111 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）甲組《統計學》

此題主要在於計算盒鬚圖所需的統計量，並應用標準的離群值判斷法則。

盒鬚圖 (Box and Whisker Plot) 的繪製與離群值判斷

盒鬚圖是一種用來展示數據分佈的圖形，它能直觀地顯示數據的最小值、第一四分位數 (Q1)、中位數 (Median)、第三四分位數 (Q3) 和最大值。此外，它還能標示出可能的離群值 (Outliers)。

步驟一：計算盒鬚圖所需的統計量

首先，我們需要從題目提供的表格中，找出「戶量」這一欄的數據。這裡的「戶量」指的是「每戶平均人口數」。為了繪製盒鬚圖，我們需要計算以下統計量：

1. 最小值 (Minimum)：數據中的最小數值。
2. 第一四分位數 (Q1)：數據集中排序後，位於 25% 位置的數值。
3. 中位數 (Median)：數據集中排序後，位於 50% 位置的數值。
4. 第三四分位數 (Q3)：數據集中排序後，位於 75% 位置的數值。
5. 最大值 (Maximum)：數據中的最大數值。

我們需要對表格中的所有縣市「戶量」數值進行排序，然後計算 Q1, Median, Q3。

數據整理與排序 (部分展示)
原始數據 (戶量)：2.48, 2.40, 2.64, 2.77, 2.63, 2.44, 2.59, 2.73, 2.76, 3.15, 2.70, 2.74, 2.67, 2.75, 2.54, 2.52, 2.51, 2.34, 2.60, 2.60, 3.32, 3.86。
共有 N = 22 個數據點。

排序後 (從小到大)：
2.34, 2.40, 2.44, 2.48, 2.51, 2.52, 2.54, 2.59, 2.60, 2.60, 2.63, 2.64, 2.67, 2.70, 2.73, 2.74, 2.75, 2.76, 2.77, 3.15, 3.32, 3.86

• 中位數 (Median)：由於有 22 個數據點 (偶數)，中位數是第 11 和第 12 個數據的平均值。
  Median = (2.63 + 2.64) / 2 = 2.635

• 第一四分位數 (Q1)：取排序後前 11 個數據的中位數。
  Q1 = 2.59 (第 6 個數據)

• 第三四分位數 (Q3)：取排序後後 11 個數據的中位數。
  Q3 = 2.75 (第 17 個數據)

• 最小值 (Minimum)：2.34 (基隆市)

• 最大值 (Maximum)：3.86 (連江縣)

步驟二：定義離群值判斷準則

離群值通常是指落在「下界」或「上界」之外的數據點。

• 下界 (Lower Bound)：$Q1 - 1.5 \times IQR$

核心觀念

本題測驗「離散型隨機變數之機率分配函數、期望值與變異數」。涉及核心定義如下：

1. 離散型隨機變數之機率質量函數（PMF）：
   設離散隨機變數 $H$ 的可能取值為 $h \in \{1, 2, 3\}$，其機率分配以 $P(H=h) = p(h)$ 表示，且滿足： $$p(h) \ge 0 \quad \text{且} \quad \sum_{h} p(h) = 1$$
2. 期望值（Expected Value）： $$E(H) = \sum_{h} h \cdot P(H=h)$$
3. 變異數（Variance）： $$Var(H) = E(H^2) - [E(H)]^2 = \sum_{h} h^2 \cdot P(H=h) - [E(H)]^2$$

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解題方法

本題題幹定義了房貸負擔率與房價負擔能力程度 $H \in \{1, 2, 3\}$ 的切點對應關係，但試題中未附帶房貸負擔率之母體分配或樣本經驗機率（如內政部不動產資訊平台公佈之各級距佔比或前題題組資料）。因此，解題時需以一般化的機率符號 $p_1, p_2, p_3$ 建立標準機率模型架構，並說明當給定特定數值時之計算代入程序。

令 $X$ 為房貸負擔率，定義隨機變數 $H$：

• $h=1$（合理負擔）：$X < 30\%$，設其發生機率為 $P(H=1) = p_1$。
• $h=2$（房價負擔能力略低）：$30\% \le X < 40\%$，設其發生機率為 $P(H=2) = p_2$。
• $h=3$（房價負擔能力偏低）：$X \ge 40\%$，設其發生機率為 $P(H=3) = p_3 = 1 - p_1 - p_2$。

(1) 計算隨機變數 $H$ 之機率分配函數

依據定義，離散隨機變數 $H$ 的機率質量函數（Probability Mass Function, PMF）表示為：

$$P(H=h) = \begin{cases} p_1, & h = 1 \\ p_2, & h = 2 \\ p_3 = 1 - p_1 - p_2, & h = 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其累積分配函數（Cumulative Distribution Function, CDF）$F(h) = P(H \le h)$ 則為：

$$F(h) = \begin{cases} 0, & h < 1 \\ p_1, & 1 \le h < 2 \\ p_1 + p_2, & 2 \le h < 3 \\ 1, & h \ge 3 \end{cases}$$

(2) 計算隨機變數 $H$ 的期望值與變異數

1. 期望值 $E(H)$： $$E(H) = \sum_{h=1}^{3} h \cdot P(H=h) = 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = p_1 + 2p_2 + 3p_3$$
2. 二階動差 $E(H^2)$：

此題組主要考驗信賴區間、獨立樣本 t 檢定、變異數分析 (ANOVA) 的基本概念與應用。

數據準備
我們需要從表格中提取「性別比例」這一欄的數據。
性別比例數據：95.43, 90.86, 98.09, 96.42, 99.21, 97.20, 101.46, 104.27, 106.37, 103.29, 104.47, 107.02, 107.79, 103.78, 105.49, 102.19, 106.15, 99.43, 97.60, 93.43, 99.37, 137.37。
共有 N = 22 個數據點。

定義「六都」與「非六都」
根據中華民國行政區劃，六都為：新北市、臺北市、桃園市、臺中市、臺南市、高雄市。

• 六都 (n1=6)：95.43, 90.86, 98.09, 96.42, 99.21, 97.20
• 非六都 (n2=16)：101.46, 104.27, 106.37, 103.29, 104.47, 107.02, 107.79, 103.78, 105.49, 102.19, 106.15, 99.43, 97.60, 93.43, 99.37, 137.37

步驟一：計算性別比例母體均數的 95% 信賴區間

假設性別比例的母體均數 $\mu$ 服從常態分配。由於母體標準差未知，我們將使用 t 分配來建構信賴區間。
樣本均數 $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$
樣本標準差 $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N-1}}$

首先計算所有 22 個縣市的性別比例的樣本均數和樣本標準差。
$\sum x_i = 95.43 + 90.86 + ... + 137.37 = 2219.23$
$\bar{x} = \frac{2219.23}{22} \approx 100.874$

計算樣本標準差 $s$：
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = (95.43-100.874)^2 + ... + (137.37-100.874)^2 \approx 3219.32$
$s^2 = \frac{3219.32}{22-1} = \frac{3219.32}{21} \approx 153.301$
$s = \sqrt{153.301} \approx 12.381$

對於 95% 信賴區間，顯著水準 $\alpha = 0.05$。自由度 $df = N-1 = 22-1 = 21$。
查 t 分配表，當 $df=21$ 且 $\alpha/2 = 0.025$ 時，$t_{\alpha/2, df} \approx 2.080$。

信賴區間公式：$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{N}}$
信賴區間 = $100.874 \pm 2.080 \times \frac{12.381}{\sqrt{22}}$
信賴區間 = $100.874 \pm 2.080 \times \frac{12.381}{4.690}$
信賴區間 = $100.874 \pm 2.080 \times 2.6398$
信賴區間 = $100.874 \pm 5.491$
信賴區間 = $(95.383, 106.365)$

【答案】性別比例母體均數的 95% 信賴區間估計為 (95.383, 106.365)。

步驟二：檢定六都與非六都縣市性別比例母體平均數是否相等

這是一個獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test)。
虛無假設 $H_0: \mu_{六都} = \mu_{非六都}$
對立假設 $H_1: \mu_{六都} \neq \mu_{非六都}$
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

我們需要計算六都和非六都的樣本均數、樣本標準差和樣本大小。

• 六都 (n1=6): 95.43, 90.86, 98.09, 96.42, 99.21, 97.20
  $\bar{x}_1 = \frac{95.43+90.86+98.09+96.42+99.21+97.20}{6} = \frac{577.21}{6} \approx 96.202$
  $\sum (x_{1i} - \bar{x}_1)^2 \approx 63.592$
  $s_1^2 = \frac{63.592}{6-1} = \frac{63.592}{5} \approx 12.718$
  $s_1 = \sqrt{12.718} \approx 3.566$

• 非六都 (n2=16): 101.46, 104.27, 106.37, 103.29, 104.47, 107.02, 107.79, 103.78, 105.49, 102.19, 106.15, 99.43, 97.60, 93.43, 99.37, 137.37
  $\bar{x}_2 = \frac{101.46+...+137.37}{16} = \frac{1648.07}{16} \approx 103.004$
  $\sum (x_{2i} - \bar{x}_2)^2 \approx 1800.75$
  $s_2^2 = \frac{1800.75}{16-1} = \frac{1800.75}{15} \approx 120.05$
  $s_2 = \sqrt{120.05} \approx 10.957$

題目假設母體變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)，因此我們採用合併變異數 (pooled variance) 的 t 檢定。
合併變異數 $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
$s_p^2 = \frac{(6-1)(12.718) + (16-1)(120.05)}{6+16-2}$
$s_p^2 = \frac{5 \times 12.718 + 15 \times 120.05}{20}$
$s_p^2 = \frac{63.59 + 1800.75}{20} = \frac{1864.34}{20} \approx 93.217$
$s_p = \sqrt{93.217} \approx 9.655$

t 檢定統計量：$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
$t = \frac{96.202 - 103.004}{9.655 \sqrt{\frac{1}{6} + \frac{1}{16}}}$
$t = \frac{-6.802}{9.655 \sqrt{0.1667 + 0.0625}}$
$t = \frac{-6.802}{9.655 \sqrt{0.2292}}$
$t = \frac{-6.802}{9.655 \times 0.4788}$
$t = \frac{-6.802}{4.622}$
$t \approx -1.472$

自由度 $df = n_1 + n_2 - 2 = 6 + 16 - 2 = 20$。
查 t 分配表，當 $df=20$ 且 $\alpha=0.05$ 時，臨界值為 $t_{0.025, 20} \approx 2.086$。
計算出的 t 值 $|-1.472| < 2.086$。
因此，我們無法拒絕虛無假設 $H_0$。

【答案】在顯著水準 0.05 下，我們無法拒絕六都與非六都縣市性別比例母體平均數相等的結論。

步驟三：檢定 H=1, 2, 3 對應縣市的性別比例母體均數是否相等

此題是檢定三個或三個以上群體（h=1, h=2, h=3）的母體均數是否相等，應使用單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)。
虛無假設 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
對立假設 $H_1:$ 至少一個 $\mu_i$ 不等於其他 $\mu_j$ (即 $H_1:$ 至少一個是不等)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

此題主要考驗對迴歸模型中參數估計、多重共線性 (multicollinearity) 以及顯著性檢定的理解。

數據準備
迴歸模型：房貸負擔率 = $\beta_0 + \beta_1$(人口密度) + $\beta_2$(人口數總計) + $\beta_3$(人口數男) + $\beta_4$(人口數女) + $\beta_5$(性別比例) + $\beta_6$(戶量) + $\epsilon$

步驟一：解釋「人口數女」參數估計為 NA 的原因

在迴歸分析中，當出現「NA」的參數估計值時，通常表示該變數與模型中的其他解釋變數之間存在完全多重共線性 (Perfect Multicollinearity)。

在此模型中，解釋變數包括：人口密度、人口數總計、人口數男、人口數女、性別比例、戶量。
我們知道，人口數總計 = 人口數男 + 人口數女。
這意味著「人口數女」這個變數可以由「人口數總計」和「人口數男」這兩個變數線性組合而成。
$人口數女 = 人口數總計 - 人口數男$

當我們將這三個變數（人口數總計、人口數男、人口數女）同時納入迴歸模型時，就產生了完全多重共線性。迴歸模型無法唯一確定這三個變數對反應變數的貢獻，因為它們之間存在線性依賴關係。

因此，統計軟體在遇到這種情況時，通常會自動剔除其中一個變數（例如「人口數女」），或者將其參數估計值設為 NA，以避免模型崩潰。在這種情況下，「人口數女」的係數估計值為 NA，表示該變數的係數無法被估計出來。

【答案】「人口數女」的參數估計結果為 NA 的原因是，它與模型中的「人口數總計」和「人口數男」變數之間存在完全多重共線性。由於「人口數女 = 人口數總計 - 人口數男」，這三個變數之間存在線性依賴關係，導致模型無法唯一確定其係數。

步驟二：檢定各解釋變數的顯著性，並決定可排除的變數

檢定各解釋變數的顯著性，通常是通過檢定其迴歸係數是否顯著不等於零來進行。對於每一個解釋變數 $X_i$，我們檢定：
$H_0: \beta_i = 0$
$H_1: \beta_i \neq 0$

檢定統計量通常是 t 統計量，其計算方式為：$t = \frac{\hat{\beta}_i}{\text{SE}(\hat{\beta}_i)}$，其中 $\hat{\beta}_i$ 是估計的迴歸係數，SE$(\hat{\beta}_i)$ 是其標準誤。
我們將使用顯著水準 $\alpha = 0.05$。

分析各變數：

1. (Intercept)：
   Estimate = -97.8867, Std error = 43.5739
   $t = \frac{-97.8867}{43.5739} \approx -2.246$
   自由度（通常為 n-k-1，其中 k 是解釋變數個數，這裡 n 未知，但假設足夠大）。

此題主要考驗對變異數分析 (ANOVA) 表中各項目的理解，以及判定係數 $R^2$ 和調整 $R^2$ ($R^2_{adj}$) 的計算與意義。

數據準備
根據題 4 的迴歸模型，我們知道：

• 反應變數：房貸負擔率
• 解釋變數個數 (k)：人口密度, 人口數總計, 人口數男, 人口數女, 性別比例, 戶量。共 6 個變數。
• 然而，由於「人口數女」因多重共線性無法估計，實際模型中可能只納入了 5 個解釋變數（例如，移除了「人口數女」）。
• 重要提示： 題目 4 的表格中，雖然列出了 6 個解釋變數（包括 NA 的「人口數女」），但在計算 ANOVA 表時，通常是以「成功納入模型並估計出係數」的變數數量來確定自由度。如果「人口數女」被剔除，則模型中的解釋變數個數 k 應為 5。
• 讓我們假設模型中成功估計出係數的解釋變數個數為 k=5 (如：移除了「人口數女」)。
• 樣本總數 N：此數據在題目中未直接給出，但可以從 ANOVA 表的自由度中推算。

步驟一：填寫 ANOVA 表中的數值

ANOVA 表的結構如下：

Source	Degrees of Freedom (df)	Sum of Squares (SS)	Mean Square (MS)	F-statistic
Regression	$df_R = k$	$SS_R$	$MS_R = SS_R / df_R$	$F = MS_R / MS_E$
Error	$df_E = N-k-1$	$SS_E$	$MS_E = SS_E / df_E$
Total	$df_T = N-1$	$SS_T$

我們已知：

• $SS_E = 245.43$ (Error Sum of Squares)
• $F = (8)$ (F-statistic)

從題 4 的解釋變數列表，我們看到有 6 個解釋變數（包括 NA 的人口數女）。但通常在進行 ANOVA 表計算時，會使用成功估計的變數數量。若以 6 個解釋變數計算，則 $k=6$，那麼 $df_R = 6$。
若以 5 個解釋變數計算（例如，移除了人口數女），則 $k=5$，那麼 $df_R = 5$。

我們需要推斷 N 的值。 觀察題 3 中，性別比例的信賴區間和 t 檢定，樣本數 N=22。題 4 和題 5 的數據應該是基於相同的數據集。
如果 N=22，且模型中實際有 k 個解釋變數被估計，那麼：
$df_T = N-1 = 22-1 = 21$
$df_E = N-k-1$
$df_R = k$

情況一：假設模型中有 k=5 個有效的解釋變數（例如，移除了「人口數女」）

• (1) $df_R = k = 5$
• (2) $df_E = N - k - 1 = 22 - 5 - 1 = 16$
• (3) $df_T = N-1 = 22-1 = 21$

情況二：假設模型中有 k=6 個解釋變數，但其中一個 (人口數女) 係數為 NA，統計軟體可能將其自由度也計為 0 或視為無效
一般情況下，k 是指模型中被估計的解釋變數的數量。如果人口數女係數為 NA，那麼它實際上沒有被估計。所以，更合理的假設是 k=5。

我們根據情況一 (k=5) 來推算：

• (1) $df_R = 5$
• (2) $df_E = 16$
• (3) $df_T = 21$

我們知道 $df_T = df_R + df_E$。$5 + 16 = 21$，這與 $N=22$ 吻合。因此，我們採用 k=5 的假設。

現在計算其他值：

• (4) $SS_R = df_R \times MS_R$
• (5) $SS_T = SS_R + SS_E$
• (6) $MS_R = SS_R / df_R$
• (7) $MS_E = SS_E / df_E = 245.43 / 16 \approx 15.339$
• (8) $F = MS_R / MS_E$

我們還缺少 $SS_R$ 和 $SS_T$。
從題 4 的 t 檢定結果，我們知道各變數的 t 值。如果我們知道 N，就可以計算出 p 值。
然而，ANOVA 表的 F 值是給定的。我們可以利用 F 值來反推 $MS_R$。

$F = MS_R / MS_E \implies MS_R = F \times MS_E$
我們需要查 F 分配表，找到 $df_1=5, df_2=16$ 在 $\alpha=0.05$ 時的臨界值。
從提供的 F 分配表 (Page 3-4)，查找 $df_1=5$ (Numerator Degrees of Freedom) 和 $df_2=16$ (Denominator Degrees of Freedom)。
在 $df_1=5$ 的行，找到 $df_2=16$ 的欄位。
F-Distribution ($\alpha = 0.05$ in the Right Tail)

df1	5
...	...
...	...
16	3.005

所以，臨界 F 值約為 3.005。
題目中的 F 值 (8) 遠大於臨界值，說明模型整體是顯著的。

我們現在可以計算 $MS_R$：
$MS_R = F \times MS_E = 8 \times 15.339 \approx 122.712$