108 年 國立政治大學風險管理與保險學系碩士班管理組《統計學》

此題主要在考驗考生對古典迴歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）基本假設的理解程度。這些假設是為了確保迴歸模型的估計量（特別是 Ordinary Least Squares, OLS）具有良好性質（如BLUE - Best Linear Unbiased Estimator）。

古典迴歸模型的假設通常包含以下幾點：

1. 線性假設 (Linearity)：迴歸模型必須是線性的，至少在參數上是線性的。這意味著因變數 $Y$ 可以表示為自變數 $X_1, X_2, ..., X_k$ 的線性組合，加上一個誤差項 $\epsilon$。
   $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \beta_2 X_{i2} + ... + \beta_k X_{ik} + \epsilon_i$

2. 隨機抽樣 (Random Sampling)：樣本是從母體中隨機抽取的，這有助於將樣本結果推論至母體。

3. 零條件均值假設 (Zero Conditional Mean of Errors)：誤差項的條件期望值為零，即 $E(\epsilon_i | X_{i1}, X_{i2}, ..., X_{ik}) = 0$。這意味著自變數 $X$ 與誤差項 $\epsilon$ 不相關。這個假設是 OLS 估計量無偏性的關鍵。

4. 同質變異數假設 (Homoscedasticity)：誤差項的條件變異數是常數，即 $Var(\epsilon_i | X_{i1}, X_{i2}, ..., X_{ik}) = \sigma^2$。

此題在考驗考生對統計學中 p-value 概念的理解與解釋能力。

p-value（p值）是假設檢定中的一個重要指標，它代表了在「虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）為真」的前提下，觀察到當前樣本結果或比當前樣本結果「更極端」的機率。

p-value 的定義：
在一個假設檢定中，p-value 是在 $H_0$ 為真的情況下，檢定統計量（test statistic）的觀測值或更極端的觀測值出現的機率。

如何理解 p-value：

• 衡量證據強度：p-value 的大小可以視為支持虛無假設 $H_0$ 的證據強度。
  • 小 p-value：如果 p-value 很小（通常小於預設的顯著水準 $\alpha$），這表示在 $H_0$ 為真的情況下，觀察到當前樣本結果的機率非常低。因此，我們有足夠的證據拒絕 $H_0$，並傾向於接受對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$）。
  • 大 p-value：如果 p-value 較大（大於或等於 $\alpha$），這表示在 $H_0$ 為真的情況下，觀察到當前樣本結果是可能的。因此，我們沒有足夠的證據拒絕 $H_0$。這不代表 $H_0$ 一定為真，只是說現有數據不足以反駁它。

此題考驗對指數分佈（Exponential Distribution）的期望值計算，以及條件期望值（Conditional Expectation）的求解。

首先，題目給定的機率密度函數 (PDF) 為 $f_X(x) = t e^{-tx}$，其中 $0 < x < \infty$。
指數分佈的期望值為 $E(X) = \frac{1}{t}$，這與題目中給定的均值一致。

我們需要計算條件期望值 $E(X | X > 1)$。
根據條件期望值的定義：
$E(X | X > 1) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{X|X>1}(x) dx$
其中 $f_{X|X>1}(x)$ 是在 $X > 1$ 這個條件下的條件機率密度函數。

條件機率密度函數的計算公式為：
$f_{X|A}(x) = \frac{f_X(x)}{P(A)}$
其中 $A$ 是事件 $X > 1$。

首先，我們需要計算 $P(X > 1)$。
$P(X > 1) = \int_{1}^{\infty} f_X(x) dx = \int_{1}^{\infty} t e^{-tx} dx$
$P(X > 1) = [-e^{-tx}]_{1}^{\infty} = -e^{-\infty} - (-e^{-t \cdot 1}) = 0 - (-e^{-t}) = e^{-t}$

所以，$P(X > 1) = e^{-t}$。

接下來，我們可以得到條件機率密度函數 $f_{X|X>1}(x)$：
$f_{X|X>1}(x) = \frac{f_X(x)}{P(X > 1)} = \frac{t e^{-tx}}{e^{-t}} = t e^{-t(x-1)}$
這個條件機率密度函數適用於 $x > 1$。

現在，我們可以計算條件期望值 $E(X | X > 1)$：
$E(X | X > 1) = \int_{1}^{\infty} x \cdot f_{X|X>1}(x) dx = \int_{1}^{\infty} x \cdot t e^{-t(x-1)} dx$
$E(X | X > 1) = t \int_{1}^{\infty} x e^{-tx + t} dx = t e^t \int_{1}^{\infty} x e^{-tx} dx$

我們需要計算積分 $\int_{1}^{\infty} x e^{-tx} dx$。可以使用分部積分法，令 $u = x$ 且 $dv = e^{-tx} dx$。
則 $du = dx$ 且 $v = \int e^{-tx} dx = -\frac{1}{t} e^{-tx}$。

此題在考驗考生對「相關不等於因果」（Correlation does not imply causation）這一統計學與研究方法論上重要概念的理解。

我的立場： 我不同意「相關不等於因果」這句話。

理由說明：

1. 定義上的區別：

   • 相關 (Correlation)：是指兩個變數之間存在某種聯繫或關聯性。當一個變數的變化趨勢與另一個變數的變化趨勢一致時，我們說它們之間存在相關。相關性可以通過相關係數來度量，其值介於 -1 和 1 之間，表示關聯的強度和方向。
   • 因果 (Causation)：是指一個變數（原因）的變化直接導致了另一個變數（結果）的變化。這意味著，如果改變原因變數，結果變數也會隨之改變。因果關係比相關關係更強，它不僅說明了兩個變數之間有關聯，還指明了變數之間的影響方向和機制。

2. 為什麼相關不必然等於因果：

   • 共同原因 (Confounding Variables)：兩個變數之間可能存在相關性，但這種相關性是由第三個未被考慮的變數（潛在混淆變數）同時影響這兩個變數所造成的。例如，冰淇淋的銷量與溺水人數之間存在正相關，但這並非因為吃冰淇淋導致溺水，而是因為高溫（共同原因）同時增加了人們吃冰淇淋和游泳的機會，從而增加了溺水事故。
   • 巧合或隨機性 (Coincidence)：有時兩個變數之間觀察到的相關性可能僅僅是偶然的，尤其是在數據量較小或進行了大量檢定的情況下。
   • 反向因果 (Reverse Causation)：有時觀察到的相關性可能是因為結果變數影響了原因變數，而不是反過來。例如，觀察到經常運動的人更健康，但可能是因為健康的人更有能力和意願去運動，而不是運動直接導致了健康。

此題考驗對單一樣本 t 檢定（One-Sample t-test）的應用，目的是檢定一個母體的平均數是否等於一個已知值。

步驟 1：設定虛無假設與對立假設
我們想要檢定的問題是：母體的平均數 $\mu$ 是否等於 7.25。
虛無假設 $H_0$: $\mu = 7.25$ （母體平均數等於 7.25）
對立假設 $H_1$: $\mu \neq 7.25$ （母體平均數不等於 7.25，這是一個雙尾檢定）

步驟 2：計算樣本統計量
首先，我們需要計算樣本的平均數 ($\bar{x}$) 和樣本的標準差 ($s$)。
樣本數據：7.26, 7.27, 7.24, 7.29, 7.28, 7.25, 7.23, 7.32
樣本數 $n = 8$。

計算樣本平均數 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{7.26 + 7.27 + 7.24 + 7.29 + 7.28 + 7.25 + 7.23 + 7.32}{8}$
$\bar{x} = \frac{58.14}{8} = 7.2675$

接下來，計算樣本標準差 $s$。
首先計算樣本變異數 $s^2$：
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

計算各數據與平均數的差的平方：
$(7.26 - 7.2675)^2 = (-0.0075)^2 = 0.00005625$
$(7.27 - 7.2675)^2 = (0.0025)^2 = 0.00000625$
$(7.24 - 7.2675)^2 = (-0.0275)^2 = 0.00075625$
$(7.29 - 7.2675)^2 = (0.0225)^2 = 0.00050625$
$(7.28 - 7.2675)^2 = (0.0125)^2 = 0.00015625$
$(7.25 - 7.2675)^2 = (-0.0175)^2 = 0.00030625$
$(7.23 - 7.2675)^2 = (-0.0375)^2 = 0.00140625$
$(7.32 - 7.2675)^2 = (0.0525)^2 = 0.00275625$

總和 $\sum_{i=1}^{8} (x_i - \bar{x})^2$:
$0.00005625 + 0.00000625 + 0.00075625 + 0.00050625 + 0.00015625 + 0.00030625 + 0.00140625 + 0.00275625 = 0.00595$

樣本變異數 $s^2 = \frac{0.00595}{8-1} = \frac{0.00595}{7} \approx 0.00085$

此題考驗考生對不同測量尺度（Levels of Measurement）的理解，特別是區間尺度（Interval Scale）和比例尺度（Ratio Scale）的比較與對比。

共同點 (Comparison)：

1. 有序性 (Order)：區間尺度和比例尺度都具有有序性。這意味著它們的類別之間存在明確的等級或順序。例如，溫度（區間尺度）的攝氏 20 度比 10 度高；身高（比例尺度）的 180 公分比 170 公分高。
2. 等距性 (Equal Intervals)：這兩種尺度都具有等距性。這意味著相鄰類別之間的差異是恆定的，並且在整個尺度上具有相同的意義。例如，區間尺度中 20 度與 10 度之間的差異（10 度）與 30 度與 20 度之間的差異（10 度）是相同的。比例尺度中，180 公分與 170 公分之間的差異（10 公分）與 170 公分與 160 公分之間的差異（10 公分）也是相同的。
3. 數學運算：由於具有等距性，這兩種尺度都允許進行加法和減法運算，並且可以計算平均數。

不同點 (Contrast)：

1. 絕對零點 (Absolute Zero Point)：

   • 區間尺度 (Interval Scale)：沒有絕對零點。所謂的「零點」是人為定義的，並不代表該屬性的完全不存在。例如，攝氏溫標中 0 度 C 是一個定義的點，但它並不代表沒有熱量，因為在絕對零度（約 -273.15 度 C）時才沒有熱量。華氏溫標的 0 度 F 也同樣不是絕對零點。
   • 比例尺度 (Ratio Scale)：有絕對零點。這個零點代表該屬性的完全不存在。例如，身高 0 公分意味著沒有身高；重量 0 公斤意味著沒有重量；收入 0 元意味著沒有收入。

2. 比例運算 (Ratio Operations)：

   • 區間尺度 (Interval Scale)：由於缺乏絕對零點，區間尺度不允許進行有意義的比例運算。

核心觀念

本題考查聯合機率密度函數的基本運算：

1. 聯合密度函數必須滿足
   $\iint_{\mathcal R} f(x,y)\,dx\,dy=1.$
2. $Y$ 的邊際密度函數：
   $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx.$
3. $Y\mid X=x$ 的條件密度函數：
   $f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)},$
   其中
   $f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy.$

題目的非零區域為

$$0\le x\le 3,\qquad 0\le y\le 1,\qquad 2y\le x.$$

由 $2y\le x$ 可改寫為

$$y\le \frac{x}{2}.$$

---

(1) 求常數 $t$

以 $y$ 為外層變數時，由 $0\le y\le 1$ 且 $2y\le x\le 3$，因此

$$1=\int_0^1\int_{2y}^{3}t\,dx\,dy.$$

計算得

$$1=t\int_0^1(3-2y)\,dy =t\left[3y-y^2\right]_0^1 =2t.$$

因此

$$\boxed{t=\frac12}.$$

---

(2) 求 $Y$ 的邊際機率密度函數

固定 $y$ 後，$x$ 的範圍為

$$2y\le x\le 3,$$

且 $0\le y\le 1$。

所以

$$f_Y(y)=\int_{2y}^{3}t\,dx =t(3-2y).$$

代入 $t=\frac12$，得到

$$f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{3-2y}{2}, & 0\le y\le 1,\\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

因此

$$\boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{3-2y}{2}, & 0\le y\le 1,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}}$$

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(3) 求給定 $X=x$ 時 $Y$ 的條件機率密度函數

先求 $X$ 的邊際密度函數。固定 $x$ 時，$y$ 的上限會因 $x$ 的大小分成兩段：

• 當 $0\le x\le 2$ 時，由 $2y\le x$ 得
  $0\le y\le \frac{x}{2}.$

• 當 $2\le x\le 3$ 時，$\frac{x}{2}\ge 1$，因此受 $0\le y\le 1$ 限制：
  $0\le y\le 1.$

故