113 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《財務管理》

本題考驗淨現值 (NPV) 的概念與計算。NPV 的定義是所有未來現金流量的現值減去初始投資成本。題目提供了初始投資、NPV、利率以及部分未來現金流量，要求計算最後一年的現金流量。

解題步驟：

1. NPV 的定義式：
   $NPV = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} - Initial\ Investment$
   其中 $CF_t$ 是第 t 期現金流量，$r$ 是折現率，$n$ 是總期數。

2. 代入已知數據：
   題目給定：

   • 初始投資 (Initial Investment) = $28,000
   • NPV = $2,278
   • 利率 (r) = 10% = 0.10
   • 總期數 (n) = 3 年
   • $CF_1$ = $10,000
   • $CF_2$ = $12,000
   • $CF_3$ = ? (未知)

   將這些數據代入 NPV 公式：
   $2,278 = \left( \frac{10,000}{(1+0.10)^1} + \frac{12,000}{(1+0.10)^2} + \frac{CF_3}{(1+0.10)^3} \right) - 28,000$

3. 計算未來現金流量的現值總和：
   首先，將初始投資移到 NPV 的左邊，得到所有未來現金流量的現值總和 (PV of Future Cash Flows)：
   $PV\ of\ Future\ Cash\ Flows = NPV + Initial\ Investment$

本題考驗股利成長模型 (Dividend Growth Model) 的應用，特別是如何根據股利成長率的變化來計算股票價值。題目中提到公司將減少股利並擴大營運，導致預期成長率改變。

解題步驟：

1. 理解股利成長模型：
   根據戈登成長模型 (Gordon Growth Model)，零成長的股票價格 (P0) 計算公式為：
   $P_0 = \frac{D_1}{r-g}$
   其中：

   • $D_1$ 是下一期的預期股利 (Expected Dividend Next Period)。
   • $r$ 是股東的預期報酬率 (Required Rate of Return)。
   • $g$ 是股利的永續成長率 (Constant Growth Rate)。

2. 計算股東的預期報酬率 (r)：
   題目提到，在宣布消息前，股利預期以 4% 成長，股票交易價格為 $25.50，當期股利為$3.00。由於股利是從 $3.00 減少到$1.50，我們可以假設 $3.00 是當期 (t=0) 的股利，也就是$D_0 = 3.00$。 則下一期的股利$D_1$預期為$D_0 \times (1+g) = 3.00 \times (1+0.04) = 3.12$。 利用股價公式，我們可以反推出股東的預期報酬率$r$：$P_0 = \frac{D_1}{r-g}$$25.50 = \frac{3.12}{r-0.04}$$r-0.04 = \frac{3.12}{25.50}$$r-0.04 \approx 0.12235$$r \approx 0.12235 + 0.04 = 0.16235$
   即股東的預期報酬率約為 16.235%。

   題目假設「CRSP's risk is unchanged by the expansion」，這意味著股東要求的報酬率 $r

核心觀念

零息債券在到期時一次支付面額，沒有中間票息。若面額為 $100$、到期年數為 $n$、市場價格為 $P_n$，其年化到期殖利率（即該期限的即期利率）$y_n$ 滿足：

$$P_n=\frac{100}{(1+y_n)^n}$$

因此：

$$y_n=\left(\frac{100}{P_n}\right)^{1/n}-1$$

殖利率曲線是不同期限的即期利率與到期年數之間的關係。比較各期限零息債券的殖利率，即可判斷曲線的斜率。

解題方法

將表中各期限的價格代入公式，計算對應的年化即期利率：

到期年數 $n$	價格 $P_n$	年化即期利率 $y_n$
1	94.52	$\left(\frac{100}{94.52}\right)^1-1\approx 5.80\%$
2	89.68	$\left(\frac{100}{89.68}\right)^{1/2}-1\approx 5.64\%$

核心觀念

本題考的是「互斥投資方案且使用年限不同」時的資本預算決策。

兩個方案的使用年限不同，不能直接比較總淨現值：

• Project A：使用 2 年，NPV 為 $250,000$
• Project B：使用 5 年，NPV 為 $500,000$

若方案可在使用期滿後以相同條件重複投資，應將各方案的 NPV 轉換為「等值年金價值」（Equivalent Annual Annuity, EAA），比較每年創造的等值價值。

等值年金公式為：

$$EAA=\frac{NPV}{PVIFA(r,n)}$$

其中：

$$PVIFA(r,n)=\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$

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解題方法與計算

折現率為 $8\%$。

Project A

Project A 使用 2 年：

$$PVIFA(8\%,2) =\frac{1-(1.08)^{-2}}{0.08} \approx 1.7833$$

因此：

$$EAA_A=\frac{250,000}{1.7833} \approx 140,200$$

Project A 的等值年價值約為每年 $140,200$。

Project B

Project B 使用 5 年：

$$PVIFA(8\%,5) =\frac{1-(1.08)^{-5}}{0.08} \approx 3.9927$$

因此：

$$EAA_B=\frac{500,000}{3.9927} \approx 125,200$$

Project B 的等值年價值約為每年 $125,200$。

比較兩者：

本題考驗公司加權平均資金成本 (WACC) 的概念，特別是如何利用 Modigliani-Miller (MM) 定理的無稅或有稅版本，以及相關的資本結構理論來計算股權的成本。題目提供了公司的資本結構資訊、稅率、 EBIT，以及無負債公司的資金成本 (unlevered cost of capital)，要求計算有負債公司的股權成本。

解題步驟：

1. 理解題意與可用資訊：

   • 公司有負債 (levered firm)。
   • 債務的面值與市價皆為 $D = 227,000$。
   • 債務的票面利率 (coupon rate) = 7%，每年付息。
   • 預期稅前息前盈餘 (EBIT) = $87,200$。
   • 稅率 (tax rate) = 21% = 0.21。
   • 無負債公司的資金成本 (unlevered cost of capital, $r_U$ 或 $\rho$) = 12% = 0.12。
   • 要求計算股權的成本 (cost of equity, $r_E$ 或 $r_L$)。

2. 判斷適用模型：
   題目給了 EBIT、稅率、債務市值和無負債公司的資金成本，要求計算股權成本。這很明顯是考驗 MM 定理，並且考慮了稅收的影響。

3. MM 定理 (有稅版) 的公式：
   MM 定理的核心思想是，在某些假設下 (如無交易成本、無訊息不對稱、無破產成本等)，公司的總價值 $V$ (等於債務 $D$ 加上股權 $E$) 的加權平均資金成本 (WACC) 與其資本結構無關。
   然而，在有稅收的情況下，債務的利息是可以抵稅的，這會增加公司的總價值，使得 $V = S + D$，其中 $S$ 是股權價值。
   MM定理的無負債公司資金成本 ($r_U$) 與有負債公司股權成本 ($r_E$) 的關係（有稅版）為：
   $r_E = r_U + \frac{D}{E} (r_U - r_D)(1 - T_c)$
   其中：

   • $r_E$：有負債公司的股權成本。
   • $r_U$：無負債公司的股權成本 (或稱為資產報酬率)。
   • $D$：公司債務的市值。
   • $E$：公司股權的市值。
   • $r_D$：公司債務的成本 (YTM)。
   • $T_c$：公司所得稅率。

   另一種形式，基於公司價值的加總：
   $V_L = V_U + T_c D$
   其中 $V_L$ 是有負債公司的總價值，$V_U$ 是無負債公司的總價值。
   $V_U = E_U$ (股權價值，因為無負債)
   $V_L = E + D$ (有負債公司的股權價值 + 債務價值)
   所以 $E + D = E_U + T_c D$

   我們也可以從股東和債權人獲得的總現金流來推導。
   有負債公司的股權成本 ($r_E$) 可以透過以下方式計算：
   $EBIT \times (1 - T_c) = r_E \times E + r_D \times D \times (1 - T_c)$ (此公式不適用於 MM 定理，這是基於 net income 的 WACC 公式，但這裡我們需要 MM 定理的結構)

   MM 定理 (有稅版) 的另一種推導方式：
   無負債公司的股權價值 $E_U$ 可以用 EBIT 和 $r_U$ 計算：
   $E_U = \frac{EBIT \times (1 - T_c)}{r_U}$
   有負債公司的總價值 $V_L$ 為：
   $V_L = \frac{EBIT \times (1 - T_c)}{r_U} + T_c D$

   而有負債公司的股權價值 $E$ 可以表示為 $V_L - D$：
   $E = V_L - D = \frac{EBIT \times (1 - T_c)}{r_U} + T_c D - D$

本題考驗對荷蘭式拍賣 (Dutch Auction) 在首次公開發行 (IPO) 中的運作機制的理解。荷蘭式拍賣的目標是找到一個能讓所有買家都願意購買，且賣家也願意出售的價格，這個價格通常是所有出價中，能夠滿足總發行量的最高價格。

解題步驟：

1. 理解荷蘭式拍賣的 IPO 流程：
   在荷蘭式拍賣中，發行公司（Google）和承銷商會設定總共要發行的股份數量（2500 萬股）。投資者會提交他們願意購買的股份數量和他們願意支付的價格。拍賣的目標是確定一個單一的「拍賣價格」(clearing price)，所有成功投標的買家都將以這個價格購買股票。

2. 整理所有投標資訊：
   首先，將所有投標者的 bid price 由高到低排序，並計算累計的股份數量。

   Bidders	Bid Price	Shares	Cumulative Shares
   E	$60	4,000,000	4,000,000
   B	$53	5,000,000	9,000,000
   F	$55	8,000,000	17,000,000
   A	$50	3,000,000	20,000,000
   D	$45	5,000,000	25,000,000
   C	$42	2,000,000	27,000,000

   重新排序 (由高到低 Bid Price)：

   Bidders	Bid Price	Shares	Cumulative Shares
   E	$60	4,000,000	4,000,000
   B	$53	5,000,000	9,000,000
   F	$55	8,000,000	17,000,000
   A	$50	3,000,000	20,000,000
   D	$45	5,000,000	25,000,000
   C	$42	2,000,000	27,000,000

   注意：我的排序有誤。應該先將價格排序，再累加數量。

   正確排序與累加：

   Bidder	Bid Price	Shares	Cumulative Shares
   E	$60	4,000,000	4,000,000
   B	$53	5,000,000	9,000,000
   F	$55	8,000,000	17,000,000
   A	$50	3,000,000	20,000,000
   D

核心觀念

本題考查單指數模型（Single-Index Model, SIM）下股票總風險的變異數拆解（Variance Decomposition）。在單指數模型中，資產的總報酬變異數可嚴格拆解為由市場整體波動所驅動的「系統性風險（Systematic Risk）」以及由企業自身獨特因素所決定的「非系統性風險 / 公司特有風險（Unsystematic Risk / Firm-Specific Risk）」。解題關鍵在於熟記變異數拆解公式，並精確進行標準差（Standard Deviation）與變異數（Variance）之間的平方轉換。

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完整解題過程

1. 單指數模型之風險拆解公式

根據單指數模型（Single-Index Model），股票 $i$ 的報酬率可表示為：
$R_i = \alpha_i + \beta_i R_M + e_i$

其中 $e_i$ 為非系統性殘差項（代表公司特有風險），模型假設殘差項與市場報酬率 $R_M$ 不相關，即 $\text{Cov}(R_M, e_i) = 0$。對等式兩邊求變異數（Variance），可導出總變異數拆解式：
$\sigma_i^2 = \beta_i^2 \cdot \sigma_M^2 + \sigma^2(e_i)$

各項代表意義如下：

• 總風險（總變異數）：$\sigma_i^2$
• 系統性風險（變異數）：$\beta_i^2 \cdot \sigma_M^2$
• 公司特有風險 / 非系統性風險（變異數）：$\sigma^2(e_i)$

2. 代入已知數據計算

題目給定條件：

• 股票 XYZ 的年報酬標準差 $\sigma_i = 40\% = 0.40$
• 股票 XYZ 的貝他值 $\beta_i = 1.2$
• 市場報酬的年標準差 $\sigma_M = 22\% = 0.22$

步驟一：計算總風險（總變異數 $\sigma_i^2$）
題目給定的是標準差，但在單指數模型的風險拆解中，單位必須為「變異數」，因此需先進行平方：
$\sigma_i^2 = (0.40)^2 = 0.16$

本題考驗多因子資產定價模型 (Multifactor Asset Pricing Model)，特別是套利定價理論 (Arbitrage Pricing Theory, APT)。APT 模型假設資產的預期報酬率由多個因子決定，且不存在套利機會。

解題步驟：

1. 理解 APT 模型：
   多因子 APT 模型表示資產的預期報酬率 $E(R_i)$ 可以表示為：
   $E(R_i) = R_f + \sum_{j=1}^{k} \beta_{ij} \lambda_j$
   其中：

   • $R_f$ 是無風險利率。
   • $k$ 是因子的數量。
   • $\beta_{ij}$ 是資產 $i$ 對因子 $j$ 的敏感度 (Beta)。
   • $\lambda_j$ 是因子 $j$ 的風險溢價 (risk premium)。

   在這個題目中，有兩個因子 F1 和 F2，所以 $k=2$。
   模型可以寫成：
   $E(R_i) = R_f + \beta_{i1} \lambda_1 + \beta_{i2} \lambda_2$
   其中 $\lambda_1$ 是因子 F1 的風險溢價，$\lambda_2$ 是因子 F2 的風險溢價。

2. 代入已知數據建立聯立方程：
   我們有兩個投資組合 A 和 B，以及無風險利率 $R_f = 10\% = 0.10$。

   • 投資組合 A：
     $E(R_A) = 19\% = 0.19$
     $\beta_{A1} = 1$
     $\beta_{A2} = 2$
     代入 APT 模型：$0.19 = 0.10 + 1 \times \lambda_1 + 2 \times \lambda_2$
     簡化後得到：$0.09 = \lambda_1 + 2 \lambda_2$ (方程式 1)

核心觀念

本題考查資本結構下股東現金流量的計算。在忽略折舊與稅負的情況下，槓桿公司 $L$ 的股東可分配現金流量為：

$$\text{股東現金流量}=\text{EBIT}-\text{利息費用}$$

公司 $L$ 的負債為 $1{,}000$，利率為 $10\%$，因此每期利息費用為：

$$I=1{,}000\times 10\%=100$$

公司 $L$ 的流通在外股數為 $50$ 股，而 Brown 持有 $500$ 股，持股倍數為：

$$\frac{500}{50}=10$$

因此，Brown 可取得公司 $L$ 股東總現金流量的 $10$ 倍。

解題方法與計算

先計算公司 $L$ 在三種景氣狀況下的股東現金流量：

經濟狀況	EBIT	利息費用	股東總現金流量
衰退	$100$	$100$	$0$
正常	$250$	$100$	$150$
擴張	$300$	$100$	$200$

每股股東現金流量為：

• 衰退：$\frac{0}{50}=0$
• 正常：$\frac{150}{50}=3$
• 擴張：$\frac{200}{50}=4$

Brown 持有 $500$ 股，因此其未來現金流量為：

$$\text{Brown現金流量} =500\times \text{每股現金流量}$$

所以：

• 衰退：

$$500\times 0=0$$

• 正常：

$$500\times 3=1{,}500$$

• 擴張：

$$500\times 4=2{,}000$$

Brown 購買股票的初始投資金額為：

核心觀念

1. MM 第一定理（無稅環境，Modigliani-Miller Proposition I without Taxes）：
   在完美資本市場（無營利事業所得稅、無交易成本與破產成本、資訊完全對稱，且個人借貸利率等於公司借貸利率）的假設下，企業的價值僅由其資產的實體獲利能力與本業經營風險決定，與其資本結構無關，即：

   $$V_L = V_U$$

   其中 $V_L = E_L + D_L$ 為負債公司（Firm L）之總價值，$V_U = E_U$ 為無負債公司（Firm U）之總價值。

2. 自製槓桿（Homemade Leverage）：
   投資人若欲獲得負債公司的槓桿收益與風險型態，不需要依賴公司進行負債融資，只要透過「個人融資借款（Personal Borrowing）」並買入無負債公司的股票，即可在個人投資組合層面完全複製負債公司的現金流量與風險結構。

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解題方法

1. 符號定義與基本假設

• 設有無負債公司（Firm U）與負債公司（Firm L），兩者具備相同的本業營運資產，在未來各期產生的營業利益（EBIT）皆為隨機變數 $\tilde{X}$。
• 負債公司發行市場價值為 $D_L$ 的債務，利率為 $r_D$，每年需支付固定利息 $r_D D_L$；其權益（普通股）市場價值為 $E_L$。
• 無負債公司全數由權益組成，其權益市場價值為 $E_U$。依 MM 第一定理，$E_U = V_U = V_L = E_L + D_L$。
• 假設 Mr. Brown 原先欲投資於負債公司（Firm L），並持有其比例為 $\alpha$（$0 < \alpha \le 1$）之權益份額。

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2. 策略一：直接投資於負債公司（Firm L）

• 期初出資額（$t=0$）：
  Mr. Brown 購買負債公司 $\alpha$ 比例的股權，所需支付的自有資金為： $$\text{Initial Cash Outflow} = \alpha E_L$$
• 期末現金流量（$t=1$）：
  負債公司支付利息後的剩餘盈餘全數分配予股東，Mr. Brown 按持股比例獲取現金流： $$\text{Cash Flow} = \alpha (\tilde{X} - r_D D_L) = \alpha \tilde{X} - \alpha r_D D_L$$

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3. 策略二：利用自製槓桿投資於無負債公司（Firm U）

Mr. Brown 透過以下三步驟進行自製槓桿操作：

• 步驟一：個人融資借款
  Mr. Brown 以個人名義在資本市場上按借款利率 $r_D$ 借入資金 $\alpha D_L$。

• 步驟二：全數買入無負債公司股權
  Mr. Brown 將自有資金 $\alpha E_L$ 加上個人借入的資金 $\alpha D_L$，合計總資金為：

  $$\alpha E_L + \alpha D_L = \alpha (E_L + D_L) = \alpha V_L$$

  因無稅環境下 $V_L = V_U = E_U$，該總金額恰好等於 $\alpha E_U$。Mr. Brown 將此資金全數買入無負債公司（Firm U）$\alpha$ 比例的股權。

  此時，Mr. Brown 的**期初自有資金淨支出（$t=0$）**為：

  $$\text{Net Cash Outflow} = \alpha E_U - \alpha D_L = \alpha (E_U - D_L) = \alpha (V_L - D_L) = \alpha E_L$$

• 步驟三：計算期末淨現金流量（$t=1$）

  • 自 Firm U 獲得的權益分紅現金流入：$\alpha \tilde{X}$
  • 償還個人借款之利息支出：$r_D (\alpha D_L) = \alpha r_D D_L$

本題考驗資本資產定價模型 (CAPM) 的應用。CAPM 模型描述了資產的預期報酬率與其系統性風險 (Beta) 之間的關係。題目假設兩家公司都被正確定價，這意味著它們的預期報酬率符合 CAPM 的預期。

解題步驟：

1. 理解 CAPM 模型：
   CAPM 模型公式為：
   $E(R_i) = R_f + \beta_i [E(R_m) - R_f]$
   其中：

   • $E(R_i)$ 是資產 $i$ 的預期報酬率。
   • $R_f$ 是無風險利率。
   • $\beta_i$ 是資產 $i$ 的 Beta 值。
   • $E(R_m)$ 是市場投資組合的預期報酬率。
   • $[E(R_m) - R_f]$ 是市場風險溢價 (Market Risk Premium)。

2. 利用給定資訊建立方程組：
   題目提供了兩家公司 A 和 B 的 Beta 值和預期報酬率，並假設它們被正確定價。這意味著 CAPM 模型適用於這兩家公司。

   • 公司 A：
     $E(R_A) = 14.40\% = 0.144$
     $\beta_A = 0.60$
     代入 CAPM：$0.144 = R_f + 0.60 [E(R_m) - R_f]$ (方程式 1)

   • 公司 B：
     $E(R_B) = 10.20\% = 0.102$
     $\beta_B = 0.30$
     代入 CAPM：$0.102 = R_f + 0.30 [E(R_m) - R_f]$ (方程式 2)

3. 求解無風險利率 ($R_f$) 和市場風險溢價 ($E(R_m) - R_f$)：

本題延續上一小題，利用計算出的無風險利率 ($R_f$) 和市場風險溢價 ($MRP$)，來計算市場投資組合的預期報酬率 ($E(R_m)$)。

解題步驟：

1. 回顧上一小題的結果：
   • 無風險利率 ($R_f$) = 6% = 0.06。
   • 市場風險溢價 ($MRP = E(R_m) - R_f$) = 14% = 0.14。

本題考驗使用資本資產定價模型 (CAPM) 來判斷股票是否被正確定價。CAPM 模型提供了一個理論上的預期報酬率，我們可以將其與股票實際的預期報酬率進行比較。

解題步驟：

1. 回顧 CAPM 模型與已計算值：

   • CAPM 模型：$E(R_i) = R_f + \beta_i [E(R_m) - R_f]$
   • 由上一小題可知：
     • 無風險利率 ($R_f$) = 6% = 0.06。
     • 市場投資組合的預期報酬率 ($E(R_m)$) = 20% = 0.20。
     • 市場風險溢價 ($E(R_m) - R_f$) = 14% = 0.14。

2. 計算 Apple Co. 的理論預期報酬率：
   題目給定 Apple Co. 的 Beta 值：$\beta_{Apple} = 1.2$。
   利用 CAPM 模型計算 Apple Co. 在其 Beta 值下的理論預期報酬率 (CAPM Expected Return)：
   $CAPM\ Expected\ Return_{Apple} = R_f + \beta_{Apple} [E(R_m) - R_f]$
   $CAPM\ Expected\ Return_{Apple} = 0.06 + 1.2 \times 0.14$
   $CAPM\ Expected\ Return_{Apple} = 0.06 + 0.168 = 0.228$

   所以，根據 CAPM，Apple Co. 的理論預期報酬率應該是 22.8%。

本題考驗股利成長模型 (Dividend Growth Model)，也稱為戈登成長模型 (Gordon Growth Model)，來計算股票價格。模型假設股利會以一個固定的比率永續成長。

解題步驟：

1. 理解股利成長模型：
   股價 $P_0 = \frac{D_1}{r-g}$
   其中：

   • $D_1$ 是下一期的預期股利。
   • $r$ 是股東要求的報酬率 (discount rate)。
   • $g$ 是股利的永續成長率。

2. 從題目資訊提取參數：

   • EPS (每股盈餘) 在第一年 ($EPS_1$) = $10$。
   • 股利發放率 (Dividend Payout Ratio) = 40% = 0.40。
   • 折現率 (Discount Rate, $r$) = 16% = 0.16。
   • 保留盈餘報酬率 (Return on Retained Earnings, $ROE$) = 20% = 0.20。

本題考驗「現金牛公司」(Cash Cow Firm) 的股價計算。現金牛公司是指將其所有盈餘都發放為股利的公司，因此其股利成長率為零。

解題步驟：

1. 理解現金牛公司的定義：
   現金牛公司是指股利發放率為 100% (Dividend Payout Ratio = 100%)，且沒有保留盈餘用於再投資，因此其成長率 $g = 0$。

2. 從題目資訊提取參數：

   • EPS 在第一年 ($EPS_1$) = $10$。
   • 股利發放率 = 100% = 1.00。
   • 折現率 ($r$) = 16% = 0.16。
   • 保留盈餘報酬率 ($ROE$) = 20% = 0.20。 (這個參數在此情況下不再需要，因為成長率為 0)。

核心觀念

本題考查「成長機會現值」（Present Value of Growth Opportunities, PVGO），又稱成長機會的淨現值（NPVGO）。

股票目前價格可分解為：

$$P_0=\frac{E_1}{r}+\text{NPVGO}$$

其中：

• $P_0$：股票目前價格
• $E_1$：下一期每股盈餘
• $r$：股東必要報酬率
• $\frac{E_1}{r}$：假設公司不再成長、將盈餘全部發放時的股票價值
• NPVGO：公司將盈餘保留並投入成長計畫所創造的價值

因此：

$$\boxed{\text{NPVGO}=P_0-\frac{E_1}{r}}$$

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解題方法

本題僅提供第 II.3.(3) 小題，未提供前小題的數值資料，因此無法直接算出數字答案。計算時應將前小題求得的股票價格 $P_0$、下一期每股盈餘 $E_1$ 與必要報酬率 $r$ 代入：

$$\text{NPVGO}=P_0-\frac{E_1}{r}$$

若前小題是利用固定成長股利折現模型求得股票價格，則：

$$P_0=\frac{E_1}{r-g}$$

代入 NPVGO 公式：