111 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《統計學（A）》

核心觀念

本題考查幾何分配（geometric distribution）在價格調整模型中的應用。

每一期中：

• 廠商調整價格的機率為 $1-\theta$；
• 價格維持不變的機率為 $\theta$；
• 各期事件彼此獨立。

令 $T$ 表示價格首次被調整所需經過的期間數，則

$$T\sim \operatorname{Geometric}(1-\theta)$$

幾何分配的平均數為

$$E(T)=\frac{1}{p}$$

其中 $p$ 為每一期成功事件發生的機率。本題的「成功事件」是廠商更新價格，因此 $p=1-\theta$。

解題方法

（1）價格的平均持續期間

價格在第 $t$ 期首次被調整，表示前 $t-1$ 期價格均未調整，且第 $t$ 期調整，因此

$$P(T=t)=\theta^{t-1}(1-\theta), \qquad t=1,2,3,\ldots$$

這是成功機率為 $1-\theta$ 的幾何分配，其期望值為

$$E(T)=\frac{1}{1-\theta}.$$

因此，價格的平均持續期間為

$$\boxed{\frac{1}{1-\theta}\text{ periods}}.$$

（2）價格持續超過三期的機率

核心觀念

本題考查：

• 共變異數與相關係數的關係：
  $\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y$
• 期望值的線性運算；
• 由相關係數範圍 $-1\leq \rho_{XY}\leq 1$ 求上界。

由於 $Z>0$ 為非隨機變數，因此 $Z$ 可視為常數。

解題方法

由題目給定：

$E(XZ)=1$

因為 $Z$ 為常數，

$E(XZ)=ZE(X)=1$

故

$E(X)=\frac{1}{Z}$

再利用共變異數定義：

$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

代入 $E(XY)=1$ 與 $E(X)=1/Z$：

$$\operatorname{Cov}(X,Y) =1-\frac{E(Y)}{Z}$$

另一方面，

$\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y$

因此：

$$1-\frac{E(Y)}{Z} =\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y$$

移項並乘以 $Z$：

$E(Y)=Z\left(1-\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y\right)$

所以第（3）格為：

$\boxed{Z\left(1-\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y\right)}$

接著計算：

此題考驗假設檢定中的決策規則建立以及第二類錯誤的計算。

核心觀念：

1. 單一樣本平均數的假設檢定：當母體標準差未知時，通常使用 t-檢定；但題目給了「樣本標準差是 2」，並未說明是母體標準差 $\sigma$ 或樣本標準差 $s$。然而，在樣本數 $n=100$ 較大時，樣本標準差 $s$ 的值可以近似母體標準差 $\sigma$。且題目後續計算 type-II error 時使用了 $Z$，暗示這裡應視為已知母體標準差或使用 Z-檢定。
2. 顯著水準 $\alpha$：第一類錯誤（拒絕真實的虛無假設）的最大機率。
3. 決策規則：根據檢定統計量的值，決定是否拒絕虛無假設。
4. 第二類錯誤 $\beta$：未能拒絕錯誤的虛無假設（接受錯誤的虛無假設）的機率。
5. 檢定統計量：在檢定時使用的統計量，通常是標準化後的樣本平均數。

已知資訊：
樣本大小 $n = 100$。
母體平均數 $\mu_X$。
樣本標準差 $s = 2$ (我們將其近似為母體標準差 $\sigma = 2$ 來進行計算)。
虛無假設 $H_0: \mu_X \le 5$。
對立假設 $H_1: \mu_X > 5$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
真實母體平均數 $\mu_X = 5.6$ (用於計算第二類錯誤)。

(5) 決策規則：
此為右尾檢定（對立假設是 $\mu_X > 5$）。
檢定統計量為樣本平均數 $\bar{X}$ 的標準化形式。由於我們將樣本標準差 $s=2$ 近似為母體標準差 $\sigma=2$，並且樣本數 $n=100$ 很大，我們使用 Z-檢定。
檢定統計量 $Z_{stat} = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數（在此情況下，我們關注的是邊界值 5）。
$Z_{stat} = \frac{\bar{X} - 5}{2/\sqrt{100}} = \frac{\bar{X} - 5}{2/10} = \frac{\bar{X} - 5}{0.2}$。

顯著水準 $\alpha = 0.05$。對於右尾檢定，我們需要找到拒絕區域的臨界值 $z_{\alpha}$。
$P(Z > z_{\alpha}) = \alpha = 0.05$。
從標準常態分布表中查得，對應於 0.05 的右尾機率的 $z$ 值約為 $1.645$。

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 含交乘項的迴歸模型中，女性相對男性的薪資差異必須依教育年數計算。
2. 「$educ$ 的整體顯著性」是聯合檢定，須同時檢定 $educ$ 與交乘項 $edufe$ 的係數是否皆為 $0$。

模型 III 為

$$lghe_i=\beta_0+\beta_1 female_i+\beta_2 educ_i+\beta_3(edufe_i)+u_i,$$

其中

$$edufe_i=educ_i\times female_i.$$

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（7）教育年數為 12 年時的女性／男性薪資比

男性的 $female=0$，因此 $edufe=0$，其預測對數時薪為

$$\widehat{lghe}_m=\beta_0+\beta_2(12).$$

女性的 $female=1$，且 $edufe=12$，其預測對數時薪為

$$\widehat{lghe}_f=\beta_0+\beta_1+\beta_2(12)+\beta_3(12).$$

兩者相減後，截距與教育的共同效果消去：

$$\widehat{lghe}_f-\widehat{lghe}_m =\beta_1+12\beta_3.$$

由模型 III 的估計值：

$$\widehat{lghe}_f-\widehat{lghe}_m =-0.187+12(0.034)$$ $$=-0.187+0.408=0.221.$$

因為應變數是對數薪資，薪資比須取指數：

$$\frac{\widehat{w}_f}{\widehat{w}_m} =\exp(0.221) \approx 1.248.$$

因此，教育年數為 12 年時，女性預測薪資約為男性的 $1.248$ 倍，即約高出 $24.8\%$。

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（8）$educ$ 的整體顯著性檢定

在模型 III 中，$educ$ 的效果包含：

• $educ$ 的係數 $\beta_2$
• 交乘項 $edufe$ 的係數 $\beta_3$

核心觀念

本題出自計量經濟學／多元迴歸分析的經典模型設定與係數檢定問題，涉及以下核心觀念：

1. 線性限制式之 $t$ 檢定（模型重組技巧／Reparameterization）：
   欲檢定兩個迴歸係數之線性組合（例如 $H_0: \beta_{\text{educ}} + \beta_{\text{edufe}} = 0.1$），若欲直接藉由統計套件輸出的單一係數 $t$ 檢定報表進行檢定，可定義新參數 $\theta = \beta_{\text{educ}} + \beta_{\text{edufe}}$，代入原模型後重新整理自變數，使 $\theta$ 成為新模型中某特定解釋變數的迴歸係數。
2. 遺漏變數偏誤（Omitted Variable Bias, OVB）與輔助迴歸（Auxiliary Regression）：
   給定長迴歸（Long regression）與短迴歸（Short regression）之間的關係，短迴歸係數等於長迴歸係數加上遺漏變數帶來的偏誤項：
   $\tilde{\beta}_1 = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \cdot \tilde{\delta}_1$
   其中 $\tilde{\delta}_1$ 為將遺漏變數對現有變數進行「輔助迴歸」所得到的迴歸係數。

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背景回溯與完整模型設定

本題為政大金融所 111 年統計學（A）第 5 大題之題組延伸。該大題之標準薪資迴歸（Mincerian Wage Equation）設定為探討性別與教育對薪資之交互影響：

• 被解釋變數：$\ln(wage)$（或其線性形式）
• 解釋變數：$female$（虛擬變數：女性為 1，男性為 0）、$educ$（教育年數），以及二者之交互作用項 $edufe = educ \times female$。
• 母體迴歸模型為：
  $Y = \beta_0 + \beta_{\text{educ}} educ + \beta_{\text{female}} female + \beta_{\text{edufe}} edufe + u$
  （其中 $edufe = educ \times female$）

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解題方法與詳細推導

1. 第 (8) 格：檢定統計量之分配與數值

第 (8) 格承接前小題針對特定假設之檢定統計量數值與分配。此類檢定為針對單一參數或單一限制式的假設檢定：

• 分配（Distribution）：在常態誤差項假設或大樣本性質下，檢定統計量服從自由度為 $n - k - 1$ 的 $t$ 分配（$t(n - k - 1)$）或標準常態分配 $N(0, 1)$。
• 數值（Value）：依題組給定之迴歸報表數值，代入標準公式 $t = \frac{\hat{\beta} - c}{se(\hat{\beta})}$ 計算。

2. 第 (9) 格：線性限制式之模型重組（Reparameterization）

• 目標：檢定虛無假設 $H_0: \beta_{\text{educ}} + \beta_{\text{edufe}} = 0.1$。
• 重組技巧：
  令新參數 $\theta = \beta_{\text{educ}} + \beta_{\text{edufe}}$，則：
  $\beta_{\text{educ}} = \theta - \beta_{\text{edufe}}$
  將此關係式代入原迴歸模型中：
  $Y = \beta_0 + (\theta - \beta_{\text{edufe}}) educ + \beta_{\text{female}} female + \beta_{\text{edufe}} (educ \times female) + u$
  將包含相同係數之項提出並重整：
  $Y = \beta_0 + \theta \cdot educ + \beta_{\text{female}} female + \beta_{\text{edufe}} [educ \times (female - 1)] + u$
  或利用對等替換，令 $\beta_{\text{edufe}} = \theta - \beta_{\text{educ}}$ 代入：
  $Y = \beta_0 + \beta_{\text{educ}} educ + \beta_{\text{female}} female + (\theta - \beta_{\text{educ}}) edufe + u$
  $Y = \beta_0 + \beta_{\text{educ}} (educ - edufe) + \beta_{\text{female}} female + \theta \cdot edufe + u$
  由於 $female - 1 = -(1 - female) = -male$（若定義男性為 0），實務計量中最常用的重組式是將 $educ$ 提出，使得重組後的迴歸式為：

核心觀念

這題考的是如何把「兩個迴歸係數的線性組合」改寫成單一係數，讓它能直接用 $t$ 檢定。

若原模型包含 $educ$ 與 $edufe$：

$$y=\alpha+\beta_1 educ+\beta_2 edufe+\boldsymbol{\gamma}'\mathbf{x}+u$$

欲檢定的虛無假設為：

$$H_0:\beta_1+\beta_2=0.1$$

解題方法

將 $edufe$ 改寫為 $educ+(edufe-educ)$：

$$\beta_1 educ+\beta_2 edufe =(\beta_1+\beta_2)educ+\beta_2(edufe-educ)$$

因此，將模型重新指定為：

核心觀念

這題考的是簡單線性迴歸中，解釋變數為二元變數時的迴歸係數。令 $female=1$ 表示女性、$female=0$ 表示男性，將 $educ$ 對 $female$ 迴歸：

$$educ_i=\beta_0+\beta_1 female_i+u_i$$

此時斜率 $\beta_1$ 等於女性與男性的平均教育年數差。

解題方法

二元解釋變數的迴歸係數可寫成：

$$\beta_1 =\frac{\operatorname{Cov}(educ,female)}{\operatorname{Var}(female)} =E(educ\mid female=1)-E(educ\mid female=0)$$

因此，若以樣本估計，迴歸係數為：

核心觀念

這題考的是解釋變數的測量誤差。真實模型使用 $X_i$，但實際迴歸使用觀察值 $\tilde X_i=X_i+w_i$。將 $\tilde X_i$ 代入迴歸後，測量誤差會進入複合誤差項；若觀察到的解釋變數與複合誤差相關，最小平方法就違反外生性條件。

解題方法

由題目中的模型，

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i$$

以及 $\tilde X_i=X_i+w_i$，可將真實的 $X_i$ 寫成 $X_i=\tilde X_i-w_i$。代回模型：

$$Y_i =\beta_0+\beta_1(\tilde X_i-w_i)+u_i =\beta_0+\beta_1\tilde X_i+(u_i-\beta_1w_i).$$

因此，以 $\tilde X_i$ 進行迴歸時，複合誤差項為

$$e_i=u_i-\beta_1w_i.$$

接著計算觀察到的解釋變數與複合誤差項的共變異數：

$$\operatorname{Cov}(\tilde X_i,e_i) =\operatorname{Cov}(X_i+w_i,\ u_i-\beta_1w_i).$$

利用共變異數的線性性質展開：

$$\operatorname{Cov}(\tilde X_i,e_i) =\operatorname{Cov}(X_i,u_i) +\operatorname{Cov}(w_i,u_i) -\beta_1\operatorname{Cov}(X_i,w_i) -\beta_1\operatorname{Var}(w_i).$$

由 $E(u_i\mid X_i)=0$ 可得 $\operatorname{Cov}(X_i,u_i)=0$；題目另給 $\operatorname{Cov}(u_i,w_i)=0$ 與 $\operatorname{Cov}(X_i,w_i)=0$。所以

核心觀念

本題考查二元應變數的條件變異數，以及線性機率模型中的異質變異問題。當 $Y$ 只能取 $0$ 或 $1$，且 $\Pr(Y=1\mid X)=p$ 時，$Y\mid X$ 是成功機率為 $p$ 的伯努利隨機變數。

解題方法

由 $Y$ 的條件期望可得：

$$E(Y\mid X)=p$$

因為 $Y^2=Y$，所以 $E(Y^2\mid X)=p$。套用變異數公式：

$$\operatorname{Var}(Y\mid X) =E(Y^2\mid X)-[E(Y\mid X)]^2 =p-p^2 =p(1-p)$$

在模型中，若 $E(u\mid X)=0$，則 $u=Y-E(Y\mid X)$，因此：

$$\operatorname{Var}(u\mid X)=\operatorname{Var}(Y\mid X)=p(1-p)$$

核心觀念

這題考兩個大數法則與中央極限定理的應用：

1. 以樣本平均數計算的樣本變異數，除數為 $n$ 時，依大數法則收斂至母體變異數 $\sigma_X^2$。
2. 隨機變數 $u_i$ 在給定 $X_i$ 下的條件期望為零，因此 $(X_i-\mu_X)u_i$ 的期望為零；其變異數決定中央極限定理中的漸近變異數。

解題方法

第一個空格使用恆等式

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_X)^2-(\bar X-\mu_X)^2.$$

由大數法則，

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_X)^2 \xrightarrow{p} E[(X-\mu_X)^2] = \sigma_X^2,$$

且 $\bar X\xrightarrow{p}\mu_X$，所以 $(\bar X-\mu_X)^2\xrightarrow{p}0$。因此

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 \xrightarrow{p}\sigma_X^2.$$

第二個空格先令 $Z_i=(X_i-\mu_X)u_i$。利用條件期望為零，

$$E[Z_i] = E\!\left[(X_i-\mu_X)E(u_i\mid X_i)\right] = 0.$$

因此 $Z_i$ 的變異數為

$$\operatorname{Var}(Z_i) = E[(X_i-\mu_X)^2u_i^2] = E\!\left[(X_i-\mu_X)^2\operatorname{Var}(u_i\mid X_i)\right].$$

核心觀念

本題考查混淆矩陣的分類正確率，以及 ROC 曲線座標的計算。將「實際為 Yes、模型預測 Yes」視為真陽性（TP），「實際為 Yes、模型預測 No」視為假陰性（FN）；「實際為 No、模型預測 Yes」視為假陽性（FP），「實際為 No、模型預測 No」視為真陰性（TN）。

正確率為：

$$\text{Accuracy}=\frac{TP+TN}{TP+FN+FP+TN}$$

ROC 曲線的標準座標為：

$$\left(\text{假陽性率},\ \text{真陽性率}\right) = \left(\frac{FP}{FP+TN},\ \frac{TP}{TP+FN}\right)$$

解題方法

依原卷圖表讀取：Actual Yes 這一列中，Model Yes 為 $10$、Model No 為 $30$；Actual No 這一列中，Model Yes 為 $10$、Model No 為 $150$。

核心觀念

這題在考 AR(2) 時間序列的**單根（unit root）**與非定態性。時間序列若含有單根，通常不符合一般定態時間序列分析所需的條件，因此須先處理其非定態性。

將模型改寫為落後算子形式：

$$(1-\phi_1 B-\phi_2 B^2)Y_t=\epsilon_t$$

其中 $B Y_t=Y_{t-1}$。當 $\phi_1+\phi_2=1$ 時，代入 $B=1$ 可得：

$$1-\phi_1-\phi_2=0$$

因此落後多項式在 $B=1$ 有一個根，表示序列含有單根，通常稱為單根非定態序列。

解題方法

由 $\phi_1+\phi_2=1$ 得 $\phi_2=1-\phi_1$。落後多項式可因式分解為：

$$1-\phi_1B-\phi_2B^2 =(1-B)\bigl(1+(1-\phi_1)B\bigr)$$

而 $(1-B)Y_t=\Delta Y_t$，所以原模型可改寫為：