112 年 國立政治大學金融學系碩士班金融管理組《財務管理》

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核心觀念

本題的核心考點為資本配置線（Capital Allocation Line, CAL）與融資槓桿投資組合（Leveraged Portfolio）的期望報酬率。

1. 投資組合權重定義（Portfolio Weights）：
   在財務管理與投資組合理論中，資產權重的分母為投資人的自有初始財富（Initial Equity, $W_0$）。
   當投資人以無風險利率借入資金並全數投入風險性資產時，形成融資槓桿（Borrowing Portfolio）：

   • 市場投資組合權重：$w_m > 1$
   • 無風險借款權重：$w_f < 0$
   • 權重總和恆等於 1：$w_m + w_f = 1$

2. 槓桿組合期望報酬率公式：

   $$E(R_p) = w_m E(R_m) + w_f R_f$$

   亦可由資本配置線（CAL）的風險溢酬形式表示：

   $$E(R_p) = R_f + y [E(R_m) - R_f]$$

   其中 $y = w_m$ 代表相對於自有資金投入於風險性資產的槓桿比例。

解題方法

根據題意，已知條件如下：

• 市場投資組合之期望報酬率 $E(R_m) = 18\%$
• 無風險利率 $R_f = 6\%$
• 自有資本（Initial Equity, $W_0$）= $100
• 無風險融資借款金額（Borrowing）= $100
• 投入市場投資組合之總金額 = 自有資金 $100 + 借入資金 $100 = $200

本題可採用以下兩種標準方法求解：

方法一：投資組合加權平均法（標準定義）

以投資人自有初始資本 $100 為基底計算權重：

• 市場投資組合配置權重： $$w_m = \frac{\text{投資於市場組合總額}}{\text{自有資金}} = \frac{\$200}{\$100} = 2.0\ (200\%)$$
• 無風險資產借入權重（負債放空）： $$w_f = \frac{-\text{借入金額}}{\text{自有資金}} = \frac{-\$100}{\$100} = -1.0\ (-100\%)$$

核心觀念

本題評量股票評價（Stock Valuation）與資本資產定價模型（CAPM）的整合應用，涉及以下兩大核心概念：

1. 資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）：
   用於估算投資人對該股票所要求的必要報酬率（Required Rate of Return, $r$ 或 $k_e$）：

   $$r = r_f + \beta \times [E(r_m) - r_f]$$
   • $r_f$：無風險利率（Risk-free rate）
   • $E(r_m)$：市場預期報酬率（Expected market return）
   • $[E(r_m) - r_f]$：市場風險溢酬（Market risk premium, MRP）
   • $\beta$：系統性風險衡量指標（Beta）

2. 單期股價折現模型（One-Period Valuation Model / DCF）：
   股票今日的內在價值（$P_0$）等於未來一期所能獲得的全部現金流量（期末現金股利 $D_1$ 與期末預期售價 $P_1$）以必要報酬率 $r$ 折現後的現值：

   $$P_0 = \frac{D_1 + P_1}{1 + r}$$

解題方法

步驟一：計算股票的必要報酬率（折現率 $r$）

依題意，已知參數如下：

• 無風險利率 $r_f = 4\% = 0.04$
• 市場預期報酬率 $E(r_m) = 12\% = 0.12$
• 股票貝他值 $\beta = 0.8$

將數據代入 CAPM 公式：

本題考驗投資組合預期報酬率的計算，該投資組合由市場投資組合（指數股票型基金）與無風險資產（國庫券）構成。

投資組合的預期報酬率是各資產預期報酬率的加權平均。
$E(R_p) = w_m E(R_m) + w_f R_f$
其中：
$E(R_p)$ = 投資組合的預期報酬率
$w_m$ = 市場投資組合的權重 = 60%
$E(R_m)$ = 市場投資組合的預期報酬率
$w_f$ = 無風險資產的權重
$R_f$ = 無風險利率 = 3.2%

首先，我們需要計算市場投資組合的預期報酬率 ($E(R_m)$)。題目給了市場風險溢酬 (market risk premium)，市場風險溢酬定義為市場預期報酬率與無風險利率之間的差額。
市場風險溢酬 = $E(R_m) - R_f$
7.6% = $E(R_m) - 3.2\%$
因此，$E(R_m) = 7.6\% + 3.2\% = 10.8\%$。

接著，計算無風險資產的權重：
由於投資組合由市場投資組合和國庫券組成，且市場投資組合的權重為 60%，則無風險資產的權重為：
$w_f = 1 - w_m = 1 - 60\% = 40\%$。

此題考驗 Modigliani-Miller (MM) 理論在無稅務情況下的結論。MM 理論 II 在無稅務且無破產風險的假設下，指出公司的資本結構與其價值無關，且股權的預期報酬率會隨著債務融資比例的增加而線性提高，以補償增加的風險。

MM 理論 II 在無稅務下的公式為：
$E(R_L) = E(R_U) + [E(R_U) - R_d] \times \frac{D}{E}$
其中：
$E(R_L)$ = 有負債公司的股權預期報酬率
$E(R_U)$ = 無負債公司的股權預期報酬率
$R_d$ = 債務的成本（利率）
$D/E$ = 債務對股權的比例

然而，題目給定的資訊是：
成本 of debt ($R_d$) = 6%
成本 of equity ($E(R_L)$) = 10% (這是指有負債公司的股權成本)
Corporate tax rate = 21%

題目要求的是「公司會偏好多少債務」。在 MM 理論 II 無稅務且無破產風險的假設下，公司的價值與其資本結構無關。這意味著，在這種理想情況下，公司沒有一個特定的偏好債務比例。公司可以選擇任何比例的債務，因為股權的預期報酬率會隨著債務比例的增加而相應調整，使得總體資本成本保持不變。

MM 理論 II 的重點在於解釋有負債公司的股權成本如何受資本結構影響，而不是指出一個「最佳」債務水平。

如果題目意圖問的是，在有稅務的情況下，公司會偏好多少債務（MM Proposition II with taxes），那麼答案會不同。但題目明確指出「MM's proposition II without taxes is true」。

核心觀念

本題考查莫迪利安尼-米勒第一定理（含公司所得稅）（Modigliani-Miller Proposition I with Corporate Taxes，簡稱 MM I with taxes）與利息稅盾現值（Present Value of Interest Tax Shield, PV of ITS）的計算。

1. MM 第一定理（含稅）的基本架構：
   在考慮公司所得稅但無個人所得稅與財務危機成本的前提下，負債融資產生的利息支出可自課稅所得中扣除（利息費用免稅），因而產生利息稅盾效果。槓桿公司價值（$V_L$）等於同級別無槓桿公司價值（$V_U$）加上利息稅盾現值：

   $$V_L = V_U + \text{PV(ITS)}$$

2. 永久性負債的利息稅盾現值：
   若公司發行之負債為永久性負債（Permanent Debt），其面額為 $D$、負債利率為 $r_D$、公司稅率為 $T_c$：

   • 每期利息支出為 $r_D \times D$
   • 每期利息稅盾現金流為 $T_c \times r_D \times D$
   • 由於稅盾現金流風險與負債本身相同，採用負債折現率 $r_D$ 進行永續年金折現：
   $$\text{PV(ITS)} = \frac{T_c \times r_D \times D}{r_D} = T_c \times D$$

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 永久性負債總額：$D =$$1,000,000（$1 million）
• 負債利率：$r_D = 7\%$
• 公司所得稅率：$T_c = 21\%$

核心觀念

本題考查「資本預算」中的現金流量比較與現值分析。購買新車是否值得，取決於：

• 立即支付的新車購買成本：$8{,}000$
• 未來 4 年維修費的節省所帶來的現值
• 機會成本為 8%，因此未來現金流必須以 8% 折現

兩輛車 4 年後均無殘值，因此只需比較購車成本與維修費現值。

設新車每年維修費為 $M$，則每年維修費節省額為：

要使購買新車剛好合理，維修費節省的現值必須等於新車購買成本：

解題方法與計算

假設維修費於每年年底支付，4 年期、折現率 8% 的普通年金現值因子為：

令每年必須節省的維修費為 $D$，則：

因此：

本題考驗對證券市場線 (Security Market Line, SML) 的理解，特別是其斜率的意義。

證券市場線 (SML) 的定義：
證券市場線 (SML) 是資本資產定價模型 (CAPM) 的圖形表示。它描繪了在均衡狀態下，任何資產或投資組合的預期報酬率與其系統性風險（以 Beta 值衡量）之間的關係。

SML 的公式：
SML 的公式為：
$E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)$
其中：
$E(R_i)$ = 資產 i 的預期報酬率
$R_f$ = 無風險利率
$\beta_i$ = 資產 i 的 Beta 值
$E(R_m)$ = 市場投資組合的預期報酬率
$E(R_m) - R_f$ = 市場風險溢酬 (Market Risk Premium)

SML 的斜率：
從 SML 的公式可以看出，它是一個線性方程式，形式為 $y = mx + c$，其中：
$y = E(R_i)$ (縱軸：預期報酬率)
$x = \beta_i$ (橫軸：Beta 值)
$c = R_f$ (y 軸截距：無風險利率)
$m = E(R_m) - R_f$ (斜率：市場風險溢酬)

因此，證券市場線 (SML) 的斜率是市場風險溢酬，即市場投資組合的預期報酬率與無風險利率之間的差額。

斜率的意義：
SML 的斜率代表了投資人每承擔一單位的系統性風險（Beta 值），所能期望獲得額外的報酬。換句話說，它量化了承擔額外系統性風險的補償。

繪製 SML：

1. 橫軸 (X 軸)： 標示為 Beta ($\beta$)。Beta 值衡量資產的系統性風險，即資產報酬率對市場報酬率變動的敏感度。Beta = 1 表示資產的風險與市場相同；Beta > 1 表示風險高於市場；Beta < 1 表示風險低於市場；Beta = 0 表示無系統性風險。
2. 縱軸 (Y 軸)： 標示為預期報酬率 ($E(R)$)。
3. y 軸截距： 當 Beta = 0 時，預期報酬率等於無風險利率 ($R_f$)。這代表了無風險資產（如國庫券）的預期報酬。
4. 斜率： 畫一條從 $(0, R_f)$ 開始，向上傾斜的直線。這條直線的斜率就是市場風險溢酬 $(E(R_m) - R_f)$。
5. 市場點： 市場投資組合的 Beta 值為 1。在 SML 上，Beta = 1 的點對應的預期報酬率是市場預期報酬率 $E(R_m)$。此點為 $(1, E(R_m))$。

本題考驗對企業資本結構決策的影響因素的理解，特別是資產的性質（有形資產 vs. 無形資產）與融資槓桿的關係。

核心觀念：
企業的資本結構決策（債務融資的比例）會受到其資產性質、營運穩定性、獲利能力、成長性以及財務困境成本等多重因素的影響。其中，資產的抵押價值是銀行貸款的重要考量。

分析比較：

1. 零售業公司 (Retailing firm with prime downtown real estate)：

   • 資產性質： 擁有「優質市中心不動產」(prime downtown real estate)。不動產是具有相當高抵押價值（collateral value）的有形資產。
   • 營運穩定性： 相較於科技公司，傳統零售業的營運模式通常較為穩定，現金流的預測性較高，但可能成長性較低。
   • 融資影響： 由於擁有高價值且易於抵押的不動產，這類公司通常可以獲得較多的債務融資，且債務成本可能較低。銀行和債權人較有信心，因為即使公司面臨財務困境，這些資產也能提供較好的保障。

2. 社群媒體公司 (Social media company with unique software and client loyalty)：

   • 資產性質： 主要資產是「獨特的軟體和客戶忠誠度」(unique software and client loyalty)。這些是無形資產 (intangible assets)，其價值較難評估，且不易作為抵押品。軟體的價值可能隨技術變遷而快速貶值，客戶忠誠度更是難以量化和變現。
   • 營運穩定性： 科技類公司（如社群媒體）通常成長性高，但營運的波動性也較大，競爭激烈，技術變革快速，現金流預測的風險較高。
   • 融資影響： 由於缺乏有價值的抵押品，這類公司在獲取銀行貸款方面可能面臨較大困難，債務融資比例通常較低。若要融資，可能更多依賴股權融資或風險較高的債務（如高收益債）。

結論：
零售業公司應該可以承受更高的債務融資比例（more highly levered）。

核心觀念

本題評量**高登股利折現模型（Gordon Growth Model）與成長機會淨現值（NPVGO）**之核心概念：

1. 內部成長率／股利成長率（$g$）：
   在固定成長假設下，公司未來的股利成長率由盈餘保留率（Plowback Ratio / Retention Rate, $b$）與再投資報酬率（Return on Equity, $ROE$）共同決定： $$g = b \times ROE$$
2. 第一期預期股利（$D_1$）： $$D_1 = E_1 \times (1 - b)$$ 其中，$E_1$ 為當期（第一期）預期每股盈餘，$(1 - b)$ 為股利發放率（Dividend Payout Ratio）。
3. 高登股利折現模型（Gordon Growth Model）： $$P_0 = \frac{D_1}{k - g}$$ 其中，$P_0$ 為股票現值，$k$ 為市場要求報酬率（折現率）。

解題方法

由題意可知：

• 預期每股盈餘 $E_1 =$$6
• 市場折現率 $k = 15\%$
• 再投資報酬率 $ROE = 15\%$

依據題目給定的三種盈餘保留率 $b$ 進行計算：

(i) 保留率 $b = 0\%$

• 股利成長率（$g$）： $$g = 0\% \times 15\% = 0\%$$
• 第一期每股股利（$D_1$）： $$D_1 = 6 \times (1 - 0) = 6$$ 即每股股利為 $6。
• 股票價格（$P_0$）： $$P_0 = \frac{6}{0.15 - 0} = 40$$ 即股票價格為 $40。

(ii) 保留率 $b = 40\%$

• 股利成長率（$g$）： $$g = 40\% \times 15\% = 6\%$$
• 第一期每股股利（$D_1$）： $$D_1 = 6 \times (1 - 0.40) = 3.6$$

核心觀念

本題評量**權益證券評價（Equity Valuation）**中的兩大核心模型與觀念：

1. 高登成長模型（Gordon Growth Model, GGM）：
   假設股利以等比級數永續成長，股票現值為：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g}$$

   其中：

   • $D_1 = E_1 \times (1 - b)$ 為下一期預期發放之每股股利。
   • $k$ 為權益資金成本（要求報酬率／折現率）。
   • $g = b \times \text{ROE}$ 為股利與盈餘之永續成長率。
   • $b$ 為盈餘保留再投資率（Plowback Ratio / Reinvestment Rate），$1 - b$ 為股利發放率（Dividend Payout Ratio）。
   • $\text{ROE}$ 為再投資盈餘報酬率（Rate of Return on Reinvested Earnings）。

2. 成長機會現值（Present Value of Growth Opportunities, PVGO）：
   股票價值可分解為「無成長價值（No-growth Value，亦即現有資產價值 Assets in Place）」與「成長機會現值（PVGO）」：

   $$P_0 = \frac{E_1}{k} + \text{PVGO} \implies \text{PVGO} = P_0 - \frac{E_1}{k}$$
   • 當 $\text{ROE} = k$ 時：公司投資專案之淨現值為 0（$NPV = 0$），保留盈餘再投資無法創造超額報酬，故 $\text{PVGO} = 0$。
   • 當 $\text{ROE} > k$ 時：公司投資專案具正淨現值（$NPV > 0$），保留盈餘再投資能為股東創造超額價值，故 $\text{PVGO} > 0$。
   • 當 $\text{ROE} < k$ 時：再投資報酬率低於資金成本（$NPV < 0$），保留盈餘反而摧毀股東價值，故 $\text{PVGO} < 0$。

解題方法

題目給定基礎條件：

• 次期預期每股盈餘 $E_1 =$ $6
• 權益折現率 $k = 15\%$
• 零成長之每股價值（No-growth Value）： $$\frac{E_1}{k} = \frac{6}{0.15} = \$40$$
• 依原題組（第 1 小題 (a) 款之標準設定）之盈餘再投資率為 $b = 60\% = 0.6$（股利發放率 $1 - b = 40\% = 0.4$）。

1. 當再投資報酬率 $\text{ROE} = 15\%$ 時

1. 計算股利成長率 $g$：

   $$g = b \times \text{ROE} = 0.6 \times 15\% = 9\%$$

2. 計算次期預期每股股利 $D_1$：

   $$D_1 = E_1 \times (1 - b) = \$6 \times (1 - 0.6) = \$2.40$$

3. 計算股票價格 $P_0$：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g} = \frac{2.40}{0.15 - 0.09} = \frac{2.40}{0.06} = \$40$$

本題要求根據 IV.1.a. 和 IV.1.b. 的計算結果，闡述「正在經歷成長」的公司與「擁有成長機會」的公司之間的差異。

核心觀念：

• 正在經歷成長 (Experiencing Growth)： 指公司目前正處於其盈餘和股利持續增長的階段。這種成長是正在發生的，並且是可以預測的。在股利成長模型中，這體現在 $g > 0$。
• 擁有成長機會 (Growth Opportunities)： 指公司未來有潛力透過將盈餘再投資於獲利項目來創造額外價值。這種機會是否被實現（即是否產生了正的 PVGO）取決於公司將多少盈餘再投資 ($b$) 以及這些再投資的報酬率 ($ROE$) 相對於折現率 ($k$) 的關係。

從計算結果的對比分析：

IV.1.a. (ROE = 15%)

• (i) $b=0\%$, $g=0\%$, $P_0=$$40.00。此時公司沒有成長，股利固定。
• (ii) $b=40\%$, $g=6\%$, $P_0=$$42.40。公司正在經歷成長，且成長是正的。
• (iii) $b=60\%$, $g=9\%$, $P_0=$$43.60。公司正在經歷成長，且成長率更高。

IV.1.b. (ROE = 20%)

• (i) $b=0\%$, $g=0\%$, $P_0=$$40.00, $PVGO=$$0.00。公司沒有成長，也沒有成長機會。
• (ii) $b=40\%$, $g=8\%$, $P_0=$$55.54, $PVGO=$$12.34。公司正在經歷成長 ($g>0$)，且擁有成長機會（$PVGO > 0$）。
• (iii) $b=60\%$, $g=12\%$, $P_0=$$89.60, $PVGO=$$44.80。公司正在經歷成長 ($g>0$)，且擁有非常顯著的成長機會（$PVGO$ 很高）。

差異闡述：

1. 成長率 (g) vs. 成長機會的現值 (PVGO)：

   • 正在經歷成長 (Experiencing Growth) 主要體現在其股利或盈餘的成長率 (g) 為正值。這意味著公司目前的營運和財務表現正處於擴張階段。在 IV.1.a. 的例子中，當 $b>0$ 時，g 就會大於 0，表示公司正在經歷成長。
   • 擁有成長機會 (Growth Opportunities) 則體現在公司未來能夠透過再投資創造額外價值的潛力，這由 PVGO > 0 來衡量。PVGO 代表了公司未來成長所能帶來的額外價值，折現到現在。在 IV.1.b. 的例子中，即使 $g>0$，如果 $ROE < k$，則 PVGO 可能為負值（表示成長機會的實現會損害公司價值），或者 PVGO 為零（表示成長機會的價值剛好被其成本抵銷）。當 $ROE > k$ 且 $b>0$ 時，公司不僅在經歷成長，還擁有正的成長機會。

2. 時間點的差異：

   • 「正在經歷成長」描述的是公司當前的狀態，即其盈餘和股利正在增加。
   • 「擁有成長機會」則更側重於公司的未來潛力，即公司未來透過投資可以創造多少額外價值。一個公司可能目前沒有成長（$g=0$），但如果其未來有高於折現率的投資機會，它就擁有成長機會。反之，一個正在經歷成長的公司（$g>0$），如果其成長是透過 $ROE < k$ 的低效率投資實現的，那麼它可能沒有（或只有很小的）正的成長機會，甚至可能擁有負的成長機會。

核心觀念

本題評量**含公司所得稅之 Modigliani-Miller 定理（MM Proposition I with Corporate Taxes, 1963）與利息稅盾現值（PV of Interest Tax Shield）**的計算。

1. 無槓桿公司價值（$V_U$）：
   在無負債且稅前息前盈餘（$\text{EBIT}$）為永續不變的假設下，無槓桿公司之稅後現金流量為永續年金，以無槓桿權益資金成本（$r_U$ 或資產折現率）折現：

   $$V_U = \frac{\text{EBIT} \times (1 - T_c)}{r_U}$$

2. 永久性負債之利息稅盾現值（$\text{PV(ITS)}$）：
   當公司發行永久性負債（Permanent Debt）$D$，每年產生的利息費用為 $r_d \times D$，利息支出具稅盾效果，每年可省稅 $T_c \times r_d \times D$。以負債資金成本 $r_d$ 作為折現率，利息稅盾之現值為：

   $$\text{PV(ITS)} = \frac{T_c \times r_d \times D}{r_d} = T_c \times D$$

3. MM 第一理論（含稅）之槓桿公司價值（$V_L$）：

   $$V_L = V_U + \text{PV(ITS)} = V_U + T_c \times D$$

解題方法

步驟一：計算原先無槓桿公司價值（$V_U$）

已知：

• 永續 $\text{EBIT} =$ $25,000
• 公司所得稅率 $T_c = 21\% = 0.21$
• 專案折現率（無槓桿資金成本）$r_U = 10\% = 0.10$

核心觀念

本題的核心在於資本結構理論中的靜態權衡理論（Static Trade-off Theory）以及預期財務危機成本（Expected Financial Distress / Bankruptcy Costs）的折現評估。

1. MM 定理（含公司所得稅）的利息稅盾價值：
   在考慮公司所得稅的情況下，若公司發行永續負債 $D$，每年可產生利息稅盾（Interest Tax Shield）。其利息稅盾的現值為：
   $PV(\text{Interest Tax Shield}) = \tau_C \times D$
   其中 $\tau_C$ 為公司所得稅率，$D$ 為負債面額（或市場價值）。

2. 權衡理論（Trade-off Theory）下的槓桿公司價值：
   當負債增加時，破產機率隨之上升，引發預期財務危機與破產成本。公司總價值為無負債公司價值加上利息稅盾現值，再扣除預期破產成本的現值：
   $V_L = V_U + PV(\text{Tax Shield}) - PV(\text{Expected Bankruptcy Costs})$

   • $V_U$（無負債公司價值）：
     $V_U = \frac{\text{EBIT} \times (1 - \tau_C)}{r_U}$
   • $PV(\text{Expected Bankruptcy Costs})$（預期破產成本現值）：
     $PV(\text{Expected Bankruptcy Costs}) = \frac{\text{Probability of Bankruptcy} \times \text{Bankruptcy Costs}}{(1 + r)^t}$

3. 舉債決策準則：

   • 若發行負債帶來的「利息稅盾現值」大於「預期破產成本現值」（即 $\Delta V > 0$），舉債能提升公司總價值，應發行。
   • 若「利息稅盾現值」小於「預期破產成本現值」（即 $\Delta V < 0$），舉債會減損公司總價值，不應發行。

解題方法

步驟一：計算原始無負債公司價值（$V_U$）

已知條件：

• 永續息前稅前盈餘 $\text{EBIT} =$ $25,000
• 公司所得稅率 $\tau_C = 21\%$
• 專案折現率 $r_U = 10\%$

$V_U = \frac{\text{EBIT} \times (1 - \tau_C)}{r_U} = \frac{25000 \times (1 - 0.21)}{0.10} = \frac{19750}{0.10} = \$197,500$

步驟二：計算舉債之利息稅盾現值（$PV(\text{Tax Shield})$）

承接第 (a) 小題之標準設定，公司擬發行 $50,000 之永續公司債用以購回股票（$D =$ $50,000）：
$PV(\text{Tax Shield}) = \tau_C \times D = 21\% \times 50000 = \$10,500$

步驟三：計算預期破產成本的現值（$PV(\text{Expected Bankruptcy Costs})$）

已知條件：

• 3 年後破產機率 $P = 30\%$
• 破產成本 $BC =$ $200,000
• 折現期間 $t = 3$ 年
• 折現率 $r = 10\%$