111 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。

設 $B_1, B_2, B_3$ 分別表示選擇到第一、二、三個箱子的事件，而 $R$ 表示抽到紅球的事件。
由於箱子是隨機選擇的，所以選擇到每個箱子的機率相等：
$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$

各箱子抽到紅球的條件機率如下：
箱子一：1 個紅球，9 個白球，共 10 球。 $P(R|B_1) = \frac{1}{10}$
箱子二：5 個紅球，5 個白球，共 10 球。 $P(R|B_2) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
箱子三：9 個紅球，1 個白球，共 10 球。 $P(R|B_3) = \frac{9}{10}$

我們要計算的是，在已知抽到紅球的條件下，是第三個箱子被選到的機率，即 $P(B_3|R)$。
根據貝氏定理：
$P(B_3|R) = \frac{P(R|B_3)P(B_3)}{P(R)}$

首先，我們需要計算抽到紅球的總機率 $P(R)$。根據全機率法則：
$P(R) = P(R|B_1)P(B_1) + P(R|B_2)P(B_2) + P(R|B_3)P(B_3)$

本題考驗離散型隨機變數的期望值與變異數計算，以及中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。

核心觀念：

1. 離散型隨機變數的期望值與變異數計算公式。
2. 中央極限定理：當樣本數足夠大時，樣本平均數的分布近似於常態分布。
3. 常態分布的機率計算。

a. 計算 $E(X) = \mu$ and $var(X) = \sigma^2$

計算期望值 $E(X)$：
期望值是隨機變數所有可能值的加權平均，權重為其對應的機率。
$E(X) = \sum x f_X(x)$
$\mu = E(X) = (0.05)(0.5) + (0.00)(0.2) + (-0.05)(0.3)$
$\mu = 0.025 + 0.00 - 0.015$
$\mu = 0.01$

計算變異數 $var(X)$：
變異數的計算公式為 $var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。
首先，計算 $E(X^2)$：
$E(X^2) = \sum x^2 f_X(x)$
$E(X^2) = (0.05)^2(0.5) + (0.00)^2(0.2) + (-0.05)^2(0.3)$
$E(X^2) = (0.0025)(0.5) + (0)(0.2) + (0.0025)(0.3)$
$E(X^2) = 0.00125 + 0.00 + 0.00075$
$E(X^2) = 0.00200$

接著，計算變異數 $\sigma^2$：
$\sigma^2 = var(X) = E(X^2) - \mu^2$
$\sigma^2 = 0.00200 - (0.01)^2$
$\sigma^2 = 0.00200 - 0.0001$
$\sigma^2 = 0.0019$

【答案】 $E(X) = \mu = 0.01$, $var(X) = \sigma^2 = 0.0019$

b. 使用中央極限定理估計 3 小時後股價上漲至少 1.20 美元的機率

步驟 1：確定樣本數 $n$
題目要求計算 3 小時後股價的變動。由於 $X$ 是每分鐘的股價變動，所以 3 小時總共有 $3 \text{ hours} \times 60 \text{ minutes/hour} = 180$ 分鐘。因此，樣本數 $n = 180$。

步驟 2：定義樣本平均數的期望值與變異數
根據中央極限定理，即使原始變數 $X$ 不是常態分布，當樣本數 $n$ 足夠大時 (這裡 $n=180$ 應足夠大)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分布會近似於常態分布。
樣本平均數的期望值：$E(\bar{X}) = E(X) = \mu = 0.01$
樣本平均數的變異數：$var(\bar{X}) = \frac{var(X)}{n} = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{0.0019}{180}$

計算 $var(\bar{X})$：
$var(\bar{X}) = \frac{0.0019}{180} \approx 0.000010556$
樣本標準差：
$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{var(\bar{X})} = \sqrt{\frac{0.0019}{180}} \approx \sqrt{0.000010556} \approx 0.003249$

步驟 3：將問題轉換為樣本平均數的機率問題
我們要估計的是 3 小時 (180 分鐘) 股價總變動至少為 1.20 美元的機率。
總變動可以表示為 180 個獨立的隨機變數 $X_i$ 的總和：$S_{180} = X_1 + X_2 + \dots + X_{180}$。
總變動的期望值是 $E(S_{180}) = n \mu = 180 \times 0.01 = 1.80$。
總變動的變異數是 $var(S_{180}) = n \sigma^2 = 180 \times 0.0019 = 0.342$。
總變動的標準差是 $\sigma_{S_{180}} = \sqrt{n \sigma^2} = \sqrt{0.342} \approx 0.5848$。

本題考驗比例的信賴區間 (Confidence Interval for a Proportion) 的計算與解釋。

核心觀念：

1. 點估計 (Point Estimate) 與區間估計 (Interval Estimate)。
2. 比例的信賴區間計算公式。
3. 信賴區間的解釋。

步驟 1：識別參數與樣本統計量

• 母體參數：true percent of accounts receivable that are more than 30 days overdue (母體比例 $p$)。
• 樣本大小：$n = 500$。
• 樣本中符合條件的數量：$x = 300$。
• 樣本比例：$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{300}{500} = 0.6$。

步驟 2：確定信賴水準與臨界值

• 信賴水準 (Confidence Level)：90%
• 顯著水準 (Significance Level)：$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。
• 由於是比例的信賴區間，我們使用標準常態分布的 $z$ 值作為臨界值。對於 90% 的信賴水準，我們需要在標準常態分布的兩側各留下 $\alpha/2 = 0.10/2 = 0.05$ 的機率。
• 尋找 $z_{\alpha/2}$ 使得 $P(Z > z_{\alpha/2}) = 0.05$，或 $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$。
• 查標準常態分布表可知，$z_{0.05} \approx 1.645$。

步驟 3：計算信賴區間
比例的信賴區間公式為：
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

本題考驗獨立性檢定 (Test of Independence) 的應用，使用卡方檢定 (Chi-Square Test)。

核心觀念：

1. 獨立性檢定的假設檢定架構。
2. 觀察值 (Observed Values, $O_{ij}$) 與期望值 (Expected Values, $E_{ij}$) 的計算。
3. 卡方統計量 ($\chi^2$) 的計算公式。
4. 卡方分布的自由度與臨界值。
5. 決策規則與結論。

步驟 1：建立假設

• 虛無假設 ($H_0$)：年齡組別 (Age Group) 與淨資產價值 (Net Worth Value) 之間是獨立的。
• 對立假設 ($H_1$)：年齡組別與淨資產價值之間不是獨立的 (即存在關聯性)。

步驟 2：整理觀察值與計算邊際總計
首先，將表格資料整理成一個列聯表 (Contingency Table)，並計算各列、各欄的總計以及總計。

Age Group	Net Worth: 1-5	Net Worth: 6-24	Net Worth: ≥ 25	Row Total
17-25	8	7	5	20
26-30	6	5	9	20
Column Total	14	12	14	40

觀察值矩陣 $O_{ij}$：

$$O = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 5 \\ 6 & 5 & 9 \end{pmatrix}$$

總樣本數 $N = 40$。

步驟 3：計算期望值 $E_{ij}$
在虛無假設成立的情況下，各儲存格的期望值 $E_{ij}$ 可以透過以下公式計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{N}$

• $E_{11}$ (Age 17-25, NW 1-5): $\frac{20 \times 14}{40} = \frac{280}{40} = 7$
• $E_{12}$ (Age 17-25, NW 6-24): $\frac{20 \times 12}{40} = \frac{240}{40} = 6$
• $E_{13}$ (Age 17-25, NW ≥ 25): $\frac{20 \times 14}{40} = \frac{280}{40} = 7$
• $E_{21}$ (Age 26-30, NW 1-5): $\frac{20 \times 14}{40} = \frac{280}{40} = 7$
• $E_{22}$ (Age 26-30, NW 6-24): $\frac{20 \times 12}{40} = \frac{240}{40} = 6$
• $E_{23}$ (Age 26-30, NW ≥ 25): $\frac{20 \times 14}{40} = \frac{280}{40} = 7$

期望值矩陣 $E_{ij}$：

$$E = \begin{pmatrix} 7 & 6 & 7 \\ 7 & 6 & 7 \end{pmatrix}$$

步驟 4：計算卡方統計量 $\chi^2$
卡方統計量計算公式為：
$\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

核心觀念

本題考查：

• 母體平均數的單尾假設檢定
• 母體標準差已知時的 $Z$ 檢定
• 顯著水準 $\alpha$ 與拒絕域
• 第二類錯誤（Type II error）的計算

製造商宣稱平均油耗「至少」為 25 英里／加侖，因此假設為：

$$H_0:\mu\ge 25$$

若研究團隊想判定製造商的宣稱是否應被拒絕，對立假設為：

$$H_1:\mu<25$$

這是左尾檢定。

已知：

$$n=30,\qquad \sigma=3,\qquad \alpha=0.02$$

其中 $\sigma$ 為母體標準差。

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解題方法

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，使用單一母體平均數的 $Z$ 檢定：

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

本題在虛無假設的邊界值 $\mu_0=25$ 下進行檢定，故：

$$Z=\frac{\bar X-25}{3/\sqrt{30}}$$

因為是左尾檢定，顯著水準為 $0.02$，標準常態分配的臨界值為：

$$z_{0.02}=-2.0537$$

因此拒絕域為：

$$Z<-2.0537$$

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（a）根據 $\bar X$ 的決策規則

將 $Z$ 檢定式代入拒絕條件：

$$\frac{\bar X-25}{3/\sqrt{30}}<-2.0537$$

兩邊乘以正值 $3/\sqrt{30}$：

$$\bar X-25<-2.0537\left(\frac{3}{\sqrt{30}}\right)$$

因此：

$$\bar X<25-2.0537\left(\frac{3}{\sqrt{30}}\right)$$

計算標準誤：

$$\frac{3}{\sqrt{30}}\approx 0.5477$$

所以臨界值為：

$$25-2.0537(0.5477)\approx 23.875$$

決策規則為：

• 若 $\bar X<23.875$，拒絕 $H_0$，認為平均油耗低於 25 英里／加侖，製造商的宣稱應予拒絕。
• 若 $\bar X\ge 23.875$，不拒絕 $H_0$，沒有足夠證據拒絕製造商的宣稱。

因此：

$$\boxed{\text{拒絕 }H_0\text{ 的條件為 }\bar X<23.875}$$

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（b）實際平均油耗為 23 時的第二類錯誤機率

本題考驗簡單線性迴歸中的判定係數 $R^2$ 的計算與解釋。

核心觀念：

1. 判定係數 $R^2$ 的定義與計算。
2. $R^2$ 在迴歸分析中的意義。
3. $R^2$ 的解釋。

步驟 1：理解 $R^2$ 的意義
判定係數 $R^2$ (Coefficient of Determination) 是衡量迴歸模型解釋依變數 (y) 變異的能力。它表示依變數的總變異中，有多少比例可以被自變數 (x) 的變異所解釋。
$R^2$ 的值介於 0 和 1 之間。越接近 1 表示模型的解釋力越強。
計算公式有兩種常見形式：

1. $R^2 = \frac{SSR}{SST}$，其中 SSR 是迴歸平方和 (Sum of Squares due to Regression)，SST 是總平方和 (Total Sum of Squares)。
2. $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$，其中 SSE 是殘差平方和 (Sum of Squares due to Error)。

步驟 2：計算必要的平方和 (Sum of Squares)
我們需要計算 SST (總平方和) 和 SSR (迴歸平方和) 或 SSE (殘差平方和)。
題目已給出迴歸線方程式：$\hat{y} = 80 + 4x$。

計算 SST (總平方和)：
SST 衡量了依變數 $y$ 的總變異。
$SST = \sum (y_i - \bar{y})^2$
首先，計算樣本平均數 $\bar{y}$。
$\sum y_i = 80 + 97 + 92 + 102 + 103 + 111 + 119 + 123 + 117 + 136 = 1080$
$n = 10$
$\bar{y} = \frac{1080}{10} = 108$

現在計算 SST：
$SST = (80-108)^2 + (97-108)^2 + (92-108)^2 + (102-108)^2 + (103-108)^2 + (111-108)^2 + (119-108)^2 + (123-108)^2 + (117-108)^2 + (136-108)^2$
$SST = (-28)^2 + (-11)^2 + (-16)^2 + (-6)^2 + (-5)^2 + (3)^2 + (11)^2 + (15)^2 + (9)^2 + (28)^2$
$SST = 784 + 121 + 256 + 36 + 25 + 9 + 121 + 225 + 81 + 784$
$SST = 2442$

計算 SSE (殘差平方和)：
SSE 衡量了迴歸模型未能解釋的變異。
$SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$
我們需要先計算每個數據點的預測值 $\hat{y}_i = 80 + 4x_i$。

Salesperson	x	y	$\hat{y} = 80 + 4x$	$y - \hat{y}$ (Residual)	$(y - \hat{y})^2$
1	1	80	$80 + 4(1) = 84$	$80 - 84 = -4$	16