112 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

本題在探討機率論中「獨立事件」的定義。

兩個隨機事件 A 與 B 被稱為獨立的，是指其中一個事件的發生與否，不會影響另一個事件發生的機率。

從機率規則的角度來解釋，若事件 A 與事件 B 獨立，則以下條件至少需滿足其中一項（若滿足一項，則其他項也必然滿足）：

1. $P(A \cap B) = P(A)P(B)$：兩個事件同時發生的機率等於它們各自發生機率的乘積。

本題在比較 Chebyshev's theorem（柴比雪夫定理）與 Empirical rule（經驗法則）在描述數據分布的應用上的異同。

核心觀念： 兩者都是用來描述數據集中數據點的分布範圍，特別是與平均值之間的距離。

相似之處 (Similarities)：

1. 目的相同： 都提供了一個方法，用來估計或界定數據點落在平均值 $\mu$ 某個標準差 $\sigma$ 範圍內的機率或比例。
2. 依賴參數： 都需要知道數據集的平均值 ($\mu$) 和標準差 ($\sigma$)。
3. 應用範圍： 都適用於任何分布形狀的數據集，但對於接近常態分布的數據，經驗法則更精確。

不同之處 (Differences)：

本題在探討「相關性測量」的目的。

核心觀念： 相關性測量是用來量化兩個變數之間線性關係的強度與方向。

目的：

1. 衡量線性關係強度： 確定兩個變數之間線性關係有多強。相關係數 ($\rho$ 或 $r$) 的絕對值越接近 1，表示線性關係越強；越接近 0，表示線性關係越弱。
2. 判斷線性關係方向： 確定兩個變數是正相關還是負相關。
   • 正相關 (Positive Correlation)：當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加（相關係數為正）。
   • 負相關 (Negative Correlation)：當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少（相關係數為負）。

本題在探討使用 ANOVA (Analysis of Variance，變異數分析) 來檢定多個處理組平均數差異的優勢，相較於逐一比較所有可能的配對平均數。

核心觀念： 當我們有多於兩個組別時，如果我們想檢定它們的平均數是否有顯著差異，ANOVA 提供了一個整體性的檢定，而避免了多重比較帶來的問題。

ANOVA 的優勢 (Advantages)：

1. 控制第一類錯誤率 (Controlling Type I Error Rate)：
   • 當我們進行多次配對檢定時（例如，對於 k 個組別，總共有 $\binom{k}{2}$ 對配對），如果每次檢定都使用一個固定的顯著水準 $\alpha$（例如 0.05），那麼在所有檢定中至少犯一次第一類錯誤（拒絕了實際上為真的虛無假設）的總機率會顯著高於 $\alpha$。這稱為「多重比較問題」(multiple comparison problem)。
   • ANOVA 進行的是一個整體檢定，虛無假設是「所有組別的平均數都相等」($H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k$)。如果 ANOVA 檢定顯著，我們才進一步進行事後檢定 (post-hoc tests) 來找出是哪些組別之間存在差異。事後檢定本身會考慮多重比較的調整，以維持整體的第一類錯誤率。

本題在探討在雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 中，「區集變數」(Blocking Variable) 的用途。

核心觀念： 在實驗設計中，我們希望盡可能減少實驗誤差 (experimental error)，以便更清晰地觀察到我們感興趣的因子 (factors) 所造成的影響。區集變數就是一種用來控制或減少實驗誤差的變數。

區集變數的用途 (Purpose of a Blocking Variable)：

1. 減少誤差變異 (Reduce Error Variance)：
   • 實驗中可能存在一些除了我們感興趣的因子之外，也會影響應變數 (dependent variable) 的額外變異來源。這些變異來源可能是我們無法控制的，但我們可以將其歸類成不同的「區集」(blocks)。
   • 透過將實驗單元 (experimental units) 分類到不同的區集，並在分析中將區集作為一個因子納入考量，我們可以將原本屬於誤差變異的這部分變異，分離出來歸到「區集效應」(block effect) 中。

本題探討在非參數檢定 (nonparametric test) 中，當數據存在大量「並列」(ties) 時，對假設檢定結果的可能影響。

核心觀念： 非參數檢定，如 Wilcoxon rank-sum test 或 Kruskal-Wallis test，其檢定統計量是基於數據的排序 (ranks)。當數據存在並列時，排序會變得不精確，進而影響檢定統計量的計算和判斷。

當多數 ranks 來自 ties 時的可能結果：

1. 檢定統計量趨近於零或一個固定值，導致 P 值偏大，不易拒絕虛無假設 (Type II error 可能性增加)。

原因 (Why)：

• 排序的模糊性： 當數據存在並列時，我們通常會給予並列的數據一個平均排序值。例如，如果三個數據點的值相同，它們原本應該佔據第 5、6、7 的位置，我們會給予它們共同的排序值 (5+6+7)/3 = 6。
• 減少變異性： 大量的並列會使得數據點的排序值變得集中，尤其是在數據集的中間部分。這會導致「組間變異」或「排名總和」的變異性降低。

本題在比較兩個常態分布機率值的大小。

核心觀念： 數據點與平均值的距離，以及該距離在標準差單位下的表現，決定了機率的大小。常態分布是關於平均值對稱的。

已知條件：

• $X \sim N(\mu=20, \sigma^2=4^2)$

需要比較： $P(X > 28)$ 與 $P(X < 16)$

解題步驟：

1. 將 X 轉換為標準常態變數 Z：
   標準化公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

2. 計算 $P(X > 28)$：

   • 當 $X = 28$ 時，$Z = \frac{28 - 20}{4} = \frac{8}{4} = 2$。
   • 所以，$P(X > 28) = P(Z > 2)$。
   • 由於標準常態分布曲線是對稱的，$P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2)$。
   • 從標準常態機率表中，我們知道 $P(Z \le 2) \approx 0.9772$。
   • 因此，$P(Z > 2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228$。

3. 計算 $P(X < 16)$：

   • 當 $X = 16$ 時，$Z = \frac{16 - 20}{4} = \frac{-4}{4} = -1$。

本題在探討迴歸模型預測的適用範圍，特別是「外插」(extrapolation) 的風險。

核心觀念： 迴歸模型（在此為最小平方迴歸）是根據觀測數據範圍內的關係來建立的。當我們試圖用模型去預測落在原始數據範圍之外的數值時，稱為外插，這通常是危險且不準確的。

已知條件：

• 迴歸方程式：$\hat{y} = 2.9x - 0.48$ (y: winning percentage, x: on-base percentage)
• 原始數據的 on-base percentage (x) 範圍：[0.310, 0.362]

問題： 是否適合用此模型預測 on-base percentage (x) 為 0.156 的球隊的 winning percentage (y)？

分析：

1. 確認預測值是否在外插範圍：

   • 我們想預測的 on-base percentage 是 $x = 0.156$。
   • 原始數據的 on-base percentage 範圍是 [0.310, 0.362]。
   • $0.156$ 明顯小於原始數據的最低值 $0.310$。因此，這是一個外插的情況。

2. 外插的風險：

   • 關係可能改變： 原始數據範圍內的線性關係（$\hat{y} = 2.9x - 0.48$）可能在超出該範圍後不再成立。在棒球統計中，on-base percentage (x) 和 winning percentage (y) 之間的關係可能在高/低 on-base percentage 的球隊上有所不同。

本題在考驗對信賴區間的轉換，以及機率 $p$ 和 $q$ 的關係。

核心觀念：

1. 信賴區間的線性轉換：如果一個參數 $\theta$ 的信賴區間是 $[L, U]$，那麼 $a\theta + b$ 的信賴區間就是 $[aL+b, aU+b]$ (或 $[aU+b, aL+b]$ 取決於 $a$ 的正負)。
2. 機率 $p$ 和 $q$ 的關係：$q = 1 - p$。

已知條件：

• $p$ 的 95% 信賴區間為 $[0.50, 0.75]$。
• $p + q = 1$。
• 要求 $p-q$ 的 95% 信賴區間。

解題步驟：

1. 將 $p-q$ 表示成只含 $p$ 的形式：
   由於 $q = 1 - p$，我們可以將 $p-q$ 寫成：
   $p - q = p - (1 - p) = p - 1 + p = 2p - 1$。

2. 將 $p$ 的信賴區間轉換為 $2p - 1$ 的信賴區間：
   我們知道 $p$ 的信賴區間是 $[0.50, 0.75]$。
   我們要計算 $2p - 1$ 的信賴區間。這是一個線性轉換，形式為 $a \times p + b$，其中 $a=2$，$b=-1$。

核心觀念

本題的核心觀念為母體比例之雙尾信賴區間與**邊際誤差（Margin of Error, $E$）**之關係。

在單一隨機樣本下（樣本數 $n$ 與樣本比例 $\hat{p}$ 保持固定），母體比例 $p$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 雙尾信賴區間公式為：

其中：

• $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 為邊際誤差（Margin of Error）。
• $z_{\alpha/2}$ 為標準常態分配雙尾對應之臨界值（Critical Value）。

當固定同一組樣本資料時，標準誤 $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 為常數，因此邊際誤差 $E$ 與臨界值 $z_{\alpha/2}$ 呈完全正比關係：

故各信賴區間的邊際誤差比值，必然等於其對應信賴水準之 $z_{\alpha/2}$ 臨界值比值。

解題方法

1. 整理題目給定之各區間邊際誤差：

   • 區間 A：$E_A = 0.08$
   • 區間 B：$E_B = 0.04$
   • 區間 C：$E_C = 0.072$

2. 計算各邊際誤差的比例關係：
   將三者的邊際誤差除以 $E_B = 0.04$ 進行標準化比值化簡：

   $$E_A : E_B : E_C = 0.08 : 0.04 : 0.072 = 2 : 1 : 1.8$$

   因此，對應的三個臨界值必須滿足：

   $$z_A : z_B : z_C = 2 : 1 : 1.8$$

   即 $z_A = 2 z_B$ 且 $z_C = 1.8 z_B$。

3. 列出候選信賴水準的常態臨界值 $z_{\alpha/2}$：

   • $80\%$ 信賴水準（$\alpha = 0.20, \alpha/2 = 0.10$）：$z_{0.10} \approx 1.28$（或 $1.282$）
   • $90\%$ 信賴水準（$\alpha = 0.10, \alpha/2 = 0.05$）：$z_{0.05} \approx 1.645$
   • $95\%$ 信賴水準（$\alpha = 0.05, \alpha/2 = 0.025$）：$z_{0.025} \approx 1.96$
   • $98\%$ 信賴水準（$\alpha = 0.02, \alpha/2 = 0.01$）：$z_{0.01} \approx 2.326$（或 $2.33$）
   • $99\%$ 信賴水準（$\alpha = 0.01, \alpha/2 = 0.005$）：$z_{0.005} \approx 2.576$（或 $2.58$）

4. 比對臨界值倍數關係：

   • 檢驗 $z_A = 2 z_B$：
     若取 $z_B = 1.282$（對應 $80\%$），則： $$2 \times 1.282 = 2.564 \approx 2.576$$

本題在考驗對機率基本定律的應用，特別是聯合機率、條件機率以及機率的加法與減法規則。

核心觀念：

1. 聯合機率的加法規則： $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$。
2. 全機率法則： $P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$。
3. 德摩根定律 (De Morgan's Laws) 在機率上的應用： $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$。
4. 機率的互補性： $P(E') = 1 - P(E)$。
5. 聯集機率的加法規則： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。

已知條件：

• $P(A \cap B) = 0.3$
• $P(A \cap B') = 0.15$
• $P(A' \cap B) = 0.35$

要求： $P(A' \cap B')$

解題步驟：

1. 計算 $P(A)$：
   根據聯合機率的加法規則，$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$。
   $P(A) = 0.3 + 0.15 = 0.45$。

2. 計算 $P(B)$：
   根據全機率法則，$P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$。
   $P(B) = 0.3 + 0.35 = 0.65$。

3. 計算 $P(A \cup B)$：
   使用聯集機率的加法規則：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
   $P(A \cup B) = 0.45 + 0.65 - 0.3$
   $P(A \cup B) = 1.10 - 0.3 = 0.80$。

4. 計算 $P(A' \cap B')$：
   根據德摩根定律，$P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$。
   根據機率的互補性，$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$。
   $P(A' \cap B') = 1 - 0.80 = 0.20$。

另一種解題思路（使用表格法）：
我們可以畫一個 2x2 的機率表來表示。

本題在探討假設檢定中的基本概念，包括虛無假設、第一類錯誤和第二類錯誤，並要求判斷哪種錯誤在此情境下更嚴重。

情境： 一種新的癌症篩檢血液檢查正在開發。檢測結果為陽性時，會進一步進行更精確（但昂貴）的複檢。假設病患實際上並未罹患癌症。

核心觀念：

• 虛無假設 ($H_0$)： 這是我們通常要嘗試推翻的假設，代表「沒有效應」、「沒有差異」或「沒有關係」的狀態。在醫學檢測中，通常代表「沒有疾病」。
• 對立假設 ($H_1$ 或 $H_a$)： 這是我們希望找到證據支持的假設，通常與虛無假設相反。在醫學檢測中，通常代表「有疾病」。
• 第一類錯誤 (Type I Error)： 當虛無假設實際上為真時，我們錯誤地拒絕了它。在醫學檢測中，這意味著「誤報」(false positive)，即實際上沒有病，但檢測結果卻顯示有病。
• 第二類錯誤 (Type II Error)： 當虛無假設實際上為偽時，我們錯誤地未能拒絕它。在醫學檢測中，這意味著「漏報」(false negative)，即實際上得了病，但檢測結果卻顯示沒病。

解題步驟：

1. 描述虛無假設 ($H_0$)：
   在這個情境下，我們關心的是檢測結果。檢測本身是為了判斷病人是否有癌症。
   虛無假設代表「沒有疾病」的狀態。

   • $H_0$: 患者沒有罹患癌症。

2. 描述對立假設 ($H_1$)：
   對立假設代表「有疾病」的狀態。

   • $H_1$: 患者罹患癌症。

3. 描述第一類錯誤 (Type I Error)：
   第一類錯誤發生在 $H_0$ 為真時，我們卻拒絕了 $H_0$。
   在這個情境下，這表示：患者實際上沒有罹患癌症，但血液檢查結果卻呈陽性。

本題在考驗對均勻分布 (Uniform Distribution) 的理解，以及如何計算百分位數 (percentile)。

核心觀念：

• 均勻分布 $U(a, b)$： 在區間 $[a, b]$ 內，機率密度函數 (PDF) 為常數，區間外為零。其 PDF 為 $f(x) = \frac{1}{b-a}$，對於 $a \le x \le b$。
• 累積分布函數 (CDF)： $F(x) = P(X \le x)$。對於 $U(a, b)$，其 CDF 為：
  • $F(x) = 0$, 若 $x < a$
  • $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$, 若 $a \le x \le b$
  • $F(x) = 1$, 若 $x > b$
• 百分位數 (Percentile)： 第 $p$ 百分位數是使累計機率 $P(X \le x)$ 等於 $p/100$ 的值 $x$。也就是說，我們要找一個值 $x_p$ 使得 $F(x_p) = p/100$。

核心觀念

1. 離散隨機變數之期望值（Expected Value of a Discrete Random Variable）：
   若離散隨機變數 $X$ 的機率質量函數（pmf）為 $P(X = x)$，則其期望值定義為： $$E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)$$
2. 期望值的線性性質（Linearity of Expectation）：
   若淨收益為 $Y = X - c$（其中 $c$ 為固定成本），則： $$E(Y) = E(X - c) = E(X) - c$$
3. 大數法則（Law of Large Numbers, LLN）與理性決策準則：
   題目強調「長期而言（over the long run）」，根據大數法則，當獨立重複進行試驗的次數 $n$ 趨近於無限大時，樣本平均收益會以機率 1 收斂至母體期望值。因此，理性的財務決策準則為：
   • 若期望淨收益 $E(Y) > 0$：應該參加（長期預期獲利）。
   • 若期望淨收益 $E(Y) < 0$：不應參加（長期預期虧損）。
   • 若期望淨收益 $E(Y) = 0$：公平賽局（Fair Game），財務上無偏好。

解題方法

步驟一：建立隨機變數與機率分佈

令隨機變數 $X$ 代表抽中信封內禮品券的價值（Gross Payoff，單位：美元），盒子內共有 100 個外觀相同的信封，每種面額的抽取機率為其個數占總數的比例：

步驟二：計算毛收益期望值 $E(X)$

依期望值定義展開計算：

即每次抽獎獲得的禮品券平均價值為 $9.32。

步驟三：計算淨收益期望值 $E(\text{Net Gain})$

每次參加遊戲需支付固定參賽費 $10。
令隨機變數 $Y = X - 10$ 代表單次遊戲的淨財務損益（Net Financial Gain/Loss）：

本題在考驗對統計學基本概念的理解，包括抽樣方法、統計量、離群值和總體。

核心觀念：

• 隨機樣本 (Random Sample)： 總體中的每個個體都有相等且獨立的機會被選入樣本。
• 便利樣本 (Convenience Sample)： 容易取得的樣本，例如在教室裡調查同學，或在路邊訪問路人。它通常不是隨機的。
• 統計量 (Statistic)： 描述樣本特徵的數值，例如樣本平均數 $\bar{x}$、樣本比例 $\hat{p}$。
• 參數 (Parameter)： 描述總體特徵的數值，例如母體平均數 $\mu$、母體比例 $p$。
• 離群值 (Outlier)： 遠離數據集中其他數據點的觀察值。處理離群值需要謹慎，不一定總是丟棄。
• 總體 (Population)： 研究對象的全部集合。
• 樣本 (Sample)： 從總體中抽取的一部分。
• 大數據 (Big Data)： 指數據量巨大、種類繁多、生成速度快，難以用傳統方法處理的數據。它可能是一個總體，也可能只是總體的一個（非常大的）樣本，或者其性質介於兩者之間。

逐一判斷陳述的正確性：

A. A sample of convenience is a random sample.
* 錯誤。便利樣本 (convenience sample) 是指容易取得的樣本，例如隨機訪問路人或調查班上同學。

本題要求將三種常見的機率分布（均勻、指數、常態）與它們各自的平均數 (mean)、中位數 (median) 和眾數 (mode) 的關係匹配起來。

核心觀念：

• 常態分布 (Normal Distribution)： 是一個對稱的鐘形曲線。
  • 由於對稱性，平均數、中位數和眾數都位於分布的中心，因此三者相等。
• 均勻分布 (Uniform Distribution)： 在一個有限區間內，機率密度是恆定的（一條水平線）。
  • 在一個有限區間 $[a, b]$ 的均勻分布中，平均數是 $\frac{a+b}{2}$。
  • 中位數也是使累計機率為 0.5 的點，對於對稱的區間，中位數也等於平均數 $\frac{a+b}{2}$。
  • 眾數 (mode) 是機率密度最大的點。在有限區間均勻分布中，密度在整個區間內都是相同的最大值，因此理論上所有點都是眾數，或者說眾數是不確定的（或有多個眾數）。然而，在很多統計學的語境下，當談論均勻分布時，如果它是對稱的，其中心點（平均數和中位數）通常會被視為其「代表性」的中心。對於一個連續的、在整個區間上 PDF 都為常數的分布，嚴格來說沒有唯一的眾數。但如果必須選擇一個代表，並且與平均數和中位數比較，通常會說均勻分布的平均數等於中位數，而眾數則可能不存在或不適用於這種比較。
  • 然而，這裡的選項 A 提供了 "mean = median ≠ mode"。這暗示了我們應該將均勻分布與此匹配。 為什麼會這樣？有些教科書在討論均勻分布時，會將其視為一個「平頂」的分布。在這種情況下，平均數和中位數確實相等。眾數的概念在這裡比較模糊，但如果我們將其與常態分布（有單峰）和指數分布（無峰但偏斜）做對比，選項 A 可能是最接近的描述。
  • 更新理解： 實際上，對於有限區間的連續均勻分布，PDF 在整個區間內是常數。這種分布沒有一個單一點的機率最高，所以嚴格來說沒有眾數 (mode)。平均數和中位數都位於區間的中心。因此，對於 $U(a,b)$，有 mean = median，而 mode 不存在或不唯一。選項 A 的 "mean = median ≠ mode" 是最符合這個情況的描述，將「≠ mode」理解為「眾數不適用或不存在」。

本題在考驗對迴歸分析中基本假設的理解，特別是殘差圖 (residual plot) 如何幫助我們診斷這些假設是否被違反。

核心觀念：
在進行線性迴歸分析時，我們通常會假設誤差項 $\varepsilon$ 滿足一些條件。這些假設對於迴歸係數估計的有效性（如最小平方估計 OLS 的最佳性）以及推論的有效性（如標準誤、信賴區間、假設檢定）至關重要。
常見的假設包括：

1. 線性性 (Linearity)： 應變數 (Consumption) 與自變數 (Income) 之間的關係是線性的。
2. 誤差項的期望值為零 (Zero Conditional Mean)： $E(\varepsilon | X) = 0$，即在給定的自變數值下，誤差項的條件期望為零。這也意味著誤差項的平均值為零。
3. 誤差項的同質變異性 (Homoscedasticity)： 誤差項的變異數對於所有自變數值都是恆定的，即 $Var(\varepsilon | X) = \sigma^2$。
4. 誤差項之間獨立 (Independence of Errors)： 誤差項之間沒有相關性。對於橫斷面數據 (cross-sectional data)，這通常意味著不同觀測值的誤差項是獨立的。對於時間序列數據，則需要考慮自相關。
5. 誤差項服從常態分布 (Normality of Errors)： 誤差項 $\varepsilon$ 服從平均值為 0，變異數為 $\sigma^2$ 的常態分布。這個假設主要影響小樣本情況下的推論統計。

殘差圖的診斷：
殘差 (residuals, $e_i$) 是實際觀測值 $y_i$ 與迴歸模型預測值 $\hat{y}_i$ 之間的差異 ($e_i = y_i - \hat{y}_i$)。殘差圖通常繪製殘差對預測值或對某個自變數。

• 理想的殘差圖： 殘差應該是隨機散佈在水平軸（殘差為零）周圍，沒有明顯的模式。

分析提供的殘差圖：