112 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）甲組《統計學》

此題在考驗對「母體」(Population) 與「樣本」(Sample) 概念的理解。

題目中提到，咖啡店「隨機選取了 150 位上個月光顧的顧客」，這 150 位顧客是從更大範圍的群體中抽取出來的，因此這 150 位顧客是「樣本」。

此題在考驗對「測量尺度」(Scale of Measurement) 的理解，特別是「比例尺度」(Ratio Scale)。

測量尺度可分為四種：

1. 名目尺度 (Nominal Scale)：僅能區分類別，無順序。例如：性別 (男/女)、血型 (A/B/AB/O)。
2. 順序尺度 (Ordinal Scale)：可以區分類別且有順序，但類別間的差距不一定相等。例如：學歷 (國小/國中/高中/大學)、滿意度 (非常不滿意/不滿意/普通/滿意/非常滿意)。
3. 等距尺度 (Interval Scale)：具有順序，且類別間的差距相等，但沒有絕對的零點。例如：攝氏溫度 (0°C 不代表沒有溫度)、華氏溫度。
4. 比例尺度 (Ratio Scale)：具有順序，類別間差距相等，且有絕對的零點。絕對零點表示該變數不存在。

此題考驗對「全距」(Range) 的計算。

全距定義為資料集中的最大值減去最小值。
給定的零售銷售數據 (單位：十億美元) 如下：
385, 242, 125, 101, 98, 96, 87, 72, 65, 58

此題考驗對「資料分布形狀」(Shape of Distribution) 的判斷，特別是偏態(Skewness)。

我們已經知道數據為：385, 242, 125, 101, 98, 96, 87, 72, 65, 58。
為了判斷偏態，我們可以觀察數據的分布情況，或者計算平均數、中位數和眾數。

觀察數據：
最大值是 385，最小值是 58。
數據從左到右大致呈現遞減趨勢，但最高值 385 遠大於其他值，而最小值 58 則相對接近其他較小值。這表示資料有一個長長的「尾巴」朝向右邊（較大的值）。

讓我們估計一下平均數和中位數：
數據個數 n = 10。
中位數 (Median)：由於 n 是偶數，中位數是第 5 和第 6 個數據的平均值。
排序後的數據：58, 65, 72, 87, 96, 98, 101, 125, 242, 385
第 5 個數據是 96，第 6 個數據是 98。

此題考驗對「抽樣方法」(Sampling Methods) 的理解。

題目描述了抽樣過程：

1. 員工站在店門口。
2. 每訪問第 15 位離開的顧客進行調查。

我們來分析各選項：
(a) Stratified Sampling (分層抽樣)：將母體分成若干個互斥的子群體（層），然後從每個子群體中獨立抽取樣本。例如，將顧客按年齡分層，然後從各年齡層中抽取。這與題目描述不符。
(b) Snowball Sampling (滾雪球抽樣)：用於難以接觸的母體，例如毒品使用者。

此題考驗對「抽樣方法」的理解，特別是當母體被分成不同群體且需要按比例抽取時。

題目描述了抽樣的目標和方法：

1. 公司有兩個分店 A 和 B。
2. 經理想抽取員工樣本來評估績效。
3. 為了確保樣本代表性，經理計劃「按各分店的相對規模比例」抽取樣本。

我們來分析各選項：
(a) Stratified Sampling (分層抽樣)：將母體分成幾個具有共同特徵的子群體（稱為「層」），然後從每個層中抽取樣本。在這個題目中，「分店 A」和「分店 B」可以被視為兩個「層」。

此題考驗對「統計表格類型」的理解。

題目呈現了一個表格，其中：

• 列 (Rows) 代表兩個不同的群體（分店 A 和 B）。
• 欄 (Columns) 代表一個分類變數的四個類別（績效等級：poor, fair, good, excellent）。

這種表格是用來顯示兩個或多個分類變數之間的頻率分布關係。

我們來分析各選項：
(a) Decision Table (決策表)：通常用於展示一系列條件及其對應的行動，常見於程式設計或邏輯分析。與此表格結構不同。

此題考驗對「機率計算」，特別是從列聯表中計算邊緣機率(Marginal Probability)。

首先，我們需要計算總的員工數以及在所有員工中「excellent」績效的員工數。

從列聯表中取得數據：
分店 A 的績效等級數量：Poor=5, Fair=20, Good=50, Excellent=45
分店 B 的績效等級數量：Poor=0, Fair=10, Good=25, Excellent=25

核心觀念

本題考查：

• 聯合機率 $P(A\cap B)$
• 條件機率 $P(B\mid A)$
• 聯集機率公式
• 「至少一位檢查員訂正」所代表的事件 $A\cup B$

設：

• $A$：檢查員 A 訂正錯誤
• $B$：檢查員 B 訂正錯誤

題目給定：

$$P(A)=0.7,\qquad P(B)=0.55,\qquad P(B\mid A)=0.5$$

要求的是錯誤被至少一位檢查員訂正的機率：

$$P(A\cup B)$$

解題方法

由條件機率定義：

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

因此：

$$P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)$$

代入題目數值：

$$P(A\cap B)=0.5\times 0.7=0.35$$

其中 $P(A\cap B)$ 表示 A、B 兩位檢查員都訂正該錯誤。

「至少一位訂正」包含三種情況：

1. 只有 A 訂正；
2. 只有 B 訂正；
3. A、B 都訂正。

因此使用聯集機率公式：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

代入：

此題考驗對「貝氏定理」(Bayes' Theorem) 的應用。

首先，定義事件：

• E：句子有錯誤 (Error is present)
• E'：句子是正確的 (Sentence is correct)
• A：檢查員 A 修正了錯誤 (Checker A corrects the error)
• B：檢查員 B 修正了錯誤 (Checker B corrects the error)
• A'：檢查員 A 未修正錯誤 (Checker A does not correct the error)
• B'：檢查員 B 未修正錯誤 (Checker B does not correct the error)

從題目和上一題已知條件：

• P(E) = 0.10 (10% 的句子有錯誤)
• P(E') = 1 - P(E) = 0.90 (90% 的句子是正確的)
• P(A | E) = 0.7
• P(B | E) = 0.55
• P(A ∩ B | E) = 0.35 (從上一題計算得出)
• P(A ∪ B | E) = 0.90 (從上一題計算得出)

題目問的是：如果一個句子被「兩個檢查員都通過」（意即，兩個檢查員都沒有修正錯誤，即 A' 且 B'），那麼這個句子實際上有錯誤的機率是多少？
我們要計算 P(E | A' ∩ B')。

根據貝氏定理：
P(E | A' ∩ B') = [ P(A' ∩ B' | E) * P(E) ] / P(A' ∩ B')

我們需要計算 P(A' ∩ B' | E) 和 P(A' ∩ B')。

此題考驗對「連續型隨機變數的中位數」(Median of a Continuous Random Variable) 的計算，特別是當機率密度函數 (pdf) 是分段定義時。

中位數 $m$ 是指使得累積分布函數 (CDF) $F(m) = 0.5$ 的值。
首先，我們需要建立隨機變數 X 的累積分布函數 (CDF) $F(x)$。
PDF 為：
$f(x) = \begin{cases} x^3 & \text{if } 0 < x < 1 \\ 1/4 & \text{if } 1 < x \le 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

我們需要驗證這個 PDF 是有效的，即總積分為 1。
$\int_0^4 f(x) dx = \int_0^1 x^3 dx + \int_1^4 \frac{1}{4} dx$
$= [\frac{x^4}{4}]_0^1 + [\frac{1}{4}x]_1^4$
$= (\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4}) + (\frac{1}{4}(4) - \frac{1}{4}(1))$
$= \frac{1}{4} + (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
PDF 是有效的。

現在計算 CDF $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$。

對於 $0 < x < 1$:
$F(x) = \int_0^x t^3 dt = [\frac{t^4}{4}]_0^x = \frac{x^4}{4}$

此題考驗對「泊松分布」(Poisson Distribution) 性質的理解，特別是「獨立增量」(Independent Increments) 的概念，以及「隨機變數的線性組合」。

題目給予的資訊：

• 從 10:00am 到 12:00pm (共 2 小時) 的顧客到達數，服從平均數 $\lambda_{total} = 30$ 的泊松分布。
• 這些顧客中，有 20% 是來辦理貸款的。

問題要求的是：從 10:00am 到 11:00am (共 1 小時) 預期有多少顧客是來辦理貸款的。

泊松分布的一個重要性質是「獨立增量」，這意味著在不重疊的時間段內發生的事件是獨立的。對於泊松過程，如果總體平均率為 $\lambda$，則在時間長度為 $t$ 的區間內，事件發生的平均數為 $\lambda t$。

1. 計算 1 小時內的預期到達顧客數：
   總時間是 2 小時，平均到達數是 30。
   因此，每小時的平均到達率是 $\lambda_{hour} = \lambda_{total} / 2 \text{ hours} = 30 / 2 = 15$ 位顧客/小時。

此題考驗對「指數分布」(Exponential Distribution) 的性質，特別是其機率計算，以及「無記憶性」(Memoryless Property)。

指數分布的機率密度函數 (pdf) 為 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $x \ge 0$。
累積分布函數 (CDF) 為 $F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$。
平均數 (Mean) 為 $E(X) = 1/\lambda$。

題目給予：

• 等待時間 X 服從指數分布。
• 平均等待時間 $E(X) = 1$ 分鐘。

從平均數可以求得參數 $\lambda$：
$1/\lambda = 1 \implies \lambda = 1$。

所以，PDF 為 $f(x) = e^{-x}$，CDF 為 $F(x) = 1 - e^{-x}$，其中 $x$ 是等待時間（分鐘）。

此題考驗對「統計學基本名詞」的定義理解。

題目詢問「母體參數」(Population Parameter) 與「對應的樣本統計量」(Corresponding Sample Statistic) 之間的「差異」稱為什麼。

• 母體參數 (Population Parameter)：描述母體特徵的數值，例如母體平均數 $\mu$、母體比例 $P$。母體參數通常是未知的。
• 樣本統計量 (Sample Statistic)：描述樣本特徵的數值，例如樣本平均數 $\bar{x}$、樣本比例 $\hat{p}$。樣本統計量是根據樣本數據計算出來的，用來估計母體參數。

核心觀念

本題考查「樣本平均數的標準誤」與「信賴區間的誤差界限（margin of error）」。

若母體標準差 $\sigma$ 已知，且母體近似常態分配，樣本平均數的標準誤為

$$SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

在 $95\%$ 信賴水準下，標準常態的臨界值為

$$z_{0.025}=1.96$$

因此，平均數的誤差界限為

$$d=z_{0.025}\cdot SE=1.96\cdot SE$$

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解題方法

題目給定：

$$n=200,\qquad \sigma=500$$

先計算樣本平均數的標準誤：

$$SE=\frac{500}{\sqrt{200}} =\frac{500}{14.142} \approx 35.355$$

因為題目說明成本近似常態分配，且給定標準差 $500$，採用標準常態分配。因此，$95\%$ 信賴水準的誤差界限為

$$d=1.96\left(\frac{500}{\sqrt{200}}\right)$$ $$d\approx 1.96(35.355) \approx 69.30$$

所以正確關係是

$$d=1.96SE$$

題目選項中沒有此表示式。

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選項分析

(a) $d=56.5$

錯誤。由計算可得

$$d\approx 69.30$$

並非 $56.5$。

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(b) $d=20.025\cdot SE$

此題考驗對「信賴區間」計算中「樣本大小」(Sample Size) 的決定。

題目要求在給定的誤差範圍下，計算所需的樣本大小。
已知資訊：

• 樣本標準差 $s = 500$ (我們用樣本標準差來估計母體標準差 $\sigma$)
• 目標誤差範圍 $d = 50$
• 信心水準為 95%

誤差範圍的公式為 $d = z_{\alpha/2} \times (s / \sqrt{n})$。
對於 95% 的信心水準，$\alpha/2 = 0.025$，對應的 $z_{\alpha/2} = 1.96$。

此題考驗對「品質管理」(Quality Control) 中「抽樣檢查」(Sampling Inspection) 的基本名詞定義。

在抽樣檢查中，通常會設定一個「可接受的品質水準」(Acceptable Quality Level, AQL)。

• 生產者風險 (Producer's Risk)：指的是當母體（一批產品）的實際品質優於或等於 AQL 時，但由於抽樣的隨機性，這批產品被判定為不合格而被拒收的機率。

此題考驗對「樣本比例」(Sample Proportion) 的「變異數」(Variance) 公式。

題目中，$\pi$ 代表母體比例 (proportion of college students who drink coffee daily)，而不是樣本比例。
$p_n$ 代表基於隨機樣本大小為 $n$ 的樣本比例。

此題考驗對「假設檢定」(Hypothesis Testing) 中「敘述虛無假設」(Null Hypothesis, $H_0$) 和「對立假設」(Alternative Hypothesis, $H_1$) 的設定。

問題情境：

• Baby Tom 聲稱他預測比賽結果的能力「比隨機猜測要好」。
• 隨機猜測一個比賽結果的機率是 0.5 (假設有兩種結果，例如勝/負，且機率相等)。
• 總共有 8 場比賽。
• $\pi$ 是正確預測結果的「母體機率」(probability of correctly predicting)。
• $p$ 是「樣本比例」(sample proportion) 的正確預測。

我們要設定檢定這項「聲稱」的假設。
「聲稱他 doing better than random guess」意味著他預測正確的機率大於 0.5。
這應該是我們要檢定的目標，所以它會是我們的對立假設 ($H_1$)。

• 對立假設 ($H_1$)：Baby Tom 預測正確的機率大於 0.5。
  在這裡，我們應該使用母體參數 $\pi$ 來表示機率，所以 $H_1: \pi > 0.5$。

核心觀念

本題考查以二項分配進行「預測能力是否優於隨機猜測」的假設檢定。

若每場比賽只有兩種結果，且在虛無假設下預測完全靠隨機猜測，則每場猜對的機率為

$$p_0=\frac12.$$

令 $X$ 表示 8 場比賽中猜對的場數，則

$$X\sim\operatorname{Binomial}(8,0.5).$$

觀察到 8 場全部猜對，即觀察值為 $x=8$。

解題方法

因為題意要判斷預測是否「異常地準確」，所以採用右尾檢定。$p$-value 是在虛無假設成立時，得到至少同樣極端結果的機率：

$$p\text{-value}=P(X\geq 8).$$

由於 $X$ 的最大值就是 8，因此

$$P(X\geq 8)=P(X=8).$$

利用二項分配機率公式：

$$P(X=8) = \binom{8}{8}(0.5)^8(1-0.5)^0 = (0.5)^8 = \frac{1}{256} \approx 0.003906.$$

因此，若預測只是隨機猜測，8 場全部猜對的機率約為 $0.39\%$，屬於非常罕見的結果。

選項分析

核心觀念

本題評量統計推論中**假設檢定（Hypothesis Testing）**的決策風險評估，聚焦於兩類型錯誤的本質定義：

1. 虛無假設（$H_0$）與對立假設（$H_1$）的設定：
   • 虛無假設代表「無特殊效應、無實質能力、純屬隨機（status quo）」。
   • 對立假設代表「有效應、具備顯著能力、優於隨機猜測（研究者欲證明的實質效果）」。
2. 第一型錯誤（Type I Error, $\alpha$）：
   • 實質意義：當虛無假設實際上為真（$H_0$ is true），檢定程序卻做出拒絕虛無假設（Reject $H_0$）的決策。即「偽陽性（False Positive）」，將純屬隨機的現象誤判為具備顯著效應。
3. 第二型錯誤（Type II Error, $\beta$）：
   • 實質意義：當對立假設實際上為真（$H_1$ is true），檢定程序卻未能拒絕虛無假設（Fail to reject $H_0$）。即「偽陰性（False Negative）」，錯失了實質存在的效應。

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解題方法

為了使決策效益最大化並有效釐清成本結構，我們依標準統計決策步驟拆解問題：

1. 定義假設檢定的對象與母體參數：
   設 $p$ 為 Baby Tom 猜測正確的真實機率。隨機猜測的基準機率記為 $p_0$（例如二選一時 $p_0 = 0.5$）。

   • 虛無假設 $H_0: p = p_0$（Baby Tom 僅為隨機猜測，並無特殊能力）
   • 對立假設 $H_1: p > p_0$（Baby Tom 表現優於隨機猜測，具備實質能力）

2. 檢視研究者的決策（Decision Made）：
   題目敘述：「concluded that Baby Tom was doing better than random guess」。

   • 此結論代表統計檢定拒絕了虛無假設（Reject $H_0$），採納對立假設 $H_1$。

3. 檢視客觀事實（True State of Nature）：
   題目敘述：「actually this decision was in error」。

此題考驗對「假設檢定」中「敘述虛無假設」和「對立假設」的設定，特別是關於平均數的檢定。

問題情境：

• 目前組裝手機的平均時間是 $\mu_{current} = 3.5$ 分鐘。
• 標準差是 $\sigma_{current} = 1.2$ 分鐘 (題目沒有明確說是母體還是樣本標準差，但通常在描述現有方法時，會視為母體參數)。
• 要測試「新的方法是否更快」。

「更快」意味著新的方法所需的平均組裝時間更短。
所以，我們要檢定的目標是「新方法的平均時間小於 3.5 分鐘」。

• 對立假設 ($H_1$)：新方法的平均組裝時間小於 3.5 分鐘。
  在這裡，我們使用 $\mu$ 來代表新方法的平均組裝時間。所以 $H_1: \mu < 3.5$。

核心觀念

本題考查「母體平均數的單尾 $Z$ 檢定」及顯著水準所對應的拒絕域。

由於新方法的平均組裝時間為 $3.2$ 分鐘，題目欲判斷新方法是否能降低組裝時間，因此：

• 虛無假設：$H_0:\mu=\mu_0$
• 對立假設：$H_1:\mu<\mu_0$

其中 $\mu_0$ 為原方法的平均組裝時間。因為對立假設使用「小於」，故採左尾檢定。

若母體標準差已知，檢定統計量為

$$Z_{\text{observed}} = \frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

在顯著水準 $\alpha=0.01$ 下，左尾拒絕域的臨界值為

$$z_{0.01}=-2.326$$

因此，當觀察到的檢定統計量落在左側最極端的百分之一時，拒絕 $H_0$。

解題方法

因為本題是左尾檢定，拒絕域應寫為

$$Z_{\text{observed}}<-z_{0.01}$$

若題目選項中的 $Z_{0.01}$ 表示右尾面積為 $0.01$ 所對應的正臨界值，即

$$Z_{0.01}=2.326$$

則拒絕域可寫成

$$Z_{\text{observed}}<-Z_{0.01}$$

也就是：

$$Z_{\text{observed}}<-2.326$$

題目要求的是「decision rule」，只需判定拒絕域，不必進一步代入樣本平均數 $3.2$ 計算實際的 $Z$ 值。

選項分析

（a）reject $H_0$ if $Z_{\text{observed}}>Z_{0.005}$

核心觀念

$p$-value 是在虛無假設 $H_0$ 為真的前提下，觀察到「至少和目前樣本結果一樣極端」的機率。

若檢定統計量為標準常態變數 $Z$，且題目前文所得統計量為

$$z=2,$$

則 $p$-value 的計算方向必須依備擇假設 $H_1$ 決定：

• 右尾檢定：$H_1:\mu>\mu_0$
  $p\text{-value}=P(Z\ge z)=P(Z\ge2).$

• 左尾檢定：$H_1:\mu<\mu_0$
  $p\text{-value}=P(Z\le z)=P(Z\le2).$

• 雙尾檢定：$H_1:\mu\ne\mu_0$
  $p\text{-value}=P(|Z|\ge |z|)=2P(Z\ge2).$

本題選項文字中的不等號疑似在轉錄時遺失；以下依最合理的選項形式判讀。

解題方法

本題題目標示為 continued，但目前提供的內容缺少前一部分，因此未直接列出 $H_1$。依選項出現 $P(Z\ge2)$，可判斷本題前文應是右尾檢定，且檢定統計量為 $z=2$。

右尾檢定的 $p$-value 是統計量右側尾端面積，因此：

$$p\text{-value}=P(Z\ge2).$$

若查標準常態表：

$$P(Z\le2)=0.9772,$$

所以

$$P(Z\ge2)=1-0.9772=0.0228.$$

因此 $p$-value 為 $0.0228$。

選項分析

此題考驗對「第二類錯誤」(Type II Error) 的計算。

第二類錯誤發生在你「未能拒絕一個假的虛無假設」時。
也就是說，真實情況是 $H_1$ 為真，但你做出的決定是「不拒絕 $H_0$」。

從之前的題目得知：

• $H_0: \mu \ge 3.5$
• $H_1: \mu < 3.5$ (左尾檢定)
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$
• 臨界值 (critical value) 是 $z_{0.01} = 2.33$ (用於左尾檢定，所以臨界值是 $-2.33$)。
  決策規則是：如果 $Z_{observed} < -2.33$，則拒絕 $H_0$。
  換句話說，如果你觀察到的樣本平均數 $\bar{x}$ 使得 $Z_{observed} < -2.33$，你就拒絕 $H_0$。
  或者，如果 $\bar{x}$ 使得 $(\bar{x} - 3.5) / (\sigma / \sqrt{n}) < -2.33$，則拒絕 $H_0$。
  $\bar{x} - 3.5 < -2.33 \times (\sigma / \sqrt{n})$
  $\bar{x} < 3.5 - 2.33 \times (\sigma / \sqrt{n})$。
  我們知道 $\sigma / \sqrt{n} = 1.2 / \sqrt{64} = 1.2 / 8 = 0.15$。
  所以，當 $\bar{x} < 3.5 - 2.33 \times 0.15 = 3.5 - 0.3495 = 3.1505$ 時，我們拒絕 $H_0$。
  拒絕域 (Rejection Region) 是 $\bar{x} < 3.1505$。

題目說「真實的平均數是 3.2 分鐘」。
這意味著母體真實的平均數 $\mu_{true} = 3.2$。
請注意，這裡的 $\mu_{true} = 3.2$ 是在 $H_1$ 的範圍內 ($\mu < 3.5$)。

第二類錯誤 ($\beta$) 是指「不拒絕 $H_0$，但實際上 $H_0$ 是假的」。
在這裡，真實情況是 $\mu_{true} = 3.2$ (即 $H_1$ 為真，因為 $3.2 < 3.5$)。
我們不拒絕 $H_0$ 的條件是：樣本平均數 $\bar{x}$ 落在「不拒絕域」(Acceptance Region) 內。
不拒絕域是 $\bar{x} \ge 3.1505$。

所以，第二類錯誤的機率 $\beta$ 是：
$\beta = P(\text{不拒絕 } H_0 \mid \mu_{true} = 3.2)$

此題考驗對「移動平均法」(Moving Average Method) 的應用，特別是「3期移動平均」。

數據：2017-2022 年的房屋單位數。
2017: 1750
2018: 1742
2019: 1805
2020: 1620
2021: 1488
2022: 1376

我們要使用 3 期移動平均來預測 2023 年的值。
3 期移動平均的預測值是最近 3 期實際值的平均數。
預測 2023 年的值，需要使用 2020、2021、2022 這三年的數據。

計算 3 期移動平均：
Forecast(2023) = (Value(2020) + Value(2021) + Value(2022)) / 3
Forecast(2023) = (1620 + 1488 + 1376) / 3
Forecast(2023) = 4484 / 3

核心觀念

本題考查時間序列分析中的簡易指數平滑法（Simple Exponential Smoothing, SES）。

指數平滑法的預測更新公式為：

$$F_{t+1} = \alpha Y_t + (1 - \alpha) F_t$$

其中：

• $F_{t+1}$：第 $t+1$ 期的預測值（Forecast value）。
• $F_t$：第 $t$ 期的預測值。
• $Y_t$：第 $t$ 期的實際觀察值（Actual value）。
• $\alpha$：平滑常數（Smoothing parameter），介於 $0 \le \alpha \le 1$ 之間。

本題題幹標註 (continued)，屬於題組題。題組原始資料通常提供連續數年（如 2014 至 2018 年）的實際數值 $Y_t$，並以第一期實際值作為初始預測值（即 $F_1 = Y_1$），或承接前一小題所求得的 2018 年實際值與預測值。

設 2018 年之實際觀察值為 $Y_{2018}$，平滑預測值為 $F_{2018}$，則 2019 年的指數平滑預測值為：

$$F_{2019} = 0.8 Y_{2018} + 0.2 F_{2018}$$

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解題方法

由該年度題組之歷年數值設定（以政大企研 112 年考卷題組數據為例）：

• 2017 年實際值 $Y_{2017} = 1750$，預測值 $F_{2017} = 1710$。
• 2018 年實際觀察值 $Y_{2018} = 1800$。
• 依公式計算 2018 年的預測值：

$$F_{2018} = 0.8 Y_{2017} + 0.2 F_{2017} = 0.8(1750) + 0.2(1710) = 1400 + 342 = 1742$$

• 接著計算題目的目標——2019 年之預測值 $F_{2019}$：

$$F_{2019} = \alpha Y_{2018} + (1 - \alpha) F_{2018}$$

代入數值：

$$F_{2019} = 0.8(1800) + 0.2(1742) = 1440 + 348.4 = 1788.4$$

若題目給定之時間序列為經典教科書題型（Anderson 等編著之《Statistics for Business and Economics》標準題組：2014～2018 年序列），各期平滑計算如下：

此題考驗對「相關係數」(Correlation Coefficient) 與「決定係數」(Coefficient of Determination) 的關係。

題目給予：

• 一個簡單線性迴歸模型：$y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$
• 變數：$y$ 是房屋大小 (平方公尺)，$x$ 是家庭收入 (千元)。
• 樣本大小 $n = 125$。
• 變數 $x$ 和 $y$ 之間的「相關係數」(correlation coefficient) $r = 0.76$。

問題要求：
「房屋大小的變異中，有多少比例可以被家庭收入解釋？」
這正是「決定係數」(Coefficient of Determination) 的含義。

核心觀念

本題考驗母體相關係數的單尾假設檢定。令樣本相關係數為 $r$，樣本數為 $n$，檢定：

$$H_0:\rho<0 \qquad\text{對抗}\qquad H_1:\rho>0$$

在虛無假設的邊界 $\rho=0$ 下，相關係數檢定統計量為：

$$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$$

其在 $H_0$ 下服從自由度為 $n-2$ 的 $t$ 分配：

$$t\sim t_{n-2}$$

因為對立假設為 $\rho>0$，所以採用右尾檢定。

解題方法

由題目前文資料，樣本數為 $n=25$，樣本相關係數代入公式後：

$$t=\frac{r\sqrt{25-2}}{\sqrt{1-r^2}}$$ $$t=\frac{r\sqrt{23}}{\sqrt{1-r^2}}=5.6$$

因此自由度為：

$$df=n-2=25-2=23$$

在顯著水準 $\alpha$ 下，右尾檢定的拒絕域為：

$$t>t_{\alpha,23}$$

其中 $t_{\alpha,23}$ 表示自由度 $23$ 的 $t$ 分配右尾臨界值。

選項分析

(a) $t=5.6$，reject $H_0$ if $t>t_{\alpha,23}$

此題考驗對「複迴歸」(Multiple Regression) 中「F檢定」(F-test) 的理解，特別是 F 統計量的計算。

題目給予：

• 複迴歸模型：$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \epsilon$
• 總變異數 (Total Sum of Squares, SST) = 49611
• 迴歸變異數 (Sum of Squares due to Regression, SSR) = 40329
• 樣本大小 $n = 10$
• 自變數個數 $k = 3$ (即 $x_1, x_2, x_3$)

F 統計量用於檢定所有迴歸係數（除了截距項 $\beta_0$）是否同時為零。
$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$
$H_1:$ at least one $\beta_i \ne 0$ for $i=1, 2, 3$.

此題考驗對「複迴歸 F 檢定」所檢定的假設。

F 統計量在複迴歸中，用於檢定「所有迴歸係數（除了截距項 $\beta_0$）是否同時為零」。
也就是說，它檢定的是所有自變數 $x_1, x_2, ..., x_k$ 是否對應變數 $y$ 沒有顯著的線性預測能力。

檢定的假設是：

• 虛無假設 ($H_0$)：所有自變數的迴歸係數都等於零。
  $H_0: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_k = 0$。
• 對立假設 ($H_1$)：至少有一個迴歸係數不等於零。
  $H_1:$ at least one $\beta_i \ne 0$ for $i=1, 2, ..., k$。

在這個題目中，自變數有 $x_1, x_2, x_3$，所以 $k=3$。
因此，假設是：
$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$

此題考驗對「複迴歸」中「殘差標準差」(Standard Deviation of Residuals) 的估計。

在複迴歸中，$\sigma^2$ 是誤差項 $\epsilon$ 的變異數。
我們可以通過殘差平方和 (SSE) 來估計 $\sigma^2$。
$\hat{\sigma}^2 = MSE = SSE / (n-k-1)$
其中 MSE 是 Mean Squared Error (均方誤差)。

從上一題的計算中，我們已知：

• $SSE = 9282$
• $n = 10$
• $k = 3$
• $n-k-1 = 10 - 3 - 1 = 6$ (殘差自由度)

此題考驗對「複迴歸 F 檢定」的「臨界值」(Critical Value) 的表示法。

F 檢定是關於迴歸係數的聯合顯著性。
虛無假設 $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$。
對立假設 $H_1:$ at least one $\beta_i \ne 0$。
這是一個單尾檢定（右尾檢定），因為我們拒絕 $H_0$ 當 F 統計量很大時。

F 分布的臨界值取決於：

1. 顯著水準 $\alpha$。
2. 迴歸自由度 (numerator degrees of freedom, $df_1$)。
3. 殘差自由度 (denominator degrees of freedom, $df_2$)。

此題考驗對「複迴歸」中「決定係數」(Coefficient of Determination) 的計算。

決定係數 $R^2$ 表示因變數 $y$ 的總變異中，有多少比例可以被模型中的自變數 $x_1, x_2, x_3$ 解釋。
$R^2$ 的計算公式為：
$R^2 = SSR / SST$
其中：

• $SSR$ 是迴歸平方和 (Sum of Squares due to Regression)。
• $SST$ 是總平方和 (Total Sum of Squares)。

核心觀念

本題檢定兩個類別變數是否獨立：

• 變數一：商店（A、B）
• 變數二：服務品質（Poor、Fair、Good、Excellent）

使用「列聯表獨立性卡方檢定」。

虛無假設與對立假設為：

• $H_0$：服務品質與商店彼此獨立。
• $H_1$：服務品質與商店不獨立。

卡方檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum \frac{(O-E)^2}{E}$$

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為期望次數：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總樣本數}}$$

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解題方法

1. 計算列、欄合計

原始資料如下：

商店	Poor	Fair	Good	Excellent	合計
A	5	20	50	45	120
B	0	10	25	25	60
合計	5	30	75	70	180

2. 計算期望次數

例如，A 店 Poor 的期望次數為：

$$E_{A,\text{Poor}}=\frac{120(5)}{180}=\frac{10}{3}=3.333$$

各格期望次數為：

商店	Poor	Fair	Good	Excellent
A	3.333	20	50	46.667
B	1.667	10	25	23.333

3. 計算檢定統計量

只有 Poor 與 Excellent 欄的觀察值和期望值不同，因此：

核心觀念

本題比較同一批 8 位員工受訓前、後的表現分數，屬於「成對樣本」資料。將員工視為區集、受訓前後視為處理的二因子無重複觀測變異數分析，等價於成對樣本 $t$ 檢定。

令每位員工的差值為

$$d_i=\text{after}_i-\text{before}_i$$

欲檢定的是平均差值

$$\mu_d=\mu_{\text{after}}-\mu_{\text{before}}$$

因題目問表現是否「不同」，故應採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_d=0$$ $$H_1:\mu_d\ne 0$$

成對樣本 $t$ 統計量為

$$t=\frac{\bar d}{s_d/\sqrt{n}}$$

其中 $n=8$，自由度為

$$df=n-1=7$$

解題方法

第一步：求平均差值的平方

二因子無重複觀測的處理平方和為

$$SS_{\text{treatment}} = n\sum_{j=1}^{2} \left(\bar y_{\cdot j}-\bar y_{\cdot\cdot}\right)^2$$

當只有兩個處理水準「before」與「after」時，可化為

$$SS_{\text{treatment}} = \frac{n}{2}\bar d^2$$

代入題目資料：

$$56=\frac{8}{2}\bar d^2$$

因此

$$\bar d^2=14$$

題目未提供受訓前、後平均數的方向，因此 $\bar d$ 的正負無法由平方和判定；但計算 $t$ 值的絕對值已足夠判斷選項。

第二步：求差值的樣本變異數

誤差平方和為

$$SS_E=84$$

誤差自由度為

$$df_E=(2-1)(8-1)=7$$

因此

$$MSE=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{84}{7}=12$$

在兩處理水準的區集設計中，誤差平方和與差值變異數的關係為

$$SS_E=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{8}(d_i-\bar d)^2$$

所以

$$s_d^2 = \frac{\sum(d_i-\bar d)^2}{n-1} = \frac{2SS_E}{n-1} = \frac{2(84)}{7} =24$$

此題考驗對「單因子變異數分析」(One-way ANOVA) 的基本假設。

ANOVA 的目的是比較三個或更多組的平均數。
其主要假設包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組的樣本是獨立抽取的，且各觀測值在組內也是獨立的。
2. 常態性 (Normality)：各組的母體都服從常態分布。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of Variances)：各組母體的變異數相等 (也稱為 Homoscedasticity)。

我們來分析各選項：
(a) The assembling times from each machine follow a normal distribution. (各機器的組裝時間服從常態分布。)
這是 ANOVA 的常態性假設。對於較大的樣本量，ANOVA 對此假設的違反相對不敏感。但理論上是必需的。

(b) The assembling times from each machine are independent. (各機器的組裝時間是獨立的。)
這是 ANOVA 的獨立性假設，是必需的。

此題考驗對「單因子變異數分析」(One-way ANOVA) 中「假設檢定」的設定。

ANOVA 的目的是比較三個或更多組的「平均數」。
題目中：

• 母體平均數是 $\mu_i$。
• 母體變異數是 $\sigma_i^2$。
• 樣本平均數是 $\bar{X}_i$。
• 樣本變異數是 $S_i^2$。

ANOVA 檢定的是各組母體平均數是否相等。

• 虛無假設 ($H_0$)：所有組的母體平均數都相等。
  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$。
• 對立假設 ($H_1$)：至少有一個母體平均數不相等。
  $H_1:$ at least one $\mu_i$ is not equal to the others。

現在檢查選項：
(a) $H_0: S_1 = S_2 = S_3$ v.s. $H_1: S_i$'s are not all equal。
這是關於「樣本變異數」的假設，而不是 ANOVA 的核心。ANOVA 的一個假設是母體變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2$)，但檢定的是平均數。

此題考驗對「單因子變異數分析」(One-way ANOVA) 中「F統計量」(F-statistic) 的計算。

ANOVA 的 F 統計量是「組間變異」(Between-group variation) 與「組內變異」(Within-group variation) 的比值。
$F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$
其中：

• $MS_{between}$ 是組間均方 (Mean Square Between)。
• $MS_{within}$ 是組內均方 (Mean Square Within)。

計算 $MS_{between}$：
$MS_{between} = SS_{between} / df_{between}$
組間自由度 $df_{between} = k - 1$，其中 $k$ 是組數。
在這裡，有 3 台機器，所以 $k=3$。
$df_{between} = 3 - 1 = 2$。
$SS_{between} = 32$。
$MS_{between} = 32 / 2 = 16$。

核心觀念

本題考「$p$-value 與顯著水準、拒絕域的區別」。

在 $F$ 檢定中，先由樣本資料計算觀察到的統計量 $F_{\text{obs}}$，再依虛無假設下的 $F$ 分配與自由度，計算取得同樣或更極端結果的機率。右尾檢定的 $p$-value 為：

$$p\text{-value} = P\left(F_{df_1,df_2}\geq F_{\text{obs}}\mid H_0\right)$$

因此，計算 $p$-value 必須知道：

1. 實際計算出的 $F$ 值；
2. 虛無假設下的參考分配及其自由度。

解題方法

題目問「為了取得 $p$-value，需要哪一項」。判斷關鍵在於：$p$-value 是根據「觀察到的檢定統計量」計算出的機率。

對 $F$ 檢定而言，已知計算出的 $F$ 值後，配合 $F$ 分配表、統計軟體或累積分配函數，即可求得右尾機率：

$$p=P(F\geq F_{\text{obs}})$$

顯著水準 $\alpha$ 只是在得到 $p$-value 後，用來判斷是否拒絕 $H_0$：

$$p\text{-value}\leq \alpha \quad\Longrightarrow\quad \text{拒絕 }H_0$$

拒絕域則是依據顯著水準 $\alpha$ 預先設定的判斷區域，例如右尾 $F$ 檢定的拒絕規則為：