110 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《經濟學》

本題考查國際貿易中的比較利益 (comparative advantage) 定義。一個國家在某項產品上具有比較利益，意指該國生產該產品的機會成本低於其他國家。在開放貿易下，這可以從世界價格與國內價格的關係來判斷。

本題考查市場結構的特性，特別是獨占性競爭 (monopolistic competition) 與寡占 (oligopoly) 的差異。

• 獨占性競爭 (Monopolistic Competition)：此市場結構的特徵是許多賣者銷售差異化的產品。由於產品存在差異，個別廠商面對的需求曲線是向右下方傾斜的 (downward sloping demand curve)。同時，市場上有眾多買者。
• 寡占 (Oligopoly)：此市場結構的特徵是市場上只有少數幾家大廠商。寡占廠商的產品可以是同質的或差異化的。由於寡占廠商之間存在策略互動，其需求曲線的斜率難以確定，但通常認為是向下傾斜的，且可能存在彎折 (kinked demand curve) 的情況。寡占市場通常也有眾多買者。

本題考查完全競爭市場 (perfectly competitive market) 下，廠商的收益曲線與價格的關係。

在完全競爭市場中，廠商是價格接受者 (price taker)，意即廠商無法影響市場價格，只能接受市場決定的價格。因此，對於個別廠商而言，市場價格 (equilibrium market price) 就是其面臨的價格。

廠商的收益 (revenue) 定義為價格乘以銷售數量。

• 總收益 (Total Revenue, TR)：$TR = P \times Q$

本題考查需求彈性 (demand elasticity) 的定義。需求彈性衡量當價格變動時，需求量變動的敏感度。

• 需求彈性 (Price Elasticity of Demand, $E_d$) 的計算公式為：
  $E_d = \left| \frac{\% \Delta Q_d}{\% \Delta P} \right|$

本題考查經濟學中常用的假設「其他條件不變」 (ceteris paribus)。

Ceteris paribus 是一個拉丁文短語，意為「其他條件不變」或「其他事物保持相同」。在經濟學分析中，為了簡化模型並隔離某個特定變數對其他變數的影響，我們常常假設所有其他可能影響結果的因素都保持不變。這使得我們能夠更清晰地理解單一變數變動所產生的效果。

選項分析：
A. a central market price：這不是 ceteris paribus 的意思。
B. a real-world situation in which every variable is held constant：在現實世界中，幾乎所有變數都在不斷變動，要讓「每一個」變

本題考查廠商的成本結構，特別是固定成本 (fixed costs) 與變動成本 (variable costs) 的區別。

• 固定成本 (Fixed Costs, FC)：不隨生產量變動而變動的成本。例如廠房租金、機器設備的折舊等。
• 變動成本 (Variable Costs, VC)：隨生產量變動而變動的成本。例如勞工工資、原材料費用等。

本題考查賽局理論 (game theory) 中囚徒困境 (prisoner's dilemma) 的解決方式。

囚徒困境的典型情況是，兩個理性自利的個體，即使合作（不坦白）對雙方都有利，但由於擔心對方坦白而自己受罰，最終都會選擇坦白（背叛）。這導致雙方都無法達到最佳結果，而是達到一個次優的納許均衡 (Nash equilibrium)。

然而，在現實生活中，許多賽局（包括類似囚徒困境的情境）可以導向合作或較好的結果。其關鍵原因往往在於：

• 重複賽局 (Repeated Games)：當賽局不是只進行一次，而是重複進行時，玩家可以透過懲罰機制（例如，如果對方這次不合作，下次就報復）來鼓勵合作。這使得玩家會考慮長期的利益，而不是僅僅一次的短期最大化。
• 聲譽與信任 (Reputation and Trust)：在重複進行的賽局中，玩家可以建立聲譽，並與其他玩家建立信任，這有助於維持合作。

核心觀念

本題測驗「完全替代品（Perfect Substitutes）之消費者最適選擇」與「價格變動之所得效果與替代效果（Slutsky / Hicks 分解）」。

1. 完全替代之效用函數與最適選擇：
   設 $X$ 為電影院觀影次數（trips to the movie theater），$Y$ 為 DVD 片數，效用函數為：

   $$U(X, Y) = aX + bY \quad (a, b > 0)$$

   邊際替代率 $MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{a}{b}$ 為常數。
   消費者追求效用極大化時，比較每單位花費帶來的邊際效用：

   • 若 $\frac{MU_X}{P_X} > \frac{MU_Y}{P_Y}$（即 $MRS_{XY} > \frac{P_X}{P_Y}$），消費者會將全部所得用於購買 $X$，即角解（Corner Solution）：$X^* = \frac{I}{P_X}$、$Y^* = 0$。

2. 替代效果與所得效果之定義：
   當某財貨價格變動時，總效果（Total Effect, TE）可拆解為替代效果（Substitution Effect, SE）與所得效果（Income Effect, IE）：

   $$\text{TE} = \text{SE} + \text{IE}$$
   • 替代效果（SE）：維持實質所得（或實質效用）不變下，因相對價格變動導致的需求量變動。
   • 所得效果（IE）：相對價格調整後，實質購買力改變所引致的需求量變動。

解題方法

1. 初始均衡狀態：

   • 令 $X$ 為電影院行程，$Y$ 為 DVDs。
   • 題目已知 Emily 目前將「所有所得」都花在電影院行程（$X$）上，意即初始消費組合處於角解： $$X_0^* = \frac{I}{P_X}, \quad Y_0^* = 0$$ 這代表在初始價格下，購買電影院行程的每元邊際效用高於（或等於）DVD： $$\frac{MU_X}{P_X} > \frac{MU_Y}{P_Y} \iff \frac{P_Y}{P_X} > \frac{MU_Y}{MU_X}$$

2. DVD 價格上漲（$P_Y$ 加倍）的影響：

   • DVD 價格上漲使得 $P_Y' = 2P_Y$。
   • 相對價格比較： $$\frac{MU_Y}{P_Y'} = \frac{MU_Y}{2P_Y} < \frac{MU_Y}{P_Y} < \frac{MU_X}{P_X}$$ 此時電影院行程（$X$）相對於 DVD（$Y$）變得更加划算，Emily 依然會維持角解，將所有所得全數購買電影院行程（$X$）： $$X_1^* = \frac{I}{P_X} = X_0^*, \quad Y_1^* = 0 = Y_0^*$$
   • 因此，兩種財貨的總效果（TE）皆為 0：

本題考查完全競爭市場 (perfectly competitive market) 與完美差別取價獨占 (perfectly price-discriminating monopoly) 在總社會福利 (total social welfare) 和消費者剩餘 (consumer surplus) 上的比較。

• 完全競爭市場：

  • 價格等於邊際成本 ($P=MC$)。
  • 產量最大化，達到社會福利最大化。
  • 消費者剩餘 (CS) 和生產者剩餘 (PS) 存在，兩者之和即為總社會福利。
  • 所有潛在的、價格低於或等於邊際成本的交易都會發生。

• 完美差別取價獨占：

  • 獨占者對每一位消費者收取其願意支付的最高價格。
  • 產量與完全競爭市場相同，因為獨占者會生產到邊際收益等於邊際成本，而對於完美差別取價者，其邊際收益等於價格 ($MR=P$)。因此，其生產量為 $P=MC$ 的水準。
  • 總社會福利與完全競爭市場相同，因為產量相同，且所有潛在的、價格低於或等於邊際成本的交易都會發生。
  • 消費者剩餘為零，因為所有消費者剩餘都被獨占者以價格差異的形式全部賺取了。

核心觀念

本題考的是「可交易污染排放許可證」（tradable pollution permits）與污染減量成本的效率配置。

政府原本允許兩家公司各排放 20 噸，總排放量為：

政府共發出 $20$ 張許可證，每張許可證允許排放 1 噸，因此總排放上限為 20 噸。兩家公司合計必須減少：

污染減量成本如下：

• Firm A：每減少 1 噸成本為 $100
• Firm B：每減少 1 噸成本為 $50

在可交易許可制度下，污染減量應優先由減量成本較低的廠商負責，以最小化社會總成本。

解題方法

Firm B 每減少 1 噸只需 $50，而 Firm A 每減少 1 噸需$100，因此由 B 減量較有效率。

若 A 減少 1 噸、B 不減少 1 噸，成本為：

若改由 B 減少 1 噸、A 不減少，成本為：

將減量責任由 A 移轉給 B，每 1 噸可節省：

因此，20 噸的必要減量應全部由 B 完成：

排放量為：

許可證交易方式是：A 使用原本獲得的 10 張許可證，再向 B 購買 10 張；B 將自己的 10 張許可證全部售出。因此 A 共持有 20 張許可證，可排放 20 噸；B 不持有許可證，必須完全停止排放。

若交易能順利進行，許可證價格會落在 A 的減量成本 $100 與 B 的減量成本$50 之間，使雙方都有交易誘因。

選項分析

*A. Firm A will no longer pollute, and Firm B will not reduce its pollution at all.

核心觀念

本題考查菲利普斯曲線（Phillips Curve）、自然失業率與景氣循環性失業的定義。

若失業率與通貨膨脹率之間存在短期抵換關係，通常稱為短期菲利普斯曲線；若失業率固定在自然失業率，與通貨膨脹率無關，則為長期菲利普斯曲線。

題目給定：

表示失業率固定為 $5\%$，不論通貨膨脹率為何，失業率皆維持在 $5\%$。

自然失業率 $U_n$ 是經濟在長期、充分調整後的失業率，包含摩擦性失業與結構性失業，但不包含循環性失業。其關係為：

其中：

• $U$：實際失業率
• $U_n$：自然失業率
• $U_c$：循環性失業率

解題方法

直接比較方程式 $U=0.05$ 與菲利普斯曲線的特徵：

1. 失業率固定為 $5\%$，可判定自然失業率為 $5\%$。
2. 失業率不隨通貨膨脹率改變，符合長期菲利普斯曲線。
3. 實際失業率等於自然失業率，因此循環性失業率為零。
4. 方程式沒有指定通貨膨脹率，因此不能推論經濟中沒有通貨膨脹。

選項分析

A. The natural rate of unemployment is 5%.

正確。

由題目方程式可知，失業率固定在：

這正是長期均衡下的自然失業率，因此：

本題考查貨幣政策工具對實質利率 (real interest rate) 的影響。實質利率通常與資金的供給與需求有關。

貨幣政策工具主要影響貨幣供給 (money supply) 和利率。

• 貼現率 (discount rate)：銀行向中央銀行借款的利率。
• 公開市場操作 (open market operations)：中央銀行買賣政府債券。
• 準備金比率 (reserve ratio)：銀行必須持有的存款比例。

我們分析各選項如何影響實質利率：

A. The central bank increases the discount rate.
* 提高貼現率會使銀行向央行借款的成本增加，減少銀行從央行借款的意願，從而可能減少貨幣供給，推升名目利率。名目利率上升通常會帶動實質利率上升。

本題考查貨幣供給的定義，特別是 M1 的組成部分。

貨幣供給 (money supply) 是指經濟體系中流通的貨幣總量。不同的貨幣供給衡量指標（如 M1, M2, M3 等）包含不同程度的流動性資產。

• M1：是最狹義的貨幣定義，包含流動性最高的資產，通常包括：

  • Currency (通貨)：硬幣和紙幣，包括在公眾手中流通的部分。
  • Demand Deposits (支票存款)：存入銀行，可以隨時提取或開立支票使用的存款。
  • Other Checkable Deposits (其他可開支票存款)：類似於支票存款，但可能具有一些限制。

• M2：在 M1 的基礎上，加上一些流動性稍低的資產，如：

  • 儲蓄存款 (Savings Deposits)
  • 小額定期存款 (Small-denomination Time Deposits)

核心觀念

本題考查總體經濟學中**消費者物價指數（Consumer Price Index, CPI）之編製原理與通貨膨脹率（Inflation Rate）**的計算。

1. 固定商品籃（Fixed Basket）與 CPI 定義：
   CPI 衡量代表性消費者購買固定一籃子商品與服務的總成本變動，本質上採用**拉斯拜爾指數（Laspeyres Index）**的型態，以基期數量（$Q_0$）作為固定權數。 $$CPI_t = \frac{\sum P_{i,t} \times Q_{i,0}}{\sum P_{i,0} \times Q_{i,0}} \times 100$$
2. 基期 CPI（Base Year CPI）：
   以基期為基準時，基期之 CPI 恆設定為 100（即 $CPI_0 = 100$）。
3. 通貨膨脹率（$\pi$）：
   物價水準相對於基期的變動百分比： $$\pi = \frac{CPI_1 - CPI_0}{CPI_0} \times 100\% = \frac{Cost_1 - Cost_0}{Cost_0} \times 100\%$$

解題方法

本題給定固定商品籃內容為 10 份熱狗與 10 份漢堡，解題步驟如下：

步驟一：計算基期（Base Year）的商品籃總支出

基期熱狗價格為 $2、漢堡價格為 $3：

基期物價指數：

步驟二：計算當期（Current Year）的商品籃總支出

當期熱狗價格上漲至 $3、漢堡價格上漲至 $4：

步驟三：計算當期 CPI

本題考查何種政策可以降低結構性失業 (structural unemployment)。

結構性失業是指勞動力市場上，勞工的技能、地點或期望與雇主的需求之間存在不匹配所造成的失業。這類失業通常是長期的，且難以透過總體經濟政策（如擴張貨幣或財政政策）來解決。

• 結構性失業的原因：

  • 技術變遷導致技能過時。
  • 產業結構調整。
  • 地理位置的勞動力供需不匹配。
  • 最低工資法、工會力量等造成的工資僵固性。

• 解決結構性失業的政策：

  • 職業訓練和再培訓計畫：幫助勞工學習新技能，以適應市場需求。
  • 教育改革：提升勞工整體素質和適應性。
  • 勞動力市場資訊系統：幫助勞工找到合適的工作，或幫助雇主找到合適的員工。
  • 地理移動補貼：鼓勵勞工遷移到勞動力需求較高的地區。
  • 放寬工作許可或最低工資限制（具爭議性）。

本題考查財政政策 (fiscal policy) 對總體經濟的影響，特別是緊縮性財政政策。

• 政府支出 (Government Spending, G)：是總需求 (Aggregate Demand, AD) 的組成部分。
• 稅率 (Tax Rate, T)：影響可支配所得 (Disposable Income)，進而影響消費 (Consumption, C)。
• 總需求 (AD)：$AD = C + I + G + NX$
• 總供給 (Aggregate Supply, AS)

題目描述的政策是：

1. 減少政府支出 (Decreasing G)：直接減少總需求。
2. 增加稅率 (Increasing Tax Rate)：減少個人和企業的可支配所得，導致消費和投資下降，進而減少總需求。

核心觀念

本題測驗凱因斯交叉模型（Keynesian Cross Model）中的政府支出乘數（Government Spending Multiplier）與總需求（Aggregate Demand, AD）調整。

1. 邊際儲蓄傾向與邊際消費傾向之關係：
   邊際消費傾向（$MPC$）與邊際儲蓄傾向（$MPS$）之和恆等於 $1$：
   $MPC + MPS = 1 \implies 1 - MPC = MPS$
2. 政府支出乘數（$k_G$）：
   在簡單凱因斯模型（無所得稅、封閉經濟）中，政府支出乘數定義為每增加一單位政府支出所誘發的均衡產出（總需求）變動量：
   $k_G = \frac{\Delta Y}{\Delta G} = \frac{1}{1 - MPC} = \frac{1}{MPS}$
3. 總需求變動量與政府支出的關係：
   $\Delta Y = k_G \times \Delta G \implies \Delta G = \frac{\Delta Y}{k_G} = \Delta Y \times MPS$

解題方法

1. 計算政府支出乘數（$k_G$）：
   題目給定邊際儲蓄傾向 $MPS = 0.4$，代入乘數公式：
   $k_G = \frac{1}{MPS} = \frac{1}{0.4} = 2.5$

2. 計算所需之政府支出變動量（$\Delta G$）：
   目標為使總需求增加 $50 億美元（即 $\Delta Y = +50$ 億美元），代入關係式：
   $\Delta Y = k_G \times \Delta G$

本題考查擠出效應 (crowding out effect) 的概念。

擠出效應是指政府擴張性財政政策（例如增加政府支出或減稅）可能導致的負面影響。具體來說：

1. 政府增加支出 (或減稅)：這會增加總需求，導致對貨幣的需求增加（用於交易）。
2. 貨幣市場：在貨幣供給不變的情況下，貨幣需求增加會推升名目利率。
3. 投資行為：利率上升會增加企業借款的成本，使得原本可能有利可圖的投資項目變得無利可圖。因此，企業的投資 (Investment, I) 會減少。
4. 總需求抵銷：政府支出增加對總需求的推動作用，部分被私人投資減少所抵銷。這就是「擠出」了私人投資。

選項分析：
A. Increases in government spending may raise the interest rate and reduce investment.

本題考查關稅 (tariffs) 和配額 (quotas) 的經濟影響，並要求找出錯誤的敘述。關稅和配額都是貿易保護的手段，旨在限制進口。

關稅 (Tariff)：對進口商品徵收的稅。
配額 (Quota)：對進口商品的數量設定上限。

它們的經濟影響有許多相似之處：

1. 提高進口商品價格：關稅直接增加進口成本，配額則因限制供應而推升進口商品價格。
2. 保護國內產業：進口商品價格上升，使國內生產的同類商品更具競爭力，從而保護了國內產業。
3. 損害消費者：消費者需要以更高的價格購買商品，或者可選擇的商品減少，導致消費者剩餘 (consumer surplus) 減少。
4. 無效率的資源配置：國內產業在保護下，可能缺乏創新的動力，生產效率不高，但由於價格被推高，仍能獲利。這導致資源從更有效率的部門流向保護下的無效率部門。
5. 政府收入：關稅會為政府帶來收入。配額則不一定，如果配額是拍賣的，政府可以獲得收入；如果是免費發放給進口商，則收入歸進口商。

選項分析：
A. Economic resources are reallocated toward inefficient producers.
* 這是正確的。關稅和配額保護了國內無效率的生產者，使資源流向這些生產者，而不是更有效率的生產者（國內或國外）。

B. Artificially high prices hurt consumers.
* 這是正確的。關稅和配額都人為地提高了進口商品和國內商品的價格，這對消費者不利。

C. **Inefficient domestic producers are protected at the expense of foreign firms creating d

本題考查匯率變動對國際貿易商品價格的影響。

匯率變動的定義：

• 貶值 (Depreciation)：一種貨幣相對於另一種貨幣的價值下降。
• 升值 (Appreciation)：一種貨幣相對於另一種貨幣的價值上升。

題目說「美元相對於人民幣貶值 (U.S. dollar depreciates relative to the Chinese yuan)」。
這意味著：

• 以前 1 美元可以兌換較多人民幣，現在 1 美元只能兌換較少人民幣。
• 或者說，以前 1 人民幣可以兌換較少美元，現在 1 人民幣可以兌換較多美元。

影響：

1. 美國商品在中國的價格：

   • 假設一件美國商品在美國的價格是 100 美元。
   • 假設匯率從 1 美元 = 7 人民幣 變為 1 美元 = 6 人民幣。
   • 原來，這件商品在中國的價格是 $100 \text{ USD} \times 7 \text{ CNY/USD} = 700 \text{ CNY}$。
   • 現在，這件商品在中國的價格是 $100 \text{ USD} \times 6 \text{ CNY/USD} = 600 \text{ CNY}$。
   • 因此，美元貶值，美國商品在中國的售價變得更便宜。

2. 中國商品在美國的價格：

   • 假設一件中國商品在中國的價格是 700 人民幣。
   • 匯率從 1 美元 = 7 人民幣 變為 1 美元 = 6 人民幣。
   • 原來，這件商品在美國的價格是 $700 \text{ CNY} / (7 \text{ CNY/USD}) = 100 \text{ USD}$。

本題考查生產理論中的邊際技術替代率 (MRTS)、成本最小化條件以及邊際成本 (MC) 的推導。

生產函數為 $Q = L^{1/2}K^{1/2}$。

A. 導出邊際技術替代率 (MRTS)

邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS) 表示為了保持相同的產出水平，可以用多少單位的資本來替代一單位的勞動。其定義為兩種生產要素的邊際產量之比的絕對值。

首先，我們需要計算勞動的邊際產量 ($MP_L$) 和資本的邊際產量 ($MP_K$)。

• 勞動的邊際產量 ($MP_L$)：對生產函數 $Q$ 對 $L$ 求偏導數。
  $MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{1}{2} L^{(1/2)-1} K^{1/2} = \frac{1}{2} L^{-1/2} K^{1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{K}{L}}$

• 資本的邊際產量 ($MP_K$)：對生產函數 $Q$ 對 $K$ 求偏導數。
  $MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = L^{1/2} \frac{1}{2} K^{(1/2)-1} = \frac{1}{2} L^{1/2} K^{-1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{K}}$

• MRTS：
  $MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{K}{L}}}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{K}}} = \frac{\sqrt{\frac{K}{L}}}{\sqrt{\frac{L}{K}}} = \sqrt{\frac{K}{L} \times \frac{K}{L}} = \sqrt{\left(\frac{K}{L}\right)^2} = \frac{K}{L}$

【答案】A: $MRTS_{LK} = \frac{K}{L}$

B. 成本最小化條件

成本最小化是指在給定的產出水平 $Q$ 下，選擇勞動 $L$ 和資本 $K$ 的組合，使得總成本 $TC = wL + rK$ 最小。
在完全競爭的要素市場中，廠商是價格接受者，即工資 $w$ 和資本報酬率 $r$ 是給定的。
成本最小化的條件是：邊際技術替代率 (MRTS) 等於要素價格比 (relative factor price)。
$\text{MRTS}_{LK} = \frac{w}{r}$

我們已經計算出 $\text{MRTS}_{LK} = \frac{K}{L}$。
所以，成本最小化的條件是：
$\frac{K}{L} = \frac{w}{r}$

核心觀念

本題主要測驗個體經濟學中不確定性下的抉擇（Choice under Uncertainty）與保險市場理論，涉及以下核心觀念與定義：

1. 期望效用（Expected Utility, $E[U]$）：
   根據馮·諾曼—摩根斯坦效用定理（vNM Expected Utility Theory），面對不確定性風險時，決策者的期望效用為各情境下效用的機率加權總和： $$E[U(w)] = \sum_{i} p_i U(w_i)$$
2. 確定等價財富（Certainty Equivalent, $CE$）：
   使個人獲得與面對風險彩券相同效用水準之「確定財富水準」，即滿足： $$U(CE) = E[U(w)] \implies CE = U^{-1}(E[U(w)])$$
3. 精算公平保險（Actuarially Fair Insurance）：
   在完全競爭且零利潤的保險市場中，每單位保額的保費費率等於損失發生機率（即保費等於預期賠償金額）。風險趨避者（$U'' < 0$）在此環境下會選擇投保全額保險（Full Insurance），所支付的保費即為預期損失： $$\text{Premium} = E[\text{Loss}] = p \times L$$
4. 壟斷保險市場與最高願付保費（Maximum Willingness to Pay, $WTP_{\max}$）：
   獨占保險公司具備完全差別取價（一級差別取價）的市場力量，可向消費者索取能完全消除消費者剩餘的最高保費。此時，投保全額保險後的確定財富效用恰好等於不投保時的期望效用： $$U(w_0 - \text{Premium}_{\max}) = E[U(w)] = U(CE) \implies \text{Premium}_{\max} = w_0 - CE$$ 此金額亦等於「預期損失（$E[\text{Loss}]$）」加上「風險溢酬（Risk Premium, $\pi$）」。

解題步驟與推導

子題 A：計算 Scott 的期望效用（Expected Utility）

• 初始狀態與參數設定：
  • 初始無受災財富：$w_1 = 625$
  • 火災發生機率：$p = 20\% = 0.2$
  • 未發生火災機率：$1 - p = 80\% = 0.8$
  • 火災發生後財富：$w_2 = 0$
  • 效用函數：$U(w) = \sqrt{w}$
• 計算期望效用： $$E[U] = (1 - p) \cdot U(w_1) + p \cdot U(w_2)$$ $$E[U] = 0.8 \times \sqrt{625} + 0.2 \times \sqrt{0}$$ $$E[U] = 0.8 \times 25 + 0.2 \times 0 = 20$$

子題 B：計算確定等價財富（Certainty Equivalent, $CE$）

• 依確定等價定義，滿足 $U(CE) = E[U] = 20$： $$\sqrt{CE} = 20$$ 兩邊平方得： $$CE = 20^2 = 400$$

子題 C：完全競爭精算公平保險下的保費

• 精算公平費率條件：

本題考查總體經濟學中的 GDP 平減指數、貨幣數量論、貨幣乘數以及凱因斯模型。

A. 如果 2020 年是基期，2021 年的 GDP 平減指數是多少？

GDP 平減指數 (GDP Deflator) 衡量的是一個經濟體系中所有最終商品和服務的總體價格水平。其計算公式為：
GDP Deflator $= \frac{\text{Nominal GDP}}{\text{Real GDP}} \times 100$

我們需要計算 2020 年和 2021 年的名目 GDP (Nominal GDP) 和實質 GDP (Real GDP)。
基期是 2020 年。

計算 2020 年的名目 GDP 和實質 GDP：
由於 2020 年是基期，實質 GDP 等於名目 GDP。

• 國內生產的商品：熱狗和香蕉。
• 進口的商品：豬肉。

GDP 只包括國內生產的最終商品和服務。
2020 年名目 GDP = (熱狗產量 × 熱狗價格) + (香蕉產量 × 香蕉價格)
$GDP_{2020, nominal} = (4 \times 10) + (10 \times 5) = 40 + 50 = 90$

由於 2020 年是基期，2020 年的實質 GDP 等於名目 GDP。
$GDP_{2020, real} = 90$

計算 2021 年的名目 GDP：
$GDP_{2021, nominal} = (20 \times 5) + (10 \times 10) = 100 + 100 = 200$

計算 2021 年的實質 GDP：
使用 2020 年的價格作為基期價格。
$GDP_{2021, real} = (\text{2021 熱狗產量} \times \text{2020 熱狗價格}) + (\text{2021 香蕉產量} \times \text{2020 香蕉價格})$
$GDP_{2021, real} = (20 \times 10) + (10 \times 5) = 200 + 50 = 250$

計算 2021 年的 GDP 平減指數：
$GDP Deflator_{2021} = \frac{GDP_{2021, nominal}}{GDP_{2021, real}} \times 100$
$GDP Deflator_{2021} = \frac{200}{250} \times 100 = 0.8 \times 100 = 80$

【答案】A: 80

B. 如果數量方程式成立，且貨幣流通速度為 3，2020 年的貨幣數量是多少？

數量方程式 (Quantity Equation) 是 $MV = PY$，其中：

• $M$ = 貨幣數量 (Quantity of Money)
• $V$ = 貨幣流通速度 (Velocity of Money)
• $P$ = 平均物價水平 (Average Price Level)
• $Y$ = 實質產出 (Real Output) 或實質 GDP

題目給定：

• $V = 3$
• 我們需要 2020 年的 $P$ 和 $Y$。
• $Y$ 是實質 GDP。由於 2020 年是基期，實質 GDP 是 90。
• $P$ 是 GDP 平減指數，我們需要計算 2020 年的 GDP 平減指數。由於 2020 年是基期，GDP 平減指數為 100。

將這些值代入數量方程式：
$M \times 3 = 100 \times 90$
$M \times 3 = 9000$
$M = \frac{9000}{3} = 3000$

【答案】B: 3000

C. 如果 A 國的準備金比率是 10%，那麼最低的初始存款額是多少，才能產生 (B) 中的貨幣數量？

貨幣乘數 (Money Multiplier) 公式為 $m = \frac{1}{rr}$，其中 $rr$ 是準備金比率 (reserve ratio)。
題目給定 $rr = 10\% = 0.10$。
貨幣乘數 $m = \frac{1}{0.10} = 10$。

貨幣供給 ($M$) 與初始存款 ($D_{initial}$) 的關係是：
$M = m \times D_{initial}$
我們知道 $M = 3000$ (從 B 部分)。

本題考查貨幣供給的創造過程，包括貨幣乘數、銀行準備金、貨幣供給的計算，以及準備金比率變動的影響。

已知資訊：

• 銀行存款 (Bank Deposits, $D$) = 100
• 通貨存款比 (Currency-to-Deposits Ratio, $c$) = 0.2
• 法定準備金比率 (Required Reserve Ratio, $rr$) = 0.1

A. 計算貨幣乘數、銀行準備金和貨幣供給。

1. 計算貨幣乘數 (Money Multiplier)
在包含通貨存款比的貨幣供給模型中，貨幣乘數的公式為：
$m = \frac{1 + c}{rr + c}$
其中 $c$ 是通貨存款比，$rr$ 是法定準備金比率。

代入已知數值：
$m = \frac{1 + 0.2}{0.1 + 0.2} = \frac{1.2}{0.3} = 4$

2. 計算銀行準備金 (Bank Reserves)
銀行準備金 (Reserves, $R$) 包括法定準備金 (Required Reserves, $RR$) 和超額準備金 (Excess Reserves, $ER$)。
法定準備金 $RR = rr \times D$。
$RR = 0.1 \times 100 = 10$。

題目沒有明確說明是否存在超額準備金。在標準的貨幣創造模型中，通常假設銀行只持有法定準備金，除非另有說明。因此，我們假設銀行只持有法定準備金。
銀行準備金 $R = RR = 10$。

3. 計算貨幣供給 (Money Supply)
貨幣供給 ($M$) 的定義通常為公眾持有的通貨 ($C$) 加上公眾在銀行體系的存款 ($D$)。
$M = C + D$

我們知道 $D = 100$。
通貨存款比 $c = C/D = 0.2$。
所以，公眾持有的通貨 $C = c \times D = 0.2 \times 100 = 20$。

貨幣供給 $M = C + D = 20 + 100 = 120$。

另一種貨幣供給計算方式（使用貨幣乘數）：
貨幣供給 $M = m \times (\text{基礎貨幣})$。
基礎貨幣 ($H$) = 公眾持有的通貨 ($C$) + 銀行準備金 ($R$)。
$H = C + R = 20 + 10 = 30$。
$M = m \times H = 4 \times 30 = 120$。
兩種計算方式結果一致，說明我們的計算是正確的。

【答案】A:

• 貨幣乘數：4
• 銀行準備金：10
• 貨幣供給：120

B. 假設中央銀行將法定準備金比率提高到 0.5，同時保持通貨、存款水平和通貨持有比率不變。新的銀行準備金和貨幣供給水平是多少？

已知資訊變動：

• 法定準備金比率 ($rr$) 提高至 0.5。
• 通貨 ($C$) 保持不變。
• 存款水平 ($D$) 保持不變。
• 通貨持有比率 ($c = C/D$) 保持不變。

1. 計算新的貨幣乘數
新的法定準備金比率 $rr' = 0.5$。
通貨存款比 $c = 0.2$ (保持不變)。
新的貨幣乘數 $m' = \frac{1 + c}{rr' + c}$
$m' = \frac{1 + 0.2}{0.5 + 0.2} = \frac{1.2}{0.7} = \frac{12}{7} \approx 1.714$

2. 計算新的銀行準備金
法定準備金 $RR' = rr' \times D$
$RR' = 0.5 \times 100 = 50$。

由於法定準備金比率提高，銀行現在需要持有 50 的準備金，而原來只需要 10。
題目假設「通貨、存款水平和通貨持有比率不變」，但這可能與銀行準備金變動產生一些邏輯上的問題。
如果準備金比率提高，銀行持有的準備金必須增加。
這裡需要釐清「保持通貨、存款水平和通貨持有比率不變」的含義。
通常，貨幣乘數模型中的 $c$ 和 $rr$ 是外生決定的。
存款 $D=100$ 和通貨 $C=20$ 是公眾的行為決定的，不直接受中央銀行改變 $rr$ 的影響。