113 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《財務管理》

本題主要在探討債券管理中，存續期間（Duration）與凸性（Convexity）之間的關係，以及投資人為何會被凸性所吸引。

核心觀念：
存續期間衡量債券價格對利率變動的敏感度，但僅為線性近似。凸性則衡量存續期間對利率變動的敏感度，能提供更精確的價格變動預測，尤其在利率變動較大時。

詳解：

1. 存續期間與凸性的關聯：

   • 存續期間（Duration）是衡量債券價格對利率變動敏感度的指標。它近似於債券價格變動的百分比，當利率變動 1% 時。
   • 凸性（Convexity）則是衡量債券價格對利率變動敏感度變化的指標。它代表了債券價格-收益率曲線的彎曲程度。
   • 數學上，債券價格的變動可以表示為：
     $\frac{\Delta P}{P} \approx -D \cdot \Delta y + \frac{1}{2} \text{Conv} \cdot (\Delta y)^2$
     其中，$P$ 為債券價格，$D$ 為存續期間，$\Delta y$ 為利率變動，$\text{Conv}$ 為凸性。
   • 這個公式顯示，存續期間提供了利率變動的線性近似，而凸性則提供了修正項，用於捕捉曲線的彎曲效應，使價格預測更精確。
   • 對於給定的利率變動 $\Delta y$，凸性越大，實際價格變動越接近凸性預測的變動，尤其是在 $\Delta y$ 較大時。

2. 吸引投資人的凸性特點：

   • 對利率下降的獲利能力： 凸性是債券價格-收益率曲線的二階導數。

本題要求解釋私募股權基金（Private Equity Fund, PE Fund）的構成要素、操作機制與功能。

核心觀念：
私募股權基金是一種非公開交易的投資工具，主要投資於未上市公司的股權，透過改善經營、財務結構或尋求併購機會來創造價值，最終透過 IPO、併購或出售股權來實現獲利。

詳解：

1. 私募股權基金的構成要素（What constitutes a private equity fund）：

   • 有限合夥人 (Limited Partners, LPs)： 這些是基金的主要資金提供者，通常是機構投資者（如養老基金、保險公司、大學捐贈基金、主權財富基金）或高淨值個人。他們對基金的日常營運不參與，僅承擔有限責任，投資金額封頂。
   • 普通合夥人 (General Partners, GPs)： 這是基金的管理團隊，負責尋找投資機會、盡職調查、交易執行、投後管理以及最終退出。GPs 通常會投入一小部分自有資金（約 1-5%），並收取管理費（Management Fee）和績效分成（Carried Interest）。
   • 投資標的 (Investment Targets)： PE 基金主要投資於未上市公司，或上市公司中希望進行私有化的部分。投資階段涵蓋從種子期、早期、成長期、擴張期到成熟期，甚至包括併購（Buyout）、困境企業重整（Distressed Buyout）等。
   • 基金結構 (Fund Structure)： PE 基金通常採用有限合夥（Limited Partnership）的法律結構。基金本身是一個獨立的法人實體，其壽命通常為 10 年（可延長 1-2 年）。資金從 LPs 募集後，由 GPs 在一定時間內（稱為投資期，Investment Period，通常為 3-5 年）進行投資，之後進入退出期（Harvesting Period），逐步處分投資項目並將收益返還給 LPs。

2. 操作機制與功能（Operational mechanics and functions）：

   • 募資 (Fundraising)： GPs 向潛在的 LPs 推銷基金，說明投資策略、歷史業績、團隊經驗等，以募集足夠的資金。
   • 投資決策與盡職調查 (Investment Decision & Due Diligence)： 基金鎖定符合其策略的目標公司，進行深入的財務、營運、法律、市場等方面的盡職調查，評估風險與潛在回報。
   • 交易執行 (Deal Execution)： 一旦決定投資，GPs 會與目標公司或其股東協商交易條款，完成股權收購。

本題要求定義代理問題（Agency Problems），並提出至少一種緩解方法。

核心觀念：
代理問題源於委託人（Principal）與代理人（Agent）之間可能存在的利益衝突，當代理人的決策與委託人的利益不一致時，就會產生代理問題。

詳解：

1. 代理問題的定義 (Define agency problems)：
   代理問題是指，在委託關係中，代理人（如公司的管理層）的行為可能與委託人（如股東）的利益不一致，從而導致代理人為了自身利益而損害委託人利益的潛在情況。這種衝突源於資訊不對稱（代理人通常比委託人擁有更多關於其自身行為和公司營運的資訊）以及代理人與委託人之間目標的差異。

   在公司治理的脈絡下，最常見的代理問題是：

   • 股東與經理人之間的代理問題 (Shareholder-Manager Agency Problem)： 經理人可能追求個人利益（如過度奢華的辦公室、不必要的企業擴張、規避風險以保住職位），而非最大化股東價值。
   • 債權人與股東之間的代理問題 (Shareholder-Creditor Agency Problem)： 股東（透過管理層）可能傾向於冒更高的風險，因為若公司成功，股東可以獲得超額利潤；若公司失敗，損失主要由債權人承擔（股東的責任是有限的）。

2. 緩解代理問題的方法 (Suggest at least one method to alleviate potential issues)：

   有多種方法可以緩解代理問題，以下列舉一種常見且有效的方法：

核心觀念

1. 本益比（Price-to-Earnings Ratio, P/E Ratio）的直觀意涵：
   本益比定義為每股股價與每股盈餘（EPS）的比值：
   $\text{P/E} = \frac{P_0}{EPS_0}$
   在實務與財務管理理論中，本益比最基礎的經濟意涵代表：在**盈餘零成長（$g = 0$）**且不考慮折現率的假設下，投資人依當前價格買入股票，需要多少年才能完全收回購股成本（即簡單回收期間，Simple Payback Period）。
2. 盈餘殖利率（Earnings Yield）：
   本益比的倒數即為盈餘殖利率（$E/P$），代表每投入一元成本每年所能獲得的盈餘報酬率：
   $\text{Earnings Yield} = \frac{EPS_0}{P_0} = \frac{1}{\text{P/E}}$

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解題方法

步驟一：計算每股盈餘（EPS）

題目給定股價 $P_0 =$$50，本益比 $\text{P/E} = 70$。
依本益比定義：
$\text{P/E} = \frac{P_0}{EPS} \implies 70 = \frac{50}{EPS}$

可解得每年的每股盈餘為：
$EPS = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \approx \$0.7143$

步驟二：計算回收投資成本所需年數

題目假設未來盈餘完全不成長（fail to grow at all），即每年盈餘維持在 $EPS = \frac{5}{7}$。

核心觀念

本題考查「五因子杜邦分析法（DuPont Analysis）」：

$$ROE = \text{稅負率} \times \text{利息負擔率} \times \text{純益率} \times \text{總資產週轉率} \times \text{財務槓桿倍數}$$

各項定義如下：

• 稅負率（tax burden）：

$$\frac{\text{稅後淨利}}{\text{稅前淨利}}$$

• 利息負擔率（interest burden）：

$$\frac{\text{稅前淨利}}{\text{息前稅前利潤}}$$

• 利潤率（profit margin）：

$$\frac{\text{息前稅前利潤}}{\text{銷貨收入}}$$

• 總資產週轉率（asset turnover）：

$$\frac{\text{銷貨收入}}{\text{總資產}}$$

• 財務槓桿倍數（leverage ratio）：

$$\frac{\text{總資產}}{\text{股東權益}}$$

將上述五項相乘後，中間的銷貨收入、總資產、息前稅前利潤與稅前淨利會相互消去，最後得到：

$$\frac{\text{稅後淨利}}{\text{股東權益}} =ROE$$

解題方法

題目給定：

$$\text{稅負率}=0.7$$

核心觀念

本題的核心考點在於**資本資產定價模型（CAPM）以及異常報酬率（Abnormal Return / Jensen's Alpha, $\alpha$）**的計算與經濟意涵。

1. 預期報酬率（Expected Return, $E(r_i)$）：
   投資人根據預期現金股利與未來預期售價所估計之持有期間報酬率（HPR）：

   $$E(r_i) = \frac{E(D_1) + E(P_1) - P_0}{P_0}$$

2. 要求報酬率（Required Rate of Return, $k_i$）：
   根據資本資產定價模型（CAPM），資產在特定系統性風險（$\beta_i$）下所應獲得之公平補償報酬率：

   $$k_i = r_f + \beta_i \left[ E(r_m) - r_f \right]$$

3. 異常報酬率（Abnormal Return, $\alpha_i$）：
   實際或預期的報酬率高出 CAPM 要求報酬率的部分（即詹森指標 Jensen's Alpha）：

   $$\alpha_i = E(r_i) - k_i$$

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解題方法

本題分為三個計算步驟：

步驟一：計算預期報酬率 $E(r_i)$

根據題目給定條件：

• 目前買入價格 $P_0 =$$30
• 次年預期現金股利 $E(D_1) =$$2
• 一年後預期賣出價格 $E(P_1) =$$35

代入持有期間預期報酬率公式：

$$E(r_i) = \frac{\$2 + \$35 - \$30}{\$30} = \frac{\$7}{\$30} = \frac{7}{30} \approx 23.3333\%$$

步驟二：計算 CAPM 要求報酬率 $k_i$

根據題目給定條件：

• 無風險利率 $r_f = 5\%$
• 股票貝他值 $\beta_i = 1.8$
• 市場預期報酬率 $E(r_m) = 12\%$

代入 CAPM 公式計算合理要求報酬率：

$$k_i = 5\% + 1.8 \times (12\% - 5\%) = 5\% + 1.8 \times 7\% = 5\% + 12.6\% = 17.6\%$$

本題考驗債券免疫（Bond Immunization）的觀念，特別是針對負債的存續期間與資產的存續期間進行匹配，以消除利率風險。

核心觀念：
債券免疫策略的目標是讓投資組合（資產）的存續期間（Duration）等於負債的存續期間，這樣即使利率發生變動，資產的價值變動幅度會抵銷負債的價值變動幅度，從而使基金的淨值保持穩定。

詳解：

1. 理解債券免疫的目標：
   基金的目標是消除利率風險，即確保資產的價值變動能完全抵銷負債的價值變動。這通常透過使資產組合的加權平均存續期間等於負債的存續期間來實現。

   • 負債的存續期間（Duration of Liabilities, $D_L$）= 20 年。
   • 資產組合由兩種債券組成：8 年期零息債券和 5% 收益率的永續債券。
   • 我們需要確定這兩種資產在投資組合中所佔的權重，使得整個資產組合的存續期間 $D_A$ 等於 $D_L$。

2. 計算資產的存續期間：

   • 資產 1：8 年期零息債券 (Zero-Coupon Bond)
     對於零息債券，其存續期間等於其到期年限。
     $D_{ZC} = 8$ 年。

   • 資產 2：5% 收益率的永續債券 (Perpetuity)
     永續債券的價格公式為 $P = \frac{C}{y}$，其中 $C$ 是每期現金流，$y$ 是收益率。
     永續債券的存續期間公式為：
     $D_{Perp} = \frac{1 + y}{y}$
     其中 $y$ 是永續債券的殖利率（Yield to Maturity, YTM）。
     題目給定永續債券的收益率是 5%，即 $y = 0.05$。
     $D_{Perp} = \frac{1 + 0.05}{0.05} = \frac{1.05}{0.05} = 21$
     所以，永續債券的存續期間為 21 年。

3. 建立資產組合存續期間的方程式：
   假設投資組合中，8 年期零息債券的權重為 $w_{ZC}$，永續債券的權重為 $w_{Perp}$。
   則資產組合的加權平均存續期間 $D_A$ 為：
   $D_A = w_{ZC} \cdot D_{ZC} + w_{Perp} \cdot D_{Perp}$
   由於 $w_{ZC} + w_{Perp} = 1$，我們可以將 $w_{Perp}$ 表示為 $(1 - w_{ZC})$。

核心觀念

本題旨在測驗投資學與基金管理中**避險基金費用結構（Hedge Fund Fee Structure）與投資人淨報酬率（Net Return to Investors）**的計算。

1. 避險基金費用組成：
   • 管理費（Management Fee）：通常以資產規模的一定比率固定收取（本題為 $1\%$）。
   • 績效獎勵費（Incentive Fee / Performance Fee）：經理人依獲利表現抽取的獎勵成數（本題為 $20\%$）。
2. 門檻報酬率（Benchmark / Hurdle Rate）：
   績效獎勵費僅針對「超過基準門檻（Benchmark）」之超額報酬進行計提，而非對全部獲利抽成。
3. 投資人淨報酬率定義： $$R_{\text{net}} = \frac{A_1^{\text{net}} - A_0}{A_0}$$ 其中 $A_0$ 為期初資產規模，$A_1^{\text{net}}$ 為期末扣除所有經理人費用後的投資人資產價值。

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解題方法

步驟一：計算期末費前總收益與費前總報酬率（Gross Return）

• 期初資產規模 $A_0 =$$$200\text{ million}$
• 期末費前資產價值 $A_1^{\text{before}} =$$$270\text{ million}$
• 費前總收益（Gross Profit） $=$$$270 -$$$200 =$$$70\text{ million}$
• 費前總報酬率（$R_{\text{gross}}$）： $$R_{\text{gross}} = \frac{270 - 200}{200} = \frac{70}{200} = 35\%$$

步驟二：計算經理人收取的各項費用

1. 管理費（Management Fee）：
   依期初資產規模計提 $1\%$（財務管理標準教材主流定義）： $$\text{Management Fee} = \$200\text{ million} \times 1\% = \$2\text{ million}$$
2. 績效獎勵費（Incentive Fee）：
   題目規定針對「超過 $15\%$ 基準（Benchmark）」的報酬抽取 $20\%$。
   • 基準門檻金額 $=$$$200\text{ million} \times 15\% =$$$30\text{ million}$
   • 超過基準之超額收益（Excess Profit） $=$$$70\text{ million} -$$$30\text{ million} =$$$40\text{ million}$

核心觀念

本題測驗「融資買進（Margin Purchase）」與「槓桿效益下的權益報酬率（Return on Equity / Rate of Return）」之計算。

1. 融資買進架構：

   • 投資人購買股票時，只需支付一定比例的自有資金，稱為原始保證金（Initial Margin）。
   • 其餘差額由經紀商提供借款，稱為融資金額（Margin Loan）。
   • 借款部分需按約定利率支付融資利息費用（Interest Expense）。

2. 投資人持有期報酬率（Rate of Return, $HPR$）：

   $$\text{Rate of Return} = \frac{\text{淨獲利（Net Profit）}}{\text{期初自有資金（Initial Equity）}} = \frac{\text{期末權益} - \text{期初權益}}{\text{期初權益}}$$

   其中：

   $$\text{淨獲利} = \text{資本利得（Capital Gain）} + \text{股利收入（Dividend Income）} - \text{融資利息費用（Interest Expense）}$$

3. 維持保證金（Maintenance Margin）：
   經紀商要求投資人在融資期間帳戶權益佔股票總市值不可低於的最低門檻；若低於此比率，將引發追繳通知（Margin Call）。本題股價上漲，未觸發追繳，此數值為干擾資訊。

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解題方法

步驟一：計算期初購買股數與資金結構

• 股票購買總額（Total Asset Value）：$20,000
• 每股買進價格（$P_0$）：$25
• 買進股數（$N$）： $$N = \frac{20,000}{25} = 800\text{ 股}$$
• 期初自有資金（Initial Equity, $E_0$）： $$E_0 = \text{\$}20,000 \times 70\% = \text{\$}14,000$$
• 向經紀商融資金額（Margin Loan, $B_0$）： $$B_0 = \text{\$}20,000 \times (1 - 70\%) = \text{\$}6,000$$

步驟二：計算 1 年後的各項收益與成本

• 期末每股賣出價格（$P_1$）：$30
• 資本利得（Capital Gain）： $$\text{Capital Gain} = 800 \times (30 - 25) = \text{\$}4,000$$
• 股利收入（Dividend Income）： $$\text{Dividend Income} = 800 \times 0.80 = \text{\$}640$$
• 融資利息費用（Interest Expense）： $$\text{Interest Expense} = \text{\$}6,000 \times 9\% = \text{\$}540$$

步驟三：計算投資人淨利與報酬率

• 淨獲利（Net Dollar Return）： $$\text{Net Profit} = \text{\$}4,000 + \text{\$}640 - \text{\$}540 = \text{\$}4,100$$
• 投資人報酬率（Rate of Return）：