110 年 國立政治大學風險管理與保險學系碩士班精算科學組《統計學》

本題主要考驗對貝氏定理的理解與應用，以及在醫學診斷情境下的機率計算。

核心觀念： 貝氏定理 (Bayes' Theorem)

a. 貝氏定理陳述：
設 A 與 B 為兩事件，且 $P(B) > 0$。貝氏定理敘述如下：
$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$
其中，$P(A|B)$ 是在事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的機率（後驗機率）；$P(B|A)$ 是在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率（似然函數）；$P(A)$ 是事件 A 發生的先驗機率；$P(B)$ 是事件 B 發生的機率。
若事件 B 可以由另一組互斥且窮盡的事件 $A_1, A_2, ..., A_n$ 所構成，則 $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) P(A_i)$。此時，貝氏定理可寫為：
$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B|A_j) P(A_j)}$

b. 應用貝氏定理計算機率：
我們定義以下事件：

• $D$: A 君患有 Covid 19。
• $D^c$: A 君未患有 Covid 19。
• $T$: ABC 試劑檢驗結果為陽性。

根據題目資訊，我們有以下機率：

• 先驗機率：患有 Covid 19 的比例為五千分之一。
  $P(D) = \frac{1}{5000} = 0.0002$
  因此，$P(D^c) = 1 - P(D) = 1 - \frac{1}{5000} = \frac{4999}{5000} = 0.9998$

• 條件機率（測試的準確度）：

  • 一個正常人（未患病）使用 ABC 試劑有萬分之一的機會產生錯誤結論（即檢驗結果為陽性）。這是假陽性率 (False Positive Rate)。
    $P(T|D^c) = \frac{1}{10000} = 0.0001$
  • 一個患者（已患病）使用 ABC 試劑有萬分之一的機會產生錯誤結論（即檢驗結果為陰性）。這是假陰性率 (False Negative Rate)。
    $P(T^c|D) = \frac{1}{10000} = 0.0001$
  • 因此，一個患者（已患病）使用 ABC 試劑檢驗結果為陽性的機率（真陽性率, True Positive Rate）為：
    $P(T|D) = 1 - P(T^c|D) = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0.9999$

本題考驗對標準常態隨機變數及其轉換的機率分佈的理解，包括均勻分佈、指數分佈、卡方分佈與 Gamma 分佈。

核心觀念： 隨機變數的轉換、標準常態分佈、均勻分佈、指數分佈、卡方分佈、Gamma 分佈。

a. 證明 $U = \Phi(Z_1)$ 為均勻隨機變數，並計算其期望值與變異數。

證明 $U$ 為均勻隨機變數：
設 $Z$ 為標準常態隨機變數，其機率密度函數 (PDF) 為 $f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$，其累積分配函數 (CDF) 為 $\Phi(z)$。
令 $U = \Phi(Z)$。我們要求 $U$ 的 CDF，記為 $F_U(u)$。
$F_U(u) = P(U \le u) = P(\Phi(Z) \le u)$。
由於 $\Phi(z)$ 是單調遞增函數，且其值域為 $(0, 1)$，我們可以對不等式兩邊取其反函數 $\Phi^{-1}$（即分位數函數）。
$P(\Phi(Z) \le u) = P(Z \le \Phi^{-1}(u))$。
由於 $\Phi^{-1}(u)$ 是一個常數值（設為 $c = \Phi^{-1}(u)$），因此 $P(Z \le c) = \Phi(c)$。
所以，$F_U(u) = \Phi(\Phi^{-1}(u))$。
根據 $\Phi$ 和 $\Phi^{-1}$ 的定義，$\Phi(\Phi^{-1}(u)) = u$。
因此，$F_U(u) = u$，其中 $u$ 的範圍是 $\Phi(Z)$ 的值域，即 $(0, 1)$。
一個隨機變數的 CDF 為 $F(x) = x$ 對於 $0 < x < 1$，則該隨機變數服從 (0, 1) 上的標準均勻分佈。
所以，$U = \Phi(Z_1)$ 服從標準均勻分佈 $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$。

計算 $U$ 的期望值與變異數：
對於標準均勻分佈 $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$：

• 期望值 $E[U] = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$。
• 變異數 $Var(U) = \frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}$。

【答案】
$U$ 服從標準均勻分佈 $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$。
$E[U] = \frac{1}{2}$。
$Var(U) = \frac{1}{12}$。

b. 證明 $X = -10\log(\Phi(Z_2))$ 為指數隨機變數，並計算其期望值與變異數。

證明 $X$ 為指數隨機變數：
令 $Z = Z_2$ 為標準常態隨機變數，其 CDF 為 $\Phi(z)$。
令 $V = \Phi(Z)$。根據 a 部分的證明，V 服從標準均勻分佈 $V \sim \text{Uniform}(0, 1)$。
我們有 $X = -10\log(V)$。
要求 $X$ 的 CDF，記為 $F_X(x)$。
$F_X(x) = P(X \le x) = P(-10\log(V) \le x)$。
由於 $-10$ 是負數，不等式變號：
$P(\log(V) \ge -\frac{x}{10})$。
對兩邊取指數：
$P(V \ge e^{-x/10})$。
由於 $V \sim \text{Uniform}(0, 1)$，其 CDF 為 $F_V(v) = v$ 對於 $0 < v < 1$。
$P(V \ge e^{-x/10}) = 1 - P(V < e^{-x/10}) = 1 - F_V(e^{-x/10})$。
因為 $V$ 的值域是 $(0, 1)$，且 $e^{-x/10}$ 的值域也是 $(0, 1)$（當 $x$ 趨近於 $\infty$ 時，$e^{-x/10}$ 趨近於 0；當 $x$ 趨近於 $-\infty$ 時，$e^{-x/10}$ 趨近於 $\infty$。但 $V$ 的值域限制了 $e^{-x/10}$ 必須在 $(0,1)$ 內，這意味著 $x$ 必須大於某個值，實際上 $x$ 的範圍是 $(0, \infty)$），所以我們使用 $F_V(v)=v$。
$F_X(x) = 1 - e^{-x/10}$，其中 $x > 0$。

這是一個指數分佈的 CDF，其形式為 $F(x; \lambda) = 1 - e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda > 0$。
所以，$X$ 服從指數分佈，參數為 $\lambda = \frac{1}{10}$。
$X \sim \text{Exponential}(\lambda = \frac{1}{10})$。

計算 $X$ 的期望值與變異數：
對於指數分佈 $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$：

• 期望值 $E[X] = \frac{1}{\lambda}$。
• 變異數 $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。

將 $\lambda = \frac{1}{10}$ 代入：

• $E[X] = \frac{1}{1/10} = 10$。
• $Var(X) = \frac{1}{(1/10)^2} = \frac{1}{1/100} = 100$。

【答案】
$X$ 服從參數為 $\lambda = \frac{1}{10}$ 的指數分佈 $X \sim \text{Exponential}(\frac{1}{10})$。
$E[X] = 10$。
$Var(X) = 100$。

c. 證明 $W = Z_1^2 + Z_2^2$ 為卡方隨機變數，並計算其期望值與變異數。

核心觀念

本題考查線性轉換後的共變異數矩陣。

若隨機向量 $X$ 的共變異數矩陣為 $\Sigma_X$，且

$$Y=AX,$$

則

$$\operatorname{Cov}(Y) =A\operatorname{Cov}(X)A^{T} =A\Sigma_XA^{T}.$$

多元標準常態隨機向量表示各分量平均數為 $0$、變異數為 $1$，且彼此不相關，因此

$$\Sigma_X=I.$$

所以本題中

$$\operatorname{Cov}(HX)=HH^T.$$

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a. 計算 $Y$ 的共變異數矩陣

令 $H$ 的四個列向量分別為

$$h_1=(1,1,-1,1),$$ $$h_2=(1,-1,1,-1),$$ $$h_3=(1,1,-1,-1),$$ $$h_4=(1,-1,-1,1).$$

矩陣 $HH^T$ 的第 $(i,j)$ 個元素為 $h_i\cdot h_j$。

各列向量的平方長度為

$$h_i\cdot h_i=4,\qquad i=1,2,3,4.$$

不同列向量間的內積為

$$h_1\cdot h_2=-2,$$ $$h_1\cdot h_3=2,$$ $$h_1\cdot h_4=2,$$ $$h_2\cdot h_3=0,$$ $$h_2\cdot h_4=0,$$ $$h_3\cdot h_4=0.$$

因此

$$\operatorname{Cov}(Y) =HH^T = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2 & 2\\ -2 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 4 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.$$

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b. 計算 $\operatorname{Var}(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4)$

方法一：直接求線性組合

由 $Y=HX$，

$$Y_1+Y_2+Y_3+Y_4 = \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \end{pmatrix}Y.$$

因此

$$Y_1+Y_2+Y_3+Y_4 = \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \end{pmatrix}HX.$$

計算各欄的總和：

$$\begin{pmatrix} 1&1&1&1 \end{pmatrix}H = \begin{pmatrix} 4&0&-2&0 \end{pmatrix}.$$

所以

$$Y_1+Y_2+Y_3+Y_4=4X_1-2X_3.$$

由於 $X$ 為多元標準常態向量，$X_1$ 與 $X_3$ 不相關，且兩者變異數皆為 $1$，因此

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4) &=\operatorname{Var}(4X_1-2X_3)\\ &=4^2\operatorname{Var}(X_1)+(-2)^2\operatorname{Var}(X_3)\\ &=16+4\\ &=20. \end{aligned}$$

方法二：利用共變異數矩陣

令

$$\mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}.$$

則

$$\operatorname{Var}(\mathbf{1}^TY) = \mathbf{1}^T\operatorname{Cov}(Y)\mathbf{1}.$$

代入 a 小題結果：