109 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《財務管理》

本題主要在測試投資組合理論中的期望報酬率與標準差計算，以及相關係數對投資組合風險的影響。

核心觀念：

1. 投資組合期望報酬率： 組合中各資產期望報酬率的加權平均。
2. 投資組合變異數/標準差： 涉及各資產的變異數（標準差的平方）、權重，以及資產間的共變異數（或相關係數與標準差的乘積）。

解題步驟：

a. 投資組合期望報酬率與標準差計算

令 $w_A$ 為投資於 Stock A 的權重，$w_B$ 為投資於 Stock B 的權重。
令 $E(R_A)$ 為 Stock A 的期望報酬率，$E(R_B)$ 為 Stock B 的期望報酬率。
令 $\sigma_A$ 為 Stock A 的標準差，$\sigma_B$ 為 Stock B 的標準差。
令 $\rho_{AB}$ 為 Stock A 與 Stock B 報酬率的相關係數。

投資組合的期望報酬率 $E(R_P) = w_A E(R_A) + w_B E(R_B)$
投資組合的變異數 $\sigma_P^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \text{Cov}(R_A, R_B)$
其中 $\text{Cov}(R_A, R_B) = \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B$。
因此，$\sigma_P^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B$
投資組合的標準差 $\sigma_P = \sqrt{\sigma_P^2}$

已知資訊：
$E(R_A) = 0.12$
$\sigma_A = 0.10$
$E(R_B) = 0.20$
$\sigma_B = 0.60$
$\rho_{AB} = 0.2$

(1) 100% 投資於 Stock A
$w_A = 1.0$, $w_B = 0.0$
$E(R_P) = 1.0 \times 0.12 + 0.0 \times 0.20 = 0.12$
$\sigma_P^2 = (1.0)^2 (0.10)^2 + (0.0)^2 (0.60)^2 + 2 (1.0)(0.0)(0.2)(0.10)(0.60) = 0.01$
$\sigma_P = \sqrt{0.01} = 0.10$

【答案】預期報酬率為 12%，標準差為 10%。

(2) 100% 投資於 Stock B
$w_A = 0.0$, $w_B = 1.0$
$E(R_P) = 0.0 \times 0.12 + 1.0 \times 0.20 = 0.20$

本題主要測試公司在營運資金管理上的效率，以及改善效率所能節省的成本。

核心觀念：

1. 存貨週轉率 (Inventory Turnover Ratio)： 衡量公司存貨銷售的速度。週轉率越高，表示存貨銷售越快，佔用的資金越少。
   • 計算公式：銷貨成本 / 平均存貨 或 銷貨收入 / 平均存貨 (本題使用銷貨收入)
   • 平均存貨 = 年銷貨成本 / 存貨週轉率
   • 平均存貨 = 年銷貨收入 / 存貨週轉率
2. 應收帳款週轉率 (Accounts Receivable Turnover Ratio)： 衡量公司收回應收帳款的速度。週轉率越高，表示收帳越快，佔用的資金越少。
   • 計算公式：年信用銷貨收入 / 平均應收帳款
3. 每日平均銷貨收入 (Average Daily Sales)： 年銷貨收入 / 365 天。
4. 每日平均應收帳款 (Average Daily Receivables)： 應收帳款 / 平均每日銷貨收入。
5. 平均收現天數 (Average Collection Period)： 365 天 / 應收帳款週轉率。

解題步驟：

a. 存貨週轉效率改善的利息節省

步驟 1：計算 Slow Corp. 目前的平均存貨金額。
題目給的資訊是：

• 產業平均存貨週轉率 = 6 次/年 (每兩個月一次)
• Slow Corp. 存貨週轉率 = 4 次/年 (每三個月一次)
• 年銷售額 = $1,000,000
• 資金成本 (利息成本) = 12%

首先，我們需要計算 Slow Corp. 目前的平均存貨金額。
平均存貨 = 年銷售額 / 存貨週轉率
Slow Corp. 的平均存貨 = $1,000,000 / 4 =$250,000

步驟 2：計算 Slow Corp. 若達到產業平均週轉率時的平均存貨金額。
若 Slow Corp. 的存貨週轉率達到產業平均的 6 次/年：
目標平均存貨 = 年銷售額 / 產業平均存貨週轉率
目標平均存貨 = $1,000,000 / 6 =

核心觀念

本題主要測驗考生在**資本資產定價模型（CAPM）與高登股利成長模型（Gordon Growth Model）**的整合應用能力，核心概念包含：

1. 系統性風險與貝他值（Beta, $\beta$）：
   • 貝他值衡量個別資產的報酬率相對於市場投資組合報酬率的敏感度（即系統性風險、市場波動性）。
   • $\beta > 1$ 代表該股票對市場變動的波動幅度大於大盤；$\beta < 1$ 則代表波動幅度小於大盤。
2. 資本資產定價模型（CAPM）：
   • 投資人所要求的風險調整後必要報酬率由無風險利率與承擔系統性風險所得之風險溢酬決定：
   $$k_i = R_f + \beta_i \left[ E(R_m) - R_f \right]$$ 其中 $R_f$ 為無風險利率（國庫券殖利率）、$E(R_m)$ 為市場預期報酬率、$\left[ E(R_m) - R_f \right]$ 為市場風險溢酬（Market Risk Premium, MRP）。
3. 高登股利成長模型（Gordon Growth Model）：
   • 在固定股利成長率假設下，股票的內在價值（即投資人最高願付價格）為未來各期股利之折現值加總：
   $$P_0 = \frac{D_1}{k_i - g} = \frac{D_0(1 + g)}{k_i - g}$$ 其中 $D_0$ 為當期股利、$D_1$ 為次期預期股利、$g$ 為股利年成長率、$k_i$ 為投資人的必要報酬率（折現率）。

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解題方法與步驟推導

(a) 哪一檔股票的波動度較大？（Which stock is more volatile?）

• 判斷依據：貝他值（$\beta$）衡量的是股票的系統性風險（Systematic Risk），即個別股票隨市場大盤波動的相對敏感度。
• 比較分析：
  • 股票 A 的貝他值 $\beta_A = 1.3 > 1.0$，表示大盤每變動 $1\%$，股票 A 預期同向變動 $1.3\%$，其市場波動幅度大於整體市場。
  • 股票 B 的貝他值 $\beta_B = 0.8 < 1.0$，表示大盤每變動 $1\%$，股票 B 預期同向變動 $0.8\%$，其市場波動幅度小於整體市場。
• 結論：股票 A 的貝他值大於股票 B（$\beta_A > \beta_B$），因此股票 A 的波動度較大（Stock A is more volatile）。

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(b) 各股票的風險調整後必要報酬率（Risk-adjusted required rate of return）

• 已知條件：
  • 無風險利率 $R_f = 6\% = 0.06$
  • 市場預期報酬率 $E(R_m) = 12\% = 0.12$
  • 市場風險溢酬 $\text{MRP} = E(R_m) - R_f = 12\% - 6\% = 6\%$
• 計算步驟：
  1. 股票 A 的必要報酬率 $k_A$： $$k_A = R_f + \beta_A \left[ E(R_m) - R_f \right]$$ $$k_A = 6\% + 1.3 \times (12\% - 6\%) = 6\% + 7.8\% = 13.8\%$$
  2. 股票 B 的必要報酬率 $k_B$： $$k_B = R_f + \beta_B \left[ E(R_m) - R_f \right]$$ $$k_B = 6\% + 0.8 \times (12\% - 6\%) = 6\% + 4.8\% = 10.8\%$$

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(c) 各股票的最高願付價格（Maximum amount willing to pay）

• 已知條件：
  • 當期已發放股利 $D_0 =$$1
  • 股利年成長率 $g = 8\% = 0.08$
  • 次期預期股利 $D_1 = D_0 \times (1 + g) = 1 \times (1 + 0.08) =$$1.08
• 計算步驟：

本題主要測試投資組合績效評估的三種重要指標：Sharpe Ratio、Treynor Ratio 和 Jensen's Alpha，以及它們的適用情境與限制。

核心觀念：
投資組合績效評估旨在衡量投資組合經理人創造的報酬，同時考慮其承擔的風險。

1. Sharpe Ratio (夏普比率)：

   • 定義： 每承擔一單位總風險（以標準差衡量），所獲得的額外報酬（超過無風險利率的部分）。
   • 公式： $S = \frac{E(R_P) - R_f}{\sigma_P}$
     • $E(R_P)$: 投資組合的預期報酬率
     • $R_f$: 無風險利率
     • $\sigma_P$: 投資組合的標準差（總風險）
   • 適用情境： 當投資組合經理人能夠自由選擇資產，且投資組合的風險（包括系統性風險和非系統性風險）都應被考量時，Sharpe Ratio 是最適合的。它適用於比較不同風險水平的投資組合，因為它衡量的是「每單位總風險」的超額報酬。

2. Treynor Ratio (崔納比率)：

   • 定義： 每承擔一單位系統性風險（以 Beta 衡量），所獲得的額外報酬（超過無風險利率的部分）。
   • 公式： $T = \frac{E(R_P) - R_f}{\beta_P}$
     • $E(R_P)$: 投資組合的預期報酬率
     • $R_f$: 無風險利率
     • $\beta_P$: 投資組合的 Beta 值（系統性風險）
   • 適用情境： 當投資組合已經高度分散，非系統性風險幾乎為零，或者當投資組合是與一個大型、已分散的市場組合（如市場指數）結合的一部分時，Treynor Ratio 較為適用。它特別適合用於評估經理人利用系統性風險創造超額報酬的能力。

3. Jensen's Alpha (詹森指標/阿爾法值)：

   • 定義： 衡量投資組合的實際報酬率與 CAPM 模型預測的報酬率之間的差異，代表了經理人利用其專業知識創造的超額報酬，而不僅僅是承擔市場風險的回報。
   • 公式： $\alpha_P = E(R_P) - [R_f + \beta_P (E(R_m) - R_f)]$
     • $E(R_P)$: 投資組合的實際報酬率
     • $R_f$: 無風險利率
     • $\beta_P$: 投資組合的 Beta 值
     • $E(R_m)$: 市場的預期報酬率
   • 適用情境： Jensen's Alpha 是最直接衡量主動管理績效的指標。它假設市場組合是最佳的表現基準，並評估經理人是否能產生超越 CAPM 所預測的報酬。當評估主動基金經理人的績效，且假設其績效應來自於選股或擇時能力，而非僅僅承擔市場風險時，Jensen's Alpha 是最適合的。

a. 三種指標的定義、討論與適用情境

• Sharpe Ratio：
  • 定義： 衡量每單位總風險（標準差）所能獲得的超額報酬。
  • 討論： 它同時考慮了系統性風險和非系統性風險。值越高表示績效越好。
  • 最適用情境： 當需要比較兩個或多個投資組合（無論是否已充分分散）的整體表現時，或者當投資組合的目標是最大化所有風險類型的總報酬時。

本題主要測試對風險與報酬關係的基本理解，特別是為何股票投資需要風險溢價。

核心觀念：
風險溢價（Risk Premium）是指投資人因為承擔額外的風險而要求獲得的，超過無風險資產回報率的額外報酬。

討論：

股票之所以必須賺取風險溢價，主要基於以下幾個原因：

1. 投資人的風險規避性 (Risk Aversion)：

   • 絕大多數的投資人是風險規避的。這意味著，在面對兩種預期報酬率相同的投資時，投資人會選擇風險較低的那個。
   • 反過來說，如果兩種投資的預期報酬率不同，投資人願意承擔較高的風險，但前提是必須獲得足夠的額外報酬來補償他們所承擔的額外風險。這個額外的報酬就是風險溢價。

2. 股票的固有風險 (Inherent Risks of Common Stocks)：

   • 系統性風險 (Systematic Risk / Market Risk)： 這是指影響整個市場或經濟的風險，例如經濟衰退、利率變動、通貨膨脹、政治不確定性等。這些風險無法透過分散投資來消除。股票的報酬率與市場的整體表現高度相關，因此會受到系統性風險的影響。
   • 非系統性風險 (Unsystematic Risk / Specific Risk)： 這是指影響特定公司或行業的風險，例如公司管理不善、新產品失敗、罷工、訴訟等。理論上，非系統性風險可以透過廣泛的分散投資組合來降低甚至消除。
   • 股票的價值（股價）會受到這些風險因素的影響。當市場或公司面臨較高的風險時，其股價波動性會增加，投資人面臨的潛在損失也更大。

本題主要測試對資本市場線 (CML) 和證券市場線 (SML) 這兩個重要金融圖形的理解與區別。

核心觀念：
CML 和 SML 都是資本資產定價模型 (CAPM) 的圖形化表示，用於描繪風險與預期報酬之間的關係，但它們的應用範圍、衡量風險的標準以及適用的資產不同。

1. 資本市場線 (Capital Market Line, CML)

• 定義： CML 是一條從無風險利率點出發，經過市場組合點 (M) 的直線。它代表了所有「有效組合」的預期報酬與風險之間的關係。
• 風險衡量： CML 衡量的是總風險，以投資組合的標準差 ($\sigma_P$) 來表示。
• 適用資產： CML 適用於所有有效率的投資組合，包括由無風險資產和市場組合混合而成的組合。
• 圖形表示： 在以標準差為橫軸，預期報酬率為縱軸的圖形上，CML 是一條斜率為市場風險溢價 ($\frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m}$) 的向上傾斜直線。
• 解釋： CML 上的任何一點代表了一個有效的投資組合，其預期報酬率與其承擔的總風險（標準差）之間存在線性關係。投資組合的點越高（風險越高），其預期報酬率也越高。

2. 證券市場線 (Security Market Line, SML)

• 定義： SML 是一條從無風險利率點出發，經過市場組合點 (M) 的直線。它代表了單一資產或任何投資組合的預期報酬率與其系統性風險之間的關係。
• 風險衡量： SML 衡量的是系統性風險，以資產或投資組合的Beta 值 ($\beta$) 來表示。
• 適用資產： SML 適用於所有單一證券或任何投資組合，無論它們是否是有效組合。
• 圖形表示： 在以 Beta 值為橫軸，預期報酬率為縱軸的圖形上，SML 是一條斜率為市場風險溢價 ($\frac{E(R_m) - R_f}{\beta_m = 1}$) 的向上傾斜直線。
• 解釋： SML 上的任何一點代表了一個資產或投資組合的預期報酬率與其 Beta 值之間的關係。
  • 若一個資產或組合的點在 SML 上，表示其報酬率與其 Beta 值是匹配的，處於均衡狀態。
  • 若點在 SML 上方，表示該資產或組合被低估（報酬率高於其風險應得的水平）。
  • 若點在 SML 下方，表示該資產或組合被高估（報酬率低於其風險應得的水平）。

主要差異總結：

| 特徵 | 資本市場線 (CML) | 證券市場線 (SML) |

本題主要測試對利率期限結構理論的理解，特別是收益率曲線 (Yield Curve) 的形狀與預期利率變動之間的關係。

核心觀念：
收益率曲線（Yield Curve）是不同到期日債券的殖利率與其到期日之間的關係圖。收益率曲線的形狀（向上傾斜、向下傾斜、平坦、或凸起/凹陷）可以提供市場對未來利率走勢、通膨預期和風險溢價的看法。

收益率曲線的預期理論 (Expectations Theory)：
該理論認為，長期利率是市場預期未來短期利率的平均值。因此，如果市場預期未來短期利率將上升，則長期利率將高於短期利率，導致收益率曲線向上傾斜。

向上傾斜的收益率曲線 (Upward Sloping Yield Curve)：
這表示長期債券的殖利率高於短期債券的殖利率。

解釋：

「預期未來利率將上升」可以導致向上傾斜的收益率曲線：
這是預期理論的主要觀點。如果市場參與者預期未來的短期利率將會上升（例如，中央銀行可能為了抑制通膨而升息，或經濟將強勁增長導致需求增加），那麼他們會要求在投資長期債券時獲得更高的報酬，以補償未來短期利率上升時，他們手中持有較低利率的長期債券所面臨的機會成本損失。

• 舉例： 假設目前一年期利率為 2%，預期兩年後會升至 4%。那麼，兩年期債券的利率將會是 (2% + 4%) / 2 = 3% （簡化平均）。這個 3% 的利率高於目前的 2%，因此收益率曲線會向上傾斜。

然而，「向上傾斜的收益率曲線」不一定「僅僅」意味著預期未來利率上升：
收益率曲線的形狀是由多種因素共同決定的，預期理論只是其中一種解釋。其他重要的影響因素包括：

1. 流動性偏好理論 (Liquidity Preference Theory)：
   • 該理論認為，投資人通常偏好持有較短期的債券，因為它們流動性較高，風險較低。
   • 為了吸引投資人購買長期債券，發行方必須提供額外的補償，稱為「流動性溢價」(Liquidity Premium)。
   • 因此，即使市場不預期未來利率會上升，只要存在流動性溢價，長期債券的殖利率就會高於短期債券，導致收益率曲線向上傾斜。

本題主要測試對市場效率假說 (Market Efficiency Hypothesis) 的理解，以及市場異常現象 (Market Anomalies) 的定義和範例。

核心觀念：
市場效率假說認為，在一個有效的市場中，所有可獲得的資訊都已充分反映在證券價格中，因此無法透過任何交易策略持續地獲得超額報酬（即無法「跑贏市場」）。市場效率通常分為弱式、半強式和強式效率。

市場異常現象 (Market Anomaly)：
市場異常現象是指在某些特定情況下，市場價格的變動模式似乎違反了市場效率假說的預測，或者出現了某些系統性、可預測的價格行為，使得某些交易策略能夠在一段時間內產生顯著的超額報酬。這些異常現象挑戰了市場效率的嚴格定義。

解釋「異常現象」的含義：
「異常現象」之所以被稱為「異常」，是因為它們與理性經濟人行為和市場效率假說所預測的隨機遊走 (Random Walk) 或無法持續獲得超額報酬的模式相悖。它們暗示了市場可能存在信息處理的延遲、行為偏差、或未被充分利用的模式。

三個市場異常現象的範例及其解釋：

1. 月份效應 (Calendar Effects) - 例如：年初效應 (January Effect) 或星期效應 (Weekend Effect)

   • 現象： 歷史數據顯示，在特定的日曆期間（如一年的開始、特定月份、甚至一周的某些天），股市的報酬率會呈現出系統性的高於或低於平均水平的模式。
     • 年初效應 (January Effect)： 過去觀察到一月份的平均報酬率顯著高於其他月份，尤其是在小型股和低市價股票中。
     • 星期效應 (Weekend Effect)： 股票在週末（週五收盤到週一開盤）的報酬率通常為負，而週一的報酬率相對較高。
   • 為何被視為異常： 如果市場是有效的，這些時間模式應該被交易者迅速利用並消除。例如，如果一月份報酬率總是較高，投資人應在十二月就大量買入股票，推高十二月股價，並在漲價後賣出，從而使一月份的超額報酬消失。同樣，如果週五賣出、週一買入能穩定獲利，這種套利行為應該會消除這種價差。這些現象的持續存在，暗示了市場對時間信息的處理可能存在效率低下或行為偏差。

2. 本益比效應 (P/E Effect) 或規模效應 (Size Effect)

   • 現象：
     • 規模效應 (Size Effect)： 歷史數據顯示，小型公司的股票（市值較小）相較於大型公司的股票，在長期內往往能產生更高的報酬率，即使考慮了風險調整。
     • 本益比效應 (P/E Effect)： 擁有較低本益比（P/E Ratio）的股票（價值型股票）相較於擁有較高本益比的股票（成長型股票），在長期內往往能產生更高的報酬率。
   • 為何被視為異常：
     • 規模效應： 根據 CAPM，風險與報酬應呈正相關，但小型股的 Beta 值通常不會高到足以解釋其長期更高的報酬。這暗示市場可能對小型股的風險補償不足，或者市場對小型股的信息傳遞和交易效率較低，導致其價格被低估。