115 年 國立政治大學風險管理與保險學系碩士班管理組《經濟學》

這題考驗對關聯性商品（替代品與互補品）的理解。當政府對進口烤箱課徵關稅，導致進口烤箱價格上漲，同時國內生產的烤箱價格也隨之上漲。這表示當進口烤箱變貴時，人們轉而購買價格也隨之上漲的國內烤箱，這意味著這兩者之間的消費行為是相互影響的。

核心觀念

本題考查「正常財（normal good）」的所得效果與替代效果。

若所得增加時，消費者不會減少對某商品的購買量，表示該商品至少是弱正常財：

其中 $x$ 為商品需求量，$m$ 為所得。

當商品價格變動時，需求量的變化可分為：

1. 替代效果：商品價格上升後，相對於其他商品變得較貴，因此消費者會減少購買該商品。
2. 所得效果：價格上升使實質所得下降。對正常財而言，實質所得下降會使消費者減少購買該商品。

因此，對正常財而言，價格上升時，替代效果與所得效果會同方向使需求量下降。

解題方法

利用 Slutsky 分解判斷價格效果：

假設該商品價格上升：

• 替代效果必然使該商品需求量下降；
• 因為價格上升造成實質所得下降，而該商品為正常財，所以所得效果也使需求量下降。

故：

相反地，若價格下降：

• 替代效果使需求量增加；
• 實質所得上升，對正常財的所得效果也使需求量增加。

因此價格下降時，需求量必然增加。

選項分析

A. surely buy less when the price of the commodity rises.

這題考驗對「道德風險 (Moral Hazard)」與「逆選擇 (Adverse Selection)」這兩個保險市場重要概念的理解。

• 逆選擇 (Adverse Selection)：發生在資訊不對稱的情況下，擁有較多資訊（例如，知道自己健康狀況較差）的一方，其行為會對另一方（保險公司）不利。當風險較高的人（有隱藏健康問題者）比風險較低的人（健康者）更有意願購買保險時，保險公司會面臨較高的賠付風險。由於保險公司無法準確區分高風險與低風險的投保人，他們可能需要提高所有保單的價格，或只提供給高風險群體的保單，這會導致保險的平均成本上升。
• 道德風險 (Moral Hazard)：發生在購買保險後，因保險的存在而改變了被保險人的行為，使其變得更願意冒險或減少預防行為，從而增加了保險公司承擔的風險。例如，購買了醫療保險後，人們可能更傾向於去看醫生，即使是小病，或減少健康的生活習慣，因為保險會支付部分費用。

題目描述的情況是「People with hidden health problems are more likely to buy health insurance than are other people.」（有隱藏健康問題的人比其他人更有可能購買健康保險）。

核心觀念

本題考查「風險溢酬（risk premium）」與「確定性等值（certainty equivalent）」。

對具有風險的財富 $W$：

• 期望財富為 $E(W)$。
• 期望效用為 $E[U(W)]$。
• 確定性等值 $CE$ 定義為滿足下式的確定財富：

• 風險溢酬為考生願意放棄的財富金額：

由於 $U(W)=\sqrt{W}$ 為凹函數，Ben 具有風險趨避，因此確定性等值會小於期望財富，風險溢酬為正數。

解題方法

第一步：計算期望財富

股票價值為 $144$ 的機率是 $\frac{1}{3}$，價值為 $100$ 的機率是 $\frac{2}{3}$，因此：

第二步：計算期望效用

效用函數為：

因此：

期望效用為：

第三步：求確定性等值

確定性等值 $CE$ 滿足：

兩邊平方：

這題考驗對「需求定律 (Law of Demand)」的理解。需求定律指出，在其他條件（如所得、偏好、其他商品價格等）保持不變的情況下，一種商品的價格越高，其需求量就越少；價格越低，其需求量就越多。

我們逐一分析各選項：

A. Ashlyn buys more apples at $3 per pound than at$5 per pound, other things equal.
價格從 $5 下降到$3，需求量從較少增加到較多（購買量增加）。這符合需求定律。

B. Brian buys fewer croissants at $1 per croissant than at$2 per croissant, other things equal.
價格從 $2 下降到$1，需求量從較多減少到較少（購買量減少）。這違反了需求定律。這種情況可能發生在該商品是劣等財（inferior good）且所得效果為負，或者因為其他原因（例如，價格下降引發了對未來價格可能上漲的預期，因此現在少買）。

核心觀念

本題考查獨占性競爭市場的長期均衡條件：

1. 廠商追求利潤最大化，因此必須滿足
   $MR=MC$
2. 長期具有自由進出市場，經濟利潤為零，因此滿足
   $P=AC$

需求函數為：

$q=5-p$

改寫為反需求函數：

$p=5-q$

解題方法

成本函數為：

$c(q)=q^3-xq^2+14q$

平均成本：

$AC=\frac{c(q)}{q}=q^2-xq+14$

邊際成本：

$MC=c'(q)=3q^2-2xq+14$

由反需求函數 $p=5-q$，總收益為：

$TR=pq=(5-q)q=5q-q^2$

因此邊際收益為：

$MR=TR'(q)=5-2q$

第一步：利用長期零經濟利潤

長期均衡時：

$P=AC$

因此：

$5-q=q^2-xq+14$

整理得：

第二步：利用利潤最大化條件

由 $MR=MC$：

$5-2q=3q^2-2xq+14$

整理得：

將式 $(1)$ 乘以 $2$：

$2xq=2q^2+2q+18$

與式 $(2)$ 比較：

$2q^2+2q+18=3q^2+2q+9$

因此：

$q^2=9$

由於產量必須為正：

$q=3$

這題考驗公共財 (public good) 的供給與社會福利最大化。村民的總效用 (Total Social Welfare) 是所有村民個體效用的加總。社會福利最大化是指最大化這個總效用。

總效用 $W = \sum_{i=1}^4 U_i = \sum_{i=1}^4 (m_i - d_i + i \cdot \ln(D))$
$W = (\sum_{i=1}^4 m_i) - (\sum_{i=1}^4 d_i) + (\sum_{i=1}^4 i) \cdot \ln(D)$

令 $M = \sum_{i=1}^4 m_i$ (總財富，為常數)。
令 $D = \sum_{i=1}^4 d_i$ (總公共資金)。
令 $K = \sum_{i=1}^4 i$ (係數)。
$K = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$。

所以，總效用函數可以寫成：
$W(D) = M - D + K \cdot \ln(D)$
$W(D) = M - D + 10 \cdot \ln(D)$

核心觀念

本題考查負外部性與社會最適產量。消費泡沫紅茶會造成肥胖外部成本，因此社會邊際成本必須包含：

若總外部成本為

則邊際外部成本為

解題方法

先將需求與供給函數改寫成反需求、反供給函數。

需求函數：

因此反需求函數，即邊際效益為：

供給函數：

因此私人邊際成本為：

加入邊際外部成本後：

社會最適條件為：

因此：

所以，精確的社會最適產量為：

在此產量下，所需的皮古稅為：

選項分析

A. Close the bubble tea market.

錯誤。關閉市場代表產量為 $q=0$。雖然可以完全消除外部成本，但也會放棄泡沫紅茶消費所產生的社會效益。由於在 $q=0$ 時：

邊際效益仍大於社會邊際成本，增加少量產量能提高社會福利，因此不應關閉市場。

B. For every bubble tea consumed, the customer pays the bubble store 12 dollars more.

核心觀念

本題考查：

• Nash equilibrium（納許均衡）
• 純策略與混合策略納許均衡
• 最佳回應
• 先行者優勢與序貫賽局

矩陣中雙方都有兩個策略 $B,T$，報酬分別為：

• $(B,B)$：$(2,1)$
• $(T,T)$：$(1,2)$
• $(B,T)$、$(T,B)$：$(0,0)$

解題方法：先找最佳回應

當對手選擇 $B$ 時：

• 玩家 1：選 $B$ 得 $2$，選 $T$ 得 $0$，最佳回應為 $B$。
• 玩家 2：選 $B$ 得 $1$，選 $T$ 得 $0$，最佳回應為 $B$。

當對手選擇 $T$ 時：

• 玩家 1：選 $B$ 得 $0$，選 $T$ 得 $1$，最佳回應為 $T$。
• 玩家 2：選 $B$ 得 $0$，選 $T$ 得 $2$，最佳回應為 $T$。

因此，雙方最佳回應相交於：

這兩個是純策略納許均衡。

混合策略納許均衡

令玩家 1 以機率 $p$ 選擇 $B$，玩家 2 以機率 $q$ 選擇 $B$。

在混合策略均衡中，每位玩家必須對自己的兩個純策略無差異。

對玩家 1 而言：

• 選 $B$ 的期望報酬：

• 選 $T$ 的期望報酬：

令兩者相等：

對玩家 2 而言：

• 選 $B$ 的期望報酬：

• 選 $T$ 的期望報酬：

令兩者相等：

所以混合策略納許均衡為：

此時玩家 1 的期望報酬為：

玩家 2 的期望報酬為：

兩者均小於 $1$。

因此，本題共有三個納許均衡：

核心觀念

「公地悲劇」（tragedy of the commons）描述一種共同資源被過度使用的情況。共同資源具有兩項特徵：

1. 具敵對性（rivalry）：一個人的使用會減少他人可使用的數量，例如捕撈魚群、放牧草地。
2. 難以排他（non-excludability）：難以阻止他人使用該資源。

由於使用者只考慮自己取得的利益，卻未完全承擔資源耗損所造成的成本，個別理性行為會導致集體非理性的結果，形成過度捕撈、過度放牧、地下水超抽等問題。

可用外部成本表示：

其中，$MSC$ 為社會邊際成本，$MPC$ 為私人邊際成本，$MEC$ 為因資源耗損而由其他使用者承擔的外部成本。個別使用者通常只依據 $MPC$ 決策，因此使用量會高於社會最適使用量。

解題方法

本題問的是「不正確」的敘述。判斷各選項是否符合公地悲劇的三個重點：

• 資源是否具有敵對性與難以排他性；
• 個人利益與社會利益是否產生衝突；
• 政策是否能降低過度使用。

其中，敵對性使資源具有稀缺性，但真正使公地悲劇發生的關鍵，是使用者無法被有效排除，導致個人無須完整負擔資源耗損成本。

選項分析

A. Rivalry in the use of the resource is the main cause of the problem.

錯誤。

敵對性是共同資源的必要特徵之一，代表一個人使用資源後，會減少其他人可使用的數量。不過，敵對性本身並不是公地悲劇的主要原因。

若資源具有敵對性，但能夠有效排他，例如私人土地或私人漁場，所有權人可以限制他人使用，並將資源耗損成本納入決策，未必會發生公地悲劇。

公地悲劇的核心原因是：

其中，難以排他使每個人都有誘因爭先使用資源，且不必完全承擔由自己造成的外部成本。因此，將「敵對性」說成問題的主要原因並不正確。

B. It is an example of the prisoner's dilemma.

正確。

這題考驗消費者物價指數 (CPI) 和 GDP 平減指數 (GDP Deflator) 在衡量通貨膨脹時的差異，特別是在消費者行為發生改變時。

CPI 使用固定的商品籃 (fixed basket) 來計算。
GDP 平減指數使用當期生產的商品籃 (current quantities)。

題目情境：

• 基期年 (Base Year)：消費者主要購買牛肉。
• 當期年 (Current Year)：
  • 牛肉價格大幅上漲。
  • 消費者轉向購買雞肉（價格未上漲）。
  • 雞肉相對於牛肉，其價格（相對於基期）下降了。

CPI 的計算：
CPI 使用基期年的固定商品籃。假設基期年消費者主要購買牛肉，所以 CPI 的籃子裡牛肉的權重會很高。
當牛肉價格大幅上漲時，由於 CPI 的籃子是固定的，這個籃子中的牛肉價格上漲會顯著推高 CPI。
即使消費者因為價格上漲而轉向購買較便宜的雞肉，CPI 的計算也不會反映這種替代行為，因為它使用的是固定籃子（其中牛肉的權重很高，雞肉的權重可能較低或不變）。

這題考驗 CPI 和 GDP 平減指數在衡量進口商品價格變動時的影響。

• CPI (Consumer Price Index)：衡量一籃固定消費品和服務的價格變動。它包含國內生產和進口的消費品。
• GDP Deflator (GDP 平減指數)：衡量國內生產的所有最終商品和服務的價格變動。它只包含國內生產的商品和服務。

題目情境：

1. 該國進口大部分消費性電子產品。
2. 由於晶片短缺，進口電子產品價格上漲 30%。
3. 國內生產的商品價格幾乎不變。
4. 產量沒有重大變化。

分析 CPI 的變化：
CPI 衡量的是一籃固定消費品和服務的價格。由於該國進口大部分消費性電子產品，而這些電子產品的價格上漲了 30%，這將顯著推高 CPI。

這題考驗凱因斯模型 (Keynesian Cross Model) 下，政府政策對總體產出 (Current Output) 的影響。

在簡單凱因斯模型中，總產出 (Y) 由消費 (C)、投資 (I)、政府支出 (G) 和淨出口 (NX) 決定：$Y = C + I + G + NX$。
題目假設是簡單凱因斯交叉模型，且投資 (I) 是外生的 (exogenous)，淨出口 (NX) 也未提及變化，所以我們主要關注 C 和 G 的變化。

政府政策：要求家庭將部分所得存入限制性的共同基金帳戶，這些資金不被用於當前的國內實體投資，僅作為未來金融資產。

分析政策對消費 (C) 的影響：
消費函數通常與可支配所得 (Disposable Income, $Y_d$) 有關：$C = f(Y_d)$。
可支配所得 $Y_d = Y - T$，其中 T 是稅收。
政府要求將部分所得存入共同基金，這相當於一種額外的「儲蓄」或「稅收」，減少了家庭可自由支配用於消費的所得。
即使名義上的稅收 T 沒有改變，但這個強制儲蓄的行為，會減少家庭當期可以自由支配用於消費的資金。
因此，當期的消費 (C) 會下降。

分析投資 (I) 的影響：
題目明確說明，這些共同基金「不被用於當前的國內實體投資」。這意味著，投資 (I) 是外生的，且不受此政策直接影響。

分析政府支出 (G) 的影響：
政府要求家庭儲蓄，這本身不是政府的支出，所以 G 不變。

分析總產出 (Y) 的影響：
由於消費 (C) 下降，而投資 (I) 和政府支出 (G) 不變，根據 $Y = C + I + G + NX$ (假設 NX 不變)，總產出 (Y) 會下降。

逐一檢視選項：

A. Current output rises because higher saving leads to higher investment.

核心觀念

相對購買力平價（relative PPP）指出，若實質匯率維持不變，名目匯率的變動率等於兩國通膨率之差。匯率報價為新台幣／美元，記為 $E$；$E$ 上升代表購買 1 美元需要更多新台幣，也就是新台幣貶值。

在此報價下，實質匯率可寫為：

其中 $P_{\text{美國}}$ 與 $P_{\text{台灣}}$ 分別代表兩國物價水準。相對 PPP 假設 $q$ 不變，因此：

解題方法

美國通膨率為 $5\%$，台灣通膨率為 $2\%$。代入相對 PPP 公式：

核心觀念

本題考查小型開放經濟下，浮動匯率制度與資本完全自由移動時，擴張性財政政策的效果。

基本條件如下：

• 小型開放經濟：國內無法影響世界利率 $r^*$。
• 資本完全自由移動：國內利率必須等於世界利率，即

• 政府預算赤字增加，代表政府支出增加或稅收減少，使財政政策擴張。
• 浮動匯率：匯率由外匯市場供需決定，政府不固定匯率。

國民所得恆等式為：

其中 $NX$ 為淨出口。國民儲蓄與投資的關係也可表示為：

$NCO$ 為淨資本流出。當淨資本流出下降時，表示資本淨流入增加。

解題方法

政府預算赤字增加，表示政府儲蓄下降，因此國民儲蓄減少：

在資本完全自由移動下，國內利率受世界利率約束：

因此，國內利率不會因預算赤字增加而持續上升。利率上升的壓力會迅速引發國外資本流入，使國內利率回到世界利率。

由於國民儲蓄下降，而利率固定在 $r^*$，投資不會因利率變動而大幅調整，故：

中的 $NCO$ 下降，也就是淨資本流入增加。

資本流入增加會提高外匯市場對本國貨幣的需求，使本國貨幣升值。在實質匯率以「本國商品相對於外國商品的價格」表示時，實質匯率上升代表本國貨幣實質升值。貨幣升值會使本國商品相對變貴，出口減少、進口增加，因此淨出口下降：

在浮動匯率制度下，匯率升值造成的淨出口下降，會抵銷政府支出增加對總需求的部分影響。

因此完整因果鏈為：

而利率維持：

選項分析

A. Domestic interest rate rises; capital inflow increases; domestic currency appreciates.

這題考驗勞動市場的幾個基本定義，包括勞動力 (Labor Force)、失業率 (Unemployment Rate) 等。

我們逐一分析各選項：

A. Labor force = number of employed.
勞動力 (Labor Force) 包括所有就業和失業但正在積極尋找工作的人。僅僅是就業人數是不完整的。例如，如果沒有積極尋找工作，即使失業也不計入勞動力。所以，此選項錯誤。

B. Labor force = population - number of unemployed.
勞動力 (Labor Force) 是指總人口中，屬於勞動年齡且正在工作或積極尋找工作的人口。總人口 (Population) 包括勞動年齡人口和非勞動年齡人口（如兒童、退休人員）。
正確的定義是：勞動力 = 就業人數 (Employed) + 失業人數 (Unemployed)。

核心觀念

貨幣需求是人們願意持有的貨幣數量。所得固定時，物價水準上升會增加日常交易所需的名目貨幣；利率則代表持有貨幣而放棄的利息，因此利率下降時，持有貨幣的機會成本降低，貨幣需求上升。

可用名目貨幣需求表示：

其中 $P$ 是物價水準、$Y$ 是所得、$i$ 是利率；在所得固定下，貨幣需求隨物價水準上升而增加，隨利率上升而減少。

解題方法

分別判斷物價水準與利率變動對貨幣需求的方向：

• 物價水準上升：購買相同數量的商品與服務需要更多名目貨幣，貨幣需求增加。
• 利率下降：持有貨幣的機會成本降低，人們願意持有更多貨幣，貨幣需求增加。

因此，能使貨幣需求增加的變動組合是「物價水準上升」或「利率下降」。

選項分析

這題考驗費雪方程式 (Fisher Equation) 和貨幣政策中性 (Monetary Neutrality) 的概念。

費雪方程式描述了名目利率 (nominal interest rate, i)、實質利率 (real interest rate, r) 和預期通貨膨脹率 (expected inflation rate, $\pi^e$) 之間的長期關係：
$i = r + \pi^e$

題目假設：

1. 費雪方程式成立。
2. 貨幣政策是中性的，即貨幣政策不影響實質利率 (r) 的長期水平。
3. 實質利率 (r) 隨著時間是固定的。

現在，央行提高了名目利率目標 (nominal interest rate target)。
根據費雪方程式 $i = r + \pi^e$，名目利率 $i$ 是由實質利率 $r$ 和預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 決定的。
題目說實質利率 $r$ 是固定的。
央行提高了名目利率目標 $i$。

由於 $i = r + \pi^e$，且 $r$ 是固定的，名目利率 $i$ 的上升，必然是由於預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 的上升所導致的。
$i \uparrow = r (\text{fixed}) + \pi^e \uparrow$

央行提高名目利率目標，實際上是為了應對或預期到更高的通貨膨脹。
在長期，貨幣政策被認為是中性的，意味著它主要影響名目變數（如名目利率、名目匯率、價格水平），而不是實質變數（如實質利率、產出、就業）。

如果央行設定更高的名目利率目標，這可以有兩種解釋：

1. 央行預期未來通貨膨脹將會上升，因此為了維持實質利率不變，需要提高名目利率。

核心觀念

本題考察「預期通膨率改變對短期與長期菲利普斯曲線的影響」。

短期菲利普斯曲線描述通膨率與失業率之間的短期反向關係，可表示為：

其中：

• $\pi$：實際通膨率
• $\pi^e$：預期通膨率
• $u$：實際失業率
• $u_n$：自然失業率
• $\alpha>0$

長期而言，實際通膨率會等於預期通膨率，失業率回到自然失業率，因此長期菲利普斯曲線為垂直線：

解題方法

由短期菲利普斯曲線：

當預期通膨率上升時，$\pi^e$ 增加。在每一個固定的失業率 $u$ 下，實際通膨率 $\pi$ 都會提高，因此整條短期菲利普斯曲線向上移動。

若圖形以「失業率為縱軸、通膨率為橫軸」表示，向上移動等同於向右移動。因此本題所稱的 right，代表短期菲利普斯曲線向右移動。

長期菲利普斯曲線由自然失業率決定：

預期通膨率的上升只會改變通膨率位置，不會改變自然失業率，因此長期菲利普斯曲線不移動。

選項分析

A. the long-run Phillips curve right.

這題考驗貨幣政策，特別是公開市場操作 (Open Market Operations) 對貨幣供給 (Money Supply) 和總體需求 (Aggregate Demand) 的影響。

聯邦準備理事會 (Fed) 進行公開市場操作，指的是 Fed 在公開市場上買賣政府債券。

• Fed 賣出政府債券 (selling government bonds)：
  當 Fed 賣出政府債券時，購買這些債券的實體（通常是商業銀行或公眾）需要用貨幣來支付 Fed。
  這筆支付的貨幣會從購買者的銀行帳戶轉移到 Fed。
  這個過程會從經濟體系中抽走準備金 (reserves)，從而減少銀行體系的準備金總額。
  當銀行體系的準備金減少時，銀行放款的能力下降，導致貨幣供給 (money supply) 減少。

核心觀念

本題考查「特定稅（specific tax）」的市場均衡與租稅歸宿（tax incidence）。

若每單位對消費者課徵稅額 $t$，則：

• 消費者支付價格：$p_c$
• 生產者實收價格：$p_s$
• 兩者差距等於單位稅額：

稅負歸宿取決於供需曲線的相對彈性，而非法律上規定由誰繳稅。消費者負擔為消費者價格上升幅度，生產者負擔為生產者實收價格下降幅度。

解題方法

先求課稅前均衡，再將消費者課稅後的價格關係寫成：

由原需求函數求出消費者支付價格，再比較課稅前後價格變化，即可得到消費者與生產者各自承擔的稅負。

（a）消費者承擔的單位稅負

1. 課稅前均衡

需求與供給相等：

因此：

課稅前均衡價格為：

所以，課稅前均衡為：

2. 課稅後均衡

消費者每單位繳納 $1，因此：

需求價格為：

供給價格代表生產者實收價格：

代入稅後價格差距：

整理得：

3. 課稅後消費者價格與生產者價格

消費者支付價格：

生產者實收價格：

價格差距為：

符合每單位稅額為 $1。

4. 稅負歸宿

消費者價格由 $7 上升至$\frac{22}{3}$，因此消費者每單位負擔：

生產者實收價格由 $7 降至$\frac{19}{3}$，因此生產者每單位負擔：

因此，消費者負擔的稅負為：

消費者承擔的稅負比例為：

生產者承擔的稅負為：

（b）課稅前均衡的需求與供給價格彈性

價格彈性的定義為：

課稅前均衡為：

1. 需求價格彈性

需求函數為：

改寫為數量對價格的函數：

因此：

需求價格彈性為：

所以需求的有號價格彈性為：

若以彈性絕對值表示，則：

2. 供給價格彈性

供給函數為：

改寫為：

因此：

這是一道關於壟斷者 (Monopolist) 在多廠生產和差別定價 (Price Discrimination) 的題目。

a. 求公司的總成本函數 (Cost Function)

公司的總成本由兩個部分組成：

1. 變動成本 (Variable Cost)：與各工廠的產量相關的成本。
   工廠 1 的變動成本：$VC_1 = q_1^2$。
   工廠 2 的變動成本：$VC_2 = q_2^2$。
2. 固定成本 (Fixed Cost)：如果任何一個工廠生產正產量，則需要支付固定稅。
   這意味著，如果 $q_1 > 0$ 或 $q_2 > 0$，則需要支付 2 美元的稅。
   如果 $q_1 = 0$ 且 $q_2 = 0$，則不需要支付稅。

總變動成本 $VC = q_1^2 + q_2^2$。
固定稅 $FC = 2$ 如果 $q_1 + q_2 > 0$，否則 $FC = 0$。

因此，公司的總成本函數 $TC(q_1, q_2)$ 可以寫成：
$TC(q_1, q_2) = q_1^2 + q_2^2 + \begin{cases} 2 & \text{if } q_1 + q_2 > 0 \\ 0 & \text{if } q_1 + q_2 = 0 \end{cases}$

b. 計算兩個隔離市場 A 和 B 的均衡價格和數量

壟斷者在兩個隔離市場進行差別定價，以最大化總利潤。
首先，我們需要確定壟斷者在兩個市場的產量分配。
壟斷者在每個市場的邊際收益 (Marginal Revenue, MR) 必須相等，且等於兩個市場的邊際成本 (Marginal Cost, MC)。

i. 導出邊際收益曲線

市場 A 的需求函數：$p_A = 5 - Q_A$。
市場 A 的總收益：$TR_A = p_A \cdot Q_A = (5 - Q_A)Q_A = 5Q_A - Q_A^2$。
市場 A 的邊際收益：$MR_A = \frac{dTR_A}{dQ_A} = 5 - 2Q_A$。

市場 B 的需求函數：$p_B = 5 - \frac{1}{2}Q_B$。
市場 B 的總收益：$TR_B = p_B \cdot Q_B = (5 - \frac{1}{2}Q_B)Q_B = 5Q_B - \frac{1}{2}Q_B^2$。
市場 B 的邊際收益：$MR_B = \frac{dTR_B}{dQ_B} = 5 - Q_B$。

ii. 導出邊際成本曲線

總產量 $Q = q_1 + q_2$。
由於兩個工廠是相同的，且變動成本是 $q_i^2$，總變動成本是 $q_1^2 + q_2^2$。
固定稅是 2 美元，如果總產量大於 0。

在決定產量分配時，我們需要考慮邊際成本。
由於兩個工廠的變動成本函數相同，且固定稅是針對「工廠」而非「總產量」，我們可以假設公司會將總產量 $Q$ 分配到兩個工廠，使得每個工廠的邊際變動成本相等。
一個工廠的邊際變動成本：$MC_{var, i} = \frac{d(q_i^2)}{dq_i} = 2q_i$。

為了在兩個工廠之間有效率地分配產量，必須滿足 $MC_{var, 1} = MC_{var, 2}$。
$2q_1 = 2q_2 \implies q_1 = q_2$。
所以，總產量 $Q$ 將平均分配給兩個工廠：$q_1 = q_2 = Q/2$。
因此，$Q_A$ 和 $Q_B$ 的生產將由這兩個工廠共同完成。

這部分的處理有點複雜。通常，如果多個生產單位，邊際總成本 (MC) 是各單位的 MC 的水平加總。
但是，這裡的固定稅是針對「工廠」。

讓我們假設，壟斷者首先決定總產量 $Q = Q_A + Q_B$，然後決定如何分配到 $q_1$ 和 $q_2$。
固定稅是每個工廠獨立支付的。
如果 $q_1 > 0$ 或 $q_2 > 0$，則總固定稅是 $2+2=4$ (如果兩個工廠都生產)。
如果只有一個工廠生產，固定稅是 2。

如果公司決定總產量 $Q > 0$，它會選擇哪個工廠生產？
如果只用一個工廠，MC 是 $2q$。
如果用兩個工廠，總變動成本是 $q_1^2 + q_2^2$。
如果 $q_1 = q_2 = Q/2$，總變動成本是 $(Q/2)^2 + (Q/2)^2 = 2(Q^2/4) = Q^2/2$。
總邊際變動成本是 $\frac{d(Q^2/2)}{dQ} = Q$。
這意味著，如果固定稅是獨立的，公司會傾向於使用兩個工廠來生產，因為總變動成本的斜率（平均邊際變動成本）是 $Q$，而單一工廠的邊際變動成本是 $2q = 2(Q/2) = Q$。
但是，這裡的固定稅是「每個工廠」的。

讓我們假設，公司會選擇最有效率的方式生產。
如果公司決定生產總產量 $Q$，它會將 $Q$ 分配給 $q_1$ 和 $q_2$。
如果 $Q > 0$，則兩個工廠都會產生 2 美元的固定稅。
所以，總固定稅是 4 美元（如果 $q_1 > 0$ 且 $q_2 > 0$）。
如果 $q_1 > 0$ 且 $q_2 = 0$，總固定稅是 2 美元。
如果 $q_1 = 0$ 且 $q_2 > 0$，總固定稅是 2 美元。

這題考驗開放經濟體中的總體經濟模型，涉及 IS-LM 框架和匯率的影響。

給定的方程：

1. GDP 恆等式：$Y = C + I + G + NX$
2. 消費函數：$C = 180 + 0.65(Y – T)$
3. 投資函數：$I = 350 - 40r$
4. 政府購買：$G = 200$
5. 稅收：$T = 150$
6. 淨出口函數：$NX = 120 - 0.1Y + 15q$
7. 充分就業 GDP：$Y^* = 2000$

a. 計算均衡 GDP，並判斷經濟狀況

假設央行將利率固定在 $r = 4$，實質匯率 $q = 1$。
我們需要將這些值代入各個函數，然後求解均衡 GDP ($Y$)。

首先計算投資 (I)：
$I = 350 - 40r = 350 - 40(4) = 350 - 160 = 190$。

然後計算淨出口 (NX)：
$NX = 120 - 0.1Y + 15q = 120 - 0.1Y + 15(1) = 120 - 0.1Y + 15 = 135 - 0.1Y$。

接著，將 C, I, G, NX 代入 GDP 恆等式 $Y = C + I + G + NX$。
首先計算消費 C：
$C = 180 + 0.65(Y - T) = 180 + 0.65(Y - 150) = 180 + 0.65Y - 97.5 = 82.5 + 0.65Y$。

現在，將 C, I, G, NX 代入 GDP 恆等式：
$Y = (82.5 + 0.65Y) + 190 + 200 + (135 - 0.1Y)$
$Y = 82.5 + 0.65Y + 190 + 200 + 135 - 0.1Y$
$Y = (82.5 + 190 + 200 + 135) + (0.65Y - 0.1Y)$
$Y = 607.5 + 0.55Y$

將 Y 的項移到左邊：
$Y - 0.55Y = 607.5$
$0.45Y = 607.5$
$Y = \frac{607.5}{0.45} = \frac{60750}{45} = \frac{13500}{10} = 1350$。

所以，均衡 GDP 是 $Y = 1350$。

判斷經濟狀況：
充分就業 GDP 是 $Y^* = 2000$。
目前的均衡 GDP 是 $Y = 1350$。
由於 $Y < Y^*$ (1350 < 2000)，經濟處於充分就業水平之下。這意味著存在經濟衰退或產出缺口 (output gap)。

b. 計算使經濟恢復充分就業所需的 GDP 變動量

這題考驗菲利浦曲線 (Phillips Curve) 的概念，包括自然失業率、短期與長期菲利浦曲線、犧牲比率 (Sacrifice Ratio) 以及為降低通膨所需的週期性失業。

給定的短期菲利浦曲線方程為：
$\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + 0.5(u_n - u_t)$

其中：

• $\pi_t$ 是當期 $t$ 的通貨膨脹率。
• $\pi_{t-1}^{e}$ 是預期上一期的通貨膨脹率。
• $u_n$ 是自然失業率 (natural rate of unemployment)。
• $u_t$ 是當期 $t$ 的失業率。
• $0.5$ 是 $\beta$ 係數，表示失業率變動對通貨膨脹的影響程度。

a. 自然失業率 (Natural Rate of Unemployment)

自然失業率 $u_n$ 是指在沒有預期通貨膨脹的情況下，經濟體處於長期均衡時的失業率。在長期菲利浦曲線 (LRPC) 上，通貨膨脹率的預期值等於實際值，且失業率處於其自然水平。
在給定的短期菲利浦曲線方程中，如果我們假設預期通貨膨脹率 $\pi_{t-1}^e$ 等於實際通貨膨脹率 $\pi_t$，則 $\pi_t = \pi_t^e$。
此時，方程變為 $\pi_t = \pi_t + 0.5(u_n - u_t)$。
這意味著 $0.5(u_n - u_t) = 0$，因此 $u_n - u_t = 0$，即 $u_t = u_n$。
這表明，當失業率等於自然失業率 $u_n$ 時，實際通貨膨脹率等於預期通貨膨脹率。
在方程 $\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + 0.5(u_n - u_t)$ 中，自然失業率 $u_n$ 是方程中的一個參數。題目沒有給出 $u_n$ 的具體數值。
然而，如果我們從方程的結構來看，當 $u_t = u_n$ 時， $\pi_t = \pi_{t-1}^{e}$。這意味著，當失業率處於自然水平時，實際通膨等於預期通膨，這就是長期均衡的特徵。
題目問「What is the natural rate of unemployment?」，但方程中 $u_n$ 是一個參數，沒有給定數值。
通常，如果方程是 $\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + \beta(u_n - u_t)$，那麼 $u_n$ 就是自然失業率。
在這裡，自然失業率就是參數 $u_n$。
【答案】 自然失業率是方程中的參數 $u_n$。這是在長期中，當實際通貨膨脹率等於預期通貨膨脹率時的失業率水平。

b. 繪製短期和長期菲利浦曲線

• 短期菲利浦曲線 (SRPC)：
  方程是 $\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + 0.5(u_n - u_t)$。
  這是一條向下傾斜的直線（在 $\pi$ 為縱軸，$u$ 為橫軸的圖上）。
  斜率是 $-0.5$。
  截距是 $\pi_{t-1}^{e} + 0.5u_n$。
  SRPC 的位置取決於預期通貨膨脹率 $\pi_{t-1}^{e}$。

• 長期菲利浦曲線 (LRPC)：
  長期菲利浦曲線是一條垂直線，位於自然失業率 $u_n$ 處。
  方程是 $u_t = u_n$。
  它表示在長期，失業率穩定在自然水平，通貨膨脹率可以任意高或低，取決於總體經濟政策和預期。

• 繪製圖形：

  1. 橫軸 (Horizontal Axis)：失業率 ($u$)。
  2. 縱軸 (Vertical Axis)：通貨膨脹率 ($\pi$)。
  3. LRPC: 一條垂直線，位於 $u = u_n$ 處。
  4. SRPC: 一條向下傾斜的直線，斜率為 $-0.5$。其截距是 $\pi_{t-1}^{e} + 0.5u_n$。
  5. 交點: SRPC 與 LRPC 的交點代表了長期均衡點，此時 $u_t = u_n$，且 $\pi_t = \pi_{t-1}^{e}$。
     將 $u_t = u_n$ 代入 SRPC 方程：$\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + 0.5(u_n - u_n) = \pi_{t-1}^{e}$。
     所以，交點的坐標是 $(u_n, \pi_{t-1}^{e})$。

  繪圖標示：

  • 橫軸標示為 $u$。
  • 縱軸標示為 $\pi$。
  • LRPC 畫為一條垂直線，標示為 $u = u_n$。
  • SRPC 畫為一條向下傾斜的直線，標示為 $\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + 0.5(u_n - u_t)$。
  • LRPC 和 SRPC 的交點，標示為 $(u_n, \pi_{t-1}^{e})$。

c. 計算犧牲比率 (Sacrifice Ratio)

犧牲比率定義為，為了使通貨膨脹率下降 1 個百分點，需要付出的總週期性失業的累積損失（以 GDP 缺口或額外失業率乘以年限來衡量）。
通常，犧牲比率估計為：
Sacrifice Ratio $\approx \frac{\text{Cumulative loss in output}}{\text{Disinflation achieved}}$
或者，用失業率表示：
Sacrifice Ratio $\approx \frac{\text{Cumulative cyclical unemployment}}{\text{Disinflation achieved}}$

在短期菲利浦曲線 $\pi_t = \pi_{t-1}^{e} + \beta(u_n - u_t)$ 中，$\beta = 0.5$。
為了使通貨膨脹率下降 1 個百分點（Disinflation = 1%），失業率需要提高多少？
假設從長期均衡點 $(u_n, \pi^e)$ 開始，通貨膨脹率需要下降。
例如，從 $\pi_t = \pi^e$ 下降到 $\pi_{t+1} = \pi^e - 1$。
為了實現這個目標，失業率 $u_{t+1}$ 需要滿足：