114 年 國立政治大學風險管理與保險學系碩士班管理組《統計學》

這題考驗對標準誤 (Standard Error, SE) 的基本定義與意義的理解。標準誤是用來衡量樣本統計量（如樣本平均數）抽樣變異性的指標。

標準誤 (SE) 衡量的是，如果我們從同一個母體重複抽取許多樣本，並且計算每個樣本的平均數，那麼這些樣本平均數的分佈的標準差。因此，它反映了樣本平均數的變異程度。

這題考驗對假設檢定中顯著水準 ($\alpha$) 和第一類錯誤的定義。

在假設檢定中，我們設定一個虛無假設 ($H_0$) 和一個對立假設 ($H_1$)。
顯著水準 ($\alpha$) 是我們在進行假設檢定前設定的一個預定機率值，它代表了我們願意承擔犯下「第一類錯誤」的風險。

第一類錯誤 (Type I Error) 是指當虛無假設 ($H_0$) 實際上為真時，我們卻拒絕了它。
第二類錯誤 (Type II Error) 是指當虛無假設 ($H_0$) 實際上為偽時，我們卻未能拒絕它。

這題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。

中央極限定理是統計學中一個非常重要的定理。它的核心內容是：
不論母體的分佈是何種形式（只要其平均數和變異數存在），當樣本大小 (n) 足夠大時，從該母體中抽取之樣本平均數的分佈，將近似於常態分佈。

選項 (A) 母體必須服從常態分配：這是錯誤的。中央極限定理的強大之處在於，即使母體不是常態分佈，只要樣本夠大，樣本平均數的分佈也會趨近於常態。

這題考驗對迴歸分析中決定係數 ($R^2$) 的解釋。

決定係數 ($R^2$)，也稱為判定係數，是衡量迴歸模型擬合優劣的一個重要指標。
它表示因變數 (Y) 的總變異中，有多少比例可以被模型中的自變數 (X) 所解釋。
計算公式為：$R^2 = \frac{ESS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS}$，其中 TSS 是總變異量 (Total Sum of Squares)，ESS 是迴歸變異量 (Explained Sum of Squares)，RSS 是

這題考驗對 p-value 與顯著水準 ($\alpha$) 之間關係的理解，以及在假設檢定中的決策規則。

p-value 是在虛無假設 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到當前樣本結果或比當前樣本結果更極端的結果的機率。
顯著水準 ($\alpha$) 是我們預設的犯第一類錯誤的機率上限。

決策規則是：

1. 如果 p-value $\le \alpha$，則我們有足夠的證據拒絕虛無假設 ($H_0$)。
2. 如果 p-value $> \alpha$，則我們沒有足夠的證據拒絕虛無假設 ($H_0$)，所以我們接受 (或未能拒絕) 虛無假設。

這題考驗對多元迴歸中多重共線性 (Multicollinearity) 的影響的理解。

多重共線性是指在多元迴歸模型中，自變數之間存在高度線性相關。

多重共線性的主要影響包括：

1. 迴歸係數的標準誤 (Standard Errors of Coefficients) 顯著增加：這使得迴歸係數的估計變得不穩定，即使在母體中這些係數真實存在且顯著，在樣本估計時也可能因為多重共線性而變得不顯著（t 值變小）。
2. 迴歸係數的估計值對樣本數據非常敏感：微小的數據變動可能導致迴歸係數的估計值產生劇烈變化。
3. 個別自變數的顯著性檢定 (t-test) 變得不可靠：即使模型整體是顯著的 (F-test)，個別自變數的 t 檢定可能顯示不顯著。

這題考驗對不同類型樣本比較平均數時應使用哪種統計檢定的判斷。

題目提供了以下關鍵資訊：

1. 兩個獨立樣本：這表示兩個樣本的數據是分開抽取且互不影響的。
2. 樣本大小分別為 $n_1 = 50$ 和 $n_2 = 60$：樣本大小足夠大。
3. 變異數未知但被認為相等：這是進行獨立樣本 t 檢定時的一個重要假設（同質性變異數）。
4. 比較兩個平均數：這是檢定的目標。

根據這些資訊，我們需要選擇一個檢定方法來比較兩個獨立樣本的平均數。

這題考驗對 ARIMA 模型參數的理解。

ARIMA 模型 (Autoregressive Integrated Moving Average model) 是用於時間序列分析的一種常用模型，其全稱為自迴歸積分移動平均模型。
ARIMA 模型由三部分組成，其參數通常表示為 ARIMA(p, d, q)：

• p (Autoregressive order)：自迴歸 (AR) 部分的階數。它代表模型中需要包含的過去觀察值的數量（滯後期數）。
• d (Degree of differencing)：差分 (Integrated, I) 的階數。它代表為了使時間序列變得平穩，需要進行多少次的差分運算。

這題考驗對相關係數 (correlation coefficient, $r$) 與決定係數 (coefficient of determination, $R^2$) 之間關係的理解。

在簡單線性迴歸中，決定係數 ($R^2$) 等於相關係數 ($r$) 的平方。
$R^2 = r^2$

這題考驗對迴歸分析中殘差圖的解釋，特別是漏斗形狀的含義。

殘差圖是繪製殘差 (observed value - predicted value) 與預測值（或自變數）的圖。檢查殘差圖是判斷迴歸模型是否符合假設的重要方法。

漏斗形狀的殘差圖（即殘差的散佈範圍隨著預測值的增加而擴大或縮小，形成類似漏斗或喇叭的形狀）表明殘差的變異數不是恆定的，而是隨著預測值（或自變數的值）的變化而變化。這種現象稱為異方差性 (Heteroscedasticity)。

這題考驗對多元迴歸中多重共線性 (Multicollinearity) 的影響的理解。

多重共線性是指在多元迴歸模型中，自變數之間存在高度線性相關。

多重共線性的主要影響包括：

1. 迴歸係數的標準誤 (Standard Errors of Coefficients) 顯著增加：這使得迴歸係數的估計變得不穩定，即使在母體中這些係數真實存在且顯著，在樣本估計時也可能因為多重共線性而變得不顯著（t 值變小）。
2. 迴歸係數的估計值對樣本數據非常敏感：微小的數據變動可能導致迴歸係數的估計值產生劇烈變化。
3. 個別自變數的顯著性檢定 (t-test) 變得不可靠：即使模型整體是顯著的 (F-test)，個別自變數的 t 檢定可能顯示不顯著。

這題考驗對迴歸模型整體顯著性檢定的理解。

在迴歸分析中，我們通常會建立一個模型來解釋因變數 (Y) 與一個或多個自變數 (X) 之間的關係。判斷整個迴歸模型是否「顯著」有意義，意味著模型中的自變數能夠顯著地解釋因變數的變異。

• t 檢定：主要用於檢定個別自變數的迴歸係數是否顯著不為零。
• F 檢定：主要用於檢定整體迴歸模型是否顯著。

這題考驗對時間序列分析中白噪聲 (White Noise) 過程的定義和特徵的理解。

白噪聲過程是指一個隨機過程，其特徵為：

1. 平均值恆定：該過程的平均值不隨時間變化。
2. 變異數恆定：該過程的變異數不隨時間變化。
3. 自相關性為零：任何兩個不同時間點的觀測值之間的相關係數都為零。也就是說，當前的觀測值與過去的觀測值之間沒有線性關係。
4. 獨立同分佈：來自白噪聲過程的觀測值是相互獨立的，並且服從相同的機率分佈（通常是常態分佈）。

這題考驗對 ADF 檢定 (Augmented Dickey-Fuller test) 的用途的理解。

ADF 檢定是一種統計檢定，用於檢測一個時間序列是否為單位根過程 (unit root process)。如果一個時間序列是單位根過程，那麼它就是一個非平穩序列。因此，ADF 檢定的主要目的是檢測時間序列的平穩性 (stationarity)。

• 單位根 (Unit Root)：一個時間序列如果包含單位根，則其變異數會隨時間無限增長，且過去的衝擊效應會持續存在，導致序列不平穩。
• 平穩序列 (Stationary Series)：指時間序列的統計特性（如平均值、變異數、自相關結構）不隨時間改變。

這題考驗對 GARCH 模型 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 的用途的理解。

GARCH 模型是一種用於時間序列分析的模型，特別適用於對金融時間序列數據進行建模。
它的主要目的是捕捉和預測條件異方差性 (Conditional Heteroskedasticity)。
條件異方差性是指在給定過去資訊的條件下，時間序列的條件變異數 (conditional variance) 隨時間而變化。這在金融市場中很常見，例如，市場波動性 (volatility) 經常呈現聚集現象（即大的波動後面常跟著大的波動，小的波動後面常跟著小的波動）。

• ARCH 模型 (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 是 GARCH 模型的前身，它假設當前的條件變異數是

這題考驗對隨機變數變換後的新分佈的推導，特別是涉及均勻分佈和對數函數的變換。

已知隨機變數 $X$ 服從 $U(0,1)$ 分佈，其機率密度函數 (PDF) 為：
$f_X(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 < x < 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

我們想要求隨機變數 $Y = -\ln(X)$ 的分佈。
首先，我們需要確定 $Y$ 的取值範圍。
因為 $0 < X < 1$，所以 $\ln(X)$ 的值介於 $-\infty$ 和 $0$ 之間 (即 $-\infty < \ln(X) < 0$)。
因此，$Y = -\ln(X)$ 的值介於 $0$ 和 $\infty$ 之間 (即 $0 < Y < \infty$)。

我們可以使用累積分佈函數 (CDF) 的方法來求 $Y$ 的分佈。
$F_Y(y) = P(Y \le y)$
$F_Y(y) = P(-\ln(X) \le y)$

將不等式乘以 -1 並反轉方向：
$F_Y(y) = P(\ln(X) \ge -y)$

對兩邊取指數 (e)：
$F_Y(y) = P(X \ge e^{-y})$

這題考驗對主成分分析 (PCA) 中特徵值 (Eigenvalues) 的幾何與統計意義的理解。

主成分分析 (PCA) 的目的是將原始的高維度數據降維到一個較低的維度空間，同時盡可能保留原始數據的變異量。PCA 的數學基礎是協方差矩陣 (covariance matrix) 或相關矩陣 (correlation matrix) 的特徵值分解。

假設我們計算了數據的協方差矩陣 $\Sigma$。PCA 的過程是找到 $\Sigma$ 的特徵向量 (eigenvectors) 和特徵值 (eigenvalues)。

• 特徵向量 (Eigenvectors)：代表了新的主成分的方向。它們是相互正交的，並且是數據方差最大的方向。
• 特徵值 (Eigenvalues)：與對應的特徵向量相關聯。

這題考驗對主成分分析 (PCA) 中如何選擇主成分的標準。

主成分分析 (PCA) 的目標是通過線性組合原始變數來創建新的變數，稱為主成分 (Principal Components)。這些主成分按照它們解釋原始數據變異量的能力進行排序。

PCA 的過程是計算數據的協方差矩陣（或相關矩陣）的特徵值和特徵向量。

• 特徵值 (Eigenvalues)：與每個特徵向量（主成分）相關聯，代表了該主成分所解釋的原始數據變異量的多少。
• 特徵向量 (Eigenvectors)：代表了主成分的方向。

這題考驗對主成分分析 (PCA) 中特徵值接近零的意義的理解。

在 PCA 中，特徵值的大小代表了對應主成分所解釋的原始數據變異量的多少。

• 大的特徵值表示對應的主成分解釋了較多的變異。
• 小的特徵值表示對應的主成分解釋了較少的變異。
• 接近零的特徵值表示對應的主成分幾乎沒有解釋原始數據的任何變異。

選項 (A) 該主成分解釋了大部分變異：這是錯誤的。接近零的特徵值意味著該主成分解釋的變異量很少。
選項 (B) 該主成分可以被忽略：這是最可能的結論。

這題考驗對條件期望 (Conditional Expectation) 和隨機變數獨立性的定義。

若兩個隨機變數 $X$ 和 $Y$ 是獨立的，這意味著 $X$ 的取值不會影響 $Y$ 的機率分佈，反之亦然。
從數學上講，如果 $X$ 和 $Y$ 獨立，則它們的聯合機率密度函數 (PDF) 或機率質量函數 (PMF) 等於它們各自邊際 PDF 或 PMF 的乘積：$f_{XY}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$。

條件期望 $E(X|Y=y)$ 的定義是，在已知 $Y$ 的值為 $y$ 的條件下，$X$ 的期望值。
$E(X|Y=y) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X|Y}(x|y) dx$
其中 $f_{X|Y}(x|y)$ 是 $X$ 在 $Y=y$ 下的條件機率密度函數，定義為 $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}$。

如果 $X$ 和 $Y$ 獨立，那麼 $f_{XY}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$。
代入條件 PDF 的公式：

這題考驗對條件期望和全期望定理 (Law of Total Expectation) 的應用。

全期望定理指出，對於任意兩個隨機變數 $X$ 和 $Y$，有：
$E(X) = E[E(X|Y)]$

這意味著 $X$ 的期望值等於 $X$ 在 $Y$ 的條件下的期望值的期望值。
我們被給予：

1. 條件期望函數：$E(X|Y) = 2Y + 1$
2. 隨機變數 $Y$ 的期望值：$E(Y) = 3$

這題考驗對條件期望 $E(X|Y)$ 作為一個隨機變數的性質的理解。

條件期望 $E(X|Y)$ 是指在已知隨機變數 $Y$ 的值的情況下，隨機變數 $X$ 的期望值。
當我們考慮 $E(X|Y)$ 作為一個函數時，它的值會隨著 $Y$ 的不同取值而變化。
例如，如果 $E(X|Y) = 2Y + 1$，那麼當 $Y=1$ 時，$E(X|Y)=3$，當 $Y=2$ 時，$E(X|Y)=5$。
因此，$E(X|Y)$ 的值取決於 $Y$ 的值。

這題考驗對統計學習中「過度擬合」(Overfitting) 的定義和特徵的理解。

過度擬合是指機器學習模型在訓練數據上表現得非常好，以至於它學習到了訓練數據中的噪聲和細節，而不是僅僅學習到數據中的潛在模式。
這導致模型對訓練數據的擬合程度非常高，但泛化能力差，即在未見過的測試數據（或實際應用數據）上的表現會顯著下降。

過度擬合的特徵：

• 訓練誤差 (Training Error) 非常低：模型能很好地擬合訓練數據。
• 測試誤差 (Testing Error) 或驗證誤差 (Validation Error) 很高：模型在新的、未見過的數據上表現不好。

這題考驗對統計學習中偏差-方差權衡 (Bias-Variance Tradeoff) 的核心概念的理解。

在監督式學習中，模型的預測誤差可以分解為偏差 (Bias)、方差 (Variance) 和不可約誤差 (Irreducible Error) 三個部分。
$Error \approx Bias^2 + Variance + Irreducible Error$

• 偏差 (Bias)：衡量模型的預測值與真實值之間的平均差異。高偏差意味著模型過於簡單，無法捕捉數據中的潛在模式（擬合不足 Underfitting）。
• 方差 (Variance)：衡量模型對不同訓練數據集所產生預測結果的變異程度。高方差意味著模型對訓練數據過於敏感，容易受到訓練數據中噪聲的影響（過度擬合 Overfitting）。

這題考驗對交叉驗證 (Cross-Validation) 的目的的理解。

交叉驗證是一種用於評估模型在獨立數據集上的性能的技術。它通過將數據集分成多個子集（或稱為「折」），然後輪流使用其中一部分作為測試集，其餘部分作為訓練集來進行模型訓練和評估。
這樣做有幾個主要目的：

1. 提供對模型泛化能力的更可靠估計：與單獨的一次性測試集相比，交叉驗證可以更全面地了解模型在未見過數據上的表現，從而更準確地估計模型的泛化能力。
2. 更有效地利用數據：當數據量有限時，交叉驗證可以讓模型在訓練和測試過程中都利用到更多的數據，而不是將一部分數據完全保留為測試集。