113 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）甲組《統計學》

本題在考驗關於母體參數的陳述，其定義為何。

• (a) 抽樣分配 (Sampling distribution) 指的是從母體中抽取多個樣本，計算樣本統計量（例如樣本平均數）後，這些樣本統計量的機率分佈。
• (b) 假設 (Hypothesis) 是對母體參數（如母體平均數 $\mu$ 或母體比例 $p$）所做的一種陳述，這個陳述是我們想要透過樣本資料來檢定的。

本題要求根據三個班級的測驗分數直方圖，判斷哪一個班級的平均數 (mean) 和中位數 (median) 最高。

觀察直方圖：

• Class 1: 分數分佈大致對稱，集中在 60-90 之間。
• Class 2: 分數呈現右偏 (positively skewed) 或稱正偏態，大部分分數集中在左側 (較低分)，有少數高分。
• Class 3: 分數呈現左偏 (negatively skewed) 或稱負偏態，大部分分數集中在右側 (較高分)，有少數低分。

平均數 (Mean):
平均數會受到極端值（離群值）的影響。

• 右偏分佈的平均數通常大於中位數。
• 左偏分佈的平均數通常小於中位數。
• 對稱分佈的平均數和中位數較接近。

中位數 (Median):
中位數是將資料排序後，位於中間位置的數值。在直方圖中，中位數大致是累積頻率達到 50% 的位置。

核心觀念

箱型圖以第一四分位數 $Q_1$、中位數 $Q_2$、第三四分位數 $Q_3$ 和鬚線呈現分布位置與形狀。盒子長度是四分位距：

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$

對稱分布的中位數通常接近盒子中央；左偏分布常有較長的下鬚，且數值集中在較高的一端。近似均勻分布則四分位數大致均勻分散。

解題方法

先辨認三個直方圖的形狀，再對照箱型圖：

• Class 1 的分數集中在中間、兩側逐漸減少，呈近似鐘形的對稱分布。箱型圖中 B 的盒子較窄、位置居中，兩側鬚線較長，符合中央集中、尾端延伸的分布。
• Class 2 的分數較集中於高分端，低分方向延伸較長，呈左偏。箱型圖 C 的盒子位於高分端，下鬚較長，符合此形狀。
• Class 3 各分數區間的學生數大致相近，近似均勻分布。

核心觀念

本題考查：

• 已知母體標準差 $\sigma$ 時，母體平均數的單一樣本 $z$ 檢定。
• 左尾檢定的 $p$ 值計算。
• 標準化統計量：

$$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

其中：

• $\mu_0=10$：虛無假設中的母體平均數
• $\sigma=4$：母體標準差
• $n=16$：樣本數
• $\bar{x}=12$：樣本平均數

題目設定為：

$$H_0:\mu=10,\qquad H_a:\mu<10$$

由於對立假設是 $\mu<10$，因此屬於左尾檢定。

解題方法

在虛無假設成立時，樣本平均數的抽樣分配為：

$$\bar{X}\sim N\left(10,\frac{4}{\sqrt{16}}\right)$$

樣本平均數的標準誤為：

$$SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{4}{\sqrt{16}} =\frac{4}{4} =1$$

計算檢定統計量：

$$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{SE} =\frac{12-10}{1} =2$$

因為是左尾檢定，$p$ 值為觀察到的 $z=2$ 左側的標準常態機率：

$$p\text{-value}=P(Z\leq 2)$$

查標準常態分配表：

$$P(Z\leq 2)=0.9772$$

因此：

核心觀念

本題評量雙尾假設檢定（Two-tailed Hypothesis Test）與信賴區間（Confidence Interval, CI）的對偶性（Duality）。

1. 雙尾檢定與信賴區間的對等關係：
   在顯著水準 $\alpha$ 下檢定雙尾假設： $$H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu \neq \mu_0$$ 此檢定與 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 的雙尾信賴區間存在以下嚴格等價關係：
   • 若 $p\text{-value} < \alpha$（在顯著水準 $\alpha$ 下拒絕 $H_0$），則 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間不包含 $\mu_0$（$\mu_0 \notin \text{CI}$）。
   • 若 $p\text{-value} \ge \alpha$（在顯著水準 $\alpha$ 下不拒絕 $H_0$），則 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間包含 $\mu_0$（$\mu_0 \in \text{CI}$）。

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解題方法

題目給定已知母體標準差 $\sigma = 2.5$，檢定雙尾假設 $H_0: \mu = 1 \text{ vs. } H_a: \mu \neq 1$，求得之 $p\text{-value} = 0.022$。

利用各信賴水準 $1 - \alpha$ 對應的顯著水準 $\alpha$，比對 $p\text{-value}$ 與 $\alpha$ 的大小關係：

1. 信賴區間包含 $\mu_0 = 1$ 的充要條件： $$\mu_0 \in (1 - \alpha)\text{ CI} \iff \text{不拒絕 } H_0 \iff p\text{-value} \ge \alpha \iff 0.022 \ge \alpha$$ 亦即顯著水準必須滿足 $\alpha \le 0.022$。
2. 換算為信賴水準 $1 - \alpha$： $$1 - \alpha \ge 1 - 0.022 = 0.978 = 97.8\%$$

核心觀念

本題考查常態分配與 $68$-$95$-$99.7$ 法則：

• 約 $68\%$ 的觀測值落在平均數 $\pm 1$ 個標準差內。
• 約 $95\%$ 的觀測值落在平均數 $\pm 2$ 個標準差內。
• 約 $99.7\%$ 的觀測值落在平均數 $\pm 3$ 個標準差內。

已知考試完成時間的平均數為 $70$ 分鐘，標準差為 $10$ 分鐘。

解題方法

一小時等於 $60$ 分鐘。計算 $60$ 分鐘距離平均數的位置：

$$60=70-10$$

因此，$60$ 分鐘正好位於平均數左側 $1$ 個標準差的位置。

依 $68$-$95$-$99.7$ 法則，落在平均數 $\pm 1$ 個標準差內的比例約為 $68\%$，也就是完成時間介於 $60$ 分鐘至 $80$ 分鐘的學生約占 $68\%$。

常態分配左右對稱，因此平均數左側一個標準差以外的比例為：

$$\frac{100\%-68\%}{2}=16\%$$

「在一小時內完成」即完成時間低於 $60$ 分鐘，所以比例約為：

$$\boxed{16\%}$$

選項分析

核心觀念

本題考查「樣本平均數的抽樣分配」與「中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）」。

設母體平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$，從母體抽取大小為 $n$ 的簡單隨機樣本 $X_1,\ldots,X_n$，樣本平均數為

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

其期望值與變異數為

$$E(\bar X)=\mu$$ $$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}$$

因此，樣本平均數的標準誤為

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

中央極限定理指出：在母體具有有限平均數與有限變異數等適當條件下，當樣本數 $n$ 充分大時，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配：

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)$$

重點在於「當 $n$ 充分大時趨近常態」，並不是「任何樣本數都必然為常態」。

解題方法

本題各選項都使用了「any size」或「only」等絕對化敘述。判斷時應直接對照中央極限定理的正確內容：

1. 母體不必是常態分配。
2. 樣本數必須充分大，才能主張近似常態。
3. 只有在母體本身為常態分配時，樣本平均數才會在任意樣本數下精確服從常態分配。

由此可知，三個敘述均不符合中央極限定理，正確答案為 (d)。

選項分析

(a) 錯誤

if we draw a simple random sample of any size from any population the sampling distribution of the sample mean will be exactly Normal

此敘述錯在「any size」、「any population」以及「exactly Normal」。

若母體本身為常態分配，即

$$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$$

則不論樣本數 $n$ 多寡，樣本平均數皆精確服從常態分配：

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

本題考驗兩個獨立樣本平均數差的標準誤 (Standard Error of the Difference between Two Means) 的計算。

已知資訊：

• 樣本 1：
  • 樣本大小 $n_1 = 30$
  • 母體平均數 $\mu_1 = 78$
  • 母體標準差 $\sigma_1 = 12$
• 樣本 2：
  • 樣本大小 $n_2 = 36$
  • 母體平均數 $\mu_2 = 85$
  • 母體標準差 $\sigma_2 = 15$
• 兩個樣本是獨立抽取的。

我們需要計算 $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$ 的標準誤。
標準誤的公式為：
$SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$

將已知數值代入公式：
$SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \sqrt{\frac{12^2}{30} + \frac{15^2}{36}}$

核心觀念

本題評量**常態分配（Normal Distribution）**的百分位數（Percentile）與標準化反推應用。

1. 常態分配標準化（Standardization）與反推公式：
   若隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其標準化變數為： $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$ 已知標準常態分配的分位數 $Z$ 時，可反求原始分數 $X$： $$X = \mu + Z \cdot \sigma$$
2. 標準常態分配的常見臨界值（Critical Values）：
   第 95 百分位數（即累積機率為 0.95，右尾機率為 0.05）對應之標準常態分位數為： $$Z_{0.95} \approx 1.645$$

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解題方法

1. 定義變數與給定條件：
   設數學測驗成績為隨機變數 $X$。
   由題意可知：

   • 平均數 $\mu = 70$
   • 標準差 $\sigma = 5$
   • $X \sim N(70, 5^2)$
   • Stacey 的成績位於第 95 百分位數，即 $P(X \le x) = 0.95$。

2. 找出對應的標準常態值 $Z$：

   $$P(Z \le z) = 0.95 \implies z \approx 1.645$$

3. 反推實際測驗分數：
   利用 $x = \mu + z\sigma$ 進行計算：

   $$x = 70 + 1.645 \times 5 = 70 + 8.225 = 78.225$$

核心觀念

這題考的是簡單線性迴歸中，對斜率進行單尾 $t$ 檢定。模型可寫為

$$Y=\beta_0+\beta_1x+\varepsilon$$

其中 $\beta_1$ 表示市場報酬率 $x$ 每增加一單位時，股票報酬率 $Y$ 的平均變化量。要判斷是否有「正向線性關係」，即檢定母體斜率是否大於 $0$：

$$H_0:\beta_1\leq 0,\qquad H_1:\beta_1>0$$

簡單線性迴歸估計斜率的檢定統計量為

$$t=\frac{b_1-0}{SE(b_1)}$$

樣本數為 $n=12$，因此自由度為 $n-2=10$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，單尾臨界值為 $t_{0.95,10}\approx1.812$。當檢定統計量大於 $1.812$，才有證據支持正向線性關係。

解題方法

逐家公司計算斜率的 $t$ 值，並與 $1.812$ 比較：

公司	斜率估計 $b_1$	標準誤 $SE(b_1)$	$t=b_1/SE(b_1)$	判斷
A	$-1.40$	$0.30$	$-4.67$	斜率估計為負，不支持正向關係
B	$-1.21$	$0.60$	$-2.02$	斜率估計為負，不支持正向關係

本題要求進行配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)，以檢定兩種飲食方案對雙生羔羊體重的影響。由於是雙生羔羊，同一對的兩隻羔羊體重可能受到遺傳等因素的影響而有較強的相關性，因此使用配對樣本 t 檢定比獨立樣本 t 檢定更為合適。

步驟 1：設定假設

• 虛無假設 $H_0$: 兩種飲食方案對體重沒有差異，或 Diet II 體重較優。 $\mu_D \ge 0$
• 對立假設 $H_a$: Diet I 偏好於 Diet II，表示 Diet I 的體重較 Diet II 高。 $\mu_D > 0$
  這裡的 $\mu_D$ 是 Diet I 的體重與 Diet II 的體重之差的母體平均數。
  我們計算差值 $d = \text{Diet I} - \text{Diet II}$。
  $H_0: \mu_d = 0$ (或 $\mu_d \le 0$，若考慮到 Diet II 體重較優的情況)
  $H_a: \mu_d > 0$ (Diet I 體重較高)
  顯著水準 $\alpha = 0.10$。

步驟 2：計算差值 (d) 和樣本統計量
我們計算每一對雙生羔羊的體重差值 $d_i = \text{Diet I}_i - \text{Diet II}_i$：

Pair	Diet I	Diet II	Difference (d)
1	111	97	14
2	102	90	12
3	90	96	-6
4	110	95	15
5	108	110	-2
6	125	107	18
7	99	85	14

樣本大小 $n = 7$。

計算差值的樣本平均數 $\bar{d}$：
$\bar{d} = \frac{14 + 12 + (-6) + 15 + (-2) + 18 + 14}{7} = \frac{65}{7} \approx 9.2857$

計算差值的樣本標準差 $s_d$：
首先計算差值的平方和 $SS_d = \sum (d_i - \bar{d})^2$。
$d_i - \bar{d}$:
$14 - 9.2857 = 4.7143$
$12 - 9.2857 = 2.7143$
$-6 - 9.2857 = -15.2857$
$15 - 9.2857 = 5.7143$
$-2 - 9.2857 = -11.2857$
$18 - 9.2857 = 8.7143$
$14 - 9.2857 = 4.7143$

$(d_i - \bar{d})^2$:
$4.7143^2 \approx 22.2247$
$2.7143^2 \approx 7.3674$
$(-15.2857)^2 \approx 233.647$
$5.7143^2 \approx 32.653$

a. 檢定是否令人信服？

這個檢定是令人信服的。原因如下：

1. 適當的統計方法: 題目中提到了「7 pairs of twin male lambs」，這表示樣本是成對的。對於成對數據，使用配對樣本 t 檢定 (Paired t-test) 是最合適的統計方法，因為它可以控制成對個體之間的變異性（例如遺傳差異），從而提高檢定的統計能力。它能夠更有效地檢測兩種飲食方案之間的差異。
2. 顯著的結果: 我們計算出的檢定統計量 $t \approx 2.636$，其 p-value 約為 0.018。在顯著水準 $\alpha = 0.10$ 下，p-value 小於 $\alpha$，因此我們拒絕了虛無假設，得出結論認為 Diet I 確實能讓羔羊獲得更高的體重。這個結果是統計上顯著的，意味著觀察到的差異不太可能是由於隨機變異造成的。
3. 方向性: 對立假設設定為 Diet I 偏好於 Diet II ($\mu_d > 0$)，這是一個單尾檢定。我們的結果也支持了這種方向性。

b. 是否有其他更好的檢定程序？

從統計學的角度來看，對於這種成對數據，配對樣本 t 檢定已經是相當有效和常用的方法。然而，配對樣本 t 檢定有一個關鍵的假設：差值 $d_i$ 服從常態分佈。

如果這個假設未能滿足，我們可能需要考慮其他檢定方法：

1. Wilcoxon 符號檢定 (Wilcoxon Signed-Rank Test):
   • 這是一種非參數檢定方法，不需要差值服從常態分佈的假設。
   • 它基於差值的符號和排序，而不是差值的實際數值。

核心觀念

本題考查條件機率與「不放回抽樣」的概念。若球從盒中逐一抽出且不放回，已知第一球為藍球後，盒中藍球數量會減少 $1$，總球數也會減少 $1$。

設原本有：

• $B$ 顆藍球；
• $N$ 顆球總數。

則第一球為藍球後，剩下 $B-1$ 顆藍球與 $N-1$ 顆球。

解題方法

依條件機率定義，

$$P(\text{第二球藍} \mid \text{第一球藍}) = \frac{P(\text{第一球藍且第二球藍})} {P(\text{第一球藍})}.$$

在已知第一球為藍球的條件下，直接觀察剩餘球中藍球所占比例：

$$P(\text{第二球藍} \mid \text{第一球藍}) = \frac{B-1}{N-1}.$$

若以藍球數 $B$ 與非藍球數 $R$ 表示，因為 $N=B+R$，答案也可寫成

本題要求進行一個雙樣本比例檢定 (Two-sample proportion test)，以比較兩家公司的索賠比例。公司 B 希望證明其索賠比例低於公司 A（即更優）。

步驟 1：設定檢定假設

• 令 $p_A$ 為公司 A 的索賠比例，$p_B$ 為公司 B 的索賠比例。
• 公司 B 希望證明其公司「優越」，這意味著其索賠比例較低。所以，我們希望檢定 $p_B < p_A$。
• 虛無假設 $H_0$: $p_B \ge p_A$ (公司 B 的索賠比例不低於公司 A)
• 對立假設 $H_a$: $p_B < p_A$ (公司 B 的索賠比例低於公司 A)
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟 2：計算樣本比例和總體比例

• 公司 A：
  • 樣本大小 $n_A = 800$
  • 索賠數量 $x_A = 200$
  • 樣本比例 $\hat{p}_A = \frac{x_A}{n_A} = \frac{200}{800} = 0.25$
• 公司 B：
  • 樣本大小 $n_B = 600$
  • 索賠數量 $x_B = 100$
  • 樣本比例 $\hat{p}_B = \frac{x_B}{n_B} = \frac{100}{600} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$

由於我們進行假設檢定，特別是比較比例，我們需要計算合併比例 (pooled proportion) $\hat{p}_{pool}$，假設虛無假設為真（即 $p_A = p_B$）。
$\hat{p}_{pool} = \frac{x_A + x_B}{n_A + n_B} = \frac{200 + 100}{800 + 600} = \frac{300}{1400} = \frac{3}{14} \approx 0.2143$

本題要求使用卡方檢定 (Chi-square test) 來比較兩家公司的索賠比例。這通常是採用獨立性檢定 (Test of Independence) 或同質性檢定 (Test of Homogeneity) 的形式來進行。在此情境下，我們是在比較兩個獨立樣本（來自公司 A 和公司 B）在索賠比例上的分布是否相同，因此可以視為一個同質性檢定，或者將其視為一個檢定兩個比例是否相等的卡方檢定。

步驟 1：建立列聯表 (Contingency Table)
首先，我們將給定的數據整理成一個 $2 \times 2$ 的列聯表：

	Claim ≥ $100	No Claim < $100	Total
Company A	200	800 - 200 = 600	800
Company B	100	600 - 100 = 500	600
Total	300	1100	1400

步驟 2：設定檢定假設
卡方檢定通常是用來檢定兩個分類變數之間是否獨立，或者兩個群體在某個分類變數上的比例分佈是否相同。

• 虛無假設 $H_0$: 兩家公司的索賠比例相同（即索賠情況與公司無關）。
  • 用比例表示：$p_A = p_B$
  • 用獨立性表示：索賠情況（Claim/No Claim）與公司（A/B）是獨立的。
• 對立假設 $H_a$: 兩家公司的索賠比例不同（即索賠情況與公司有關）。
  • 用比例表示：$p_A \neq p_B$
  • 用獨立性表示：索賠情況與公司之間存在關聯。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟 3：計算期望次數 (Expected Frequencies)
在虛無假設為真的情況下，我們預期各個單元的次數。
期望次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row i Total}) \times (\text{Column j Total})}{\text{Grand Total}}$

• $E_{A, Claim} = \frac{800 \times 300}{1400} = \frac{240000}{1400} = \frac{2400}{14} = \frac{1200}{7} \approx 171.43$
• $E_{A, No Claim} = \frac{800 \times 1100}{1400} = \frac{880000}{1400} = \frac{8800}{14} = \frac{4400}{7} \approx 628.57$
• $E_{B, Claim} = \frac{600 \times 300}{1400} = \frac{180000}{1400} = \frac{1800}{14} = \frac{900}{7} \approx 128.57$
• $E_{B, No Claim} = \frac{600 \times 1100}{1400} = \frac{660000}{1400} = \frac{6600}{14} = \frac{3300}{7} \approx 471.43$

本題是 ANOVA (變異數分析) 的應用題，首先要求設定虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_a$)。
ANOVA 的目的是比較三個或更多群體的平均數是否存在顯著差異。
在這個情境中，我們有三個不同的教育程度群體（High School or less, Undergraduate Degree, Master's Degree or More），我們想知道這三個群體的平均年收入是否存在差異。

設定假設：

• 令 $\mu_1$ 為「High School or less」教育程度的群體平均年收入。
• 令 $\mu_2$ 為「Undergraduate Degree」教育程度的群體平均年收入。

核心觀念

本題考察單因子變異數分析（one-way ANOVA）表的填寫，以及均方誤差的定義：

$$MSE=\frac{SSE}{df_E}$$

其中：

• $SSE$：誤差平方和
• $df_E$：誤差自由度
• $MSE$：誤差均方

若共有 $k$ 組、總樣本數為 $n$，則：

$$df_E=n-k$$

因此，已知 $MSE=243.7$ 時，

$$SSE=243.7(n-k)$$

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解題方法

單因子 ANOVA 表的基本架構如下：

變異來源	平方和（SS）	自由度（df）	均方（MS）	$F$ 值
組間（Treatment）	$SSTR$	$k-1$	$\displaystyle MSTR=\frac{SSTR}{k-1}$	$\displaystyle F=\frac{MSTR}{MSE}$
組內／誤差（Error）	$SSE$	$n-k$	$MSE=243.7$	—
總和（Total）	$SST$	$n-1$	—	—

其中平方和滿足：

$$SST=SSTR+SSE$$

因為題目只提供 $MSE=243.7$，所以誤差列可以直接寫成：

$$MS_E=243.7$$

若已知總樣本數 $n$ 與組數 $k$，則：

$$df_E=n-k$$ $$SSE=243.7(n-k)$$

若同時由題目前文取得組間平方和 $SSTR$，則：

$$MSTR=\frac{SSTR}{k-1}$$ $$F=\frac{MSTR}{243.7} =\frac{SSTR}{243.7(k-1)}$$

最後：

$$SST=SSTR+243.7(n-k)$$

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本題要求計算 ANOVA 的檢定統計量 (F 統計量) 並在 5% 的顯著水準下進行假設檢定。
這部分是承接上一題的 ANOVA 表建構。

步驟 1：設定假設 (已在題組 a 設定)

• $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
• $H_a: \text{至少有一個 } \mu_i \neq \mu_j \text{ 對於 } i \neq j$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟 2：計算檢定統計量 (F 統計量)
檢定統計量是組間均方 (MSB) 與組內均方 (MSW) 的比值。
$F = \frac{MSB}{MSW}$
從上一題的 ANOVA 表中，我們得到：
$MSB \approx 2167.14$
$MSW = 243.70$

$F = \frac{2167.14}{243.70} \approx 8.89$

步驟 3：確定 p-value 並做出結論
F 統計量的自由度為：

• 分子自由度 (組間自由度) $df_1 = df_{Between} = 2$

本題要求計算兩個群體（Undergraduate Degree 和 Master's Degree or More）平均年收入差異的 95% 信賴區間。
這是一個後續檢定 (Post-hoc test) 的概念，當 ANOVA 檢定結果顯著時，我們通常會進一步檢定哪些群體之間存在差異。

步驟 1：定義感興趣的群體和差異

• 群體 2 (Undergraduate Degree): $n_2 = 11$, $\bar{x}_2 = 76.3$
• 群體 3 (Master's Degree or More): $n_3 = 12$, $\bar{x}_3 = 78.3$
  我們感興趣的是這兩個群體平均年收入的差異：$\mu_3 - \mu_2$ (或 $\mu_2 - \mu_3$)。
  通常，我們將較大的平均數減去較小的平均數，這樣差異會是正的。我們計算 $\mu_3 - \mu_2$。

步驟 2：計算差異的標準誤 (Standard Error of the Difference)
對於 ANOVA 中的多重比較，我們使用組內均方 (MSW) 作為變異數的估計。
差異的標準誤公式為：
$SE(\bar{x}_i - \bar{x}_j) = \sqrt{MSW \left( \frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j} \right)}$
在這裡，$i=3$ (Master's), $j=2$ (Undergraduate)。
$MSW = 243.7$ (來自上一題)
$n_3 = 12$, $n_2 = 11$

$SE(\bar{x}_3 - \bar{x}_2) = \sqrt{243.7 \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{11} \right)}$
$SE(\bar{x}_3 - \bar{x}_2) = \sqrt{243.7 \left( \frac{11 + 12}{12 \times 11} \right)}$
$SE(\bar{x}_3 - \bar{x}_2) = \sqrt{243.7 \left( \frac{23}{132} \right)}$

本題在考驗關於母體參數的陳述，其定義為何。

• (a) 抽樣分配 (Sampling distribution) 指的是從母體中抽取多個樣本，計算樣本統計量（例如樣本平均數）後，這些樣本統計量的機率分佈。
• (b) 假設 (Hypothesis) 是對母體參數（如母體平均數 $\mu$ 或母體比例 $p$）所做的一種陳述，這個陳述是我們想要透過樣本資料來檢定的。

本題要求根據三個班級的測驗分數直方圖，判斷哪一個班級的平均數 (mean) 和中位數 (median) 最高。

觀察直方圖：

• Class 1: 分數分佈大致對稱，集中在 60-90 之間。
• Class 2: 分數呈現右偏 (positively skewed) 或稱正偏態，大部分分數集中在左側 (較低分)，有少數高分。
• Class 3: 分數呈現左偏 (negatively skewed) 或稱負偏態，大部分分數集中在右側 (較高分)，有少數低分。

平均數 (Mean):
平均數會受到極端值（離群值）的影響。

• 右偏分佈的平均數通常大於中位數。
• 左偏分佈的平均數通常小於中位數。
• 對稱分佈的平均數和中位數較接近。

中位數 (Median):
中位數是將資料排序後，位於中間位置的數值。在直方圖中，中位數大致是累積頻率達到 50% 的位置。

核心觀念

箱型圖以第一四分位數 $Q_1$、中位數 $Q_2$、第三四分位數 $Q_3$ 和鬚線呈現分布位置與形狀。盒子長度是四分位距：

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$

對稱分布的中位數通常接近盒子中央；左偏分布常有較長的下鬚，且數值集中在較高的一端。近似均勻分布則四分位數大致均勻分散。

解題方法

先辨認三個直方圖的形狀，再對照箱型圖：

• Class 1 的分數集中在中間、兩側逐漸減少，呈近似鐘形的對稱分布。箱型圖中 B 的盒子較窄、位置居中，兩側鬚線較長，符合中央集中、尾端延伸的分布。
• Class 2 的分數較集中於高分端，低分方向延伸較長，呈左偏。箱型圖 C 的盒子位於高分端，下鬚較長，符合此形狀。
• Class 3 各分數區間的學生數大致相近，近似均勻分布。

核心觀念

本題考查：

• 已知母體標準差 $\sigma$ 時，母體平均數的單一樣本 $z$ 檢定。
• 左尾檢定的 $p$ 值計算。
• 標準化統計量：

$$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

其中：

• $\mu_0=10$：虛無假設中的母體平均數
• $\sigma=4$：母體標準差
• $n=16$：樣本數
• $\bar{x}=12$：樣本平均數

題目設定為：

$$H_0:\mu=10,\qquad H_a:\mu<10$$

由於對立假設是 $\mu<10$，因此屬於左尾檢定。

解題方法

在虛無假設成立時，樣本平均數的抽樣分配為：

$$\bar{X}\sim N\left(10,\frac{4}{\sqrt{16}}\right)$$

樣本平均數的標準誤為：

$$SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{4}{\sqrt{16}} =\frac{4}{4} =1$$

計算檢定統計量：

$$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{SE} =\frac{12-10}{1} =2$$

因為是左尾檢定，$p$ 值為觀察到的 $z=2$ 左側的標準常態機率：

$$p\text{-value}=P(Z\leq 2)$$

查標準常態分配表：

$$P(Z\leq 2)=0.9772$$

因此：

核心觀念

本題評量雙尾假設檢定（Two-tailed Hypothesis Test）與信賴區間（Confidence Interval, CI）的對偶性（Duality）。

1. 雙尾檢定與信賴區間的對等關係：
   在顯著水準 $\alpha$ 下檢定雙尾假設： $$H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu \neq \mu_0$$ 此檢定與 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 的雙尾信賴區間存在以下嚴格等價關係：
   • 若 $p\text{-value} < \alpha$（在顯著水準 $\alpha$ 下拒絕 $H_0$），則 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間不包含 $\mu_0$（$\mu_0 \notin \text{CI}$）。
   • 若 $p\text{-value} \ge \alpha$（在顯著水準 $\alpha$ 下不拒絕 $H_0$），則 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間包含 $\mu_0$（$\mu_0 \in \text{CI}$）。

---

解題方法

題目給定已知母體標準差 $\sigma = 2.5$，檢定雙尾假設 $H_0: \mu = 1 \text{ vs. } H_a: \mu \neq 1$，求得之 $p\text{-value} = 0.022$。

利用各信賴水準 $1 - \alpha$ 對應的顯著水準 $\alpha$，比對 $p\text{-value}$ 與 $\alpha$ 的大小關係：

1. 信賴區間包含 $\mu_0 = 1$ 的充要條件： $$\mu_0 \in (1 - \alpha)\text{ CI} \iff \text{不拒絕 } H_0 \iff p\text{-value} \ge \alpha \iff 0.022 \ge \alpha$$ 亦即顯著水準必須滿足 $\alpha \le 0.022$。
2. 換算為信賴水準 $1 - \alpha$： $$1 - \alpha \ge 1 - 0.022 = 0.978 = 97.8\%$$

核心觀念

本題考查常態分配與 $68$-$95$-$99.7$ 法則：

• 約 $68\%$ 的觀測值落在平均數 $\pm 1$ 個標準差內。
• 約 $95\%$ 的觀測值落在平均數 $\pm 2$ 個標準差內。
• 約 $99.7\%$ 的觀測值落在平均數 $\pm 3$ 個標準差內。

已知考試完成時間的平均數為 $70$ 分鐘，標準差為 $10$ 分鐘。

解題方法

一小時等於 $60$ 分鐘。計算 $60$ 分鐘距離平均數的位置：

$$60=70-10$$

因此，$60$ 分鐘正好位於平均數左側 $1$ 個標準差的位置。

依 $68$-$95$-$99.7$ 法則，落在平均數 $\pm 1$ 個標準差內的比例約為 $68\%$，也就是完成時間介於 $60$ 分鐘至 $80$ 分鐘的學生約占 $68\%$。

常態分配左右對稱，因此平均數左側一個標準差以外的比例為：

$$\frac{100\%-68\%}{2}=16\%$$

「在一小時內完成」即完成時間低於 $60$ 分鐘，所以比例約為：

$$\boxed{16\%}$$

選項分析

核心觀念

本題考查「樣本平均數的抽樣分配」與「中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）」。

設母體平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$，從母體抽取大小為 $n$ 的簡單隨機樣本 $X_1,\ldots,X_n$，樣本平均數為

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

其期望值與變異數為

$$E(\bar X)=\mu$$ $$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}$$

因此，樣本平均數的標準誤為

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

中央極限定理指出：在母體具有有限平均數與有限變異數等適當條件下，當樣本數 $n$ 充分大時，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配：

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)$$

重點在於「當 $n$ 充分大時趨近常態」，並不是「任何樣本數都必然為常態」。

解題方法

本題各選項都使用了「any size」或「only」等絕對化敘述。判斷時應直接對照中央極限定理的正確內容：

1. 母體不必是常態分配。
2. 樣本數必須充分大，才能主張近似常態。
3. 只有在母體本身為常態分配時，樣本平均數才會在任意樣本數下精確服從常態分配。

由此可知，三個敘述均不符合中央極限定理，正確答案為 (d)。

選項分析

(a) 錯誤

if we draw a simple random sample of any size from any population the sampling distribution of the sample mean will be exactly Normal

此敘述錯在「any size」、「any population」以及「exactly Normal」。

若母體本身為常態分配，即

$$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$$

則不論樣本數 $n$ 多寡，樣本平均數皆精確服從常態分配：

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

本題考驗兩個獨立樣本平均數差的標準誤 (Standard Error of the Difference between Two Means) 的計算。

已知資訊：

• 樣本 1：
  • 樣本大小 $n_1 = 30$
  • 母體平均數 $\mu_1 = 78$
  • 母體標準差 $\sigma_1 = 12$
• 樣本 2：
  • 樣本大小 $n_2 = 36$
  • 母體平均數 $\mu_2 = 85$
  • 母體標準差 $\sigma_2 = 15$
• 兩個樣本是獨立抽取的。

我們需要計算 $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$ 的標準誤。
標準誤的公式為：
$SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$

將已知數值代入公式：
$SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \sqrt{\frac{12^2}{30} + \frac{15^2}{36}}$

核心觀念

本題評量**常態分配（Normal Distribution）**的百分位數（Percentile）與標準化反推應用。

1. 常態分配標準化（Standardization）與反推公式：
   若隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其標準化變數為： $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$ 已知標準常態分配的分位數 $Z$ 時，可反求原始分數 $X$： $$X = \mu + Z \cdot \sigma$$
2. 標準常態分配的常見臨界值（Critical Values）：
   第 95 百分位數（即累積機率為 0.95，右尾機率為 0.05）對應之標準常態分位數為： $$Z_{0.95} \approx 1.645$$

---

解題方法

1. 定義變數與給定條件：
   設數學測驗成績為隨機變數 $X$。
   由題意可知：

   • 平均數 $\mu = 70$
   • 標準差 $\sigma = 5$
   • $X \sim N(70, 5^2)$
   • Stacey 的成績位於第 95 百分位數，即 $P(X \le x) = 0.95$。

2. 找出對應的標準常態值 $Z$：

   $$P(Z \le z) = 0.95 \implies z \approx 1.645$$

3. 反推實際測驗分數：
   利用 $x = \mu + z\sigma$ 進行計算：

   $$x = 70 + 1.645 \times 5 = 70 + 8.225 = 78.225$$

核心觀念

這題考的是簡單線性迴歸中，對斜率進行單尾 $t$ 檢定。模型可寫為

$$Y=\beta_0+\beta_1x+\varepsilon$$

其中 $\beta_1$ 表示市場報酬率 $x$ 每增加一單位時，股票報酬率 $Y$ 的平均變化量。要判斷是否有「正向線性關係」，即檢定母體斜率是否大於 $0$：

$$H_0:\beta_1\leq 0,\qquad H_1:\beta_1>0$$

簡單線性迴歸估計斜率的檢定統計量為

$$t=\frac{b_1-0}{SE(b_1)}$$

樣本數為 $n=12$，因此自由度為 $n-2=10$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，單尾臨界值為 $t_{0.95,10}\approx1.812$。當檢定統計量大於 $1.812$，才有證據支持正向線性關係。

解題方法

逐家公司計算斜率的 $t$ 值，並與 $1.812$ 比較：

公司	斜率估計 $b_1$	標準誤 $SE(b_1)$	$t=b_1/SE(b_1)$	判斷
A	$-1.40$	$0.30$	$-4.67$	斜率估計為負，不支持正向關係
B	$-1.21$	$0.60$	$-2.02$	斜率估計為負，不支持正向關係

本題要求進行配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)，以檢定兩種飲食方案對雙生羔羊體重的影響。由於是雙生羔羊，同一對的兩隻羔羊體重可能受到遺傳等因素的影響而有較強的相關性，因此使用配對樣本 t 檢定比獨立樣本 t 檢定更為合適。

步驟 1：設定假設

• 虛無假設 $H_0$: 兩種飲食方案對體重沒有差異，或 Diet II 體重較優。 $\mu_D \ge 0$
• 對立假設 $H_a$: Diet I 偏好於 Diet II，表示 Diet I 的體重較 Diet II 高。 $\mu_D > 0$
  這裡的 $\mu_D$ 是 Diet I 的體重與 Diet II 的體重之差的母體平均數。
  我們計算差值 $d = \text{Diet I} - \text{Diet II}$。
  $H_0: \mu_d = 0$ (或 $\mu_d \le 0$，若考慮到 Diet II 體重較優的情況)
  $H_a: \mu_d > 0$ (Diet I 體重較高)
  顯著水準 $\alpha = 0.10$。

步驟 2：計算差值 (d) 和樣本統計量
我們計算每一對雙生羔羊的體重差值 $d_i = \text{Diet I}_i - \text{Diet II}_i$：

Pair	Diet I	Diet II	Difference (d)
1	111	97	14
2	102	90	12
3	90	96	-6
4	110	95	15
5	108	110	-2
6	125	107	18
7	99	85	14

樣本大小 $n = 7$。

計算差值的樣本平均數 $\bar{d}$：
$\bar{d} = \frac{14 + 12 + (-6) + 15 + (-2) + 18 + 14}{7} = \frac{65}{7} \approx 9.2857$

計算差值的樣本標準差 $s_d$：
首先計算差值的平方和 $SS_d = \sum (d_i - \bar{d})^2$。
$d_i - \bar{d}$:
$14 - 9.2857 = 4.7143$
$12 - 9.2857 = 2.7143$
$-6 - 9.2857 = -15.2857$
$15 - 9.2857 = 5.7143$
$-2 - 9.2857 = -11.2857$
$18 - 9.2857 = 8.7143$
$14 - 9.2857 = 4.7143$

$(d_i - \bar{d})^2$:
$4.7143^2 \approx 22.2247$
$2.7143^2 \approx 7.3674$
$(-15.2857)^2 \approx 233.647$
$5.7143^2 \approx 32.653$

a. 檢定是否令人信服？

這個檢定是令人信服的。原因如下：

1. 適當的統計方法: 題目中提到了「7 pairs of twin male lambs」，這表示樣本是成對的。對於成對數據，使用配對樣本 t 檢定 (Paired t-test) 是最合適的統計方法，因為它可以控制成對個體之間的變異性（例如遺傳差異），從而提高檢定的統計能力。它能夠更有效地檢測兩種飲食方案之間的差異。
2. 顯著的結果: 我們計算出的檢定統計量 $t \approx 2.636$，其 p-value 約為 0.018。在顯著水準 $\alpha = 0.10$ 下，p-value 小於 $\alpha$，因此我們拒絕了虛無假設，得出結論認為 Diet I 確實能讓羔羊獲得更高的體重。這個結果是統計上顯著的，意味著觀察到的差異不太可能是由於隨機變異造成的。
3. 方向性: 對立假設設定為 Diet I 偏好於 Diet II ($\mu_d > 0$)，這是一個單尾檢定。我們的結果也支持了這種方向性。

b. 是否有其他更好的檢定程序？

從統計學的角度來看，對於這種成對數據，配對樣本 t 檢定已經是相當有效和常用的方法。然而，配對樣本 t 檢定有一個關鍵的假設：差值 $d_i$ 服從常態分佈。

如果這個假設未能滿足，我們可能需要考慮其他檢定方法：

1. Wilcoxon 符號檢定 (Wilcoxon Signed-Rank Test):
   • 這是一種非參數檢定方法，不需要差值服從常態分佈的假設。
   • 它基於差值的符號和排序，而不是差值的實際數值。

核心觀念

本題考查條件機率與「不放回抽樣」的概念。若球從盒中逐一抽出且不放回，已知第一球為藍球後，盒中藍球數量會減少 $1$，總球數也會減少 $1$。

設原本有：

• $B$ 顆藍球；
• $N$ 顆球總數。

則第一球為藍球後，剩下 $B-1$ 顆藍球與 $N-1$ 顆球。

解題方法

依條件機率定義，

$$P(\text{第二球藍} \mid \text{第一球藍}) = \frac{P(\text{第一球藍且第二球藍})} {P(\text{第一球藍})}.$$

在已知第一球為藍球的條件下，直接觀察剩餘球中藍球所占比例：

$$P(\text{第二球藍} \mid \text{第一球藍}) = \frac{B-1}{N-1}.$$

若以藍球數 $B$ 與非藍球數 $R$ 表示，因為 $N=B+R$，答案也可寫成