109 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

此題考驗對 Type I 錯誤定義的理解。
Type I 錯誤是指當虛無假說 (null hypothesis, $H_0$) 為真時，我們卻拒絕了它。其發生的機率定義為 $\alpha$。
題目中提到 Type I 錯誤的機率是 0.05，這表示當 $H_0$ 為真時，我們有 5% 的機率會做出錯誤的決定，也就是拒絕 $H_0$。

此題在於判斷哪個樣本結果最能支持對右尾檢定 (one-sided test) 的對立假說 ($H_1$)。
我們想要檢定 $H_0: \mu = 23$ 對 $H_1: \mu < 23$。
支持 $H_1$ 的證據來自於樣本平均數 ($\bar{x}$) 相對於虛無假說中的母體平均數 ($\mu_0 = 23$) 越小越好。
統計檢定的檢定統計量 (test statistic) 通常是標準化的分數，例如 Z 統計量或 t 統計量。對於平均數的檢定，常見的檢定統計量形式為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\text{standard error}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE}$
其中 $SE$ 是樣本平均數的標準誤 (standard error)。
為了支持 $H_1: \mu < 23$，我們希望計算出來的檢定統計量越小（越負）越好，因為這表示樣本平均數離 23 越遠，且方向是朝向小於 23。
我們來計算各個選項的檢定統計量：

此題考驗對比例 (proportion) 的信賴區間 (confidence interval) 計算。
我們有一個隨機樣本，樣本大小 $n=100$。
樣本中，有 45 間餐廳限制使用手機，因此樣本比例 $\hat{p} = \frac{45}{100} = 0.45$。
我們要計算 99% 的信賴區間。
信賴區間的公式為：$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
對於 99% 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。
因此，$\alpha/2 = 0.005$。
我們需要在標準常態分配表中找到 $Z_{0.005}$。查表可知，$Z_{0.005} \approx 2.576$。
接下來計算標準誤 (standard error) 的部分：

核心觀念

本題評量**中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）**的核心精神與樣本平均數抽樣分配（Sampling Distribution of the Sample Mean）的性質。

中央極限定理指出：
設隨機變數 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 為一組來自任意分配（具有有限母體平均數 $\mu$ 與有限母體變異數 $\sigma^2$）之獨立且同分配（i.i.d.）的隨機樣本。當樣本數 $n$ 充分大時（實務上通常以 $n \ge 30$ 為經驗法則），樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 的抽樣分配會漸近逼近常態分配，即：

或以標準化形式表示為：

CLT 的最大威力在於：不論母體的分配形狀（Shape）為何（例如均勻分配、指數分配、甚至高度偏態的分配），只要樣本數夠大，$\bar{X}$ 的分配都會趨近於鐘形對稱的常態分配。因此，在推導或使用 $\bar{X}$ 的抽樣分配時，研究者可以忽略母體的分配形狀。

解題方法

由中央極限定理的結論：

可知：

1. 抽樣分配的形狀：由 CLT 保證為常態分配，因此母體的形狀（Shape）已被「常態化」所取代，在分析時可以忽略（disregard）。
2. 抽樣分配的中心與離散程度：
   • 抽樣分配的期望值仍為母體平均數 $E(\bar{X}) = \mu$。
   • 抽樣分配的標準誤仍為 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，仰賴母體標準差 $\sigma$。

因此，進行統計推論（如計算機率值、建構信賴區間、假設檢定）時，$\mu$ 與 $\sigma$ 依然不可或缺，唯獨母體的**原始形狀（Shape of the population distribution）**可以被忽略。

選項分析

核心觀念

本題考查「不放回抽樣」下，成功事件第一次出現的位置分布。

共有 $10$ 把鑰匙，其中恰有 $1$ 把正確。每次隨機選取一把，錯誤鑰匙一經試過便不再放回，因此每把鑰匙在排列中的位置都等可能出現在第 $1$ 至第 $10$ 次。

令 $X$ 表示找到正確鑰匙所需的試次，則

且正確鑰匙出現在每一個位置的機率相同，因此

所以 $X$ 服從有限母體上的均勻分布：

解題方法

直接計算正確鑰匙在第 $x$ 次被試出的機率。

要使 $X=x$，必須滿足：

1. 前 $x-1$ 次試到的都是錯誤鑰匙；
2. 第 $x$ 次試到唯一的正確鑰匙。

因此

連乘後全部約分，得到

例如：

每一個可能試次的機率都相同，所以是均勻分布。

此題考驗常態分配的應用，特別是計算機率與人數。
已知母體平均數 $\mu = 15.0$ 磅。
母體標準差 $\sigma = 1.75$ 磅。
分配為常態分配。
總樣本數 $N = 200$ 株。
我們需要計算重量介於 13 磅和 16 磅之間的植物數量。這相當於計算在常態分配中，隨機變數落在區間 (13, 16) 的機率，然後乘以總數 200。
首先，我們需要將 13 和 16 這兩個值標準化 (z-score)：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
對於 $X = 13$:
$Z_{13} = \frac{13 - 15.0}{1.75} = \frac{-2.0}{1.75} = -\frac{200}{175} = -\frac{8}{7} \approx -1.143$
對於 $X = 16$:
$Z_{16} = \frac{16 - 15.0}{1.75} = \frac{1.0}{1.75} = \frac{100}{175} = \frac{4}{7} \approx 0.571$
現在我們需要查找標準常態分配表中 $P(-1.143 < Z < 0.571)$。
$P(-1.143 < Z < 0.571) = P(Z < 0.571) - P(Z < -1.143)$
查表或使用軟體：

核心觀念

本題考查「比較兩個母體在類別變數上的分布」時，應選用何種假設檢定。

題目條件為：

• 比較兩個母體；
• 變數恰有兩個類別；
• 因此資料可整理成一個 $2\times 2$ 列聯表。

例如，兩個母體分別為母體 1、母體 2，觀察結果分為「成功」與「失敗」：

令兩母體的成功比例分別為 $p_1$ 與 $p_2$，常見的檢定問題為：

此問題可使用「兩母體比例差的 $z$ 檢定」，也可使用「列聯表的卡方獨立性檢定」。在 $2\times2$ 列聯表中，兩種方法具有等價關係。

解題方法

方法一：兩母體比例差的 $z$ 檢定

樣本比例為：

在虛無假設 $H_0:p_1=p_2$ 下，使用合併樣本比例：

檢定統計量為：

當樣本數足夠大，使常態近似成立時，即可利用標準常態分布進行檢定。

此方法直接比較兩個母體的比例差異，特別適合「兩個母體、二元類別」的資料。

方法二：列聯表的卡方檢定

將資料整理成 $2\times2$ 列聯表後，可檢定：

這在本題中等價於：

卡方統計量為：

其中：

核心觀念

本題的核心觀念為假設檢定中 $p$-值（$p\text{-value}$，又稱顯著機率）的精確定義。

在古典（頻率學派）假設檢定架構下：

1. $p$-值定義：在虛無假設 $H_0$ 為真的條件下，檢定統計量觀察到「現有樣本結果」或「比現有樣本結果更極端（偏向對立假設 $H_1$）」的機率。
2. 單尾檢定方向：
   • 檢定問題為：$H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu > 100$（右尾檢定）。
   • 對立假設關注的是母體平均數「大於」100 的方向，因此「比觀察值更極端」代表樣本平均數「大於或等於」觀察值。
   • 數學定義式表示為： $$p\text{-value} = P(\bar{X} \ge \bar{x}_{\text{obs}} \mid H_0 \text{ 為真}) = P(\bar{X} \ge 105 \mid \mu = 100)$$

解題方法

1. 辨識檢定型態與統計量方向：
   本題對立假設為 $H_1: \mu > 100$，為右尾檢定（Right-tailed test）。當樣本平均數 $\bar{X}$ 愈大（遠大於 100），愈有理由反對 $H_0$。
2. 帶入觀察值與 $p$-值：
   題目給定：
   • 虛無假設值：$\mu = 100$
   • 樣本平均數觀察值：$\bar{x}_{\text{obs}} = 105$
   • $p\text{-value} = 0.074$
3. 對應機率陳述：
   根據右尾檢定的定義，比 105 更極端的事件為 $\bar{X} \ge 105$。因此： $$P(\bar{X} \ge 105 \mid \mu = 100) = 0.074$$ 此機率陳述即為「當母體平均數為 100 時，觀察到樣本平均數至少為 105 的機率為 0.074」。

選項分析

• (A) 正確：
  原文為「The probability of observing a sample mean at least as large as 105 from

此題考驗樣本大小 (sample size) 的計算公式，以及如何從樣本大小反推出信賴水準 (confidence level)。
樣本大小的公式，用於估計母體平均數，使其落在誤差範圍 $E$ 以內，是：
$n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$
題目給定：
誤差範圍 $E = 10$ (within 10 units of the population mean)
母體標準差 $\sigma = 50$
計算出的樣本大小 $n = 68$
我們需要找出使用的信賴水準。信賴水準由 $Z_{\alpha/2}$ 決定。
將已知數值代入公式：
$68 = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \times 50}{10} \right)^2$
$68 = \left( Z_{\alpha/2} \times 5 \right)^2$
$68 = 25 \times (Z_{\alpha/2})^2$
$(Z_{\alpha/2})^2 = \frac{68}{25} = 2.72$
$Z_{\alpha/2} = \sqrt{2.72} \approx 1.649$

現在我們需要根據 $Z_{\alpha/2} \approx 1.649$ 來判斷信賴水準。
我們來檢查各選項對應的 $Z_{\alpha/2}$ 值：

此題考驗中央極限定理 (CLT) 的應用，計算樣本平均數的機率。
已知母體平均數 $\mu = 1215$。
母體標準差 $\sigma = 110$。
樣本大小 $n = 100$。
我們需要計算樣本平均數 $\bar{X}$ 小於 1190 的機率，即 $P(\bar{X} < 1190)$。
根據中央極限定理，當樣本數 $n$ 夠大時 (這裡 $n=100 > 30$)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配近似於常態分配，其：
平均數 $E(\bar{X}) = \mu = 1215$
標準差 (標準誤) $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{110}{\sqrt{100}} = \frac{110}{10} = 11$。
所以，$\bar{X} \sim N(1215, 11^2)$。
現在，我們將 $\bar{X} < 1190$ 轉換為標準常態變數 $Z$ 的範圍：

核心觀念

本題考查：

• 指數分配的累積分配函數與尾端機率。
• 生產上限造成的截斷變數：
  $Y=\min(X,4)$
• 累積分配函數 $F_Y(y)=P(Y\le y)$。
• 非負隨機變數期望值的尾端積分公式：
  $E(Y)=\int_0^\infty P(Y>y)\,dy$

由題意，需求量 $X$ 的機率密度函數為

因此 $X$ 服從平均數為 $8$ 的指數分配，其累積分配函數為

由於公司每週最多只能生產 $4$ 噸，實際售出量為

當 $X<4$ 時，全部需求均可滿足，故 $Y=X$；當 $X\ge 4$ 時，只能售出 $4$ 噸，故 $Y=4$。

(a) 每週售罄的機率

售罄表示需求量至少達到生產上限 $4$，因此

利用指數分配的尾端機率：

數值約為

因此每週售罄的機率約為 $60.65\%$。

(b) $Y$ 的累積分配函數

欲求

需依照 $y$ 的範圍分段討論。

情況一：$y<0$

因為 $Y$ 不可能小於 $0$，所以

情況二：$0\le y<4$

在此範圍內，$Y\le y$ 等價於 $X\le y$。因為若需求量超過 $4$，實際售出量會固定為 $4$，不會小於 $y<4$。

因此

情況三：$y\ge 4$

由於 $Y$ 的最大值就是 $4$，所以

故 $Y$ 的累積分配函數為

特別注意在 $y=4$ 時，

此題考驗卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test) 的應用。
我們要檢定從常態分配 $N(0, 1)$（平均數為 0，變異數為 1）抽取的樣本是否與觀察到的資料相符。
觀察到的資料已經被分組，形成一個頻率分佈。

首先，我們要確定虛無假說 ($H_0$) 和對立假說 ($H_1$)。
(i) Null/alternative hypothesis:
$H_0$: 樣本資料來自平均數為 0 且變異數為 1 的常態分配 ($N(0,1)$)。
$H_1$: 樣本資料不來自平均數為 0 且變異數為 1 的常態分配 ($N(0,1)$)。

接下來，我們需要計算在 $H_0$ 為真的情況下，各區間的期望頻率 (expected frequency, $E_i$)。
總樣本數 $n = 60$。
根據 $N(0,1)$ 分配，我們需要計算各區間的機率 $p_i$。
區間 1: $(-\infty, -1]$。對應的機率 $p_1 = P(Z \le -1)$。
區間 2: $(-1, 0]$。對應的機率 $p_2 = P(-1 < Z \le 0)$。
區間 3: $(0, 1]$。對應的機率 $p_3 = P(0 < Z \le 1)$。
區間 4: $(1, \infty)$。對應的機率 $p_4 = P(Z > 1)$。

查閱標準常態分配表：
$P(Z \le -1) = 0.1587$
$P(-1 < Z \le 0) = P(Z \le 0) - P(Z \le -1) = 0.5000 - 0.1587 = 0.3413$
$P(0 < Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le 0) = 0.8413 - 0.5000 = 0.3413$
$P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$

期望頻率 $E_i = n \times p_i$：
$E_1 = 60 \times 0.1587 = 9.522$
$E_2 = 60 \times 0.3413 = 20.478$
$E_3 = 60 \times 0.3413 = 20.478$
$E_4 = 60 \times 0.1587 = 9.522$
注意：所有 $E_i$ 的總和應等於 $n$：$9.522 + 20.478 + 20.478 + 9.522 = 60$。

觀察到的頻率 (observed frequency, $O_i$) 為：
$O_1 = 8$
$O_2 = 30$
$O_3 = 17$
$O_4 = 5$

(ii) Test statistic:
卡方適合度檢定的統計量為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

此題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的假設檢定和成對樣本的信賴區間計算。

已知資訊：
總共有 3 個群體 (Car A, Car B, Car C)。
每個群體的樣本大小 $n_A = n_B = n_C = 15$。
樣本平均數：$\bar{x}_A = 42$, $\bar{x}_B = 49$, $\bar{x}_C = 44$。
樣本標準差：$s_A = 4$, $s_B = 5$, $s_C = 3$。
假設各母體變異數相等 ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma_C^2 = \sigma^2$)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) (10%) Let $\alpha = 0.05$, and see if the mean gasoline consumption for all three models of cars is the same
這是檢定三個母體平均數是否相等的單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)。

(i) 虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)：
$H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$ (所有車款的平均油耗相同)
$H_1$: 至少有一個車款的平均油耗不同於其他車款。

(ii) 檢定統計量：F 統計量。
首先，我們需要計算組間變異數 (Between-group variance, $MS_{between}$) 和組內變異數 (Within-group variance, $MS_{within}$)。
組內變異數 $MS_{within}$ 是所有樣本變異數的加權平均。由於題目假設母體變異數相等，我們可以估計一個共同的母體變異數 $\sigma^2$ 的最佳估計量 $s_p^2$ (pooled variance)。
$s_p^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1)s_i^2}{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1)}$
這裡 $k=3$ (三個車款)，$n_A=n_B=n_C=15$。
$n_i - 1 = 15 - 1 = 14$。
$\sum (n_i - 1) = 14 + 14 + 14 = 42$。
$s_p^2 = \frac{(15-1)s_A^2 + (15-1)s_B^2 + (15-1)s_C^2}{42}$
$s_p^2 = \frac{14 \times 4^2 + 14 \times 5^2 + 14 \times 3^2}{42}$
$s_p^2 = \frac{14 \times 16 + 14 \times 25 + 14 \times 9}{42}$
$s_p^2 = \frac{14 \times (16 + 25 + 9)}{42} = \frac{14 \times 50}{42} = \frac{700}{42} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16.67$
$MS_{within} = s_p^2 = \frac{50}{3}$。

接下來計算組間變異數 $MS_{between}$。
首先計算總平均數 $\bar{\bar{x}}$：
$\bar{\bar{x}} = \frac{\sum n_i \bar{x}_i}{\sum n_i} = \frac{15 \times 42 + 15 \times 49 + 15 \times 44}{15+15+15} = \frac{15 \times (42+49+44)}{45} = \frac{42+49+44}{3} = \frac{135}{3} = 45$。
組間平方和 (Sum of Squares Between, $SS_{between}$) $= \sum n_i (\bar{x}_i - \bar{\bar{x}})^2$
$SS_{between} = 15(42-45)^2 + 15(49-45)^2 + 15(44-45)^2$
$SS_{between} = 15(-3)^2 + 15(4)^2 + 15(-1)^2$
$SS_{between} = 15(9) + 15(16) + 15(1) = 15(9+16+1) = 15(26) = 390$。
組間自由度 (Degrees of Freedom Between, $df_{between}$) $= k - 1 = 3 - 1 = 2$。
$MS_{between} = \frac{SS_{between}}{df_{between}} = \frac{390}{2} = 195$。

F 統計量 = $\frac{MS_{between}}{MS_{within}} = \frac{195}{50/3} = 195 \times \frac{3}{50} = \frac{585}{50} = 11.7$。

此題考驗變異數相等與否的檢定、兩獨立樣本 t 檢定（變異數相等情況）以及簡單線性迴歸模型的參數估計。

已知資訊：
兩個地點 A 和 B。
從每個地點隨機抽取 n 個家庭，總樣本數 $2n$。
樣本統計量：$\bar{X}_A, S_A$ (來自地點 A)；$\bar{X}_B, S_B$ (來自地點 B)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) (5%) Suppose that we have no idea whether the variances are equal or not. So how to use a statistical method to determine the variances are equal or not?
這是考驗如何檢定兩個獨立母體變異數是否相等。最常用的方法是 F 檢定。

(i) 虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)：
$H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2$ (兩地點的家庭年收入變異數相等)
$H_1: \sigma_A^2 \ne \sigma_B^2$ (兩地點的家庭年收入變異數不相等)
這是一個雙尾檢定。

(ii) 檢定統計量：F 統計量。
$F = \frac{S_A^2}{S_B^2}$ 或 $\frac{S_B^2}{S_A^2}$。為了使臨界值查找方便，通常將較大的樣本變異數放在分子。假設 $S_A^2 \ge S_B^2$，則 $F = \frac{S_A^2}{S_B^2}$。
此處題目並未給出具體數值，所以我們只能給出統計量的定義。

(iii) 決策規則：
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
由於是雙尾檢定，我們將 $\alpha$ 分配到兩個尾部，即 $\alpha/2 = 0.025$。
自由度：
分子自由度 $df_1 = n_A - 1 = n - 1$。
分母自由度 $df_2 = n_B - 1 = n - 1$。
臨界值是 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
或者，如果我們總是將較大的變異數放在分子，則只需要查找右尾臨界值 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$。
決策規則：如果 $F > F_{\alpha/2, n-1, n-1}$，則拒絕 $H_0$。

(iv) 結論：
根據計算出的 F 值和查表得到的臨界值來判斷是否拒絕 $H_0$。

(b) (5%) Suppose that the variances are the same. Perform a hypothesis testing to determine whether the population means differ significantly.
這是考驗兩個獨立母體平均數是否相等的假設檢定，且已知母體變異數相等。

(i) 虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)：
$H_0: \mu_A = \mu_B$ (兩地點的平均家庭年收入相同)
$H_1: \mu_A \ne \mu_B$ (兩地點的平均家庭年收入不同)
這是一個雙尾檢定。

(ii) 檢定統計量：t 統計量。
由於假設變異數相等，我們使用池化變異數 $s_p^2$。
$s_p^2 = \frac{(n_A-1)S_A^2 + (n_B-1)S_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{(n-1)S_A^2 + (n-1)S_B^2}{n+n-2} = \frac{(n-1)(S_A^2 + S_B^2)}{2n-2} = \frac{S_A^2 + S_B^2}{2}$。
檢定統計量為：
$t = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{S_A^2 + S_B^2}{2}} \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{n}}} = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{S_A^2 + S_B^2}{2}} \sqrt{\frac{2}{n}}} = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{S_A^2 + S_B^2}{n}}}$。

(iii) 決策規則：
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
自由度 $df = n_A + n_B - 2 = n + n - 2 = 2n - 2$。
由於是雙尾檢定，臨界值為 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 2n-2}$。
決策規則：如果 $|t| > t_{0.025, 2n-2}$，則拒絕 $H_0$。

(iv) 結論：
根據計算出的 t 值和查表得到的臨界值來判斷是否拒絕 $H_0$。

(c) (10%) Let Z be 1 if it comes from location B and 0 otherwise. And Y be the income. We fit a simple linear regression model to this dataset {(Zi, Yi)}i=1,...2n and use the least squares method to get the estimated regression equation. Show that the least squares estimates of intercept and slope parameters are $\bar{X}_A$ and $\bar{X}_B - \bar{X}_A$, respectively.

簡單線性迴歸模型為：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 Z_i + \epsilon_i$。
其中 $Z_i$ 是指示變數 (dummy variable)：
$Z_i = 0$ 如果家庭來自地點 A。
$Z_i = 1$ 如果家庭來自地點 B。
$Y_i$ 是家庭的年收入。
$\beta_0$ 是截距項。
$\beta_1$ 是斜率項。
$\epsilon_i$ 是誤差項。

我們有 $2n$ 個觀測值，其中 $n$ 個來自地點 A ($Z_i=0$)，另外 $n$ 個來自地點 B ($Z_i=1$)。

當 $Z_i = 0$ (地點 A)：
$Y_i = \beta_0 + \beta_1(0) + \epsilon_i = \beta_0 + \epsilon_i$。
因此，地點 A 的樣本平均數 $\bar{X}_A$ 是 $\beta_0$ 的一個估計。

當 $Z_i = 1$ (地點 B)：
$Y_i = \beta_0 + \beta_1(1) + \epsilon_i = (\beta_0 + \beta_1) + \epsilon_i$。
因此，地點 B 的樣本平均數 $\bar{X}_B$ 是 $\beta_0 + \beta_1$ 的一個估計。

使用最小平方法 (Least Squares Method) 來估計 $\beta_0$ 和 $\beta_1$。
最小平方法要求最小化殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR)：
$SSR = \sum_{i=1}^{2n} \epsilon_i^2 = \sum_{i=1}^{2n} (Y_i - (\beta_0 + \beta_1 Z_i))^2$

此題考驗變異數相等與否的檢定、兩獨立樣本 t 檢定（變異數相等情況）以及簡單線性迴歸模型的參數估計。

已知資訊：
兩個地點 A 和 B。
從每個地點隨機抽取 n 個家庭，總樣本數 $2n$。
樣本統計量：$\bar{X}_A, S_A$ (來自地點 A)；$\bar{X}_B, S_B$ (來自地點 B)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) (5%) Suppose that we have no idea whether the variances are equal or not. So how to use a statistical method to determine the variances are equal or not?
這是考驗如何檢定兩個獨立母體變異數是否相等。最常用的方法是 F 檢定。

(i) 虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)：
$H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2$ (兩地點的家庭年收入變異數相等)
$H_1: \sigma_A^2 \ne \sigma_B^2$ (兩地點的家庭年收入變異數不相等)
這是一個雙尾檢定。

(ii) 檢定統計量：F 統計量。
$F = \frac{S_A^2}{S_B^2}$ 或 $\frac{S_B^2}{S_A^2}$。為了使臨界值查找方便，通常將較大的樣本變異數放在分子。假設 $S_A^2 \ge S_B^2$，則 $F = \frac{S_A^2}{S_B^2}$。
此處題目並未給出具體數值，所以我們只能給出統計量的定義。

(iii) 決策規則：
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
由於是雙尾檢定，我們將 $\alpha$ 分配到兩個尾部，即 $\alpha/2 = 0.025$。
自由度：
分子自由度 $df_1 = n_A - 1 = n - 1$。
分母自由度 $df_2 = n_B - 1 = n - 1$。
臨界值是 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
或者，如果我們總是將較大的變異數放在分子，則只需要查找右尾臨界值 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$。
決策規則：如果 $F > F_{\alpha/2, n-1, n-1}$，則拒絕 $H_0$。

(iv) 結論：
根據計算出的 F 值和查表得到的臨界值來判斷是否拒絕 $H_0$。

(b) (5%) Suppose that the variances are the same. Perform a hypothesis testing to determine whether the population means differ significantly.
這是考驗兩個獨立母體平均數是否相等的假設檢定，且已知母體變異數相等。

(i) 虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)：
$H_0: \mu_A = \mu_B$ (兩地點的平均家庭年收入相同)
$H_1: \mu_A \ne \mu_B$ (兩地點的平均家庭年收入不同)
這是一個雙尾檢定。

(ii) 檢定統計量：t 統計量。
由於假設變異數相等，我們使用池化變異數 $s_p^2$。
$s_p^2 = \frac{(n_A-1)S_A^2 + (n_B-1)S_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{(n-1)S_A^2 + (n-1)S_B^2}{n+n-2} = \frac{(n-1)(S_A^2 + S_B^2)}{2n-2} = \frac{S_A^2 + S_B^2}{2}$。
檢定統計量為：
$t = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{S_A^2 + S_B^2}{2}} \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{n}}} = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{S_A^2 + S_B^2}{2}} \sqrt{\frac{2}{n}}} = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{S_A^2 + S_B^2}{n}}}$。

(iii) 決策規則：
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
自由度 $df = n_A + n_B - 2 = n + n - 2 = 2n - 2$。
由於是雙尾檢定，臨界值為 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 2n-2}$。
決策規則：如果 $|t| > t_{0.025, 2n-2}$，則拒絕 $H_0$。

(iv) 結論：
根據計算出的 t 值和查表得到的臨界值來判斷是否拒絕 $H_0$。

(c) (10%) Let Z be 1 if it comes from location B and 0 otherwise. And Y be the income. We fit a simple linear regression model to this dataset {(Zi, Yi)}i=1,...2n and use the least squares method to get the estimated regression equation. Show that the least squares estimates of intercept and slope parameters are $\bar{X}_A$ and $\bar{X}_B - \bar{X}_A$, respectively.

簡單線性迴歸模型為：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 Z_i + \epsilon_i$。
其中 $Z_i$ 是指示變數 (dummy variable)：
$Z_i = 0$ 如果家庭來自地點 A。
$Z_i = 1$ 如果家庭來自地點 B。
$Y_i$ 是家庭的年收入。
$\beta_0$ 是截距項。
$\beta_1$ 是斜率項。
$\epsilon_i$ 是誤差項。

我們有 $2n$ 個觀測值，其中 $n$ 個來自地點 A ($Z_i=0$)，另外 $n$ 個來自地點 B ($Z_i=1$)。

當 $Z_i = 0$ (地點 A)：
$Y_i = \beta_0 + \beta_1(0) + \epsilon_i = \beta_0 + \epsilon_i$。
因此，地點 A 的樣本平均數 $\bar{X}_A$ 是 $\beta_0$ 的一個估計。

當 $Z_i = 1$ (地點 B)：
$Y_i = \beta_0 + \beta_1(1) + \epsilon_i = (\beta_0 + \beta_1) + \epsilon_i$。
因此，地點 B 的樣本平均數 $\bar{X}_B$ 是 $\beta_0 + \beta_1$ 的一個估計。

使用最小平方法 (Least Squares Method) 來估計 $\beta_0$ 和 $\beta_1$。
最小平方法要求最小化殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR)：
$SSR = \sum_{i=1}^{2n} \epsilon_i^2 = \sum_{i=1}^{2n} (Y_i - (\beta_0 + \beta_1 Z_i))^2$