111 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所科技管理組（一般生）《微積分》

本題考驗對機率密度函數 (PDF) 和累積分布函數 (CDF) 的理解。指數分布常用於描述電子產品壽命等事件發生的時間間隔。

首先，我們需要理解 $p(x) = \frac{1}{3}e^{-x/3}$ 是機率密度函數 (PDF)。
對於連續隨機變數 $X$，其 PDF 必須滿足兩個條件：

1. $p(x) \ge 0$ 對於所有 $x$。
2. $\int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = 1$。

在這個題目中，給定的 $p(x) = \frac{1}{3}e^{-x/3}$，其中 $0 \le x < \infty$。
我們來驗證第二個條件：
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{3}e^{-x/3} dx = \frac{1}{3} \left[ -3e^{-x/3} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{3} (0 - (-3e^0)) = \frac{1}{3} (3) = 1$。
因此，這是一個有效的機率密度函數。

第一小題：計算該廠牌藍芽耳機最終故障的機率是多少？
「最終故障」意味著耳機壽命 $X$ 趨近於無限大。對於一個連續機率分布，機率是通過積分計算的。最終故障的機率可以表示為 $P(X \to \infty)$。
然而，對於一個定義在 $[0, \infty)$ 上的機率密度函數，其總機率為 1。這意味著所有可能的結果（即耳機在任何時間點故障）的總機率是 1。
如果我們將「最終故障」理解為耳機的壽命是有限的，那麼「最終故障」的機率就是所有可能壽命的總和，也就是 1。

本題考驗微積分基本定理、曲線長度公式的應用。

首先，我們需要找到函數 $y(x)$ 的微分 $y'(x)$。
根據微積分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，那麼 $F'(x) = f(x)$。
在這裡，我們有 $y(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{u^3-1} du$。
所以，根據微積分基本定理，
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{x^3-1}$。

接下來，我們需要使用曲線長度公式。對於一條由函數 $y=f(x)$ 定義，在區間 $[a, b]$ 上的曲線，其長度 $L$ 為：
$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$

在這個問題中，區間是 $1 \le x \le 16$。
我們已經求得 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x^3-1}$。
所以，$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = (\sqrt{x^3-1})^2 = x^3-1$。

核心觀念

本題考查物流斯蒂克模型（logistic model）：

$$f(t)=\frac{3000}{1+Ae^{-kt}}$$

其中：

• $f(t)$：經過 $t$ 小時後收到訊息的累積用戶數
• $3000$：理論上的最大觸及人數
• $A,k$：待由已知條件決定的常數
• 傳播速度為觸及人數對時間的導數 $f'(t)$

題目指出訊息發送當下即向 $300$ 位用戶發送，因此：

$$f(0)=300$$

又已知：

$$f(2)=600$$

---

解題方法

1. 求出 $A$

代入 $t=0$：

$$300=\frac{3000}{1+Ae^0} =\frac{3000}{1+A}$$

因此：

$$1+A=10$$ $$A=9$$

所以函數為：

$$f(t)=\frac{3000}{1+9e^{-kt}}$$

2. 求出 $k$

利用 $f(2)=600$：

$$600=\frac{3000}{1+9e^{-2k}}$$

整理得：

$$1+9e^{-2k}=5$$ $$9e^{-2k}=4$$ $$e^{-2k}=\frac49$$

取自然對數：

$$-2k=\ln\frac49$$

由於 $\ln\frac49=-\ln\frac94$，因此：

$$k=\frac12\ln\frac94 =\ln\frac32$$

故：

$$f(t)=\frac{3000}{1+9e^{-t\ln(3/2)}}$$

3. 求 $4$ 小時後的用戶數

由

$$e^{-2k}=\frac49$$

可得：

$$e^{-4k}=\left(\frac49\right)^2=\frac{16}{81}$$

代入 $f(4)$：

$$f(4)=\frac{3000}{1+9\left(\frac{16}{81}\right)}$$ $$=\frac{3000}{1+\frac{16}{9}} =\frac{3000}{\frac{25}{9}}$$ $$f(4)=1080$$

因此，發送後 $4$ 小時共有：

$$\boxed{1080\text{ 位用戶}}$$

4. 求 $4$ 小時後的傳播速度

對

$$f(t)=3000(1+Ae^{-kt})^{-1}$$

微分：

本題是典型的應用題，結合了多變數函數的優化（尋找最大值）和邊際分析（隱函數微分求變化率）。

第一小題：如何分配資金以獲取最大產量？
這是一個帶有約束條件的優化問題，可以使用拉格朗日乘數法 (Lagrange Multiplier Method) 來解決。
生產函數為 $Q(x,y) = 6x^{1/3}y^{2/3}$。
預算約束為 $x+y = 150$ (因為 $x, y$ 是以千元為單位，總資金為 150,000 元)。
所以約束函數為 $g(x,y) = x+y-150 = 0$。

我們建立拉格朗日函數 $L(x,y,\lambda)$:
$L(x,y,\lambda) = Q(x,y) - \lambda g(x,y)$
$L(x,y,\lambda) = 6x^{1/3}y^{2/3} - \lambda(x+y-150)$

接下來，我們對 $x, y, \lambda$ 分別求偏導數並令其為零：

1. $\frac{\partial L}{\partial x} = 6 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} y^{2/3} - \lambda = 2x^{-2/3}y^{2/3} - \lambda = 0$
   $2\frac{y^{2/3}}{x^{2/3}} = \lambda$ (式 1)

2. $\frac{\partial L}{\partial y} = 6x^{1/3} \cdot \frac{2}{3} y^{-1/3} - \lambda = 4x^{1/3}y^{-1/3} - \lambda = 0$
   $4\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}} = \lambda$ (式 2)

3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x+y-150) = 0 \implies x+y = 150$ (式 3)

由式 1 和式 2，我們得到：
$2\frac{y^{2/3}}{x^{2/3}} = 4\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}}$
$\frac{y^{2/3}}{x^{2/3}} = 2\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}}$
$y^{2/3} y^{1/3} = 2 x^{1/3} x^{2/3}$
$y = 2x$。

將 $y=2x$ 代入式 3：
$x + (2x) = 150$
$3x = 150$
$x = 50$。

那麼 $y = 2x = 2 \times 50 = 100$。

所以，為了獲取最大的產量，應將 50,000 元投入人力 ($X=50$)，100,000 元投入設備 ($Y=100$)。
此時的最大產量為：
$Q(50, 100) = 6 \cdot (50)^{1/3} \cdot (100)^{2/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (50)^{1/3} \cdot (100^2)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (50)^{1/3} \cdot (10000)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (50 \times 10000)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (500000)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (500 \times 1000)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (500)^{1/3} \cdot (1000)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (500)^{1/3} \cdot 10$
$Q(50, 100) = 60 \cdot (500)^{1/3}$
$Q(50, 100) = 60 \cdot (125 \times 4)^{1/3} = 60 \cdot 5 \cdot (4)^{1/3} = 300 \cdot 4^{1/3}$。

或者，我們也可以寫成：
$Q(50, 100) = 6 \cdot (50)^{1/3} \cdot (100)^{2/3} = 6 \cdot (50)^{1/3} \cdot (2 \cdot 50)^{2/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot (50)^{1/3} \cdot 2^{2/3} \cdot (50)^{2/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot 2^{2/3} \cdot (50)^{1/3+2/3}$
$Q(50, 100) = 6 \cdot 2^{2/3} \cdot 50$
$Q(50, 100) = 300 \cdot 2^{2/3} = 300 \cdot \sqrt[3]{4}$。

核心觀念

本題考查 $x\to 0$ 時的極限與泰勒展開。分子中的常數項與 $x^2$ 項會互相抵消，因此要展開到 $x^4$ 項，才能判斷分子與分母的比值。

使用麥克勞林展開：

$$\sqrt{1+x^2} =1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4), \qquad \cos x =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$

解題方法

將兩個展開式相乘，保留至 $x^4$ 項：

本題是計算一個三重定積分。積分的順序是 $dz \, dy \, dx$。

積分區域由以下不等式定義：
$0 \le x \le 1$
$0 \le y \le x^2$
$0 \le z \le y$

我們從最內層的積分開始計算：
$\int_{0}^{y} dz = [z]_{0}^{y} = y - 0 = y$。

接下來，將這個結果代入中間層的積分：
$\int_{0}^{x^2} y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{x^2} = \frac{(x^2)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{x^4}{2}$。

本題是要求最大化廠商的總利潤，這是一個多變數函數的優化問題，但沒有明確的約束條件，我們可以通過求偏導數並令其為零來找到最大值點。

首先，我們需要定義利潤函數。
利潤 = 總收入 - 總成本。

對於 A 認證巧克力：
銷售量 $Q_A = 40-50x+40y$ 包。
每包售價 $x$ 元。
每包生產成本（認證費）2 元。
每包利潤 $= x - 2$ 元。
A 認證的總利潤 $= Q_A \times (x-2) = (40-50x+40y)(x-2)$。

對於 B 認證巧克力：
銷售量 $Q_B = 20+60x-70y$ 包。
每包售價 $y$ 元。
每包生產成本（認證費）2 元。
每包利潤 $= y - 2$ 元。
B 認證的總利潤 $= Q_B \times (y-2) = (20+60x-70y)(y-2)$。

總利潤 $P(x,y)$ 是 A 和 B 的總利潤之和：
$P(x,y) = (40-50x+40y)(x-2) + (20+60x-70y)(y-2)$

展開這個函數：
$P(x,y) = (40x - 80 - 50x^2 + 100x + 40xy - 80y) + (20y - 40 + 60xy - 120x - 70y^2 + 140y)$
$P(x,y) = (-50x^2 + 140x + 40xy - 80y - 80) + (60xy - 70y^2 - 120x + 160y - 40)$

合併同類項：
$P(x,y) = -50x^2 + (140x - 120x) + (40xy + 60xy) + (-80y + 160y) - 70y^2 + (-80 - 40)$
$P(x,y) = -50x^2 + 20x + 100xy + 80y - 70y^2 - 120$

現在，我們需要找到使 $P(x,y)$ 最大的 $x$ 和 $y$ 值。
我們對 $x$ 和 $y$ 分別求偏導數並令其為零。

$\frac{\partial P}{\partial x} = -100x + 20 + 100y = 0$
$-100x + 100y = -20$
$100y - 100x = -20$

核心觀念

本題的微分方程式為

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y^3}{x+y^3}.$$

直接視為 $y$ 的函數不易分離變數，但將 $x$ 改視為 $y$ 的函數即可化為一階線性微分方程式。

當 $y\neq 0$ 且 $x+y^3\neq 0$ 時，

$$\frac{dx}{dy}=\frac{x+y^3}{y^3} =\frac{x}{y^3}+1.$$

所使用的一階線性方程式公式為

$$\frac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y),$$

其積分因子為

$$\mu(y)=e^{\int P(y)\,dy}.$$

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解題方法

將原式取倒數，改以 $x$ 為 $y$ 的函數：

$$\frac{dx}{dy}=\frac{x+y^3}{y^3} =\frac{x}{y^3}+1.$$

整理得

$$\frac{dx}{dy}-\frac{1}{y^3}x=1.$$

這是一階線性微分方程式，其中

$$P(y)=-\frac{1}{y^3}.$$

因此積分因子為

$$\mu(y) =e^{\int -y^{-3}\,dy} =e^{\frac{1}{2y^2}}.$$

方程式兩邊乘以積分因子：

$$e^{\frac{1}{2y^2}}\frac{dx}{dy} -\frac{1}{y^3}e^{\frac{1}{2y^2}}x =e^{\frac{1}{2y^2}}.$$

左側正好是乘積微分：

$$\frac{d}{dy} \left(xe^{\frac{1}{2y^2}}\right) =e^{\frac{1}{2y^2}}.$$

兩邊對 $y$ 積分：

$$xe^{\frac{1}{2y^2}} =\int e^{\frac{1}{2y^2}}\,dy+C.$$

該積分可表示為

$$\int e^{\frac{1}{2y^2}}\,dy = ye^{\frac{1}{2y^2}} -\sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \operatorname{erfi}\left(\frac{1}{\sqrt{2}y}\right),$$

其中 $\operatorname{erfi}$ 為虛誤差函數，定義為

$$\operatorname{erfi}(z) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{t^2}\,dt.$$

核心觀念

本題考查平面曲線所圍區域之面積計算與定積分在幾何上的判定。

1. 實數交點與積分區間：求兩函數 $x = f(y)$ 與 $x = g(y)$ 所圍成的封閉區域面積時，首要條件為聯立解出 $f(y) = g(y)$ 之實數根，用以決定積分的上下限 $[c, d]$。
2. 面積積分公式：若兩曲線在區間 $[c, d]$ 內相交圍成封閉有界區域，且在此區間內恆有 $f(y) \ge g(y)$，則圍成之面積為： $$A = \int_{c}^{d} [f(y) - g(y)] \, dy$$
3. 區域封閉性判準：平面上兩條連續曲線若要圍成有限（有界）面積，幾何上必須存在至少兩個相異交點以封閉該區域；若在實數範圍內無交點，則兩曲線無法形成封閉邊界。

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解題方法

步驟一：求兩曲線之交點
聯立兩曲線方程式，令 $x$ 坐標相等：

$$y^2 = 2y^2 + 1$$

移項整理得：

$$y^2 = -1$$

因對任意實數 $y \in \mathbb{R}$，必有 $y^2 \ge 0$，故方程式 $y^2 = -1$ 在實數系中無解。這表示兩曲線在實數坐標平面上完全沒有交點。

步驟二：幾何圖形與位置關係分析

1. 曲線一 $x = y^2$ 為頂點在原點 $(0, 0)$、對稱軸為 $x$ 軸、開口向右的拋物線。
2. 曲線二 $x = 2y^2 + 1$ 為頂點在 $(1, 0)$、對稱軸為 $x$ 軸、開口向右且曲率更大的拋物線。
3. 對任意實數 $y$，兩者水平距離差恆為：

本題是求解隱函數的偏導數。給定一個方程 $F(x,y,z) = 0$，其中 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函數，我們需要計算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

首先，將方程整理成 $F(x,y,z) = 0$ 的形式：
$x^3z^2 + yz^3 - \cos(xz) = 0$。

令 $F(x,y,z) = x^3z^2 + yz^3 - \cos(xz)$。

根據隱函數微分定理，我們有：
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial z}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial F / \partial y}{\partial F / \partial z}$

現在，我們分別計算 $F$ 對 $x$, $y$, $z$ 的偏導數。

1. $\frac{\partial F}{\partial x}$: 視 $y, z$ 為常數。
   $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3z^2) + \frac{\partial}{\partial x}(yz^3) - \frac{\partial}{\partial x}(\cos(xz))$
   $= 3x^2z^2 + 0 - (-\sin(xz) \cdot z)$
   $= 3x^2z^2 + z\sin(xz)$。

2. $\frac{\partial F}{\partial y}$: 視 $x, z$ 為常數。