113 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

本題考查資料視覺化方法的選擇。題目要求探索 EPS (每股盈餘) 的「分布」，並且有 500 家公司這樣一個相對大量的資料點。

• A. Bar chart (長條圖)：長條圖常用於比較不同類別的數值大小，或顯示離散數據的頻率，但對於連續性變數（如 EPS）的分布細節，長條圖的呈現效果較差，尤其當數值範圍較廣時。
• B. Scatter plot (散佈圖)：散佈圖用於顯示兩個變數之間的關係，或是觀察單一變數的數據點，但它無法有效展示數據的集中趨勢、離散程度或分布形狀。
• C. Histogram (直方圖)：直方圖是顯示連續性數據分布最常用且最有效的方法之一。

本題考查平均報酬率的衡量方法。對於連續時間序列的報酬率，我們通常需要考慮複利效應。

• A. Mean (算術平均數)：算術平均數是最常見的平均數計算方式，但它沒有考慮到報酬率的複利效應。例如，若第一年報酬率為 100%（股價翻倍），第二年報酬率為 -50%（股價減半），兩年的算術平均報酬率為 (100% + (-50%))/2 = 25%。但實際兩年後股價為初始股價 * (1+100%) * (1-50%) = 初始股價 * 2 * 0.5 = 初始股價，總報酬率為 0%。算術平均數無法正確反映這種情況。

核心觀念

本題考查：

• 隨機實驗（random experiment）的定義
• 抽樣調查與普查（census）的差異
• 條件機率與補事件
• 獨立事件與互斥事件的關係

重要公式如下：

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

補事件的條件機率公式為：

$$P(\sim A\mid B)=1-P(A\mid B)$$

若 $A$ 與 $B$ 獨立，則：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

若 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$，則獨立時有：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$$

因此，$A$ 與 $B$ 不可能互斥。

解題方法

本題問的是哪一項「不正確」，因此逐一檢驗各選項是否符合上述定義與公式。

其中 C 選項涉及補事件與條件機率，必須特別注意：取補事件時，條件事件也會影響條件機率，不能直接將 $P(A\mid B)$ 改寫成 $P(\sim A\mid\sim B)$。

選項分析

A. A political poll is a random experiment.

政治民調通常以隨機抽樣方式選取受訪者，事前無法確定抽到哪些人以及調查結果為何，但所有可能結果具有明確定義。

因此，政治民調符合隨機實驗的特徵：

1. 實驗結果在事前具有不確定性；
2. 所有可能結果可以描述；
3. 在相同條件下可重複進行。

所以 A 正確。

B. A census is not a random experiment.

普查是對母體中的所有對象進行調查，而不是從母體中隨機抽取部分樣本。

其調查對象由「全體母體」所決定，沒有隨機抽樣機制，因此一般統計學定義下不屬於隨機實驗。

所以 B 正確。

C. Given events A, B and their complements, ~A, ~B. Then $P(\sim A|\sim B) = 1-P(A|B)$.

核心觀念

本題旨在測驗商管統計學中抽樣理論與推論統計的基礎核心定理與修正條件：

1. 柴比雪夫不等式（Chebyshev's Theorem）：適用於任何型態的機率分配（無論對稱、單峰或雙峰），只要母體平均數 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2 < \infty$ 存在，即可推導出距離平均數特定標準差倍數內的機率界限。
2. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）：只要母體為獨立同分配（i.i.d.）且具有有限期望值與變異數，不論母體原本分配為何（包含雙峰分配），當樣本數 $n$ 夠大時（通常 $n \ge 30$），樣本平均數 $\bar{X}$ 之抽樣分配即漸近於常態分配。
3. 連續性修正（Continuity Correction）：當使用連續型分配（常態分配）來近似離散型隨機變數（如二項分配之成功次數 $X$ 或樣本比例 $\hat{p} = \frac{X}{n}$）的機率時，為彌補兩者分配本質差異（點機率 vs. 面積機率），必須納入 $\pm \frac{1}{2n}$（對 $\hat{p}$ 而言）之連續性修正。
4. 有限母體修正因子（Finite Population Correction factor, FPC）：
   • 當從有限母體 $N$ 進行**「抽出不放回」（Without Replacement, WOR）**抽樣，且抽樣比例 $\frac{n}{N} > 0.05$ 時，各次抽取不獨立，必須乘上修正因子： $$\text{FPC} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$
   • 若為**「抽出放回」（With Replacement, WR）**抽樣，每次抽取彼此獨立，抽樣分配的變異數為 $\frac{\sigma^2}{n}$，絕對不需要使用有限母體修正因子。

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解題方法

題目要求選出「最不正確（least correct）」的敘述。解題切入點在於逐一檢視各統計定理與修正技術的適用前提與邊界條件：

• 檢視選項 A 與 B：確認雙峰母體是否滿足柴比雪夫不等式與中央極限定理的適用條件（有限變異數與樣本數規模）。
• 檢視選項 C：確認離散變數（樣本比例）以常態分配逼近時，連續性修正是否必要。
• 檢視選項 D：辨別**「抽出放回（with replacement）」與「抽出不放回（without replacement）」**對有限母體修正因子（FPC）的影響。

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本題考查統計檢定中的幾個關鍵概念：顯著水準 ($\alpha$)、Type I 錯誤、Power、P-value，以及檢定結果與不同顯著水準的關係。

題目給定的前提是：在顯著水準 $\alpha = 5\%$ 下，檢定拒絕了虛無假設 $H_0$。

• A. Type I error rate≤5%.
  Type I 錯誤是指當 $H_0$ 為真時，卻拒絕了 $H_0$。顯著水準 $\alpha$ 就是 Type I 錯誤的最大容許機率。因此，在進行檢定時，Type I 錯誤的機率被設定為 $\alpha$，即 5%。所以，Type I 錯誤率 $\le 5\%$ 是正確的。

• B. Power =95%.
  Power (檢定力) 是指當對立假設 $H_1$ 為真時，正確地拒絕 $H_0$ 的機率。Power = $1 - P(\text{Type II error})$。Type II 錯誤是指當 $H_1$ 為真時，卻未能拒絕 $H_0$。
  題目只知道在 $\alpha = 5\%$ 下拒絕了 $H_0$。這並不意味著 Power 就一定是 95%。Power 的值取決於真實的母體參數、樣本大小、檢定方法以及指定的 $\alpha$ 值。

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的樣本數估計。

在信賴水準 $1-\alpha$ 下，估計母體比例的最大抽樣誤差為

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

其中：

• $E$：抽樣誤差上限
• $z_{\alpha/2}$：標準常態分配的臨界值
• $p$：母體比例
• $n$：樣本數

題目未提供過重成人比例的先驗估計值，因此採用最保守的 $p=0.5$。此時

$$p(1-p)=0.5(1-0.5)=0.25$$

其變異最大，能確保樣本數足以符合誤差要求。

解題方法

題目給定：

• 信賴水準：$90\%$
• 抽樣誤差：$E=3\%=0.03$
• 標準常態臨界值：$z_{0.05}=1.645$
• $p=0.5$

由誤差公式：

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

解出樣本數：

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^2p(1-p)}{E^2}$$

代入數值：

$$n=\frac{(1.645)^2(0.5)(0.5)}{(0.03)^2}$$ $$n=\frac{2.706025\times 0.25}{0.0009}$$

本題要求計算母體比例的信賴區間。

已知資訊：
樣本大小 $n = 100$。
樣本中超重人數 $x = 20$。
樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{20}{100} = 0.20$。
信賴水準 = 90%，即 $1-\alpha = 0.90$，所以 $\alpha = 0.10$。
對於雙尾信賴區間，我們需要 $z_{\alpha/2} = z_{0.05}$。從標準常態分佈表中， $z_{0.05} \approx 1.645$。

信賴區間的公式為： $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

計算標準誤 (standard error)：
$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.20(1-0.20)}{100}} = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{100}} = \sqrt{\frac{0.16}{100}} = \sqrt{0.0016} = 0.04$。

計算抽樣誤差 (margin of error)：
$E = z_{\alpha/2} \times SE = 1.645 \times 0.04 = 0.0658$。

計算信賴區間：
下限 = $\hat{p} - E = 0.20 - 0.0658 = 0.1342$。
上限 = $\hat{p} + E = 0.20 + 0.0658 = 0.2658$。

信賴區間約為 $[0.1342, 0.2658]$。

本題考查樣本標準誤 (standard error of the mean, SEM) 的計算。

已知資訊：
樣本大小 $n = 4$。
樣本均值 $\bar{x} = 3.3$。
樣本標準差 $s = 1.6$。

核心觀念

母體為常態、母體標準差未知、樣本小時，平均數的信賴區間用 $t$ 分配：
$\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

使用第 8 題的資料

第 8 題：4 家公司的 EPS，$\bar x=3.3$、$s=1.6$，所以 $n=4$，
$SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{1.6}{2}=0.8$

計算 90% 信賴區間

自由度 $n-1=3$，$t_{0.05,3}=2.353$：
$3.3\pm2.353\times0.8=3.3\pm1.88$
$[1.42,\ 5.18]\approx[1.4,\ 5.2]$

核心觀念

本題考查如何利用描述統計圖形與經驗法則，判斷母體分布是否具有常態分布的特徵。

常態分布通常具有以下特徵：

1. 分布呈鐘形、單峰且左右對稱。
2. 平均數、中位數與眾數大致相同。
3. 符合經驗法則（empirical rule）：
   $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx68\%$
   $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx95\%$
   $P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx99.7\%$
4. 常態機率圖或 QQ plot 上的資料點大致落在一直線附近。
5. 盒鬚圖通常不會呈現明顯偏態或大量離群值。

然而，盒鬚圖沒有離群值，只能表示資料中沒有依照盒鬚圖規則被標記的極端觀測值，不能據此判斷母體一定為常態分布。

解題方法

逐一判斷各選項是否提供「常態分布的形狀或比例證據」。

題目問的是哪一項「不代表」母體具有常態分布。選項 D 只描述是否存在離群值，沒有直接描述分布的對稱性、鐘形或常態比例，因此不能作為常態性的充分依據。

選項分析

A. The empirical rule holds.

經驗法則是常態分布的重要特徵。若資料約有 $68\%$ 落在 $\mu\pm\sigma$、約有 $95\%$ 落在 $\mu\pm2\sigma$、約有 $99.7\%$ 落在 $\mu\pm3\sigma$，表示資料與常態分布相當一致。

因此，依照本題的基礎統計判斷標準，A 可視為支持母體為常態分布的證據。

B. The QQ plot is close to a straight line.

本題考查混合分佈的機率計算。我們需要計算一個隨機選擇的公司，其 P/E 比大於 30 的機率。

假設：
S = 事件：該公司屬於軟體產業。
O = 事件：該公司屬於其他產業。
$X$ = P/E 比。

已知資訊：
P(S) = 0.10 (軟體公司佔總數的 10%)。
P(O) = 1 - P(S) = 1 - 0.10 = 0.90 (其他公司佔總數的 90%)。

軟體產業 P/E 比分佈： $X|S \sim N(\mu_S=40, \sigma_S^2=25)$。因此，軟體產業的標準差 $\sigma_S = \sqrt{25} = 5$。
其他產業 P/E 比分佈： $X|O \sim N(\mu_O=20, \sigma_O^2=25)$。因此，其他產業的標準差 $\sigma_O = \sqrt{25} = 5$。

我們想計算 $P(X > 30)$。
根據全機率法則 (Law of Total Probability)：
$P(X > 30) = P(X > 30 | S) P(S) + P(X > 30 | O) P(O)$

首先，計算 $P(X > 30 | S)$：
對於軟體產業，我們需要計算 $P(X > 30)$，其中 $X \sim N(40, 25)$。
將 X 標準化： $Z = \frac{X - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{X - 40}{5}$。
當 $X = 30$ 時，$Z = \frac{30 - 40}{5} = \frac{-10}{5} = -2$。

本題是上一題的延續，考查貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。我們已知公司 A 的 P/E 比大於 30，要求計算該公司是軟體公司的機率。

我們需要計算 $P(S | X > 30)$。
根據貝氏定理：
$P(S | X > 30) = \frac{P(X > 30 | S) P(S)}{P(X > 30)}$

我們已經在上一題計算了各項數值：
$P(S) = 0.10$ (軟體公司佔總數的 10%)。
$P(X > 30 | S) \approx 0.9772$ (軟體公司 P/E 比大於 30 的機率)。

核心觀念

本題考二因子變異數分析中的：

• 性別主效果：男性與女性的平均存活時間是否不同。
• 貧血主效果：有貧血與無貧血患者的平均存活時間是否不同。
• 交互作用：貧血對存活時間的影響，是否因性別不同而改變。

模型可表示為：

$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}$$

交互作用可用「差異中的差異」表示：

$$(\bar Y_{\text{男, No}}-\bar Y_{\text{男, Yes}}) - (\bar Y_{\text{女, No}}-\bar Y_{\text{女, Yes}})$$

若兩條線不平行，表示交互作用存在。

解題方法

圖中實線代表男性，虛線代表女性。

1. 從 anaemia = Yes 到 No，男性與女性兩條線都明顯上升，表示無貧血者的平均存活時間較長，因此具有貧血主效果。

本題考查雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 中 F 統計量的計算。

已知資訊：
SS(anaemia) = 110 (貧血的主效應平方和)
SS(sex) = 40 (性別的主效應平方和)
SS(total) = 700 (總平方和)
MSE = 12 (均方誤差，即殘差的均方)
樣本數據量 $N = 45$ (45 位病人)。

在雙因子 ANOVA 中，總平方和 SS(total) 分解為：
$SS(\text{total}) = SS(\text{factor1}) + SS(\text{factor2}) + SS(\text{interaction}) + SS(\text{error})$
在這裡，因子是 anaemia 和 sex。
$SS(\text{total}) = SS(\text{anaemia}) + SS(\text{sex}) + SS(\text{anaemia} \times \text{sex}) + SS(\text{error})$

我們需要計算交互作用 (interaction) 的平方和 $SS(\text{anaemia} \times \text{sex})$。
$SS(\text{anaemia} \times \text{sex}) = SS(\text{total}) - SS(\text{anaemia}) - SS(\text{sex}) - SS(\text{error})$

MSE 是殘差的均方，即 $MSE = \frac{SS(\text{error})}{df_{\text{error}}}$。
我們需要知道 $df_{\text{error}}$。
在雙因子 ANOVA 中，自由度計算如下：
假設因子 1 (anaemia) 有 $k_1$ 個水平，因子 2 (sex) 有 $k_2$ 個水平。
$df(\text{anaemia}) = k_1 - 1$
$df(\text{sex}) = k_2 - 1$
$df(\text{interaction}) = (k_1 - 1)(k_2 - 1)$
$df(\text{error}) = N - k_1 k_2$

本題考查檢定方法的選擇。我們需要判斷 EPS 在 2023 年是否比 2022 年有所增加。

數據結構：我們有 9 家公司的 EPS 數據，分別在 2022 年 (X) 和 2023 年 (Y)。這意味著我們有成對的觀測值，即同一家公司在不同時間點的 EPS。

檢定問題：EPS 是否增加。這可以轉化為檢定 2023 年的 EPS 是否顯著大於 2022 年的 EPS。

考慮選項：
A. One-sample t-test (單一樣本 t 檢定)：用於檢定單一樣本的均值是否等於某個特定值。這裡我們有兩個相關的樣本（2022 年和 2023 年的 EPS），所以不適用。

B. Paired t-test (配對 t 檢定)：用於檢定兩個相關樣本之間的均值差異。例如，檢定配對觀測值的差值（$Y-X$）的均值是否顯著大於 0。這非常適合我們的情況，因為我們關心的是同一家公司在兩個不同年份的 EPS 差異。

核心觀念

本題考查「平均 EPS 是否增加」的假設檢定，以及觀察到的檢定統計量計算。

若第 15 題提供的是同一批公司改革前後的 EPS，應採用配對樣本 $t$ 檢定。令

$$D_i=\text{改革後 EPS}-\text{改革前 EPS}$$

則假設為

$$H_0:\mu_D\le 0,\qquad H_1:\mu_D>0$$

檢定統計量為

$$t=\frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt n}$$

其中 $\bar D$ 為 EPS 差異的樣本平均數，$s_D$ 為差異的樣本標準差，$n$ 為配對觀察值數量。

解題方法

先由第 15 題提供的資料計算每一組 EPS 差異，再求得 $\bar D$ 與 $s_D$，代入：

$$t=\frac{\bar D}{s_D/\sqrt n} =\frac{\bar D\sqrt n}{s_D}$$

若題目採用兩獨立樣本平均數比較，則公式改為：

$$t= \frac{\bar X_1-\bar X_2} {\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$$

無論採用配對樣本或兩獨立樣本方法，都必須知道第 15 題所提供的樣本平均數、標準差與樣本數，才能計算觀察到的檢定統計量。

核心觀念

簡單線性迴歸模型為

$$EPS_{2023}=\alpha+\beta EPS_{2022}+\epsilon$$

其中：

• $\alpha$ 為截距估計值；
• $\beta$ 為斜率估計值，代表 $EPS_{2022}$ 增加 $1$ 單位時，$EPS_{2023}$ 的平均變化量；
• 迴歸輸出表中的 Estimate 欄，即為各參數的估計值。

因此，本題只需找出變數 $X=EPS_{2022}$ 那一列的 Estimate。

解題方法

在標準迴歸輸出中，$X$ 的列通常呈現如下形式：

$$\begin{array}{c|cccc} & \text{Estimate} & \text{Std. Error} & t\text{ value} & \text{Pr}(>|t|)\\ X & 1.01 & 0.27 & 3.74 & 0.01 \end{array}$$

所以斜率估計值為

$$\hat{\beta}=1.01$$

選項以一位小數表示，故

$$1.01\approx 1.0$$

因此選擇 C。

補充而言，$t$ 統計量也可用下式驗算：

核心觀念

檢定斜率是否為 0（$H_0:\beta=0$）用
$t=\frac{\hat\beta}{SE(\hat\beta)},\qquad df=n-2$

使用第 15、17 題的資料

• 第 15 題：9 家公司，$\bar X=2.2$、$\bar Y=2.26$，$s_X^2=0.075$。
• 第 17 題的迴歸輸出：截距 $\hat\alpha=0.09222$；X 的標準誤 $0.27$；殘差標準誤 $0.21$，自由度 $7$。

1. 求斜率（即第 17 題）：迴歸線通過 $(\bar X,\bar Y)$
$\hat\beta=\frac{\bar Y-\hat\alpha}{\bar X}=\frac{2.26-0.09222}{2.2}\approx0.985\approx1.0$

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中的決定係數 $R^2$ 與調整後決定係數 $\bar{R}^2$。

調整後決定係數的公式為：

$$\bar{R}^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$$

其中：

• $n$：樣本數
• $k$：自變數個數
• $R^2$：決定係數

本題為簡單線性迴歸，因此 $k=1$。

解題方法

由第 17 題的迴歸輸出可得斜率估計值約為：

$$\hat{\beta}_1=1.0$$

其標準誤為：

$$SE(\hat{\beta}_1)=0.27$$

因此斜率的 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{1.0}{0.27} \approx 3.70$$

殘差自由度為 $7$。由於簡單線性迴歸估計了截距與一個斜率：

$$df_{\text{error}}=n-2=7$$

所以樣本數為：

$$n=9$$

在簡單線性迴歸中，斜率檢定的 $t$ 統計量與 $R^2$ 有關係：

$$R^2=\frac{t^2}{t^2+df_{\text{error}}}$$

代入 $t\approx3.70$ 與 $df_{\text{error}}=7$：

本題考查多元線性迴歸中的概念：多重共線性 (multicollinearity)。

多重共線性是指在多元迴歸模型中，兩個或多個自變數（解釋變數）之間存在高度相關性。

• A. A strong correlation among independent variables.
  這正是多重共線性的定義。當自變數之間高度相關時，會導致模型估計的不穩定性，例如標準誤增大，係數的符號或大小可能不符合預期。

• B. A strong correlation between dependent variable and only some independent variable.
  這描述的是自變數與應變數之間的相關性，這本身是迴歸模型所期望的。