108 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

此題考驗對貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，需要定義事件並計算聯合機率與條件機率。

設事件 C 表示一個人患有癌症 (Cancer)，事件 NC 表示一個人沒有患有癌症 (No Cancer)。
設事件 D 表示一個人被診斷出患有癌症 (Diagnosed with cancer)，事件 ND 表示一個人被診斷為沒有患有癌症 (Not Diagnosed with cancer)。

根據題目給予的資訊：

• P(C) = 0.05 (患有癌症的機率)
• 根據 P(C) = 0.05，我們可以推知 P(NC) = 1 - P(C) = 1 - 0.05 = 0.95 (沒有患有癌症的機率)
• P(D|C) = 0.78 (患有癌症的人被正確診斷為有癌症的機率，即真陽性率)
• P(D|NC) = 0.06 (沒有癌症的人被錯誤診斷為有癌症的機率，即假陽性率)

(1) 計算一個人被診斷出患有癌症的機率 P(D)。
一個人被診斷出患有癌症，可能的情況有兩種：
a) 他確實患有癌症，且被正確診斷出來 (C and D)。
b) 他沒有患有癌症，但被錯誤診斷出來 (NC and D)。

此題考驗對二項分配 (Binomial Distribution) 的理解，以及如何運用二項分配進行機率計算，並在適當條件下使用常態分配 (Normal Distribution) 進行近似。

題目情境：有 150 筆大型現金交易，經理追蹤這些交易以確認報告程序是否正確。
已知單一交易出現程序錯誤的機率為 10% (p = 0.10)。
總交易筆數 n = 150。

(1) 使用二項分配模型的必要假設：
二項分配適用於以下條件：
a) 固定試驗次數 (Fixed number of trials)：總共有 n 次獨立的試驗，在這裡是 n = 150 筆交易。
b) 試驗結果只有兩種 (Two possible outcomes)：每次試驗的結果只有成功 (符合預期) 或失敗 (不符合預期)，在這裡是「程序錯誤」或「無程序錯誤」。
c) 試驗結果獨立 (Independent trials)：每次交易的程序錯誤與否是獨立的，不受其他交易的影響。
d) 成功機率固定 (Constant probability of success)：每次試驗成功的機率 p 是固定的。在這裡，「成功」可以定義為「發生程序錯誤」，其機率 p = 0.10 對於每筆交易都是相同的。

【答案】a) 固定試驗次數 (n=150)。 b) 每次交易結果只有兩種：有程序錯誤或無程序錯誤。 c) 各次交易的程序錯誤與否是獨立事件。 d) 每次交易發生程序錯誤的機率固定 (p=0.10)。

(2) 使用二項分配計算經理發現「超過五筆」交易有程序錯誤的機率：
令 X 為經理發現有程序錯誤的交易筆數。
X 服從二項分配，記為 $X \sim B(n=150, p=0.10)$。
我們要求 P(X > 5)。
直接計算 P(X > 5) = P(X=6) + P(X=7) + ... + P(X=150)。這會非常繁瑣。
更常見的做法是計算其補集：P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5)。
P(X ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

二項機率公式為：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

此題考驗對敘述統計量 (descriptive statistics)、樣本數估計 (sample size estimation)、信賴區間 (confidence interval) 的建構、變異數檢定 (variance test) 以及平均數檢定 (mean test) 的綜合應用。

給定兩組獨立樣本的統計量：
Term Life Insurance: $\bar{x}_1 = 75,000$, $s_1 = 22,000$, $n_1 = 25$
Whole Life Insurance: $\bar{x}_2 = 45,000$, $s_2 = 15,500$, $n_2 = 29$
假設兩者皆為常態分配。

(1) 相對變異性比較：
相對變異性通常使用變異係數 (Coefficient of Variation, CV) 來衡量，其定義為標準差除以平均數：$CV = \frac{\sigma}{\mu}$ (對於母體) 或 $CV = \frac{s}{\bar{x}}$ (對於樣本)。
我們計算兩組樣本的變異係數：

Term Life Insurance:
$CV_1 = \frac{s_1}{\bar{x}_1} = \frac{22,000}{75,000} \approx 0.2933$

Whole Life Insurance:
$CV_2 = \frac{s_2}{\bar{x}_2} = \frac{15,500}{45,000} \approx 0.3444$

比較 $CV_1$ 和 $CV_2$：
$CV_1 \approx 0.2933$
$CV_2 \approx 0.3444$
由於 $CV_2 > CV_1$，表示 Whole Life Insurance 的相對變異性較 Term Life Insurance 大。

【答案】Whole Life Insurance 的相對變異性 (約 0.3444) 比 Term Life Insurance (約 0.2933) 大。

(2) 計算 Whole Life Insurance 的樣本數估計：
目標：估計 Whole Life Insurance 的平均金額，要求誤差範圍 (Margin of Error, E) 不超過 3,500，且信賴水準為 99%。
我們需要對 Whole Life Insurance 的樣本數進行估計。
樣本數公式 (對於平均數的信賴區間)：$n = (\frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E})^2$。
在實際應用中，母體標準差 $\sigma$ 通常未知，我們用樣本標準差 $s$ 來估計。
題目中給定 Whole Life Insurance 的樣本標準差 $s_2 = 15,500$。
信賴水準為 99%，所以 $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。
$z_{\alpha/2} = z_{0.005}$。查標準常態分配表，P(Z < $z_{0.005}$) = 0.995，故 $z_{0.005} \approx 2.576$。
誤差範圍 E = 3,500。

代入公式：
$n = (\frac{2.576 * 15,500}{3,500})^2$
$n = (\frac{39928}{3500})^2$
$n = (11.408)^2 \approx 130.14$

由於樣本數必須是整數，且要確保達到所需的精確度，我們需要向上取整。
$n = 131$

【答案】131

(3) 建構兩組平均數差異的 95% 信賴區間：
我們要建構 $\mu_1 - \mu_2$ 的 95% 信賴區間。
由於兩組樣本來自不同的保險類型，我們假設它們是獨立樣本。
樣本大小 $n_1 = 25$ 和 $n_2 = 29$ 都不算非常大，且我們不知道母體變異數是否相等。
首先，我們需要判斷是否可以合併變異數。這通常需要先做 F 檢定 (見 (4))。
如果我們假設母體變異數不相等 (較保守的做法)，則使用獨立樣本 t 檢定，自由度計算較複雜 (Welch-Satterthwaite equation)。
如果題目允許我們假設母體變異數相等 (或在 (4) 中檢定後若無法拒絕相等假設)，則可以使用合併變異數的 t 檢定。

在沒有 (4) 的結果前，我們暫時假設母體變異數不相等。
信賴區間公式為：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2, df} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
其中 $df$ 是根據 Welch-Satterthwaite 方程式計算的自由度。

然而，如果題目預期我們在沒有進行 (4) 的情況下就建構 CI，通常會假設母體變異數相等，或者直接使用較保守的較小自由度 (min($n_1-1, n_2-1$))。
我們在這裡先假設母體變異數相等，因為這在課堂上較常見，且 (4) 就是在檢定此假設。
若假設 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$，則我們計算合併變異數 $s_p^2$：
$df = n_1 + n_2 - 2 = 25 + 29 - 2 = 52$
$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
$s_p^2 = \frac{(24)(22000^2) + (28)(15500^2)}{52}$
$s_p^2 = \frac{24 \times 484,000,000 + 28 \times 240,250,000}{52}$
$s_p^2 = \frac{11,616,000,000 + 6,727,000,000}{52}$
$s_p^2 = \frac{18,343,000,000}{52} \approx 352,750,000$
$s_p = \sqrt{352,750,000} \approx 18,781.6$

信賴區間為：$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2, df} s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$
信賴水準 95%，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
$df = 52$。查 t 分配表，$t_{0.025, 52} \approx 2.006$ (如果查不到 52，可用 50 或 60 的近似值，但通常有較精確的查表工具或軟體)。
點估計的差異：$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 75,000 - 45,000 = 30,000$。
標準誤：$SE = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = 18,781.6 \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{29}}$

此題考驗對複迴歸分析 (Multiple Regression Analysis) 結果的解讀、顯著性檢定、變異數分析表 (ANOVA table) 的建構，以及迴歸標準誤 (Standard Error of Regression) 的計算與意義。

給定一個包含 14 個自變數的複迴歸模型，預測的依變數是「利率」(Interest Rate)。
樣本數 $n = 2,229$。
$SSTotal = 0.502$, $R^2 = 0.297$。

(1) 檢定統計上顯著的係數，並解釋其意義 (顯著水準 $\alpha = 0.05$)：
首先，我們需要判斷哪些變數的 t statistic 在 $\alpha = 0.05$ 下是統計上顯著的。
對於複迴歸，一個變數是否顯著，通常看其 t statistic 的絕對值是否大於 $t_{\alpha/2, n-k-1}$，其中 k 是自變數的個數。
在此題中，k = 14。自由度 $df = n - k - 1 = 2229 - 14 - 1 = 2214$。
對於 $df=2214$，查 t 分配表，臨界值 $t_{0.025, 2214}$ 約為 1.96 (因為自由度很大，接近常態分配的 1.96)。

我們檢查各變數的 t statistic：

• Intercept: |3.12| > 1.96 (顯著)
• Loan size: |-10.30| > 1.96 (顯著)
• Length of loan: |-4.20| > 1.96 (顯著)
• Percent down payment: |-8.35| > 1.96 (顯著)
• Cosigner: |-3.02| > 1.96 (顯著)
• Unsecured loan: |2.19| > 1.96 (顯著)
• Total payment: |1.37| < 1.96 (不顯著)
• Total income: |-2.37| > 1.96 (顯著)
• Bad credit report: |1.99| > 1.96 (顯著)
• Young borrower: |2.85| > 1.96 (顯著)
• Male borrower: |-0.89| < 1.96 (不顯著)
• Married: |-1.91| < 1.96 (不顯著，但非常接近)
• Own home: |-2.73| > 1.96 (顯著)
• Years at current address: |-4.21| > 1.96 (顯著)

顯著變數及其係數符號與解釋：

• Intercept (15.47): 當所有自變數均為 0 時，預測的利率為 15.47%。這通常是個理論值，在實務上可能沒有直接意義，除非所有自變數的 0 值都有實際意義。
• Loan size (-0.0015): 貸款金額每增加 1 TWD，利率預期會下降 0.0015 個百分點。負號表示貸款金額越大，利率越低，可能因為大額貸款的風險較低或有其他優惠。
• Length of loan (in months) (-0.906): 貸款期數每增加 1 個月，利率預期會下降 0.906 個百分點。負號表示貸款期越長，利率越低，這與一般認知可能相反 (通常期數越長風險越高，利率應越高)，需要進一步探討其原因，可能模型有其他變數未納入或有特定市場現象。
• Percent down payment (-0.522): 頭期款比例每增加 1%，利率預期會下降 0.522 個百分點。負號表示頭期款比例越高，利率越低，這符合直覺，因為頭期款比例高代表借款人財務狀況較穩健，風險較低。
• Cosigner (0=No, 1=Yes) (-0.009): 如果有擔保人 (Cosigner=1)，利率預期比沒有擔保人 (Cosigner=0) 時下降 0.009 個百分點。負號表示有擔保人有助於降低利率，因為降低了銀行的風險。
• Unsecured loan (0=No, 1=Yes) (0.034): 無擔保貸款 (Unsecured loan=1) 的利率預期比有擔保貸款 (Unsecured loan=0) 時高 0.034 個百分點。正號表示無擔保貸款風險較高，因此利率較高。
• Total income (-0.170): 總收入每增加 1 元，利率預期會下降 0.170 個百分點。負號表示收入越高，利率越低，這意味著高收入者被認為風險較低。
• Bad credit report (0=No, 1=Yes) (0.012): 有不良信用紀錄 (Bad credit report=1) 的利率預期比沒有不良信用紀錄 (Bad credit report=0) 時高 0.012 個百分點。正號表示不良信用紀錄會增加利率。
• Young borrower (0=older than 25, 1=25 or younger) (0.027): 年輕借款人 (Young borrower=1) 的利率預期比年長借款人 (Young borrower=0) 時高 0.027 個百分點。正號表示年輕借款人可能被認為風險較高。
• Own home (0=No, 1=Yes) (-0.011): 擁有房屋 (Own home=1) 的利率預期比沒有房屋 (Own home=0) 時下降 0.011 個百分點。負號表示擁有房屋的借款人風險較低。
• Years at current address (-0.124): 在現址居住年數每增加 1 年，利率預期會下降 0.124 個百分點。

此題提供 F 分配表，通常用於進行變異數檢定 (如問題 3(4)) 或檢定迴歸模型的整體顯著性 (如問題 4(2) 中的 F statistic)。題目本身沒有具體問題，僅為提供查表工具。

若此題目是獨立出現，且無具體問題，則無法作答。
假設此為附錄性質，供前面題目查閱。
例如，在問題 3(4) 中，我們需要 F 檢定的臨界值。
$df_1 = 24, df_2 = 28$, $\alpha = 0.05$ (雙尾)。
在表中尋找 $v_1 = 24$ 和 $v_2 = 28$ 的列和欄，並對應到 $\alpha = 0.05$ 的欄位。
查表時，若沒有精確的 $v_1=24$ 或 $v_2=28$，則可能需要使用近似值或進行插值。
例如，若要找 $F_{0.025, 24, 28}$，我們需要查表。

此題提供 F 分配表，通常用於進行變異數檢定 (如問題 3(4)) 或檢定迴歸模型的整體顯著性 (如問題 4(2) 中的 F statistic)。題目本身沒有具體問題，僅為提供查表工具。

若此題目是獨立出現，且無具體問題，則無法作答。
假設此為附錄性質，供前面題目查閱。
例如，在問題 3(4) 中，我們需要 F 檢定的臨界值。
$df_1 = 24, df_2 = 28$, $\alpha = 0.05$ (雙尾)。
在表中尋找 $v_1 = 24$ 的列，以及 $v_2 = 28$ 的欄。
對應到 $\alpha = 0.05$ 的欄位，表中 $v_1=24$ 的列，與 $v_2=28$ 的欄，數值為 2.35。