108 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）乙組《微積分》

核心觀念

本題為商管研究所入學考試中極為經典的「商用微積分（Business Calculus）」應用題，評量考生將經濟商業情境轉換為數學模型並進行最佳化分析的能力。涵蓋核心觀念如下：

1. 線性需求方程式（Linear Demand Equation）：利用斜率點斜式建立價格 $P$ 與需求量 $Q$ 之間的線性關係。
2. 總收益函數與極值檢定（Revenue Maximization）：定義總收益為 $R = P \cdot Q$，利用一階導數尋找臨界點（Critical Point），並配合二階導數檢定（Second Derivative Test）確認極大值。
3. 需求價格彈性（Price Elasticity of Demand）：定義為需求量變動百分比對價格變動百分比的比值： $$E = -\frac{P}{Q} \cdot \frac{dQ}{dP} \quad \left(\text{或代數定義 } \epsilon = \frac{P}{Q} \cdot \frac{dQ}{dP}\right)$$
4. 總利潤函數最佳化（Profit Maximization）：建立總成本函數 $C(Q) = \text{固定成本} + \text{變動成本} \cdot Q$，進而求得總利潤 $\pi(P) = R(P) - C(P)$，並透過微分求出極大化利潤之最佳訂價。

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解題方法與完整推導

(a) 求需求方程式（Demand Equation）

設需求方程式為線性函數 $Q(P) = mP + k$（其中 $P$ 為單價，$Q$ 為每日需求量）。
根據題意已知兩點座標 $(P_1, Q_1) = (50, 4000)$ 與 $(P_2, Q_2) = (55, 3500)$。

1. 計算斜率 $m$：

   $$m = \frac{\Delta Q}{\Delta P} = \frac{3500 - 4000}{55 - 50} = \frac{-500}{5} = -100$$

2. 利用點斜式建立方程式：

   $$\begin{aligned} Q - 4000 &= -100(P - 50) \\ Q &= -100P + 5000 + 4000 \\ Q &= 9000 - 100P \end{aligned}$$

   (亦可表示為反需求函數 $P(Q) = 90 - 0.01Q$)

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(b) 求極大化每日總收益的價格（Price to Maximize Daily Revenue）

1. 建立總收益函數 $R(P)$：

   $$R(P) = P \cdot Q(P) = P(9000 - 100P) = 9000P - 100P^2$$

2. 一階導數求臨界點（一階條件 F.O.C.）：

   $$R'(P) = \frac{dR}{dP} = 9000 - 200P$$

   令 $R'(P) = 0$：

   $$9000 - 200P = 0 \implies 200P = 9000 \implies P = 45$$

3. 二階導數檢定（二階條件 S.O.C.）：

   $$R''(P) = \frac{d^2R}{dP^2} = -200 < 0$$

   由於 $R''(P) < 0$ 對所有 $P$ 恆成立，函數呈凹向下（Strictly Concave），故 $P = 45$ 確實為全域極大值點。

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(c) 計算價格為 NT$50 時的需求價格彈性（Elasticity of Demand）

1. 代入價格 $P = 50$ 求得此時之需求量： $$Q(50) = 9000 - 100(50) = 4000$$

核心觀念

本題考查「存貨模型（newsvendor model）」的期望利潤最大化。關鍵是將利潤依需求量 $x$ 與訂購量 $q$ 的大小分成兩種情況：

• 當 $x\ge q$：所有商品售出，利潤為
  $\Pi(q,x)=50q-20q=30q.$
• 當 $0\le x<q$：部分商品以 $50$ 元售出，剩餘商品以 $10$ 元出售，利潤為
  $\Pi(q,x)=50x+10(q-x)-20q=40x-10q.$

需求服從平均數為 $10000$ 的指數分配，因此

$$f(x)=\frac{1}{10000}e^{-x/10000},\qquad x\ge 0,$$

其累積分配函數與尾端機率分別為

$$F(q)=P(X\le q)=1-e^{-q/10000},$$ $$P(X>q)=e^{-q/10000}.$$

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解題方法：建立期望利潤並微分

利用題目給出的利潤表示式：

$$h(q)=E[\Pi(q,X)].$$

對訂購量 $q$ 增加一單位時：

• 若需求 $X>q$，新增商品可正常售出，增加利潤 $50-20=30$ 元；
• 若需求 $X<q$，新增商品最後只能以 $10$ 元出清，增加利潤 $10-20=-10$ 元。

因此期望利潤的邊際變化為

$$h'(q)=30P(X>q)-10P(X<q).$$

由於需求為連續型分配，$P(X=q)=0$，所以

$$h'(q) =30e^{-q/10000}-10\left(1-e^{-q/10000}\right).$$

整理得

$$h'(q)=40e^{-q/10000}-10.$$

令一階導數為 $0$：

$$40e^{-q/10000}-10=0,$$ $$e^{-q/10000}=\frac14.$$

取自然對數：

$$-\frac{q}{10000}=\ln\frac14=-\ln4,$$

因此

$$q^*=10000\ln4\approx 13862.94.$$

又因為

$$h''(q)=-\frac{40}{10000}e^{-q/10000}<0,$$

所以此臨界點確實使期望利潤達到最大。

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(a) 最適訂購量

$$\boxed{q^*=10000\ln4\approx 13863\text{ 件}}$$

也可用存貨模型的臨界分位數快速驗算：

$$F(q^*)=\frac{\text{缺貨成本}}{\text{缺貨成本}+\text{剩貨成本}} =\frac{50-20}{50-10} =\frac{30}{40} =\frac34.$$

因此

$$1-e^{-q^*/10000}=\frac34 \quad\Longrightarrow\quad e^{-q^*/10000}=\frac14,$$

與上述結果一致。

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期望利潤的一般公式

先計算兩個常用期望值。

對於銷售數量 $\min(q,X)$：

$$E[\min(q,X)] =\int_0^q P(X>t)\,dt =\int_0^q e^{-t/10000}\,dt$$

核心觀念

本題考查：

• 線性限制式的代入消去法。
• 線性目標函數是否具有最小值。
• 判斷最佳化問題是否「無下界」。

題目只給出一條等式限制：

$$2x_1+2x_2+x_3+9=0$$

未特別限制 $x_1,x_2,x_3$ 必須為非負數，因此依一般慣例，視三個變數皆為實數。

解題方法

由限制式解出 $x_3$：

$$x_3=-2x_1-2x_2-9$$

代入目標函數：

$$x_1+x_2+x_3 =x_1+x_2-2x_1-2x_2-9$$

因此

$$x_1+x_2+x_3=-x_1-x_2-9$$

接著觀察其下界。令

$$x_1=t,\qquad x_2=0$$

則

$$x_3=-2t-9$$

而目標函數值為