109 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《統計學A》

此題考驗對 Type I 錯誤的定義。
Type I 錯誤（Alpha 錯誤）是指當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，卻錯誤地拒絕了 $H_0$。
題目中給定 Type I 錯誤的機率為 0.05，這表示當 $H_0$ 為真時，我們有 5% 的機率會做出拒絕 $H_0$ 的決定。

此題在考驗如何判斷樣本結果對對立假設 $H_1$ 的支持程度。
檢定假設為 $H_0: \mu = 23$ 對 $H_1: \mu < 23$。
我們希望找到最能支持 $H_1$ 的樣本結果，也就是說，樣本平均數 ($\bar{x}$) 應該要顯著小於 23。
支持 $H_1$ 的證據越強，表示樣本平均數 $\bar{x}$ 越小，且其與虛無假設下的母體平均數 $\mu_0 = 23$ 的差距，相較於抽樣變異性（由標準誤 Standard Error, SE, 表示），越大。
我們可以計算統計檢定量 (t-statistic 或 z-statistic) 來衡量這種證據的強度。對於單一樣本平均數的檢定，統計量通常為 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE}$ 或 $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE}$。
為了支持 $H_1: \mu < 23$，我們期望 $\bar{x}$ 越小越好，且 $\frac{\bar{x} - \mu_0}{SE}$ 的值越負（越小）越好。

此題考驗關於比例 (proportion) 的信賴區間 (confidence interval) 計算。
我們有一個隨機樣本，樣本大小 $n=100$。
樣本中，限制使用手機的餐廳數量為 $x=45$。
因此，樣本比例為 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{45}{100} = 0.45$。
我們需要計算 99% 的信賴區間。

信賴區間的公式為：$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
其中：
$\hat{p}$ 是樣本比例。
$z_{\alpha/2}$ 是對應於所選信賴水準的標準常態分配的臨界值。
$n$ 是樣本大小。

對於 99% 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。
因此，$\alpha/2 = 0.005$。
我們需要查找標準常態分配中，尾部機率為 0.005 的 $z$ 值。查標準常態分配表或使用統計軟體，可以得到 $z_{0.005} \approx 2.576$ (有時也用 2.58)。

核心觀念

本題考查中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）對樣本平均數抽樣分配的影響。

若母體平均數為 $\mu$、母體標準差為 $\sigma$，從母體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，樣本平均數為 $\bar X$，則：

當樣本數 $n$ 夠大時，無論母體分配原本是偏態、雙峰或其他形狀，樣本平均數的抽樣分配皆會趨近常態分配：

中央極限定理所能消除的重點，是對母體「分配形狀」的要求；它並不表示母體平均數與標準差可以忽略。

解題方法

判斷各選項是否能被忽略，可直接檢查樣本平均數抽樣分配的兩個核心參數：

• 平均數為 $\mu$，決定抽樣分配的中心位置。
• 標準差為 $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$，決定抽樣分配的離散程度。
• 母體分配形狀在樣本數夠大時，會影響降低，樣本平均數分配趨近常態。

因此，中央極限定理只讓我們不必特別知道母體原本的分配形狀，不能忽略 $\mu$ 與 $\sigma$。

選項分析

A. the standard deviation of the population distribution

錯誤。

母體標準差 $\sigma$ 會直接決定樣本平均數的標準誤：

核心觀念

題目描述的是「不放回抽樣」：

• 一共有 $10$ 把鑰匙；
• 其中只有 $1$ 把能開門；
• 每次隨機選取一把鑰匙；
• 錯誤鑰匙不再放回；
• $X$ 表示找到正確鑰匙所需的試驗次數。

因此，正確鑰匙在這 $10$ 把鑰匙的隨機排列中，可能位於第 $1,2,\ldots,10$ 個位置，而且每個位置出現的機率相同。

所以 $X$ 的機率質量函數為

故

即「離散均勻分布」。

解題方法

將 $10$ 把鑰匙隨機排列。正確鑰匙出現在任何一個位置的機率都相同：

也可以直接以逐次抽取驗證。以 $X=k$ 為例，代表前 $k-1$ 次都抽到錯誤鑰匙，第 $k$ 次抽到正確鑰匙：

前面的連乘會相互約分，因此

這正是離散均勻分布的特徵。

選項分析

核心觀念

本題的核心考點為**常態分配的標準化（Standardization）與期望次數（Expected Frequency）**的計算：

1. 常態分配標準化公式：
   若隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則其標準化變數 $Z$ 定義為： $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$
2. 區間機率與標準常態累積分布函數（$\Phi(z)$）： $$P(a \le X \le b) = P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}\right) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$$
3. 期望株數（Expected Count）：
   在樣本數為 $n$ 的獨立試驗或觀測中，落入該重量區間的期望個數為： $$E = n \times P(a \le X \le b)$$

解題方法

1. 定義變數與參數：
   設 $X$ 為單株辣椒植株的季節產量（單位：磅），由題意知：

   $$X \sim N(\mu = 15.0, \, \sigma^2 = 1.75^2)$$

   總株數 $n = 200$。

2. 計算端點的標準化 $Z$ 值：
   欲求 $P(13 \le X \le 16)$：

   • 下限 $X_1 = 13$： $$z_1 = \frac{13 - 15.0}{1.75} = \frac{-2.0}{1.75} = -\frac{8}{7} \approx -1.14$$
   • 上限 $X_2 = 16$： $$z_2 = \frac{16 - 15.0}{1.75} = \frac{1.0}{1.75} = \frac{4}{7} \approx 0.57$$

3. 查標準常態分配表求機率：

   • 由標準常態分配表查得： $$\Phi(0.57) \approx 0.7157$$ $$\Phi(-1.14) = 1 - \Phi(1.14) \approx 1 - 0.8729 = 0.1271$$
   • 落在 13 至 16 磅之間的機率為：

核心觀念

題目要比較兩個母體在「兩個類別」上的比例是否相同。例如：

• 母體 1：通過／不通過
• 母體 2：購買／不購買

此時資料可整理成 $2\times 2$ 列聯表：

欲檢定的假設為：

其中 $p_1,p_2$ 分別代表兩個母體落在某一指定類別的比例。

對此問題有兩種等價的分析方式：

1. 兩母體比例差的 $z$ 檢定
2. $2\times2$ 列聯表的卡方獨立性檢定

在適當的大樣本條件下，兩者的檢定結果一致，且具有關係：

解題方法

方法一：兩母體比例差的 $z$ 檢定

令兩組樣本中落在指定類別的樣本比例為：

在虛無假設 $H_0:p_1=p_2$ 下，應使用合併樣本比例：

檢定統計量為：

當樣本數足夠大，使各格的期望次數不致過小時，即可使用兩母體比例差的 $z$ 檢定。

方法二：$2\times2$ 列聯表卡方檢定

若將資料視為「母體」與「類別」兩個類別變數，則可進行列聯表獨立性檢定。

期望次數為：

卡方統計量為：

此題考驗對 p-value 的定義和解釋。
假設檢定：$H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu > 100$。
檢定結果：p-value = 0.074，樣本平均數 $\bar{x} = 105$。

p-value 的定義是：在虛無假設 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到比樣本結果更極端（或與樣本結果一樣極端）的統計量的機率。
在這個例子中，檢定是單尾檢定，對立假設是 $\mu > 100$。樣本平均數是 105。
因此，「比樣本結果更極端」意味著樣本平均數 $\bar{x}$ 大於或等於 105。

所以，p-value = 0.074 的正確解釋是：
如果母體平均數 $\mu$ 確實等於 100 (即 $H_0$ 為真)，那麼我們觀察到樣本平均數 $\bar{x} \ge 105$ (或者更極端的值) 的機率是 0.074。

現在我們來分析選項：
A. "The probability of observing a sample mean at least as large as 105 from a population whose mean is 100 is 0.074"
這個敘述完美符合 p-value 的定義。

此題考驗樣本大小的計算公式，並反推信賴水準。
樣本大小的計算公式，用於估計母體平均數，使得估計值與真實值之間的誤差（Margin of Error, E）不超過特定值：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$
其中：
$n$ 是所需的樣本大小。
$z_{\alpha/2}$ 是對應於所選信賴水準的標準常態分配臨界值。
$\sigma$ 是母體標準差。
$E$ 是允許的最大誤差。

題目給定：

• 樣本大小 $n = 68$。
• 母體標準差 $\sigma = 50$。
• 誤差範圍 $E = 10$ (「within 10 units of the population mean」表示 $| \bar{x} - \mu | \le 10$)。

我們需要找出使用的信賴水準，這意味著要找出對應的 $z_{\alpha/2}$ 值，然後反推出 $\alpha$ 和信賴水準 $1-\alpha$。

將已知數值代入公式：
$68 = \left( \frac{z_{\alpha/2} \times 50}{10} \right)^2$
$68 = \left( 5 z_{\alpha/2} \right)^2$
$68 = 25 z_{\alpha/2}^2$

核心觀念

本題評量**樣本平均數的抽樣分配（Sampling Distribution of Sample Mean）與中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）**的應用。

1. 抽樣分配的性質：
   設母體具有平均數 $\mu$ 與有限標準差 $\sigma$。自該母體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，其樣本平均數為 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$（題目中以符號 $X$ 表示樣本平均數 $\bar{X}$）。則：

   • 期望值：$E(\bar{X}) = \mu$
   • 變異數：$Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
   • 標準誤（Standard Error）：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 中央極限定理（CLT）：
   不論母體分配為何，當樣本數 $n$ 夠大時（一般規則 $n \ge 30$），樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配近似於常態分配：

   $$\bar{X} \xrightarrow{d} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

3. 標準化（Standardization）：

   $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$

解題方法

1. 整理已知參數：

   • 母體平均數 $\mu = 1215$
   • 母體標準差 $\sigma = 110$
   • 樣本大小 $n = 100$
   • 欲求機率：$P(\bar{X} < 1190)$

2. 計算樣本平均數的標準誤：

   $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{110}{\sqrt{100}} = \frac{110}{10} = 11$$

3. 依據中央極限定理將 $\bar{X}$ 標準化為標準常態隨機變數 $Z$：

核心觀念

本題考查：

• 指數分配的累積分布函數與尾端機率。
• 產能有限下的實際銷售量：
  $Y=\min(X,4).$
• 具有上限的隨機變數，其分布可能在上限處產生離散機率質量。
• 期望值的計算。

由
$f_X(x)=\frac18e^{-x/8},\qquad x>0,$
可知 $X$ 服從平均數為 $8$ 的指數分配。因此

$F_X(x)=P(X\le x)=1-e^{-x/8},\qquad x\ge 0,$

且尾端機率為

$P(X\ge x)=e^{-x/8}.$

解題方法

公司每週最多只能生產並銷售 $4$ 噸，因此實際銷售量為

$Y=\min(X,4).$

當需求量 $X<4$ 時，全部需求均可滿足，故 $Y=X$；當需求量 $X\ge 4$ 時，公司只能銷售 $4$ 噸，故 $Y=4$。

(a) 每週售罄的機率

油品售罄表示需求量至少達到產能上限，即事件

$X\ge 4.$

因此

所以

$\boxed{P(\text{售罄})=e^{-1/2}\approx 0.6065.}$

(b) $Y$ 的累積分布函數

累積分布函數定義為

$F_Y(y)=P(Y\le y).$

分三種情況討論。

情況一：$y<0$

因為 $Y$ 不可能小於 $0$，所以

$F_Y(y)=0.$

情況二：$0\le y<4$

在此範圍內，$Y\le y$ 等價於 $X\le y$。因為當 $X\ge4$ 時，$Y=4>y$，不會被計入。

因此

情況三：$y\ge4$

由於 $Y$ 的最大值為 $4$，必定有 $Y\le y$，所以

$F_Y(y)=1.$

因此 $Y$ 的累積分布函數為

特別注意，在 $y=4$ 處有跳躍：

這表示 $Y$ 不是純粹的連續型隨機變數，而是：

此題考驗卡方適合度檢定 (Chi-Squared Goodness-of-Fit Test)。
我們有一個樣本，來自一個假設為「標準常態分佈」（平均值為 0，變異數為 1）的母體。
樣本大小 $n=60$。
數據被分組到四個區間中，並給出了每個區間的觀察頻率 (Observed Frequency, $O_i$)。
我們需要檢定這些數據是否適合標準常態分佈。

檢定步驟如下：

(i) 虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)
$H_0$: 樣本數據來自平均值為 0、變異數為 1 的常態分佈。
$H_1$: 樣本數據不來自平均值為 0、變異數為 1 的常態分佈。

(ii) 測試統計量 (Test Statistic)
我們使用卡方適合度檢定。首先，我們需要計算在 $H_0$ 為真時，每個區間的期望頻率 (Expected Frequency, $E_i$)。
假設 $Z \sim N(0, 1)$。
區間 1: $(-\infty, -1]$
$P(Z \le -1) = \Phi(-1)$。查標準常態表，$\Phi(-1) \approx 0.1587$。
$E_1 = n \times P(Z \le -1) = 60 \times 0.1587 \approx 9.522$。

區間 2: $(-1, 0]$
$P(-1 < Z \le 0) = \Phi(0) - \Phi(-1) = 0.5 - 0.1587 = 0.3413$。
$E_2 = n \times P(-1 < Z \le 0) = 60 \times 0.3413 \approx 20.478$。

區間 3: $(0, 1]$
$P(0 < Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$。
$E_3 = n \times P(0 < Z \le 1) = 60 \times 0.3413 \approx 20.478$。

區間 4: $(1, \infty)$
$P(Z > 1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$。
$E_4 = n \times P(Z > 1) = 60 \times 0.1587 \approx 9.522$。

請注意，期望頻率 $E_i$ 應該總和為 $n$：$9.522 + 20.478 + 20.478 + 9.522 = 60$。

卡方統計量計算公式為：$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$，其中 $k$ 是區間的數量。
在這裡 $k=4$。
$O_1 = 8$, $E_1 = 9.522$
$O_2 = 30$, $E_2 = 20.478$
$O_3 = 17$, $E_3 = 20.478$
$O_4 = 5$, $E_4 = 9.522$

核心觀念

本題考查：

1. 單因子變異數分析（one-way ANOVA）。
2. 等變異數假設下的組內合併變異數估計。
3. 兩母體平均數差的信賴區間。

設三種車款的母體平均每加侖里程分別為 $\mu_A,\mu_B,\mu_C$，且三組母體變異數相同：

每組樣本數皆為 $n=15$。

（a）檢定三種車款的平均汽油效率是否相同

1. 建立假設

虛無假設：

對立假設：

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

2. 計算總平均數

由於三組樣本數相同，總平均數為：

3. 計算組間平方和

組間平方和為：

因此：

組間自由度：

組間均方：

4. 計算組內平方和

組內平方和為：

代入各組樣本標準差：

組內自由度：

組內均方，也就是共同母體變異數的合併估計量：

5. 計算檢定統計量

ANOVA 檢定統計量為：

因此：

在虛無假設成立時：

採用上尾臨界值記號 $Q_{\alpha,df_1,df_2}$，其中 $Q$ 服從 $F$ 分配，則拒絕域為：

查表得：

由於：

故拒絕 $H_0$。

結論

在 $\alpha=0.05$ 下，有充分證據顯示三種車款的平均汽油效率不全相同；至少有一種車款的母體平均每加侖里程不同。

（b）$\mu_C-\mu_A$ 的 95% 信賴區間

1. 點估計

平均數差的點估計為：

核心觀念

本題考查雙母體推論統計學與計量迴歸模型的整合應用，為商管研究所經典題型，涵蓋三大核心觀念：

1. 雙母體變異數同質性檢定（Two-Sample $F$-Test for Equality of Variances）：當兩獨立常態母體的變異數未知時，利用樣本變異數之比值建構檢定統計量，該統計量服從 $F$ 分配。
2. 等變異數下之雙母體平均數差檢定（Two-Sample Pooled $t$-Test for Means）：在母體常態且變異數相等（$\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma^2$）的假定下，利用共同變異數的合適估計量（合併樣本變異數 $S_p^2$）建構 Student's $t$ 檢定統計量。
3. 虛擬變數迴歸模型與群組平均數（Dummy Variable Regression and Group Means）：當自變數為二元虛擬變數（Indicator/Dummy variable）時，最小平方法（OLS）估計的截距項即為對照組（$Z=0$）的樣本平均數，而斜率項為實驗組相對於對照組的平均數差值；其迴歸預測值恰好分別對應兩組的樣本平均數。

解題方法

(a) 雙母體變異數同質性檢定

評估兩地點家庭年收入的母體變異數是否相等，採雙尾 $F$ 檢定：

(i) 虛無假說與對立假說（Hypotheses）

(ii) 檢定統計量（Test Statistic）
以兩組的樣本變異數 $S_A^2$ 與 $S_B^2$ 之比值定義檢定統計量：

(iii) 決策法則（Decision Rule）
在 $H_0$ 為真的條件下，$F$ 統計量服從分子自由度為 $n-1$、分母自由度為 $n-1$ 的 $F$ 分配，即 $F \sim F(n-1, n-1)$。
給定顯著水準 $\alpha = 0.05$（雙尾各佔 $\alpha/2 = 0.025$）：

• 拒絕域（Rejection Region）：

其中下尾臨界值滿足倒數關係：

• 決策準則：若計算所得之 $F > F_{0.025}(n-1, n-1)$ 或 $F < \frac{1}{F_{0.025}(n-1, n-1)}$，則拒絕 $H_0$，推論兩母體變異數顯著不相等；否則不拒絕 $H_0$。

(b) 等變異數下雙母體平均數差之檢定

在已知或假設 $\sigma_A^2 = \sigma_B^2$ 的前提下，進行獨立雙樣本 $t$ 檢定：

(i) 虛無假說與對立假說（Hypotheses）

(ii) 檢定統計量（Test Statistic）
由於兩組樣本數皆為 $n$，合併樣本變異數（Pooled Variance）$S_p^2$ 為：

檢定統計量定義為：

(iii) 決策法則（Decision Rule）
在 $H_0$ 為真的條件下，$t$ 統計量服從自由度為 $(n-1) + (n-1) = 2n-2$ 的 Student's $t$ 分配，即 $t \sim t(2n-2)$。
給定顯著水準 $\alpha = 0.05$：

• 臨界值為 $t_{0.025}(2n-2)$。
• 拒絕域：

• 決策準則：若 $|t| > t_{0.025}(2n-2)$，則拒絕 $H_0$，推論兩地點的平均家庭年收入有顯著差異；否則不拒絕 $H_0$。

(c) 簡單線性迴歸模型之最小平方估計量推導

考慮迴歸模型：

其中 $Z_i = 0$ 代表地點 A（共 $n$ 筆觀測值），$Z_i = 1$ 代表地點 B（共 $n$ 筆觀測值）。
令地點 A 與地點 B 的樣本平均數分別為：

步驟 1：計算變數的樣本平均數

• 自變數 $Z$ 的樣本平均數：

• 應變數 $Y$ 的樣本平均數：

步驟 2：計算離均差平方和與交叉乘積和

• 自變數的離均差平方和 $S_{ZZ}$：

此小題要求說明在不知道兩個母體變異數是否相等的情況下，如何判斷它們是否相等。
這是一個關於變異數相等檢定的問題。

統計方法：F 檢定獨立樣本變異數 (F-test for equality of variances)。

步驟如下：
(i) 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
$H_0$: 兩個母體的變異數相等 ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2$)。
$H_1$: 兩個母體的變異數不相等 ($\sigma_A^2 \ne \sigma_B^2$)。
這是一個雙尾檢定。

(ii) 計算測試統計量 (Test Statistic)：
F 統計量是兩個樣本變異數的比值。為使 F 值通常大於 1，將較大的樣本變異數放在分子。
假設樣本 A 的變異數為 $S_A^2$，樣本 B 的變異數為 $S_B^2$。
若 $S_A^2 \ge S_B^2$，則 $F = \frac{S_A^2}{S_B^2}$。
若 $S_B^2 > S_A^2$，則 $F = \frac{S_B^2}{S_A^2}$。

此小題要求在假設兩個母體變異數相等的情況下，檢定兩個母體平均數是否顯著不同。
這是一個獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test)，適用於變異數相等的假設。

步驟如下：
(i) 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
$H_0$: 兩個母體的平均數相等 ($\mu_A = \mu_B$)。
$H_1$: 兩個母體的平均數不相等 ($\mu_A \ne \mu_B$)。
這是一個雙尾檢定。

(ii) 計算測試統計量 (Test Statistic)：
由於假設母體變異數相等，我們使用合併變異數 (pooled variance) $s_p^2$。
$s_p^2 = \frac{(n_A-1)S_A^2 + (n_B-1)S_B^2}{n_A + n_B - 2}$。
由於兩個樣本大小相等，即 $n_A = n_B = n$，則 $s_p^2 = \frac{(n-1)S_A^2 + (n-1)S_B^2}{2n - 2} = \frac{S_A^2 + S_B^2}{2}$。
t 統計量為：
$t = \frac{(\bar{X}_A - \bar{X}_B) - (\mu_A - \mu_B)_0}{\sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$
在 $H_0$ 下，$(\mu_A - \mu_B)_0 = 0$。
標準誤 (Standard Error, SE) 為：

此小題要求在給定的簡單線性迴歸模型設定下，證明截距參數和斜率參數的最小平方估計量。
模型設定：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 Z_i + \epsilon_i$。
其中，$Z_i$ 是指示變數：$Z_i=0$ 代表地點 A，$Z_i=1$ 代表地點 B。
$Y_i$ 是年家庭所得。
$\beta_0$ 是截距項，$\beta_1$ 是斜率項。
$\epsilon_i$ 是誤差項，期望值為 0。
樣本數據包含 $2n$ 個觀測值，其中 $n$ 個來自地點 A ($Z_i=0$)，$n$ 個來自地點 B ($Z_i=1$)。
地點 A 的樣本平均所得為 $\bar{X}_A$，地點 B 的樣本平均所得為 $\bar{X}_B$。

題目要求證明：
最小平方估計量 $\hat{\beta}_0 = \bar{X}_A$
最小平方估計量 $\hat{\beta}_1 = \bar{X}_B$

證明：

首先，我們分析數據的平均值。
總樣本數 $N = 2n$。
$Z_i$ 的平均值：$\bar{Z} = \frac{n \times 0 + n \times 1}{2n} = \frac{n}{2n} = 0.5$。
$Y_i$ 的平均值：$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{2n} Y_i}{2n} = \frac{\sum_{i=A} Y_i + \sum_{i=B} Y_i}{2n} = \frac{n \bar{X}_A + n \bar{X}_B}{2n} = \frac{\bar{X}_A + \bar{X}_B}{2}$。

根據最小平方法的公式，迴歸參數的估計量為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{N} (Z_i - \bar{Z})^2}$
$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{Z}$

計算分母 $\sum_{i=1}^{N} (Z_i - \bar{Z})^2$：
對於地點 A ($Z_i=0$)，$Z_i - \bar{Z} = 0 - 0.5 = -0.5$。有 $n$ 個此類項。
對於地點 B ($Z_i=1$)，$Z_i - \bar{Z} = 1 - 0.5 = 0.5$。有 $n$ 個此類項。
$\sum_{i=1}^{N} (Z_i - \bar{Z})^2 = n \times (-0.5)^2 + n \times (0.5)^2 = n \times 0.25 + n \times 0.25 = 0.5n + 0.5n = n$。

計算分子 $\sum_{i=1}^{N} (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y})$：
$\sum_{i=1}^{N} (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y}) = \sum_{i=A} (0 - 0.5)(Y_i - \bar{Y}) + \sum_{i=B} (1 - 0.5)(Y_i - \bar{Y})$
$= -0.5 \sum_{i=A} (Y_i - \bar{Y}) + 0.5 \sum_{i=B} (Y_i - \bar{Y})$
$= -0.5 (\sum_{i=A} Y_i - n\bar{Y}) + 0.5 (\sum_{i=B} Y_i - n\bar{Y})$
$= -0.5 (n\bar{X}_A - n\bar{Y}) + 0.5 (n\bar{X}_B - n\bar{Y})$
$= -0.5 n \bar{X}_A + 0.5 n \bar{Y} + 0.5 n \bar{X}_B - 0.5 n \bar{Y}$
$= 0.5 n (\bar{X}_B - \bar{X}_A)$。

計算斜率估計量 $\hat{\beta}_1$：
$\hat{\beta}_1 = \frac{0.5 n (\bar{X}_B - \bar{X}_A)}{n} = \frac{1}{2}(\bar{X}_B - \bar{X}_A)$。

計算截距估計量 $\hat{\beta}_0$：
$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{Z}$
$= \frac{\bar{X}_A + \bar{X}_B}{2} - \left(\frac{1}{2}(\bar{X}_B - \bar{X}_A)\right) \times 0.5$
$= \frac{\bar{X}_A + \bar{X}_B}{2} - \frac{1}{4}(\bar{X}_B - \bar{X}_A)$
$= \frac{2(\bar{X}_A + \bar{X}_B) - (\bar{X}_B - \bar{X}_A)}{4}$
$= \frac{2\bar{X}_A + 2\bar{X}_B - \bar{X}_B + \bar{X}_A}{4} = \frac{3\bar{X}_A + \bar{X}_B}{4}$。

結論與討論：
根據標準的最小平方迴歸公式推導，我們得到：
$\hat{\beta}_0 = \frac{3\bar{X}_A + \bar{X}_B}{4}$
$\hat{\beta}_1 = \frac{1}{2}(\bar{X}_B - \bar{X}_A)$

這與題目要求證的結果 $\hat{\beta}_0 = \bar{X}_A$ 和 $\hat{\beta}_1 = \bar{X}_B$ 不符。

分析題目要求與標準模型的差異：
在標準的迴歸模型 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 Z_i + \epsilon_i$ 中，
$\beta_0$ 代表 $Z_i=0$ 時的預期值，$E(Y|Z=0) = \beta_0$。