108 年 國立政治大學風險管理與保險學系碩士班精算科學組《統計學》

本題主要考察隨機變數的變換以及常見機率分配的性質。

核心概念：

1. 累積分配函數 (CDF) 的性質：若 $X$ 為任意連續隨機變數，其 CDF 為 $F_X(x)$，則 $Y = F_X(X)$ 是一個在 $(0, 1)$ 上的均勻隨機變數。
2. 指數分配的性質：若 $X$ 為指數分配，則 $Y = aX$ 也是指數分配，且 $Y = e^{-X}$ 具有特定形式的 CDF。
3. 卡方分配的定義：標準常態隨機變數的平方和服從卡方分配。

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a. 證明 $U$ 為均勻隨機變數，並計算 $U$ 的期望值與變異數。

證明：
令 $Z$ 為標準常態隨機變數，其 CDF 為 $\Phi(z)$。
令 $U = \Phi(Z)$。
根據 CDF 的性質，對於任意連續隨機變數 $Z$，其 CDF $F_Z(z) = \Phi(z)$，則 $Y = F_Z(Z)$ 是一個在 $(0, 1)$ 上的均勻隨機變數。
因此，$U = \Phi(Z)$ 是一個在 $(0, 1)$ 上的均勻隨機變數。

計算期望值與變異數：
對於一個定義在 $(0, 1)$ 上的均勻隨機變數 $U \sim \text{Unif}(0, 1)$：
期望值：$E[U] = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$。
變異數：$Var(U) = \frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}$。

【答案】 $U$ 為均勻隨機變數。$E[U] = \frac{1}{2}$，$Var(U) = \frac{1}{12}$。

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b. 證明 $X$ 為指數隨機變數，並計算 $X$ 的期望值與變異數。

證明：
令 $U = \Phi(Z)$，我們已經知道 $U \sim \text{Unif}(0, 1)$。
$X = -2 \log(U)$。
為了證明 $X$ 為指數隨機變數，我們需要找到 $X$ 的 CDF，並看它是否符合指數分配的形式。
$F_X(x) = P(X \le x) = P(-2 \log(U) \le x)$
$P(\log(U) \ge -\frac{x}{2})$
$P(U \ge e^{-\frac{x}{2}})$
由於 $U \sim \text{Unif}(0, 1)$，其 CDF 為 $F_U(u) = u$ 對於 $0 \le u \le 1$。
所以，$P(U \ge e^{-\frac{x}{2}}) = 1 - P(U < e^{-\frac{x}{2}}) = 1 - F_U(e^{-\frac{x}{2}})$。
這裡需要注意 $X$ 的取值範圍。

本題主要考察點估計的不偏性、機率密度函數的正規化以及估計量的標準誤。

核心概念：

1. 不偏估計量 (Unbiased Estimator)：估計量的期望值等於母體參數。
2. 機率密度函數 (PDF)：機率密度函數在定義域內的積分必須等於 1。
3. 期望值與變異數的計算：利用隨機變數的性質和期望值運算性質。
4. 估計量的標準誤 (Standard Error, SE)：估計量的標準差，通常用來衡量估計量的精確度。$SE(\hat{\theta}) = \sqrt{Var(\hat{\theta})}$。
5. 重要性抽樣 (Importance Sampling)：$\hat{A}$ 的形式提示了這是重要性抽樣的思想，其中 $g(x)$ 是抽樣密度，$\frac{h(x)}{g(x)}$ 是重要性權重。

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a. 證明 $E[\hat{A}] = A$。

我們需要計算 $\hat{A}$ 的期望值。
$\hat{A} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{h(X_i)}{g(X_i)}$
$E[\hat{A}] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{h(X_i)}{g(X_i)}\right]$
由於期望值是線性的，我們可以將其移入求和：
$E[\hat{A}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left[\frac{h(X_i)}{g(X_i)}\right]$
由於 $X_i$ 是從密度函數 $g(x)$ 抽樣出來的獨立樣本，對於任意樣本 $X_i$，
$E\left[\frac{h(X_i)}{g(X_i)}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{h(x)}{g(x)} g(x) dx$
由於 $g(x)$ 是定義在 $[0, 1]$ 上的密度函數，積分範圍是 $[0, 1]$。
$E\left[\frac{h(X_i)}{g(X_i)}\right] = \int_0^1 \frac{h(x)}{g(x)} g(x) dx = \int_0^1 h(x) dx$
而題目定義 $A = \int_0^1 h(x) dx$。
所以，$E\left[\frac{h(X_i)}{g(X_i)}\right] = A$。
將此結果代回 $E[\hat{A}]$ 的計算：
$E[\hat{A}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n A = \frac{1}{n} (n \cdot A) = A$。
因此，$\hat{A}$ 是 $A$ 的一個不偏估計。

【答案】 證明如上。

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b. 假設 $h(x) = e^{-x^2}$，請計算 $A$。

$A = \int_0^1 h(x) dx = \int_0^1 e^{-x^2} dx$。
這個積分是誤差函數 (Error Function) 的一部分，稱為 $\text{erf}(x)$，其定義為 $\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$。
因此，$\int_0^1 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1)$。
這個積分沒有一個簡單的初等函數表達式，通常需要數值方法或級數展開來計算。
題目可能期望一個符號表達式，或者在沒有進一步指示的情況下，可以表示為積分形式。
若題目允許，最簡潔的表達就是積分本身。

答案： $A = \int_0^1 e^{-x^2} dx$。

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c. 假設 $h(x) = e^{-x^2/2}$，$g(x) = c e^{-x^2/2}$， $x \in [0, 1]$。請計算常數 $c$，使得 $g(x)$ 是定義在 $[0, 1]$ 上的密度函數。

一個密度函數必須滿足其在定義域上的積分為 1。
$\int_0^1 g(x) dx = 1$
$\int_0^1 c e^{-x^2/2} dx = 1$
$c \int_0^1 e^{-x^2/2} dx = 1$
$c = \frac{1}{\int_0^1 e^{-x^2/2} dx}$
同樣，這個積分 $\int_0^1 e^{-x^2/2} dx$ 沒有初等函數表達式。它與標準常態 CDF $\Phi(x)$ 有關。
$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} dt$。
$\int_0^1 e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi} \left( \Phi(1) - \Phi(0) \right)$。
$\Phi(0) = 0.5$。
$\Phi(1) \approx 0.8413$ (題目有給 $\Phi(1)=0.8413$)。
所以，$\int_0^1 e^{-x^2/2} dx \approx \sqrt{2\pi} (0.8413 - 0.5) = \sqrt{2\pi} (0.3413)$。
$c = \frac{1}{\sqrt{2\pi} (\Phi(1) - \Phi(0))}$。
若題目允許用積分符號表示，則：
$c = \frac{1}{\int_0^1 e^{-x^2/2} dx}$。

答案： $c = \frac{1}{\int_0^1 e^{-x^2/2} dx}$。

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d. 假設 $X_1, \ldots, X_n$ 是從上述 $c \cdot g(x) = c e^{-x^2/2}$ 抽樣出來的獨立樣本。請問 $n$ 要取多大才能讓 $\hat{A}$ 的標準誤小於 $0.01$？

首先，我們需要計算 $\hat{A}$ 的變異數。
$\hat{A} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{h(X_i)}{g(X_i)}$
這裡 $h(x) = e^{-x^2/2}$ 且 $g(x) = c e^{-x^2/2}$。
所以，$\frac{h(X_i)}{g(X_i)} = \frac{e^{-X_i^2/2}}{c e^{-X_i^2/2}} = \frac{1}{c}$。
注意：這裡的 $g(x)$ 是題目 c 中的 $c e^{-x^2/2}$，所以抽樣的密度函數是 $g_{sample}(x) = c e^{-x^2/2}$。
而我們計算 $\hat{A}$ 時，使用的 $g(x)$ 應該是我們抽樣的密度函數。

本題主要考察多元常態分布的性質，特別是變異數的計算以及特徵值與特徵向量在變換下的應用。

核心概念：

1. 多元常態分布的變異數：若 $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$，則 $a^T X$ 的變異數為 $a^T \Sigma a$。
2. 特徵值與特徵向量：對於對稱矩陣 $\Sigma$，其特徵向量是使得 $\Sigma q = \lambda q$ 的向量 $q$，其中 $\lambda$ 是對應的特徵值。
3. 二次型變換：對於一個隨機向量 $X$ 和一個單位向量 $w$，變數 $Y = w^T X$ 的變異數為 $Var(Y) = w^T \Sigma w$。

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a. 計算 $Var(X_1 + X_2 + X_3)$。

我們定義一個向量 $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
則 $X_1 + X_2 + X_3 = a^T X$。
變異數為 $Var(a^T X) = a^T \Sigma a$。
$a^T \Sigma a = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
首先計算 $\Sigma a$:
$\Sigma a = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$
然後計算 $a^T (\Sigma a)$:
$a^T (\Sigma a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 6 = 3 + 5 + 6 = 14$
所以，$Var(X_1 + X_2 + X_3) = 14$。

【答案】 $Var(X_1 + X_2 + X_3) = 14$。

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b. 求解 $\max_{w} Var(w_1 X_1 + w_2 X_2 + w_3 X_3)$。

令 $Y = w_1 X_1 + w_2 X_2 + w_3 X_3 = w^T X$。
則 $Var(Y) = Var(w^T X) = w^T \Sigma w$。