110 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《財務管理》

此題考驗投資人如何選擇最佳風險資產與無風險資產組合，核心觀念是資本資產定價模型 (CAPM) 中的最佳風險資產選擇。根據現代投資組合理論，風險規避的投資者在結合無風險資產與風險資產時，會選擇能提供最高夏普比率 (Sharpe Ratio) 的風險資產，因為這代表每單位總風險所能獲得的超額報酬。夏普比率的計算公式為：
$Sharpe Ratio = \frac{E(r) - r_f}{\sigma}$
其中，$E(r)$ 為風險資產的預期報酬率，$r_f$ 為無風險報酬率，$\sigma$ 為風險資產的標準差。

在此題中，無風險報酬率 $r_f = 3\%$。我們需要計算每一種風險證券與無風險資產結合時的夏普比率：

• Security A:

  • $E(r_A) = 18\%$
  • Variance $= 0.5 \implies \sigma_A = \sqrt{0.5} \approx 0.7071$
  • Sharpe Ratio A $= \frac{0.18 - 0.03}{\sqrt{0.5}} = \frac{0.15}{0.7071} \approx 0.2121$

• Security B:

  • $E(r_B) = 12\%$
  • Variance $= 0.16 \implies \sigma_B = \sqrt{0.16} = 0.4$

此題主要在比較傳統效用理論 (Conventional Utility Theory) 與展望理論 (Prospect Theory) 在風險態度及參考點上的差異。

• 傳統效用理論 (Conventional Utility Theory):

  • 假設投資人是風險規避的 (risk-averse)。
  • 效用函數是「凹向 (concave)」的。這意味著邊際效用遞減，即財富增加所帶來的額外效用少於財富減少所帶來的額外效用損失。
  • 效用是根據「總財富 (wealth)」來衡量的。

• 展望理論 (Prospect Theory):

  • 由 Kahneman 和 Tversky 提出，用來解釋人們在風險決策中違反傳統效用理論的行為。
  • 認為人們的決策是基於「參考點 (reference point)」，並對得失有不同的反應。
  • 效用函數的形狀是「損失趨勢下是凸向 (convex to losses)」，「收益趨勢下是凹向 (concave to gains)」。這稱為「損失厭惡 (loss aversion)」和「得失不對稱 (gains-loss asymmetry)」。
  • 效用是根據「財富的變動 (change of wealth)」或收益/損失來衡量的，而不是絕對財富水平。

此題考驗對投資組合風險構成的理解，特別是總風險、系統性風險與非系統性風險之間的關係。總風險 (Total Risk) 通常以變異數 (Variance) 來衡量，它包含系統性風險 (Systematic Risk) 和非系統性風險 (Unsystematic Risk)。

• 總風險 (Total Risk): 以投資組合報酬率的變異數 ($\sigma_p^2$) 表示。
• 系統性風險 (Systematic Risk): 又稱市場風險 (Market Risk)，是指由總體經濟因素（如利率變動、通貨膨脹、政治事件等）引起的風險，無法透過分散投資來消除。它與市場的 Beta 值相關。
• 非系統性風險 (Unsystematic Risk): 又稱特定風險 (Specific Risk) 或獨立風險 (Idiosyncratic Risk)，是指與特定公司或資產相關的風險（如管理不善、產品失敗等），可以透過分散投資來消除。

在單一資產或投資組合與市場的關係中，變異數的分解公式為：
$\sigma_p^2 = \beta_p^2 \sigma_m^2 + \sigma_{p,e}^2$
其中：

• $\sigma_p^2$ 是投資組合的總變異數 (Total Risk)。
• $\beta_p$ 是投資組合的 Beta 值。
• $\sigma_m^2$ 是市場的總變異數 (Market Risk)。
• $\sigma_{p,e}^2$ 是投資組合的非系統性變異數 (Unsystematic Risk)。

Beta 值本身就是衡量資產或投資組合相對於市場的系統性風險的指標。Beta 的平方 ($\beta_p^2$) 乘以市場變異數 ($\sigma_m^2$) 代表投資組合的系統性風險佔總風險的比例。

然而，題目提供的是「相關係數 (correlation coefficient, $\rho$)」，而不是 Beta 值。

此題旨在計算公司債務的預期報酬率，需要結合機率、現金流量以及公司債務的市場價值來進行分析。核心觀念是預期現金流量與債務市場價值的關係。

首先，我們需要計算在不同情境下，公司支付債務後剩餘的現金流量。

• 情境一：景氣繁榮 (Boom Year)

  • 機率 $P(\text{Boom}) = 60\% = 0.6$
  • 預期總現金流量 $=$$60 百萬
  • 債務支付 $=$$50 百萬
  • 支付債務後剩餘現金流量 $=$$60 百萬 - $50 百萬 $=$$10 百萬

• 情境二：經濟衰退 (Recession Year)

  • 機率 $P(\text{Recession}) = 40\% = 0.4$
  • 預期總現金流量 $=$$30 百萬
  • 債務支付 $=$$50 百萬
  • 由於現金流量 ($30$ 百萬) 小於債務支付 ($50$ 百萬)，公司只能支付其所能支付的全部現金流量，即 $30 百萬。
  • 支付債務後剩餘現金流量 $=$$30 百萬

接下來，我們計算債權人（債務持有者）在不同情境下能收到的金額。

• 情境一 (Boom Year): 債權人收到的現金 $=$$50 百萬
• 情境二 (Recession Year): 債權人收到的現金 $=$$30 百萬

核心觀念

本題評量**「自製股利」（Homemade Dividends）與「股利無關論」（MM Dividend Irrelevance Theory）之核心操作，以及基本股票評價模型**：

1. 股利折現與股價決定：在效率市場與無摩擦環境下，股票於各時點的除息價格等於其未來所有預期現金股利的折現值。
2. 自製股利（Homemade Dividends）：若公司發放的股利時序不符合投資人偏好的現金流型態，投資人可透過「出售部分持股」（若欲增加當期現金）或「將多餘股利再投資買入持股」（若欲減少當期現金），在不改變總財富現值的前提下，自行創造出符合個人偏好的現金流分配。

解題方法

第一步：計算第 1 年期末（除息後）的股票價格 $P_1$

Gampers 公司將於第 2 年期末發放清算股利 $D_2 =$$50，公司隨後終止營運（即第 2 年除息後股價 $P_2 = 0$）。
要求報酬率 $r = 10\%$，則第 1 年除息後的合理股價 $P_1$ 為：

第二步：計算投資人於第 1 年期末的總財富與目標等額現金流

Edward 持有 1,000 股，在第 1 年期末領取第 1 期股利 $D_1 =$$1 後，他在第 1 年期末所擁有的總財富價值 $V_1$ 為「收到之股利」加上「剩餘持股市值」：

Edward 希望在第 1 年末與第 2 年末取得相等的現金流（設各為 $C$），則此現金流在第 1 年末的折現值總和必須等於其總財富 $V_1$：

代入數值求解 $C$：

第三步：計算第 1 年期末需出售的股數

• Edward 在第 1 年末已由公司領取股利：$1,000 \times$$$1 =$$1,000。
• 為達到目標現金流 $C =

核心觀念

本題考的是「自製股利政策（homemade dividend policy）」：

• 公司支付現金股利後，股價會因公司資產減少而下降。
• 股東若不希望取得現金股利，可以將收到的股利再投資於公司股票，藉此自行實現零股利收入政策。
• 除息前股價包含即將發放的股利；除息後股價則扣除每股股利。

公司股權價值為：

解題方法

公司目前有 $800,000$ 股流通在外，因此除息前每股股價為：

公司將當期現金流的 $40\%$ 作為現金股利：

每股現金股利為：

除息後每股股價為：

Jenny 持有 $1,000$ 股，因此收到的現金股利為：

此題考驗對資本市場線 (Capital Market Line, CML) 的定義與特性的理解。CML 是在風險-報酬圖（以標準差為橫軸，預期報酬為縱軸）上，連接無風險資產報酬率點與市場投資組合點的一條直線。

我們逐一檢視每個敘述：

• I. The capital market line is a capital allocation line from the risk-free rate through the market portfolio.

  • 正確。 CML 代表所有可能的、由無風險資產與市場投資組合組合而成的投資組合的風險與預期報酬。它是所有可達到的資本配置線 (Capital Allocation Line, CAL) 中，風險最高的組合線，因為市場投資組合被認為是最佳風險資產組合。

• II. The capital market line is the best attainable capital allocation line.

  • 正確。 在單一時期、無摩擦的資本市場中，CML 是所有可能組合線 (CAL) 中風險報酬效率最高的。任何投資組合的風險報酬點都會落在 CML 或其下方。只有當投資組合恰好是市場投資組合與無風險資產的組合時，才會落在 CML 上。

此題考驗計算兩個投資組合（在此為 Stock Fund 和 Bond Fund）之間的相關係數。相關係數衡量兩個變數（在此為兩種基金的報酬率）之間線性關聯的強度與方向。

計算相關係數 $\rho_{XY}$ 的公式為：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
其中：

• $\text{Cov}(X, Y)$ 是 X 和 Y 的共變異數 (Covariance)。
• $\sigma_X$ 是 X 的標準差 (Standard Deviation)。
• $\sigma_Y$ 是 Y 的標準差 (Standard Deviation)。

我們需要先計算 Stock Fund (X) 和 Bond Fund (Y) 的預期報酬率、標準差，以及它們的共變異數。

1. 計算預期報酬率 (Expected Return)：

• Stock Fund (X):
  $E(r_X) = (0.10 \times -0.20) + (0.60 \times 0.10) + (0.30 \times 0.20)$
  $E(r_X) = -0.02 + 0.06 + 0.06 = 0.10 = 10\%$

• Bond Fund (Y):
  $E(r_Y) = (0.10 \times 0.06) + (0.60 \times 0.05) + (0.30 \times -0.02)$
  $E(r_Y) = 0.006 + 0.030 - 0.006 = 0.030 = 3\%$

2. 計算標準差 (Standard Deviation)：

• Stock Fund (X) 的變異數 (Variance, $\sigma_X^2$):
  $\sigma_X^2 = [0.10 \times (-0.20 - 0.10)^2] + [0.60 \times (0.10 - 0.10)^2] + [0.30 \times (0.20 - 0.10)^2]$
  $\sigma_X^2 = [0.10 \times (-0.30)^2] + [0.60 \times (0.00)^2] + [0.30 \times (0.10)^2]$
  $\sigma_X^2 = [0.10 \times 0.09] + [0.60 \times 0] + [0.30 \times 0.01]$
  $\sigma_X^2 = 0.009 + 0 + 0.003 = 0.012$
  $\sigma_X = \sqrt{0.012} \approx 0.1095$

此題考驗如何利用兩個風險資產（Stock Fund 和 Bond Fund）來建構一個預期報酬率為特定目標的投資組合，並計算其中一個資產的權重。核心觀念是投資組合的預期報酬率是各資產預期報酬率的加權平均。

我們從問題 8 中獲得以下資訊：

• Stock Fund (X) 的預期報酬率 $E(r_X) = 10\%$
• Bond Fund (Y) 的預期報酬率 $E(r_Y) = 3\%$
• Stock Fund (X) 的標準差 $\sigma_X \approx 0.1095$
• Bond Fund (Y) 的標準差 $\sigma_Y \approx 0.0329$
• Stock Fund (X) 和 Bond Fund (Y) 的相關係數 $\rho_{XY} \approx -0.6662$

目標投資組合的預期報酬率 $E(r_p) = 13.5\%$。
我們將投資總額 $1000$ 投入這個由 Stock Fund 和 Bond Fund 組成的投資組合。
設 $w_X$ 為 Stock Fund 在投資組合中的權重， $w_Y$ 為 Bond Fund 在投資組合中的權重。
則 $w_X + w_Y = 1$。
投資組合的預期報酬率公式為：
$E(r_p) = w_X E(r_X) + w_Y E(r_Y)$
將已知數值代入：

核心觀念

本題旨在探討資本結構（Capital Structure）、**系統性風險（Beta）與股東要求報酬率（Required Rate of Return on Equity / Cost of Equity）**之間的連動關係。涉及的核心理論與公式如下：

1. 資產貝塔與權益貝塔之關係（Asset Beta vs. Equity Beta）：
   企業資產的系統性風險（$\beta_A$ 或無槓桿貝塔 $\beta_U$）由權益與負債共同承擔。在市場價值加權下：

   $$\beta_A = \frac{E}{D + E}\beta_E + \frac{D}{D + E}\beta_D$$

   當題目假設公司債券的貝塔值為零（$\beta_D = 0$）時，代表負債不承擔任何市場系統性風險，全部的營運與財務系統性風險皆由股東承擔。

2. 哈馬達方程式（Hamada Equation / MM Proposition II with Beta）：

   • 無公司稅情況（$T_C = 0$）： $$\beta_E = \beta_U \left( 1 + \frac{D}{E} \right)$$
   • 有公司稅情況（$T_C > 0$）： $$\beta_E = \beta_U \left[ 1 + (1 - T_C)\frac{D}{E} \right]$$

3. 資本資產定價模型（CAPM）與 MM 第二定理（MM Proposition II）：
   股東要求報酬率 $r_E$（或 $k_E$）由 CAPM 決定：

   $$r_E = r_f + \beta_E (r_M - r_f)$$

   亦等價於 MM 第二定理之槓桿報酬率調整式：

   $$r_E = r_U + (r_U - r_D)(1 - T_C)\frac{D}{E}$$

   當 $\beta_D = 0$ 時，依 CAPM 定價可知負債之要求報酬率即為無風險利率（$r_D = r_f$）。

解題方法

本題分析可分為「一般化代數推導」與「典型情境數值解析」兩個維度：

第一步：建立兩家公司的資本結構與風險關係

假設兩家公司處於相同商業風險等級（Business Risk Class），故具備相同的資產貝塔 $\beta_U$ 與無槓桿權益報酬率 $r_U$：

• 無槓桿公司（Unlevered Firm，記為公司 U）：負債比率 $D/E = 0$。
• 有槓桿公司（Levered Firm，記為公司 L）：負債權益比為 $D/E > 0$。

第二步：推導股東權益貝塔 $\beta_E$

因題設 $\beta_D = 0$：

1. 公司 U： $$\beta_{E,U} = \beta_U$$
2. 公司 L：
   • 無公司稅下： $$\beta_{E,L} = \beta_U \left( 1 + \frac{D}{E} \right)$$
   • 有公司稅下：

題目背景與已知條件整理

依據政治大學 110 學年度財務管理學系碩士班入學考試題意，本題組之完整背景資訊如下：

1. 基本營運風險：George 公司與 Mary 公司若皆為「全權益融資（All-Equity Financed）」，其權益貝塔值相同，即無槓桿貝塔（Unlevered Beta / Asset Beta）為： $$\beta_U = 1.5$$
2. 市場價值與資本結構：
   • George 公司：負債市場價值 $D = \text{15,000,000}$ 美元，權益市場價值 $E = \text{60,000,000}$ 美元。
   • Mary 公司：負債市場價值 $D = \text{50,000,000}$ 美元，權益市場價值 $E = \text{25,000,000}$ 美元。
3. 市場參數與稅率：
   • 無風險利率 $R_f = 1\%$
   • 市場投資組合期望報酬率 $E(R_M) = 6\%$
   • 市場風險溢酬（Market Risk Premium）為 $E(R_M) - R_f = 6\% - 1\% = 5\%$
   • 兩家公司之企業所得稅率皆為 $T_c = 30\%$
4. 子題假設：公司債券之貝塔值為零（$\beta_D = 0$）。

核心觀念

本題的核心在於探討資本結構（財務槓桿）對權益風險與權益資金成本的影響，主要運用以下兩大理論與公式：

1. 哈瑪達方程式（Hamada Equation / 貝塔調整公式）：
   在考慮企業所得稅（$T_c$）且假設負債為無風險（$\beta_D = 0$）的情境下，公司的權益貝塔（Levered Beta, $\beta_L$）會隨財務槓桿比例上升而擴大：

   $$\beta_L = \beta_U \left[ 1 + (1 - T_c) \frac{D}{E} \right]$$

   註：廣義公式為 $\beta_L = \beta_U + (1 - T_c)(\beta_U - \beta_D)\frac{D}{E}$，當 $\beta_D = 0$ 時即簡化為上式。

2. 資本資產定價模型（CAPM）：
   股東所要求的權益必要報酬率（Cost of Equity, $r_e$）取決於無風險利率、市場風險溢酬及該公司的權益系統性風險（$\beta_L$）：

   $$r_e = R_f + \beta_L \left[ E(R_M) - R_f \right]$$

3. MM 第二命題（含稅版，Modigliani-Miller Proposition II with Corporate Taxes）：
   亦可直接透過權益成本公式求得：

   $$r_e = r_0 + (r_0 - r_D)(1 - T_c)\frac{D}{E}$$

   其中 $r_0$ 為無槓桿權益成本，$r_D$ 為負債資金成本（當 $\beta_D = 0$ 時，$r_D = R_f$）。

解題方法與推導步驟

步驟一：計算兩家公司的負債權益比（$D/E$ Ratio）

• George 公司： $$\left( \frac{D}{E} \right)_{\text{George}} = \frac{15,000,000}{60,000,000} = 0.25$$
• Mary 公司： $$\left( \frac{D}{E} \right)_{\text{Mary}} = \frac{50,000,000}{25,000,000} = 2.00$$

步驟二：利用 Hamada 方程式計算兩家公司的權益貝塔值（$\beta_L$）

將 $\beta_U = 1.5$、$T_c = 0.3$ 及各公司的 $D/E$ 比率代入公式：

核心觀念

本題的核心在於負債具有系統性風險（Risky Debt）下的資本結構理論與資產定價模型，主要結合以下三大財務管理原理：

1. 資產貝塔（Asset Beta, $\beta_A$）與資產組合加權關係：
   公司的總資產可視為由權益（Equity）與負債（Debt）構成的資產組合。當公司負債存在違約風險或系統性風險時，負債貝塔 $\beta_D > 0$。在無套利與市場均衡下，資產貝塔為權益貝塔與負債貝塔的市值加權平均：

   $$\beta_A = \frac{S}{B + S}\beta_S + \frac{B}{B + S}\beta_B$$

   （其中 $S$ 為股權市值、$B$ 為負債市值、$\beta_S$ 為權益貝塔、$\beta_B$ 為負債貝塔）

2. 槓桿權益貝塔公式（Relevered Beta with Risky Debt）：
   將上述加權式移項重組，可得考量負債風險後的權益貝塔：

   $$\beta_S = \beta_A + (\beta_A - \beta_B)\frac{B}{S}$$
   • 當負債為無風險（$\beta_B = 0$）時，$\beta_S = \beta_A(1 + B/S)$。
   • 當負債為有風險（$\beta_B = 0.5$）時，部分營運風險由債權人承擔，股東承擔的財務槓桿風險溢酬為 $(\beta_A - \beta_B)\frac{B}{S}$。

3. 資本資產定價模型（CAPM）與 MM 第二命題（Modigliani-Miller Proposition II with Risky Debt）：

   • 股東之必要報酬率（權益資金成本 $r_S$）由 CAPM 決定：
   $$r_S = r_f + \beta_S (r_M - r_f)$$
   • 等價地，由 MM 第二命題（有風險負債形式）：
   $$r_S = r_A + (r_A - r_B)\frac{B}{S}$$

   其中負債資金成本 $r_B = r_f + \beta_B(r_M - r_f)$，資產必要報酬率 $r_A = r_f + \beta_A(r_M - r_f)$。

解題方法

本題為接續題組情境（通常包含無負債公司 Company 1 與有負債公司 Company 2，且兩者處於相同業務風險等級，即 $\beta_{A,1} = \beta_{A,2} = \beta_A$）。當企業負債貝塔為 $\beta_B = 0.5$ 時，求解兩家公司股東必要報酬率的步驟如下：

步驟一：分析無負債公司（Company 1, Unlevered Firm）

1. 無負債公司資本結構中無負債（$B_1 = 0, S_1 = V_1$）。
2. 因無財務槓桿，股東完全承擔公司之業務風險，其權益貝塔即等於資產貝塔： $$\beta_{S,1} = \beta_A$$
3. 負債貝塔 $\beta_B$ 的大小對無負債公司完全無影響。代入 CAPM 可得無負債公司股東之必要報酬率： $$r_{S,1} = r_f + \beta_A (r_M - r_f) = r_A$$

步驟二：分析有負債公司（Company 2, Levered Firm）

1. 有負債公司具有正的負債比率（記其負債權益比為 $B_2/S_2$）。
2. 由於題目給定負債具有系統性風險（$\beta_B = 0.5$），債權人分擔了部分市場風險，計算其權益貝塔 $\beta_{S,2}$： $$\beta_{S,2} = \beta_A + (\beta_A - 0.5)\frac{B_2}{S_2}$$
3. 將求得之 $\beta_{S,2}$ 代入 CAPM 公式，計算有負債公司股東之必要報酬率： $$r_{S,2} = r_f + \left[ \beta_A + (\beta_A - 0.5)\frac{B_2}{S_2} \right](r_M - r_f)$$ 或以資金成本形式表示：

兩家公司股權預期報酬率的差異主要來自於融資結構的差異。Mary Inc. 相較於 George Inc. 擁有更高比例的債務融資 ($D/E$ 比例為 2 vs 0.25)。

核心觀念

本題考查新投資案的「增量淨利潤」（incremental net income），也就是公司採用新投資後，相較於不採用該投資案所增加的稅後會計所得。

基本公式為：

其中：

• $t$ 代表第 $1$ 年至第 $4$ 年。
• $T$ 為公司稅率。
• 折舊雖然不是現金支出，卻會降低課稅所得，因此產生折舊節稅效果。
• 資本支出、營運資金投資及處分收入屬於現金流量項目，不直接列入當期淨利潤。
• 利息費用通常不列入投資案的增量淨利潤，因為資本預算分析通常以稅後營業利益配合適當折現率評估，以避免利息與融資成本重複計算。

解題方法

令：

• $R_t$：第 $t$ 年增量收入
• $C_t$：第 $t$ 年增量現金成本
• $D_t$：第 $t$ 年折舊費用
• $T$：稅率

則第 $t$ 年的增量稅前營業利益為：

扣除所得稅後，第 $t$ 年的增量淨利潤為：

因此四年的計算如下：

Year 1

Year 2

Year 3

Year 4

若四年採直線折舊，且投資設備成本為 $I$、預計殘值為 $S$、耐用年限為 $4$ 年，則每年折舊為：

此時四年的增量淨利潤分別為：

核心觀念

淨現值（Net Present Value, NPV）是將專案未來各期現金流量以適當折現率折算為現值，再扣除初始投資支出：

其中：

• $I_0$：期初投資金額
• $CF_t$：第 $t$ 期現金流量
• $r$：適當折現率，本題為 $5\%$
• $n$：專案年限

若 $NPV>0$，表示專案增加股東財富，原則上應接受；若 $NPV<0$，則應拒絕。

解題方法

本題應將題目前文所提供的初始投資與各期現金流量，按照第 $t$ 期使用 $(1.05)^t$ 折現：

若現金流量包含終值，則終值也應併入發生當期的現金流量。例如第 $n$ 期除營運現金流量外還有終值 $TV$，則：

此題為一個關於公司價值與融資結構的題目，涉及 MM 理論

題目背景與已知條件

本題出自國立政治大學 110 學年度財務管理學系碩士班入學考試第 3 題題組。完整題幹條件如下：

• 文山公司（WenShan Corporation）預期每年可產生永續且穩定的息稅前利益（$\text{EBIT}$）為 $2,000,000。
• 公司目前完全無負債（$D = 0$），其無槓桿權益資金成本（Cost of Unlevered Equity, $r_U$）為 $12\%$。
• 借款利率（Cost of Debt, $r_D$）為 $10\%$。
• 本小題條件：公司所得稅率（Corporate Tax Rate, $T_c$）為 $40\%$。

核心觀念

1. 無負債公司價值（Value of Unlevered Firm, $V_U$）：
   在考慮公司所得稅（Corporate Taxes）的 MM 理論（Modigliani-Miller Theorem）架構下，若公司未發行負債（$D = 0$），其稅後營業現金流量為永續年金，公司價值即為稅後淨營業利益（Net Operating Profit After Taxes, $\text{NOPAT}$）以無負債權益資金成本折現之現值：

2. 現金流量折現法（DCF）：
   由於公司處於永續成長率為零（$g = 0$）的狀態，且每年無需額外的新增營運資本或資本支出，因此每年的無槓桿自由現金流量（FCFF）恆等於 $\text{EBIT}(1 - T_c)$。

解題方法

核心觀念

本題考查資本結構變動與公司價值的關係。若公司將總資產的 $50\%$ 改以負債融資，則負債比率為：

其中：

• $D$：負債市值
• $E$：股東權益市值
• $V$：公司總價值，且 $V=D+E$

依無稅、無交易成本且資本市場完全的 Modigliani–Miller（MM）資本結構無關定理，公司僅改變負債與權益的比例，不會改變公司整體價值。

解題方法

設 WenShan Corporation 原本的公司價值為 $V_0$，原有負債與權益分別為 $D_0$、$E_0$，則：

將總資產的 $50\%$ 轉為負債後，新的資本結構為：

在 MM 無稅命題下，公司價值不因融資方式改變，因此：

若 WenShan Corporation 使用 100% 的債務融資 (D=Total Firm Value, E=0)，其主要優勢是最大化稅盾效益，因為所有 EBIT 都將支付為債務利息，從而完全抵稅，增加公司總價值 $V_L = V_U + T_c D$。

此題要求計算基金 A 的六項績效指標。我們需要根據提供的數據，逐一計算這些指標。

已知數據：

• 無風險利率 $r_f = 3.00\%$ (來自 1-month T-bill)
• 基金 A 的平均報酬率 $E(r_A) = 16\%$
• 基金 A 的標準差 $\sigma_A = 40\%$
• 基金 A 的 Beta $\beta_A = 1.5$
• S&P 500 的平均報酬率 $E(r_m) = 15\%$
• S&P 500 的標準差 $\sigma_m = 25\%$
• 基金 A 與 S&P 500 的相關係數 $\rho_{A,m} = ?$ (未提供，但有 Unsystematic risk)
• 基金 A 的總風險 (變異數) $\sigma_A^2 = (40\%)^2 = 0.16$

需要計算的六項績效指標：

1. Unsystematic risk (in terms of variance)
2. Correlation with S&P 500
3. Sharpe ratio
4. M-square (Treynor-Black model 的一部分，與 Alpha 相關)
5. Treynor ratio
6. Information ratio

計算步驟：

1. Unsystematic risk (in terms of variance):
總風險的變異數 $\sigma_A^2$ 包括系統性風險和非系統性風險。
$\sigma_A^2 = \beta_A^2 \sigma_m^2 + \sigma_{A,e}^2$
其中 $\sigma_{A,e}^2$ 是基金 A 的非系統性風險變異數。
我們知道 $\sigma_A^2 = 0.16$ (40% 的平方)。
$\beta_A^2 \sigma_m^2 = (1.5)^2 \times (0.25)^2 = 2.25 \times 0.0625 = 0.140625$。
所以，非系統性風險變異數：
$\sigma_{A,e}^2 = \sigma_A^2 - \beta_A^2 \sigma_m^2 = 0.16 - 0.140625 = 0.019375$。

2. Correlation with S&P 500:
相關係數 $\rho_{A,m}$ 可以從 Beta 值和標準差計算得出。
$\beta_A = \rho_{A,m} \frac{\sigma_A}{\sigma_m}$
$\rho_{A,m} = \beta_A \frac{\sigma_m}{\sigma_A}$
$\rho_{A,m} = 1.5 \times \frac{0.25}{0.40} = 1.5 \times 0.625 = 0.9375$。

3. Sharpe ratio:
$Sharpe Ratio = \frac{E(r_A) - r_f}{\sigma_A}$

此題考驗投資者在選擇基金納入既有投資組合時，應使用的績效衡量指標，以及根據指標做出的決策。核心觀念是，對於已充分分散化的投資組合，應優先考慮衡量基金的超額報酬與其承擔的系統性風險之間的關係。

應使用的指標：
當一個投資組合已經是「well diversified」（充分分散化）時，其非系統性風險（特定風險）已經被消除或極小化。在此情況下，投資者主要關心的是基金所承擔的系統性風險（市場風險）所能帶來的超額報酬。因此，衡量單位系統性風險所能獲得的超額報酬的指標是最佳選擇。這就是 Treynor Ratio。

Treynor Ratio 的計算公式為：
$Treynor Ratio = \frac{E(r_p) - r_f}{\beta_p}$
它衡量的是每單位 Beta 值所能獲得的超額報酬。

計算基金 B 的 Treynor Ratio:
我們需要基金 B 的相關數據：

• 基金 B 的平均報酬率 $E(r_B) = 21\% = 0.21$
• 基金 B 的標準差 $\sigma_B = 60\% = 0.60$
• 基金 B 的 Beta $\beta_B = 1.3$
• 無風險利率 $r_f = 3\%$
• 市場預期報酬率 $E(r_m) = 15\%$

$Treynor Ratio_B = \frac{E(r_B) - r_f}{\beta_B} = \frac{0.21 - 0.03}{1.3} = \frac{0.18}{1.3} \approx 0.1385$

比較基金 A 和基金 B 的 Treynor Ratio:

• 基金 A 的 Treynor Ratio (從上題計算) $\approx 0.0867$

資訊比率 (Information Ratio) 衡量的是基金經理人透過主動管理所創造的超額報酬 (Active Return) 相對於其承擔的追蹤誤差 (Tracking Error, 即非系統

此題要求計算公司在不進行新投資的情況下的每股股價。核心觀念是公司價值是其預期未來現金流的現值，而股價是公司總價值的除以總股數。

已知資訊：

• 公司預期每年獲得 $50$ 百萬的永續現金流（如果不進行新投資）。
• 公司總股數 $= 16$ 百萬股。
• 股權要求的報酬率 $= 10\%$。
• 忽略稅金和折舊。

計算公司總價值 (Value of the Firm)：
公司的價值是其預期現金流的永續年金現值。
$V = \frac{\text{Annual Cash Flow}}{\text{Required Rate of Return}}$

核心觀念

本題考查「折現回收期間」（discounted payback period）。其概念是：將投資案未來各期現金流量折算為現值後，計算需要多少期才能回收期初投資成本。

第 $t$ 期現金流量的現值為：

其中：

• $CF_t$：第 $t$ 期現金流量
• $r$：每期折現率
• $t$：期數

累積折現現金流量達到期初投資額 $I_0$ 時，即為折現回收期間。

解題方法

先依序計算各期折現後的現金流量：

再計算累積折現現金流量：

找到最早滿足下式的期數 $n$：

若在第 $n$ 期以前尚未回收，而在第 $n$ 期完成回收，則折現回收期間為：

核心觀念

本題考查新投資案對公司股價的影響。若公司採取該投資案，股東財富的增加量等於投資案的淨現值（NPV）：

在公司股數不變的情況下，每股股價的變動量為：

其中，$N$ 為流通在外普通股股數。

解題方法

設公司未進行新投資前的總股權價值為 $V_0$，原股價為 $P_0$，流通股數為 $N$。則：

新投資案的初始成本為 $I_0$，未來各期現金流量為 $CF_t$，折現率為 $r$，投資期間為 $T$，則投資案淨現值為：

公司進行投資後，總股權價值變為：

因此，投資後每股股價為：

整理得：