110 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《統計學A》

核心觀念

本題考查：

• 聯合機率分配求邊際機率分配。
• 條件機率分配：$P(X=x\mid Y=0)$。
• 期望值與變異數：
  $E[X]=\sum xP(X=x),\qquad Var(X)=E[X^2]-[E(X)]^2.$
• 相關係數：
  $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}.$
• 線性組合的期望值與變異數：
  $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),$
  $Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y).$

解題方法與計算

聯合分配表為：

$$\begin{array}{c|ccc} &X=-4&X=0&X=5\\ \hline Y=-3&0.05&0.05&0.10\\ Y=0&0.10&0.20&0.15\\ Y=4&0.10&0.15&0.10 \end{array}$$

（a）求 $E[X]$ 與 $Var(X)$

先將各欄加總，得到 $X$ 的邊際分配：

$P(X=-4)=0.05+0.10+0.10=0.25,$

$P(X=0)=0.05+0.20+0.15=0.40,$

$P(X=5)=0.10+0.15+0.10=0.35.$

因此，

$E[X]=(-4)(0.25)+0(0.40)+5(0.35)=0.75.$

再求二次動差：

$$E[X^2]=(-4)^2(0.25)+0^2(0.40)+5^2(0.35) =16(0.25)+25(0.35)=12.75.$$

所以，

$$Var(X)=E[X^2]-[E(X)]^2 =12.75-(0.75)^2 =12.1875.$$

（b）求 $X\mid Y=0$ 的條件分配

先求：

$P(Y=0)=0.10+0.20+0.15=0.45.$

利用條件機率公式：

$P(X=x\mid Y=0)=\frac{P(X=x,Y=0)}{P(Y=0)}.$

因此，

$P(X=-4\mid Y=0)=\frac{0.10}{0.45}=\frac{2}{9},$

$P(X=0\mid Y=0)=\frac{0.20}{0.45}=\frac{4}{9},$

這題主要考驗對統計推論的應用，包含單一樣本假設檢定、雙樣本信賴區間，以及在不同假設條件（獨立樣本 vs. 配對樣本，變異數相等 vs. 不相等）下的假設檢定。

核心觀念：

1. 單一樣本 $t$-檢定： 用於檢定單一樣本的平均數是否等於或大於/小於某特定值。
2. 雙樣本 $t$-檢定與信賴區間： 用於比較兩個獨立樣本的平均數。當母體變異數未知時，常使用 $t$-分配。
   • 變異數相等假設 (Pooled Variance $t$-test)： 合併兩個樣本的變異數估計。
   • 變異數不相等假設 (Welch's $t$-test)： 不合併變異數，自由度計算較複雜。
3. 配對樣本 $t$-檢定與信賴區間： 用於比較配對資料的平均數差異。將配對資料轉換為差異值，再對差異值進行單一樣本 $t$-檢定或信賴區間計算。
4. 假設檢定步驟：
   • 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_a$)。
   • 選擇檢定統計量並計算其值。
   • 決定檢定法則 (如臨界值法或 $p$-值法)，並與顯著水準 $\alpha$ 比較。
   • 做出結論。
5. 信賴區間： 提供母數可能落入的範圍，具有某個信賴水準。

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解題過程：

首先，我們需要根據題目提供的 20 個樣本資料，計算 City X 和 City Y 的樣本平均數、樣本標準差以及樣本數。

City X 的資料： 85, 65, 100, 120, 115, 125, 50, 90, 115, 70, 80, 60, 65, 70, 75, 65, 75, 85, 95, 75
City Y 的資料： 125, 110, 105, 120, 85, 115, 65, 60, 95, 105, 115, 75, 100, 90, 115, 160, 65, 80, 60, 85

計算 City X 的樣本統計量：
$n_X = 20$
$\bar{x}_X = \frac{1}{20} \sum x_i = \frac{1560}{20} = 78$
$s_X^2 = \frac{1}{n_X-1} \sum (x_i - \bar{x}_X)^2 = \frac{1}{19} ( (85-78)^2 + ... + (75-78)^2 ) = \frac{14490}{19} \approx 762.6316$
$s_X = \sqrt{762.6316} \approx 27.6158$

計算 City Y 的樣本統計量：
$n_Y = 20$
$\bar{y}_Y = \frac{1}{20} \sum y_i = \frac{1580}{20} = 79$
$s_Y^2 = \frac{1}{n_Y-1} \sum (y_i - \bar{y}_Y)^2 = \frac{1}{19} ( (125-79)^2 + ... + (85-79)^2 ) = \frac{23990}{19} \approx 1262.6316$
$s_Y = \sqrt{1262.6316} \approx 35.5335$

(a) Test whether the population mean of hotel room prices in City X is greater than 75. (7%)

這是單一樣本 $t$-檢定。
虛無假設 $H_0: \mu_X \le 75$
對立假設 $H_a: \mu_X > 75$
顯著水準 $\alpha = 0.05$ (根據頁首說明)。

檢定統計量：$t = \frac{\bar{x}_X - \mu_0}{s_X / \sqrt{n_X}}$
其中 $\mu_0 = 75$。
$t = \frac{78 - 75}{27.6158 / \sqrt{20}} = \frac{3}{27.6158 / 4.4721} = \frac{3}{6.1754} \approx 0.4858$

自由度 $df = n_X - 1 = 20 - 1 = 19$。

查詢 $t$-分配表，當 $df=19$ 且 $\alpha=0.05$ 時，單尾檢定的臨界值 $t_{0.05, 19} \approx 1.729$。
因為計算出的檢定統計量 $t = 0.4858$ 小於臨界值 $1.729$ (即 $0.4858 \ngtr 1.729$)，我們無法拒絕虛無假設 $H_0$。

結論： 在顯著水準 0.05 下，沒有足夠的證據顯示 City X 的旅館房間平均價格高於 75。

【答案】無法拒絕 $H_0$，沒有足夠證據顯示 City X 的旅館房間平均價格高於 75。

(b) Find a 99% confidence interval for the difference between the two population means of hotel room prices in both Cities X and Y. (10%)

這是雙樣本信賴區間。由於題目未明確說明變異數是否相等，且 (c) 部分會分別討論這兩種情況，我們在此先假設它們是獨立的，並考慮兩種情況。然而，通常在沒有特別說明時，會先採用獨立樣本且變異數不等的 Welch's $t$-interval，或者先計算Pooled variance。
這裡我們計算獨立樣本的信賴區間。
99% 信賴區間，所以 $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。

情況 1：假設母體變異數相等 ($Var(X) = Var(Y) = \sigma^2$)
我們計算合併變異數 $s_p^2$：
$s_p^2 = \frac{(n_X-1)s_X^2 + (n_Y-1)s_Y^2}{n_X+n_Y-2} = \frac{(20-1) \times 762.6316 + (20-1) \times 1262.6316}{20+20-2}$
$s_p^2 = \frac{19 \times 762.6316 + 19 \times 1262.6316}{38} = \frac{19 \times (762.6316 + 1262.6316)}{38} = \frac{762.6316 + 1262.6316}{2} = \frac{2025.2632}{2} = 1012.6316$
$s_p = \sqrt{1012.6316} \approx 31.8219$

自由度 $df = n_X + n_Y - 2 = 20 + 20 - 2 = 38$。
查詢 $t$-分配表，當 $df=38$ 且 $\alpha/2 = 0.005$ 時，臨界值 $t_{0.005, 38} \approx 2.712$ (近似值，可查表或用軟體)。

信賴區間為：$(\bar{x}_X - \bar{y}_Y) \pm t_{\alpha/2, n_X+n_Y-2} \times s_p \sqrt{\frac{1}{n_X} + \frac{1}{n_Y}}$
$(\bar{x}_X - \bar{y}_Y) = 78 - 79 = -1$
信賴區間 $= -1 \pm 2.712 \times 31.8219 \sqrt{\frac{1}{20} + \frac{1}{20}}$
$= -1 \pm 2.712 \times 31.8219 \sqrt{\frac{2}{20}} = -1 \pm 2.712 \times 31.8219 \times \sqrt{0.1}$
$= -1 \pm 2.712 \times 31.8219 \times 0.3162$
$= -1 \pm 27.34$

信賴區間約為 $(-28.34, 26.34)$。

情況 2：假設母體變異數不相等 ($Var(X) \ne Var(Y)$)
這是 Welch's $t$-interval。
自由度 $df$ 的計算公式較複雜：
$df \approx \frac{(\frac{s_X^2}{n_X} + \frac{s_Y^2}{n_Y})^2}{\frac{(s_X^2/n_X)^2}{n_X-1} + \frac{(s_Y^2/n_Y)^2}{n_Y-1}}$
$\frac{s_X^2}{n_X} = \frac{762.6316}{20} = 38.13158$
$\frac{s_Y^2}{n_Y} = \frac{1262.6316}{20} = 63.13158$

這題主要考驗對複迴歸分析的理解與應用，包含 ANOVA 表的計算、係數的解釋、變數篩選的假設檢定，以及調整後決定係數的計算。

核心觀念：

1. 複迴歸模型： $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_k x_k + \epsilon$。
2. ANOVA 表： 總平方和 (SST) = 迴歸平方和 (SSR) + 誤差平方和 (SSE)。
   • $SST = \sum (y_i - \bar{y})^2$
   • $SSR = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2$
   • $SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$
   • $MS_{Regression} = \frac{SSR}{df_{Regression}}$
   • $MS_{Error} = \frac{SSE}{df_{Error}}$
   • $F = \frac{MS_{Regression}}{MS_{Error}}$
3. 決定係數 ($R^2$) 與調整後決定係數 ($Adj. R^2$)：
   • $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
   • $Adj. R^2 = 1 - \frac{SSE/(n-k-1)}{SST/(n-1)} = 1 - (1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$
4. 迴歸係數的標準誤與 $t$-檢定： 用於檢定個別迴歸係數是否顯著不為零。
5. 迴歸模型的 $F$-檢定： 用於檢定整個迴歸模型是否顯著。
6. 虛擬變數 (Dummy Variables)： 用於處理類別型自變數。
7. 估計標準誤 ($s$)： $s = \sqrt{\frac{SSE}{n-k-1}}$。

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解題過程：

首先，我們需要從題目提供的資訊中提取關鍵數據。
迴歸模型：$\hat{y} = 12.24 - 7.68x_1 + 13.25x_2 - 5.80x_3 + 15.32x_4$
此模型有 4 個自變數 ($x_1, x_2, x_3, x_4$)，因此 $k=4$。
常數項 (Constant) 是一個截距項，不計入 $k$ 的計算，但會影響自由度。
在 ANOVA 表中，迴歸自由度 $df_{Regression} = k = 4$。
誤差自由度 $df_{Error} = 28$。
總自由度 $df_{Total} = df_{Regression} + df_{Error} = 4 + 28 = 32$。
樣本數 $n = df_{Total} + 1 = 32 + 1 = 33$ (若迴歸模型包含截距項)。
或者 $n = df_{Error} + k + 1 = 28 + 4 + 1 = 33$。

從迴歸輸出中：
$SSR = 1620.25$
$df_{Error} = 28$
估計標準誤 $s = 5.5$。

(a) Complete the analysis of variance (ANOVA) table and conclude the resulting F test. (12%)

計算 ANOVA 表：

1. $df_{Regression}$： 模型中有 4 個自變數 ($x_1, x_2, x_3, x_4$)，所以 $df_{Regression} = 4$。
2. $MS_{Regression}$： $MS_{Regression} = \frac{SSR}{df_{Regression}} = \frac{1620.25}{4} = 405.0625$。
3. $df_{Total}$： $df_{Total} = df_{Regression} + df_{Error} = 4 + 28 = 32$。
4. $SST$： 我們知道 $s = \sqrt{\frac{SSE}{n-k-1}}$，且 $n-k-1 = df_{Error} = 28$。
   所以 $s^2 = \frac{SSE}{28} \implies SSE = s^2 \times 28 = (5.5)^2 \times 28 = 30.25 \times 28 = 847$。
   $SST = SSR + SSE = 1620.25 + 847 = 2467.25$。
   驗證： $n=33, k=4$, $n-k-1 = 33-4-1 = 28$。
5. $MS_{Error}$： $MS_{Error} = \frac{SSE}{df_{Error}} = \frac{847}{28} = 30.25$。
   驗證： $s^2 = MS_{Error} = 30.25$, $s = \sqrt{30.25} = 5.5$。這與題目給的 $s=5.5$ 相符。
6. $F$ 統計量： $F = \frac{MS_{Regression}}{MS_{Error}} = \frac{405.0625}{30.25} \approx 13.389$。

完成的 ANOVA 表：

Source of Variation	SS	df	MS	F
Regression	1620.25	4	405.0625	13.389
Error	847.00	28	30.25
Total	2467.25	32

$F$-檢定結論：
虛無假設 $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = 0$ (所有自變數對 $y$ 的迴歸係數均為零)。
對立假設 $H_a$: 至少有一個 $\beta_i \ne 0$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$ (通常預設值，若題目未給)。
查詢 $F$-分配表，當 $df_1 = df_{Regression} = 4$ 且 $df_2 = df_{Error} = 28$ 時，臨界值 $F_{0.05, 4, 28} \approx 2.71$。
計算出的 $F$ 統計量為 13.389。
因為 $13.389 > 2.71$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論： 在顯著水準 0.05 下，至少有一個自變數對 $y$（工作滿意度）有顯著的迴歸影響。整體迴歸模型是顯著的。

【答案】ANOVA 表如上，F 檢定結論為拒絕 $H_0$。