115 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

簡單線性迴歸中，迴歸線的擬合程度與預測區間的寬度，都與解釋變數（自變數）的值有關。

對於平均反應的信賴區間（Confidence Interval for the Mean Response）和新觀測值的預測區間（Prediction Interval for a New Observation），其寬度都可以表示為：
$CI/PI \propto \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_i - \bar{x})^2}{\sum(x_j - \bar{x})^2}}$

核心觀念

本題的核心考點為假說檢定中的型二誤差（Type II Error, $\beta$）與檢定力（Power, $1-\beta$）。

1. 基本設定：
   母體服從常態分配且母體標準差 $\sigma = 40$ 已知，欲檢定：

   $$H_0: \mu = \mu_0 = 240 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu \neq 240$$

   檢定統計量為標準常態變數：

   $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 240}{40 / \sqrt{n}}$$

   在顯著水準 $\alpha$ 的雙尾檢定下，$H_0$ 的接受域（不拒絕域）為：

   $$\mu_0 - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X} \le \mu_0 + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

2. 型二誤差機率 $\beta$ 的定義與計算：
   當真實母體平均數為 $\mu_1 = 260$（$\mu_1 > \mu_0$）時，未拒絕 $H_0$ 的機率即為型二誤差機率 $\beta$：

   $$\beta = P\left(\mu_0 - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X} \le \mu_0 + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\middle|\; \mu = \mu_1 \right)$$

   將 $\bar{X}$ 標準化為 $Z^* = \frac{\bar{X} - \mu_1}{\sigma / \sqrt{n}}$：

   $$\beta = \Phi\left( \frac{\mu_0 - \mu_1}{\sigma / \sqrt{n}} + z_{\alpha/2} \right) - \Phi\left( \frac{\mu_0 - \mu_1}{\sigma / \sqrt{n}} - z_{\alpha/2} \right)$$

   由於真實值 $\mu_1 = 260$ 遠高於虛無假設值 $\mu_0 = 240$，接受域下界的標準化值 $\frac{240 - 260}{\sigma / \sqrt{n}} - z_{\alpha/2}$ 落在非常遠的左尾負值，其累積機率接近 0。因此 $\beta$ 的主要大小完全由上界的累積機率決定：

   $$\beta \approx \Phi\left( \frac{\mu_0 - \mu_1}{\sigma / \sqrt{n}} + z_{\alpha/2} \right) = \Phi\left( -\frac{|\mu_1 - \mu_0|}{\sigma / \sqrt{n}} + z_{\alpha/2} \right)$$

   因為標準常態累積分配函數 $\Phi(x)$ 為嚴格遞增函數，欲使 $\beta$ 最小，等價於尋找使上界截斷值 $K = z_{\alpha/2} - \frac{|\mu_1 - \mu_0|}{\sigma / \sqrt{n}}$ 最小（最負）的組合。

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解題方法

給定 $\mu_0 = 240$、$\mu_1 = 260$、$\sigma = 40$，差異值 $|\mu_1 - \mu_0| = 20$。
標準誤差為 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{n}}$。

定義指標：

$$K = z_{\alpha/2} - \frac{|\mu_1 - \mu_0|}{\sigma / \sqrt{n}} = z_{\alpha/2} - \frac{20}{40 / \sqrt{n}} = z_{\alpha/2} - 0.5\sqrt{n}$$

$K$ 值愈小，$\beta \approx \Phi(K)$ 愈小。

常用的臨界值 $z_{\alpha/2}$：

• $\alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05 \implies z_{0.05} \approx 1.645$
• $\alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025 \implies z_{0.025} \approx 1.96$
• $\alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005 \implies z_{0.005} \approx 2.576$

我們逐一計算各選項對應的 $K$ 值與 $\beta$：

1. 選項 (A)：$n = 25, \alpha = 0.05$ $$\sqrt{n} = 5, \quad z_{0.025} = 1.96$$

此題為配對樣本的單尾檢定，目的是檢定兒子平均身高是否比父親高出 5 公分以上。

檢定設定如下：

• 虛無假設 $H_0$: $d = \mu_{son} - \mu_{father} \le 5$ (兒子平均身高不比父親高出 5 公分以上)
• 對立假設 $H_a$: $d = \mu_{son} - \mu_{father} > 5$ (兒子平均身高比父親高出 5 公分以上)

我們使用的是配對樣本 $t$-檢定，因為樣本數小 ($n=9$) 且母體標準差未知。檢定統計量為：
$t = \frac{\bar{d} - d_0}{s_d / \sqrt{n}}$
其中：

此題考驗對機率分布特徵的理解。題目給予的資訊是：

1. 產品的零售價格服從一個常用於模擬非負價格的連續機率分布。
2. 該分布的平均值 ($\mu$) 等於其標準差 ($\sigma$)。

我們需要判斷這種分布的形狀。

以下是一些常見的機率分布及其 $\mu$ 與 $\sigma$ 的關係：

• 常態分布 (Normal Distribution): $\mu$ 與 $\sigma$ 可以是任意值，沒有固定關係。且常態分布是完美的對稱分布。
• 指數分布 (Exponential Distribution): 常用於模擬等待時間，其 $\mu = \lambda^{-1}$，$\sigma = \lambda^{-1}$。因此，對於指數分布，$\mu = \sigma$。指數分布的特徵是右偏（Positively skewed），且最小值為 0。
• 伽瑪分布 (Gamma Distribution): 參數不同時，其 $\mu$ 和 $\sigma$ 的關係也不同。
• 卡方分布 (Chi-Square Distribution): 參數不同時，其 $\mu$ 和 $\sigma$ 的關係也不同。
• 均勻分布 (Uniform Distribution): $\mu$ 和 $\sigma$ 的關係由區間決定，通常 $\mu \neq \sigma$。

此題考量在簡單線性迴歸中，資料點對迴歸斜率估計的影響力（influence）。影響力大的點通常是指那些偏離整體資料趨勢，且會顯著改變迴歸線位置或斜率的點，這些點常被稱為「離群值」(outliers) 或「高槓桿點」(high leverage points)。

在簡單線性迴歸中，對迴歸斜率 $\hat{\beta}_1$ 的估計公式為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}$

從公式中可以看出，影響斜率估計的因素有：

1. 解釋變數 ($x$) 的值：離 $\bar{x}$ 越遠的點（高槓桿點），對分母 $\sum(x_i - \bar{x})^2$ 的貢獻越大，因此對斜率的影響力也越大。
2. 應變數 ($y$) 的值：與迴歸線偏差越大的點，對分子 $\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ 的影響越大。

核心觀念

顧客「隨機且獨立地隨時間到達」，且平均每 4 分鐘 1 位，表示顧客到達可視為卜瓦松過程（Poisson process）。

因此，等待下一位顧客到達的時間 $T$ 服從指數分配：

$$T\sim \operatorname{Exponential}(\lambda)$$

其中到達率為

$$\lambda=\frac{1}{4}=0.25\text{（每分鐘）}$$

指數分配具有無記憶性（memoryless property）：

$$P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)$$

也就是已經等待多久，不會影響接下來還要等待多久的機率。

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解題方法

題目已經等待 6 分鐘仍無顧客，問接下來超過 8 分鐘仍無顧客的機率：

$$P(T>14\mid T>6)$$

利用無記憶性：

$$P(T>14\mid T>6)=P(T>8)$$

指數分配的存活函數為：

$$P(T>t)=e^{-\lambda t}$$

代入 $\lambda=0.25$、$t=8$：

$$P(T>8)=e^{-0.25(8)} =e^{-2} \approx 0.1353$$

因此正確選項為 $(D)$。

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選項分析

• (A) 0.3679：錯誤。

  $0.3679\approx e^{-1}$

  這相當於使用等待 4 分鐘計算：

此題是延續上一題，關於顧客抵達的卜瓦松過程。

上一題提到，平均每四分鐘來一位顧客。這表示抵達率 $\lambda = \frac{1}{4}$ 顧客/分鐘。

此題是一個典型的多項分布 (Multinomial Distribution) 問題。

我們有三種獨立的策略 A, B, C。

• 策略 A 的使用比例 $p_A = 0.5$ (佔 50% 的交易)
• 策略 B 的使用比例 $p_B = 0.3$ (佔 30% 的交易)
• 策略 C 的使用比例 $p_C = 1 - p_A - p_B = 1 - 0.5 - 0.3 = 0.2$ (佔 20% 的交易)

總共執行了 $n=6$ 次獨立的交易。
我們想知道恰好有：

• $k_A = 3$ 次交易使用策略 A
• $k_B = 2$ 次交易使用策略 B
• $k_C = 1$ 次交易使用策略 C

注意，$k_A + k_B + k_C = 3 + 2 + 1 = 6 = n$，這符合多項分布的要求。

多項分布的機率公式為：

此題是一個貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用問題，屬於條件機率。

我們需要計算在已知一筆交易是「獲利的」條件下，該筆交易是由「策略 B」執行的機率。
設：

• $B$ 為事件：「交易由策略 B 執行」。
• $P$ 為事件：「交易是獲利的」。

我們要求的是 $P(B | P)$。
根據貝氏定理：
$P(B | P) = \frac{P(P | B) \cdot P(B)}{P(P)}$

我們需要從問題 8 中提取或計算出所需的機率：

1. $P(B)$: 策略 B 被使用的機率。從問題 8 中得知，策略 B 佔 30% 的交易，所以 $P(B) = 0.3$。
2. $P(P | B)$: 在策略 B 被使用時，交易獲利的機率。從問題 8 中得知，策略 B 產生的獲利機率是 80%，所以 $P(P | B) = 0.8$。
3. $P(P)$: 任意一筆交易獲利的總機率。這需要透過全機率公式計算：
   $P(P) = P(P | A)P(A) + P(P | B)P(B) + P(P | C)P(C)$
   從問題 8 中得知：
   • $P(A) = 0.5$ (策略 A 使用比例)

此題是關於獨立事件的序列機率。

我們需要計算「第一次不成功的交易發生在第四次交易」。這意味著：

• 前三次交易都是成功的。
• 第四次交易是不成功的。
• 之後的交易（第五次、第六次）的結果不影響此事件的發生。

首先，我們需要知道每次交易「成功」與「不成功」的機率。
從問題 8 中，我們知道：

• 策略 A：使用比例 $P(A)=0.5$，獲利機率 $P(\text{Profit}|A)=0.9$，則不獲利機率 $P(\text{Non-profit}|A)=1-0.9=0.1$。
• 策略 B：使用比例 $P(B)=0.3$，獲利機率 $P(\text{Profit}|B)=0.8$，則不獲利機率 $P(\text{Non-profit}|B)=1-0.8=0.2$。
• 策略 C：使用比例 $P(C)=0.2$，獲利機率 $P(\text{Profit}|C)=0.55$，則不獲利機率 $P(\text{Non-profit}|C)=1-0.55=0.45$。

任意一次交易「獲利」的總機率 $P(\text{Profit})$，我們在第 9 題中計算為 0.80。
任意一次交易「不獲利」的總機率 $P(\text{Non-profit}) = 1 - P(\text{Profit}) = 1 - 0.80 = 0.20$。

此題考驗機率的計算，特別是關於條件機率、聯合機率以及機率加法法則的應用。我們要計算 $P(A \cup B \cup C)$。
通用的機率加法公式為：
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

我們需要逐步計算出公式中的各項機率。

1. 計算 $P(A \cap B)$:
已知 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$。
所以，$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.9 \times 0.75 = 0.675$。

2. 計算 $P(B)$:
我們需要使用全機率公式來計算 $P(B)$。
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$
首先，$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.75 = 0.25$。
$P(B) = (0.9 \times 0.75) + (0.8 \times 0.25) = 0.675 + 0.20 = 0.875$。

3. 計算 $P(A \cap B \cap C)$:
我們有 $P(C|A \cap B) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(A \cap B)}$。
所以，$P(A \cap B \cap C) = P(C|A \cap B) \cdot P(A \cap B) = 0.8 \times 0.675 = 0.54$。

4. 計算 $P(A \cap C)$:
這需要進一步分解。我們將 $A \cap C$ 分解為 $(A \cap C \cap B)$ 和 $(A \cap C \cap B^c)$。
$P(A \cap C) = P(A \cap C \cap B) + P(A \cap C \cap B^c)$
我們已經計算了 $P(A \cap B \cap C) = 0.54$。
現在計算 $P(A \cap C \cap B^c)$。
我們知道 $P(C|A \cap B^c) = \frac{P(A \cap C \cap B^c)}{P(A \cap B^c)}$。
首先需要計算 $P(A \cap B^c)$。
$P(A \cap B^c) = P(B^c|A)P(A)$。
$P(B^c|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0.9 = 0.1$。
所以，$P(A \cap B^c) = 0.1 \times 0.75 = 0.075$。
接著，$P(A \cap C \cap B^c) = P(C|A \cap B^c) \cdot P(A \cap B^c) = 0.6 \times 0.075 = 0.045$。
因此，$P(A \cap C) = 0.54 + 0.045 = 0.585$。

5. 計算 $P(B \cap C)$:
類似地，我們將 $B \cap C$ 分解為 $(B \cap C \cap A)$ 和 $(B \cap C \cap A^c)$。
$P(B \cap C) = P(A \cap B \cap C) + P(A^c \cap B \cap C)$
我們已經知道 $P(A \cap B \cap C) = 0.54$。
現在計算 $P(A^c \cap B \cap C)$。
我們知道 $P(C|A^c \cap B) = \frac{P(A^c \cap B \cap C)}{P(A^c \cap B)}$。
首先需要計算 $P(A^c \cap B)$。
$P(A^c \cap B) = P(B|A^c)P(A^c) = 0.8 \times 0.25 = 0.20$。

此題要求計算檢定統計量，以驗證商店 B 的顧客滿意度比例是否優於商店 C。這是一個關於兩個獨立比例的假設檢定。

首先，我們需要定義檢定中的參數和統計量。

• 商店 B 的樣本數 $n_B = 120 + 30 = 150$。

• 商店 B 的滿意人數 $x_B = 120$。

• 商店 B 的滿意比例 $\hat{p}_B = \frac{x_B}{n_B} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} = 0.80$。

• 商店 C 的樣本數 $n_C = 105 + 45 = 150$。

• 商店 C 的滿意人數 $x_C = 105$。

• 商店 C 的滿意比例 $\hat{p}_C = \frac{x_C}{n_C} = \frac{105}{150} = \frac{7}{10} = 0.70$。

虛無假設 ($H_0$) 通常設定為兩比例相等或沒有差異，對立假設 ($H_a$) 則根據問題來設定。

• $H_0: p_B \le p_C$ (商店 B 的滿意比例不優於 C)
• $H_a: p_B > p_C$ (商店 B 的滿意比例優於 C)

由於我們有足夠的樣本數（$n_B \hat{p}_B = 120 > 10$, $n_B (1-\hat{p}_B) = 30 > 10$, $n_C \hat{p}_C = 105 > 10$, $n_C (1-\hat{p}_C) = 45 > 10$），我們可以使用 Z 檢定來比較兩個比例。

在檢定虛無假設 $H_0: p_B = p_C$ 時，我們需要計算一個合併的比例 (pooled proportion)：

此題要求判斷最適合用來檢定「商店地點是否對顧客滿意度水準有顯著影響」的假設檢定名稱。

我們擁有的數據是：

• 三個商店地點 (A, B, C)，這是類別變數（自變數）。
• 每個商店地點下的顧客滿意度 (Satisfied, Dissatisfied)，這也是類別變數（應變數）。
• 樣本是從每個商店獨立隨機抽取的。

我們想要探討的是「商店地點」這個類別變數，與「顧客滿意度」這個類別變數之間，是否存在關聯性。

這種檢定兩個類別變數之間關聯性的方法，最常見的即是「卡方獨立性檢定」(Chi-Square Test of Independence)。

卡方獨立性檢定的基本假設是：

• 虛無假設 ($H_0$): 商店地點與顧客滿意度水準是獨立的（即商店地點對滿意度沒有影響）。

核心觀念

本題檢定三個店面所在地與顧客滿意度是否有關，採用「列聯表卡方獨立性檢定」；若第 (b) 題以三個店面比較滿意比例，也可稱為「卡方同質性檢定」。

虛無假設與對立假設為：

• $H_0$：顧客滿意度與店面所在地相互獨立，三店滿意比例相同。
• $H_1$：顧客滿意度與店面所在地不獨立，至少有一店的滿意比例不同。

卡方檢定統計量為

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E},$$

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為虛無假設成立下的期望次數。

自由度為

$$df=(列數-1)(欄數-1)=(2-1)(3-1)=2.$$

解題方法

先計算各列、各欄及總樣本數：

• A 店總人數：$75+25=100$
• B 店總人數：$120+30=150$
• C 店總人數：$105+45=150$
• 滿意總人數：$75+120+105=300$
• 不滿意總人數：$25+30+45=100$
• 總樣本數：$400$

期望次數公式為

$$E_{ij}=\frac{列總和\times欄總和}{總人數}.$$

因此：

滿意度	A	B	C
滿意	$\frac{300(100)}{400}=75$	$\frac{300(150)}{400}=112.5$	$\frac{300(150)}{400}=112.5$
不滿意	$\frac{100(100)}{400}=25$	$\frac{100(150)}{400}=37.5$	$\frac{100(150)}{400}=37.5$

代入卡方統計量：

此題要求我們找出在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，會導致公司宣稱「90% 的顧客都滿意」被拒絕的， surveyed customers 的數量 X 的範圍。

首先，我們需要確定總共 surveyed customers 的數量。
總樣本數 $N = (75+25) + (120+30) + (105+45) = 100 + 150 + 150 = 400$。
所以，$X$ 是這 400 位顧客中滿意的數量。

公司的宣稱是：母體滿意比例 $p = 0.90$。
我們正在檢定這個宣稱。
虛無假設 $H_0: p = 0.90$。
對立假設 $H_a$ 是雙尾的，因為我們只是要判斷這個宣稱是否「被拒絕」，而不是特定方向（例如，比 0.90 更高或更低）。所以 $H_a: p \neq 0.90$。

我們有一個樣本比例 $\hat{p} = \frac{X}{N} = \frac{X}{400}$。
我們將使用 Z 檢定來檢驗這個比例。
檢定統計量為：$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{N}}}$
其中 $p_0 = 0.90$ (宣稱的母體比例)。

在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，進行雙尾檢定，我們需要找出 Z 的臨界值。
對於雙尾檢定，臨界值是 $z_{\alpha/2} = z_{0.05/2} = z_{0.025}$。
從題目提供的附件中，我們知道 $z_{0.025} = 1.96$。
所以，拒絕域是 $Z < -1.96$ 或 $Z > 1.96$。

現在，我們將檢定統計量的表達式與臨界值進行比較：
$\frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{N}}} < -1.96$ 或 $\frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{N}}} > 1.96$

代入 $p_0 = 0.90$ 和 $N = 400$：
$p_0(1-p_0) = 0.90 \times (1-0.90) = 0.90 \times 0.10 = 0.09$。

此題要求計算進行新調查時所需的樣本數，以估計整體顧客滿意度的比例。

我們需要達到以下目標：

• 估計的誤差範圍 (margin of error, E) 為 0.02。
• 信賴水準 (confidence level) 為 80%。
• 已知的真實比例上限為 $p_{max} = 0.85$。

估計比例的樣本數公式為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{\text{E}} \right)^2$
對於比例的估計，標準差 $\sigma$ 通常用 $\sqrt{p(1-p)}$ 來估計。
所以，樣本數公式變為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{p(1-p)}}{\text{E}} \right)^2$

我們需要根據題目給定的資訊來確定公式中的各個參數：

1. 誤差範圍 (E): $E = 0.02$。
2. 信賴水準 (Confidence Level): 80%。這表示 $\alpha = 1 - 0.80 = 0.20$。
   對於雙尾檢定，我們需要 $z_{\alpha/2} = z_{0.20/2} = z_{0.10}$。
   從附件中查得 $z_{0.10} = 1.28$。
3. 比例 p: 題目給定「真實比例已知為 at most 0.85」。為了確保樣本數足夠，我們應該使用最保守（變異數最大）的比例值來計算。比例 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時最大。然而，題目提供了上限 $p_{max}=0.85$。
   我們應該使用這個上限值來計算變異數 $\sqrt{p(1-p)}$，以確保樣本數足夠。
   $p = 0.85$
   $1-p = 1 - 0.85 = 0.15$
   $p(1-p) = 0.85 \times 0.15 = 0.1275$

核心觀念

本題採用隨機集區設計（randomized block design）：

• 區集因子（blocking factor）：用來控制不同實驗條件造成的差異。
• 處理因子（treatment factor）：研究者真正想比較其平均反應的因素。
• 每一個區集內，恰好觀察每個處理一次。

題目要比較不同手機公司的平均月租費，因此「Company」是處理因子；「Usage level」提供不同實驗條件，用來形成區集，故為區集因子。

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解題方法

在隨機集區設計中，若有 $b$ 個區集、$t$ 個處理，則：

$$\text{總觀測值}=bt$$ $$df_{\text{總}}=bt-1$$ $$df_{\text{處理}}=t-1$$ $$df_{\text{區集}}=b-1$$ $$df_{\text{誤差}}=(b-1)(t-1)$$

由題目中的 Company 自由度：

$$df_{\text{Company}}=3=t-1$$

因此：

$$t=4$$

所以共有 4 家手機公司，也就是 4 個處理。

再由總自由度：

$$df_{\text{總}}=11=bt-1$$

可得：

$$bt=12$$

核心觀念

本題考查**隨機集區設計（randomized block design）**的 ANOVA 表補值。

在此設計中：

• 「Company」為處理因素，共有 $4$ 家公司，因此
  $df_{\text{Company}}=4-1=3.$
• 「Usage level」為區集因素。
• 總樣本數為
  $N=df_{\text{Total}}+1=11+1=12.$
• 每個實驗條件各觀察每家公司一次，因此共有 $4$ 家公司與 $3$ 個使用量條件。

ANOVA 表的基本關係為：

$df_{\text{Total}}=df_{\text{Usage level}}+df_{\text{Company}}+df_{\text{Error}},$

$SS_{\text{Total}}=SS_{\text{Usage level}}+SS_{\text{Company}}+SS_{\text{Error}},$

$MS=\frac{SS}{df},$

$F=\frac{MS_{\text{因素}}}{MS_{\text{Error}}}.$

解題方法

求（1）：Usage level 的自由度

由自由度加總關係：

$11=(1)+3+6.$

因此：

$(1)=11-3-6=2.$

求（2）：Error 的平方和

由平方和加總關係：

$189900=189300+240+(2).$

因此：

$(2)=189900-189300-240=360.$

求（3）：Usage level 的均方

核心觀念

本題使用隨機區集設計（randomized block design）：

• 「公司」是主要比較的處理因素（treatment），共有 $4$ 家公司，因此公司自由度為 $4-1=3$。
• 「使用量等級」是區集因素（block），用來控制不同使用條件造成的差異。
• 檢定公司平均月費是否相同時，使用

$$F=\frac{MS_{\text{Company}}}{MS_E}$$

其中 $MS_E$ 為誤差均方。若公司間變異相對於實驗誤差足夠大，則拒絕所有公司平均月費相同的虛無假設。

解題方法

由總平方和的分解：

$$SS_T=SS_{\text{Usage level}}+SS_{\text{Company}}+SS_E$$

因此誤差平方和為

$$SS_E=189900-189300-240=360$$

誤差自由度為 $6$，所以誤差均方為

$$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{360}{6}=60$$

公司均方已知為

$$MS_{\text{Company}}=\frac{SS_{\text{Company}}}{df_{\text{Company}}} =\frac{240}{3}=80$$

故檢定統計量為

$$F=\frac{MS_{\text{Company}}}{MS_E} =\frac{80}{60} =1.333$$

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，公司因素的分子自由度為 $3$，誤差分母自由度為 $6$，故臨界值為

$$F_{0.05}(3,6)=4.76$$

Hypotheses

此題考驗對線性迴歸模型中斜率的解釋。

線性迴歸模型為：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$
其中：

• $Y$ 是應變數 (體重，以磅為單位)。
• $X$ 是解釋變數 (胸圍，以英寸為單位)。
• $\beta_0$ 是截距 (intercept)。
• $\beta_1$ 是斜率 (slope)，代表 $X$ 每改變一個單位時，$Y$ 的預期變化量。
• $\epsilon$ 是誤差項。

題目給定的迴歸線是：$Y = -264.5 + 12.5X + \epsilon$。
所以，$\beta_0 = -264.5$ 且 $\beta_1 = 12.5$。

此題要求計算在特定胸圍下，體重超過某個值的機率。這涉及到對迴歸模型和誤差項的理解。

給定的迴歸模型是：$Y = -264.5 + 12.5X + \epsilon$，其中 $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$ 且 $\sigma = 25$。
我們需要計算當胸圍 $X = 41$ 英寸時，體重 $Y$ 超過 300 磅的機率。

首先，我們計算當 $X = 41$ 時，預期的體重 $E(Y)$。
$E(Y | X=41) = -264.5 + 12.5 \times 41$
$E(Y | X=41) = -264.5 + 512.5$
$E(Y | X=41) = 248$ 磅。

由於 $Y = E(Y|X) + \epsilon$，且 $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$，其中 $\sigma = 25$。
所以，在 $X=41$ 時，體重 $Y$ 的分布是：
$Y | X=41 \sim N(E(Y|X=41), \sigma^2)$

此題考驗對迴歸模型中誤差項的理解。

題目給定的迴歸模型是：$Y = -264.5 + 12.5X + \epsilon$，其中 $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$。
這個模型表示，對於一個給定的胸圍 $X$，體重 $Y$ 的預期值是 $\beta_0 + \beta_1 X$，但實際觀測到的體重 $Y$ 會受到誤差項 $\epsilon$ 的影響。
誤差項 $\epsilon$ 代表了模型未能解釋的變異性，例如其他影響體重的因素（飲食、基因、測量誤差等）以及隨機變異。
誤差項 $\epsilon$ 被假設為服從平均值為 0，且標準差為 $\sigma$ 的常態分布。

在 part (b) 中，我們計算了當 $X=41$ 時，預期的體重 $E(Y|X=41) = 248$ 磅。
並且，體重 $Y$ 的分布是 $Y | X=41 \sim N(248, 25^2)$。

題目提到，對於一隻胸圍為 41 英寸的熊，觀測到的體重是 280 磅。
這意味著，對於這隻熊，其誤差項 $\epsilon$ 的值是：
$280 = -264.5 + 12.5 \times 41 + \epsilon$
$280 = 248 + \epsilon$