我們已知 $Y = X^2$。$X$ 的範圍是 $(0, 1)$。
當 $X$ 在 $(0, 1)$ 之間時，$Y = X^2$ 的範圍也是 $(0, 1)$。
這是一個單調遞增的轉換。
我們可以使用累積分佈函數 (CDF) 法或直接的機率密度函數 (PDF) 轉換法。

方法一：CDF 法
先求 $Y$ 的累積分佈函數 $F_Y(y) = P(Y \le y)$。
$F_Y(y) = P(X^2 \le y)$
由於 $X > 0$，所以 $P(X \le \sqrt{y})$。
$F_Y(y) = F_X(\sqrt{y})$，其中 $F_X(x)$ 是 $X$ 的累積分佈函數。
$F_X(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt = \int_{0}^{x} 2(1-t) \, dt = 2 \left[ t - \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = 2(x - \frac{x^2}{2}) = 2x - x^2$ (對於 $0 < x < 1$)。
所以，$F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) = 2\sqrt{y} - (\sqrt{y})^2 = 2\sqrt{y} - y$ (對於 $0 < \sqrt{y} < 1$，即 $0 < y < 1$)。

現在，對 $F_Y(y)$ 微分以得到 $f(Y)$:
$f(Y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (2y^{1/2} - y)$
$f(Y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y^{-1/2} - 1$
$f(Y) = y^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{y}} - 1$ (對於 $0 < y < 1$)。

此題考驗計算曲線所圍成的面積，對於雙紐線這種曲線，使用極座標轉換通常是最簡便的方法。

雙紐線的方程式為 $(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$。
我們轉換到極座標，令 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$。
則 $x^2 + y^2 = r^2$ 且 $x^2 - y^2 = r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = r^2 \cos(2\theta)$。
將這些代入原方程式：
$(r^2)^2 = a^2 (r^2 \cos(2\theta))$
$r^4 = a^2 r^2 \cos(2\theta)$。

由於我們關心的是曲線所圍的面積，通常 $r>0$。因此，我們可以除以 $r^2$ (假設 $r \neq 0$)：
$r^2 = a^2 \cos(2\theta)$。
這給出了在極座標下的曲線表示。

要計算面積，我們使用極座標下的面積公式：
$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta$。
我們需要確定積分的範圍 $[\alpha, \beta]$。

由 $r^2 = a^2 \cos(2\theta)$ 可知，$r^2 \ge 0$，所以 $\cos(2\theta) \ge 0$。
這表示 $2\theta$ 必須在 $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ 的區間內，其中 $k$ 是整數。
所以，$\theta$ 必須在 $[-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$ 的區間內。

這表示曲線在 $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ 和 $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ 等區間存在。
由於 $\cos(2\theta)$ 的週期是 $\pi$，所以我們考慮 $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ 和 $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$。
這兩個區間分別對應著雙紐線在 $x$ 軸兩側的兩個「葉」。
例如，當 $\theta = 0$ 時，$r^2 = a^2 \cos(0) = a^2$，所以 $r = a$。這在 $x$ 軸上，對應 $(a, 0)$。
當 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 時，$r^2 = a^2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$，所以 $r = 0$。
當 $\theta = -\frac{\pi}{4}$ 時，$r^2 = a^2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$，所以 $r = 0$。

曲線 $(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)$ 在極座標下是 $r^2 = a^2 \cos(2\theta)$。
這條曲線有兩片葉，對稱於原點。
一片葉在 $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$，另一片葉在 $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$。
這兩片葉的面積是相等的。

我們計算其中一片葉的面積，然後乘以 2。
考慮 $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$。

此題考驗不定積分的計算，積分函數是雙曲餘弦函數 $\cosh(2x)$。

我們要求解的積分是 $\int \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \, dx$。
我們知道雙曲餘弦函數的定義為 $\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$。
所以，被積函數 $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ 就是 $\cosh(2x)$。

因此，積分可以寫成 $\int \cosh(2x) \, dx$。

我們知道 $\int \cosh(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sinh(ax) + C$。
在這裡，$a=2$。
所以，
$\int \cosh(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sinh(2x) + C$。

或者，我們可以分別積分：
$\int \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (e^{2x} + e^{-2x}) \, dx$

核心觀念

本題考查「生產函數在預算限制下的最大化」，使用：

• 產量函數 $f(x,y)$
• 預算限制式
• 拉格朗日乘數法
• 最適投入比例條件：

$$\frac{MP_x}{MP_y}=\frac{w_x}{w_y}$$

其中：

• $MP_x=f_x$：勞力財的邊際產量
• $MP_y=f_y$：資本財的邊際產量
• $w_x=100$：勞力財單價
• $w_y=200$：資本財單價

由於產量函數對 $x,y$ 均為正的遞增函數，最佳配置必然用完整筆預算。

建立預算限制

總花費不超過 $80000$ 元，因此：

$$100x+200y\leq 80000$$

最適時預算全部用盡，故：

$$100x+200y=80000$$

兩邊除以 $100$：

$$x+2y=800$$

求邊際產量與最適比例

產量函數為：

$$f(x,y)=200x^{3/2}y^{1/2}$$

分別對 $x$ 與 $y$ 偏微分：

$$MP_x=f_x =200\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}y^{1/2} =300x^{1/2}y^{1/2}$$ $$MP_y=f_y =200\cdot \frac{1}{2}x^{3/2}y^{-1/2} =100x^{3/2}y^{-1/2}$$

最適條件為：

$$\frac{MP_x}{MP_y} = \frac{100}{200}$$

代入邊際產量：

$$\frac{300x^{1/2}y^{1/2}} {100x^{3/2}y^{-1/2}} = \frac{1}{2}$$

化簡左式：

$$3\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$$

因此：

$$6y=x$$

即最適投入比例為：

$$x=6y$$

求最適投入量

將 $x=6y$ 代入預算限制式 $x+2y=800$：

$$6y+2y=800$$ $$8y=800$$ $$y=100$$

核心觀念

本題考查三重積分的逐次積分、平面區域的極座標轉換，以及冪級數積分。

積分區域在 $xy$ 平面上為第一象限的單位四分之一圓：

$$x^2+y^2\le 1,\qquad x\ge 0,\ y\ge 0.$$

且 $z$ 的範圍為

$$0\le z\le \sqrt{x^2+y^2}.$$

由於被積函數 $\sin y^2$ 與 $z$ 無關，可先對 $z$ 積分。

---

解題方法

先計算最內層積分：

$$\int_0^{\sqrt{x^2+y^2}}\sin y^2\,dz = \sqrt{x^2+y^2}\sin y^2.$$

因此原積分化為

$$I=\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{x^2+y^2}\sin y^2\,dy\,dx.$$

在 $xy$ 平面採用極座標：

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,$$

其中

$$0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2},$$

且

$$dx\,dy=r\,dr\,d\theta.$$

由於

$$\sqrt{x^2+y^2}=r,\qquad y^2=r^2\sin^2\theta,$$

故

$$I = \int_0^{\pi/2}\int_0^1 r^2\sin\left(r^2\sin^2\theta\right)\,dr\,d\theta.$$

利用正弦函數的冪級數：

$$\sin u=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n u^{2n+1}}{(2n+1)!},$$

令 $u=r^2\sin^2\theta$，得

$$\sin\left(r^2\sin^2\theta\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n r^{4n+2}\sin^{4n+2}\theta}{(2n+1)!}.$$

因此