112 年 國立政治大學風險管理與保險學系碩士班管理組《經濟學》

核心觀念

本題考查個體經濟學消費者理論中的非線性預算限制（Non-linear Budget Constraint）與折價券／分段定價（Quantity Discounts / Kinked Budget Line）。

當消費者將所有所得全數用於購買商品 $x$（即令 $y = 0$）時，可購得之最大數量即為預算線在橫軸的截距（Horizontal Intercept）。由於商品 $x$ 採分段計費機制，計算最大購買量時，需依照不同的購買區間分別扣除各階段的支出，再推導出最終能購買的總量。

解題方法

要找出每週能購買商品 $x$ 的最大數量 $x_{\max}$，即令商品 $y$ 的消費量為 $0$（全部所得 $m$ 皆用於購買 $x$）。

依題意，商品 $x$ 的邊際價格（Marginal Price）呈現三段式結構：

1. 第 1 階段（$0 \le x \le \bar{X}$）：每單位價格為原價 $p_x$。
   • 購買前 $\bar{X}$ 單位需花費： $$E_1 = p_x \bar{X}$$
2. 第 2 階段（$\bar{X} < x \le \bar{X} + Z$）：可使用折價券購買接下來的 $Z$ 單位，每單位享受折扣價 $p_x(1-s)$。
   • 購買這 $Z$ 單位需花費： $$E_2 = p_x(1-s)Z$$
3. 第 3 階段（$x > \bar{X} + Z$）：超過 $\bar{X} + Z$ 的額外單位，恢復以原價 $p_x$ 計費。

題幹給定所得條件為：

這表示消費者的所得在買滿前兩階段（共 $\bar{X} + Z$ 單位）後仍有剩餘，因此最大購買量必定落在第 3 階段（$x_{\max} > \bar{X} + Z$）。

計算剩餘所得並購買第 3 階段的商品 $x$：

• 買完前兩階段後的剩餘所得為： $$m_{\text{remain}} = m - p_x \bar{X} - p_x(1-s)Z$$
• 在第 3 階段中，以原價 $p_x$ 能額外購買的數量為： $$\Delta x = \frac{m_{\text{remain}}}{p_x} = \frac{m - p_x \bar{X} - p_x(1-s)Z}{p_x} = \frac{m}{p_x} - \bar{X} - (1-s)Z$$

核心觀念

本題考查消費者理論中的非典型偏好（極大值偏好，Max Preferences）與無異曲線（Indifference Curve）幾何圖形的推導。

1. 成績採計函數（效用函數）：學生僅在乎最終採計的最高成績，因此其效用可表示為三次考試成績之極大值：
   $U(x_1, x_2, x_3) = \max\{x_1, x_2, x_3\}$
2. 極大值偏好的無異曲線特性：
   • 典型 Leontief 偏好（完全互補，$\min$）的無異曲線呈正「L」型，折點朝向西南方（原點）。
   • 極大值偏好（$\max$）的無異曲線則呈倒「⅂」型，折點朝向東北方，且兩翼分別為平行於兩軸的線段。

解題方法

1. 建立雙變數效用函數
   已知第一次期中考成績已確定為 $x_1 = 60$。令第二次與第三次期中考成績分別為 $x_2$ 與 $x_3$。學生的效用函數為：
   $U(x_2, x_3) = \max\{60, x_2, x_3\}$

2. 計算特定點的效用水平
   題目要求繪製通過點 $(x_2, x_3) = (50, 70)$ 的無異曲線。將該點座標代入效用函數，得其效用水平 $U_0$：
   $U_0 = \max\{60, 50, 70\} = 70$

3. 求無異曲線的軌跡集合
   維持效用 $U = 70$ 的所有組合 $(x_2, x_3)$ 滿足：
   $\max\{60, x_2, x_3\} = 70$
   因為目標效用 $70 > 60$，第一次成績 $60$ 分已被超越而不具約束力，上式簡化為：
   $\max\{x_2, x_3\} = 70$
   滿足此條件的點分為兩部分（假設分數不為負）：

   • 垂直線段：當 $x_2 = 70$ 時，只要 $0 \le x_3 \le 70$，均有 $\max\{70, x_3\} = 70$。這是一條從 $(70, 70)$ 垂直向下延伸至 $(70, 0)$ 的線段。
   • 水平線段：當 $x_3 = 70$ 時，只要 $0 \le x_2 \le 70$，均有 $\max\{x_2, 70\} = 70$。這是一條從 $(70, 70)$ 水平向左延伸至 $(0, 70)$ 的線段。

核心觀念

本題考查完全互補型效用函數（Leontief Utility Function）下的消費者最適選擇行為，以及研究所入學考試中常見的卷面印刷筆誤辨識與應變。

1. 完全互補效用極大化條件：
   對於三財貨的完全互補效用函數 $U(x, y, z) = \min\{x, y, z\}$，消費者為避免任一財貨的浪費，最適消費組合必然落在無異曲線的轉折頂點（Vertex）上，即滿足固定消費比例： $$x = y = z$$
2. 預算限制式（Budget Constraint）：
   消費者在給定所得 $I$ 與財貨價格 $p_x, p_y, p_z$ 下，滿足： $$p_x x + p_y y + p_z z = I$$

解題方法

1. 命題原意推導（官方標準答案路徑）

檢視題目與選項可知，本題為經典的三財貨完全互補題型，但出題者在排版時漏鍵逗號，將 $U(x, y, z) = \min\{x, y, z\}$ 誤植為 $\min\{x, yz\}$。

依據命題原意 $U = \min\{x, y, z\}$：

• 效用極大化的轉折頂點條件為： $$x = y = z$$
• 將 $p_x =$ $1、$p_y =$ $4、$p_z =$ $4 及所得 $I =$ $20 代入預算限制式： $$1 \cdot x + 4 \cdot y + 4 \cdot z = 20$$
• 將 $y = x$ 與 $z = x$ 代入上式： $$x + 4x + 4x = 20$$ $$9x = 20 \implies x = \frac{20}{9}$$

2. 卷面字面嚴謹推導（反向驗證考題筆誤）

若嚴格按題面所印之 $U(x, y, z) = \min\{x, yz\}$ 求解：

1. 頂點條件：最適消費必須滿足 $x = yz$。
2. 副組合成本極小化：在給定複合產出 $yz$ 下，消費者必追求購買 $y$ 與 $z$ 的支出極小化。因為 $p_y = p_z =$ $4 且 $y$ 與 $z$ 的指數皆為 1，依對稱性可得 $y = z$。
3. 代換求解：由 $x = yz = y^2$ 可知 $y = z = \sqrt{x}$。代入預算限制式：

核心觀念

1. 規模報酬（Returns to Scale, RTS）的定義
   設生產函數為 $y = f(x_1, x_2)$，當所有要素投入同比例放大 $t$ 倍（$t > 1$）時：

   • 若 $f(t x_1, t x_2) = t f(x_1, x_2)$，稱為規模報酬固定（Constant Returns to Scale, CRS），在數學上對應一階齊次函數（Homogeneous of degree 1）。
   • 若 $f(t x_1, t x_2) > t f(x_1, x_2)$，稱為規模報酬遞增（Increasing Returns to Scale, IRS）。
   • 若 $f(t x_1, t x_2) < t f(x_1, x_2)$，稱為規模報酬遞減（Decreasing Returns to Scale, DRS）。

2. CES 類型生產函數的齊次階數（Degree of Homogeneity）
   對於內外層皆有冪次的生產函數結構 $(x_1^a + x_2^a)^b$，其要素變動項的齊次階數由指數乘積 $k = ab$ 決定。

解題方法

給定生產函數為：

其中 $a, b, c$ 均為正實數常數。

將所有要素投入同比例放大 $t$ 倍（$t > 0$），代入生產函數：

提出括號內的公因式 $t^a$：

要使生產函數具備規模報酬固定（CRS），產出放大的比例必須等於要素放大的比例（即齊次階數為 1）。由變動要素項前面的係數 $t^{ab}$ 可知：

核心觀念

本題評量公共財的柏拉圖最適配置（Pareto Efficiency with Public Goods），核心理論為薩繆爾森條件（Samuelson Condition）。

1. 薩繆爾森條件：
   在存在純公共財（非排他性、非敵對性）與私有財的經濟體系中，達成柏拉圖最適配置的充要條件為所有消費者對公共財的邊際替代率總和等於邊際轉換率： $$\sum_{i=1}^n MRS^i_{G, X_i} = MRT_{G, X}$$
2. 支出型變數的價格標準化：
   題目中 $G$、$X_1$、$X_2$ 皆以「支出金額（Expenditures）」衡量，因此私有財與公共財的單位價格（機會成本）皆隱含為 1，即 $P_X = 1$、$P_G = 1$，邊際轉換率： $$MRT_{G, X} = \frac{P_G}{P_X} = 1$$

解題方法

步驟一：計算兩位室友對公共財的邊際替代率（$MRS$）

邊際替代率定義為消費者願以多少單位的私有財支出替代一單位的公共財支出，即：

1. 室友 1 的邊際替代率：
   效用函數為 $U_1(X_1, G) = 3X_1 + G$。

   • 對 $X_1$ 的邊際效用：$MU^1_{X_1} = \frac{\partial U_1}{\partial X_1} = 3$
   • 對 $G$ 的邊際效用：$MU^1_G = \frac{\partial U_1}{\partial G} = 1$
   • 邊際替代率：
   $$MRS^1_{G, X_1} = \frac{1}{3}$$

2. 室友 2 的邊際替代率：
   效用函數為 $U_2(X_2, G) = X_2 G$。

   • 對 $X_2$ 的邊際效用：$MU^2_{X_2} = \frac{\partial U_2}{\partial X_2} = G$
   • 對 $G$ 的邊際效用：$MU^2_G = \frac{\partial U_2}{\partial G} = X_2$
   • 邊際替代率：
   $$MRS^2_{G, X_2} = \frac{X_2}{G}$$

步驟二：代入薩繆爾森條件求解 $X_2$ 與 $G$ 之最適關係

根據薩繆爾森最適條件：

代入兩人的邊際替代率：

核心觀念

本題考查新貿易理論（New Trade Theory）中的獨占性競爭模型（Monopolistic Competition Model，即 Krugman 模型）。
當一個經濟體從鎖國自給自足（Autarky）走向自由貿易（Free Trade）時，主要產生以下經濟效果：

1. 替代品增加與需求彈性：自由貿易使外國廠商的多樣化產品進入本國市場，本國消費者面臨的產品種類（Varieties）增加。由於產品間具備替代性，本國個別廠商所面臨的自身產品需求彈性絕對值提高（需求曲線變得更平坦）。
2. 本國需求曲線移動：在外國進口品的競爭下，本國市場的需求被更多廠商瓜分，導致本國廠商所面臨的「本國境內需求曲線」向左移動（平行或轉動內縮）。
3. 加價率（Markup）與競爭效果（Pro-competitive Effect）：根據勒納指數（Lerner Index），廠商最適定價的加價率滿足： $$\frac{P - MC}{P} = \frac{1}{|\varepsilon|}$$ 其中 $\varepsilon$ 為個別廠商面臨的需求價格彈性。當彈性絕對值 $|\varepsilon|$ 隨競爭程度增加而上升時，個別廠商的加價能力受到壓制，加價率下降（價格趨近邊際成本）。

解題方法

分析自給自足走向自由貿易時，本國個別廠商在市場中的變化：

1. 分析境內需求變動：開放貿易引進外國異質性產品，本國消費者的替代選擇增加。在既定價格下，國內市場對特定本國廠商產品的購買量被進口品瓜分，故本國個別廠商面臨的本國需求曲線向左移。
2. 分析價格彈性變動：市場上同類但具差異化的產品數量增加，使得消費者對價格變動更加敏感，因此個別廠商面臨的需求價格彈性之絕對值提高（$|\varepsilon| \uparrow$）。
3. 分析加價率變動：廠商之定價法則為 $P = \frac{|\varepsilon|}{|\varepsilon| - 1} MC$。

核心觀念

本題測驗短期生產理論中的邊際報酬遞減法則（Law of Diminishing Marginal Returns）與短期成本結構之對應關係（即生產與成本的對偶性，Duality）：

1. 邊際報酬遞減：
   在短期內，至少有一種要素（通常為資本 $K$）固定，當可變要素（如勞動 $L$）持續投入時，其邊際產出（Marginal Product, $MP_L$）最終會呈現遞減。
2. 生產與成本的對偶關係：
   • 邊際成本： $$MC = \frac{\Delta TC}{\Delta Q} = \frac{w \cdot \Delta L}{\Delta Q} = \frac{w}{MP_L}$$ 因此，邊際產出遞減會直接導致邊際成本遞增。
   • 平均變動成本： $$AVC = \frac{VC}{Q} = \frac{w \cdot L}{Q} = \frac{w}{AP_L}$$ 平均產出受邊際產出遞減影響先升後降，使得 $AVC$ 呈現 U 型（先降後升）。
   • 變動成本： $$VC = w \cdot L(Q)$$ 由於邊際產出遞減，增加一單位產出所需投入之勞動越來越多，使 $VC$ 曲線隨產量增加而由凹轉凸（遞增速度加快）。
3. 固定成本與平均固定成本：
   • 固定成本（Fixed Cost, $FC$）不隨產量變動而改變，為一常數。
   • 平均固定成本： $$AFC = \frac{FC}{Q}$$ $AFC$ 僅取決於總固定成本常數與產量 $Q$ 之比值，幾何圖形為一條向右下方漸近兩軸的直角雙曲線（Rectangular Hyperbola），其幾何形狀與大小完全與要素邊際產出是否遞減無關。

解題方法

分析題幹「何種曲線不受要素邊際產出遞減的影響」：

• 只要曲線的數學式中包含變動要素（如勞動使用量 $L$）及其生產力（$MP_L$ 或 $AP_L$），其形狀與斜率便會直接受到邊際產出遞減的制約。
• 反之，若該曲線僅涉及固定投入之支出（$FC$），純粹代表固定資產支出被產量分攤的過程，則與邊際產出遞減無任何關聯。
• 因此，$AFC = \frac{FC}{Q}$ 只取決於固定的支出常數 $FC$ 與產出規模 $Q$，不受邊際產出遞減法則之影響。

選項分析

核心觀念

本題測驗完全競爭廠商在**短期停業點（Shutdown Point）**的成本結構與定價條件：

1. 短期停業決策準則：
   • 廠商在短期面對固定成本沉沒（Sunk Cost）的情況下，只要總收益無法彌補變動成本（$TR < VC$），即價格低於平均變動成本（$P < AVC$），廠商選擇歇業（產量為 0）所蒙受的損失（僅固定成本 $FC$）會小於繼續生產的損失。
   • 因此，短期停業點發生於平均變動成本曲線的最低點（$\min AVC$）。在此點上，利潤極大化條件（$P = MC$）滿足：

2. 成本恆等式：
   • 平均總成本（$ATC$）等於平均固定成本（$AFC$）加上平均變動成本（$AVC$）：

解題方法

1. 求停業點之平均變動成本（$AVC$）：
   依完全競爭廠商短期停業條件，停業點必落在 $P = AVC$ 之處。題目給定停業點時的市場價格為 $10，故該產量下的平均變動成本為：

2. 計算平均固定成本（$AFC$）：
   題目給定該點之平均總成本 $ATC =$$20。代入成本關係式：

故在停業點時，該廠商的平均固定成本為 10。

核心觀念

本題考查寡占市場（Oligopoly）的 Cournot 雙占模型（Cournot Duopoly Model）與賽局理論（Game Theory）中的納許均衡（Nash Equilibrium）。

1. 題目表格欄位修正：
   原表第二欄標題「Quantity (per year)」顯為排版筆誤，由數值隨產量增加而遞減之特性可知其代表價格（Price, $P$），即市場需求表（Demand Schedule）：

   • $Q = 0 \implies P = 120$
   • $Q = 3{,}000 \implies P = 90$
   • $Q = 4{,}000 \implies P = 80$
   • $Q = 5{,}000 \implies P = 70$
   • $Q = 6{,}000 \implies P = 60$
   • $Q = 7{,}000 \implies P = 40$
   • $Q = 8{,}000 \implies P = 30$

2. 市場結構與成本設定：

   • 市場共有兩家廠商（雙占，Duopoly），個別產量分別為 $q_1$ 與 $q_2$，市場總產量 $Q = q_1 + q_2$。
   • 邊際成本 $MC = 0$。
   • 固定成本 $FC =$$$100{,}000$（因不隨產量改變，在決定產量的邊際決策中不影響最適反應，極大化利潤 $\pi_i = P \cdot q_i - FC$ 等同於極大化收益 $TR_i = P \cdot q_i$）。
   • 廠商間競爭數量（Cournot 數量競爭），且協議不可強制執行（Non-cooperative game）。

3. Cournot-Nash 均衡定義：
   給定對手產量，各廠商選擇自己的產量以極大化自身利潤。當雙方產量 $(q_1^*, q_2^*)$ 互為彼此的最佳反應（Best Response）時，即達成納許均衡。因兩廠商成本結構對稱，均衡時具有對稱性：$q_1^* = q_2^* = \frac{Q^*}{2}$。

解題方法

方法一：表格離散策略驗證（賽局矩陣分析）

兩廠商對稱，考慮勾結產量、獨占產量與單邊背叛情況：

• 市場總收益（Total Revenue, $TR = P \times Q$）分析：

  • $Q = 3{,}000 \implies TR = 90 \times 3{,}000 = 270{,}000$
  • $Q = 4{,}000 \implies TR = 80 \times 4{,}000 = 320{,}000$
  • $Q = 5{,}000 \implies TR = 70 \times 5{,}000 = 350{,}000$
  • $Q = 6{,}000 \implies TR = 60 \times 6{,}000 = 360{,}000$（市場總收益極大點，即獨占產量）
  • $Q = 7{,}000 \implies TR = 40 \times 7{,}000 = 280{,}000$
  • $Q = 8{,}000 \implies TR = 30 \times 8{,}000 = 240{,}000$

• 若兩廠商協議勾結（獨占產量對分）：
  總產量 $Q = 6{,}000$，各生產 $q_1 = q_2 = 3{,}000$。
  此時價格 $P = 60$，個別廠商收益為：
  $TR_i = 60 \times 3{,}000 = 180{,}000$

• 檢驗背叛與 Cournot 均衡：
  題目說明「協議不可強制執行且廠商進行數量競爭」（即囚犯困境）：

  • 若廠商 2 生產 $q_2 = 3{,}000$，廠商 1 若增產至 $q_1 = 4{,}000$：
    總產量 $Q = 7{,}000$，市場價格跌至 $P = 40$。
    廠商 1 收益為 $TR_1 = 40 \times 4{,}000 = 160{,}000 < 180{,}000$（無增產誘因）。
  • 事實上，在 Mankiw 原著標準範例架構中，若可選產量為千單位級距（例如各生產 $3{,}000$ 或 $4{,}000$）：
    • 若雙方皆生產 $3{,}000$，總量 $Q = 6{,}000$，$P = 60$，各得 $180{,}000$。
    • 若雙方皆生產 $4{,}000$，總量 $Q = 8{,}000$，$P = 30$，各得 $30 \times 4{,}000 = 120{,}000$。
    • 若廠商 2 生產 $4{,}000$，廠商 1 減產至 $3{,}000$，總量 $Q = 7{,}000$，$P = 40$，廠商 1 收益為 $40 \times 3{,}000 = 120{,}000$，廠商 1 不會單獨增產至更高。

方法二：利用線性需求函數推導連續模型（標準解題通則）

由表列中間主要區域可觀察線性需求特徵：
當 $Q \in [3{,}000, 6{,}000]$ 時：

• 每增加 $\Delta Q = 1{,}000$，價格下降 $\Delta P = -10

核心觀念

本題測驗獨占性競爭市場（Monopolistically Competitive Market）的長期均衡特徵與廠商成本結構（LMC 與 LAC 之幾何關係），涉及以下核心經濟學概念與定理：

1. 短期與長期利潤極大化條件：
   廠商選定產量 $Q^*$ 使長期邊際收益等於長期邊際成本： $$MR(Q^*) = LMC(Q^*)$$
2. 長期均衡的零經濟利潤條件（自由進退市場）：
   由於不存在進出障礙，長期廠商經濟利潤為零，價格等於長期平均成本： $$P^* = LAC(Q^*)$$
3. 長期平均成本（LAC）的最低點性質：
   邊際成本線必通過平均成本線的最低點。當 $LMC$ 與 $LAC$ 相交時，該點對應 $LAC$ 的極小值： $$LAC_{\min} = LMC = LAC$$
4. 超額產能定理（Excess Capacity Theorem）：
   獨占性競爭廠商面對一條負斜率的主觀需求線（$P > MR$）。在長期均衡時，需求線必與 $LAC$ 線相切。因需求線斜率為負，切點必然落在 $LAC$ 線遞減（負斜率）的階段，即長期均衡產量必小於有效規模產量（$Q^* < Q_{\min}$）。

解題方法

本題可依序透過「利潤極大化點」、「平均成本最低點」以及「長期切點均衡」三步驟進行嚴謹推導：

步驟一：由利潤極大化條件找出均衡邊際成本

題目指出 $LMC$ 與 $MR$ 相交時的邊際成本為 $10。依據利潤極大化一階條件（$MR = LMC$），代表長期均衡產量 $Q^*$ 處滿足：

步驟二：確定長期平均成本線的最低點（Minimum LAC）

題目指出 $LMC$ 與 $LAC$ 相交時的邊際成本為 $20。由於邊際成本必然通過平均成本的最低點，故可知長期平均成本的最低值為：

（此時對應的產量為達規模效率之產量 $Q_{\min}$，滿足 $LMC(Q_{\min}) = LAC(Q_{\min}) = 20$）

步驟三：利用超額產能定理推導長期均衡價格之範圍

1. 在長期均衡時，廠商面對具負斜率的個別需求曲線 $P(Q)$，且無超額利潤（需求曲線與 $LAC$ 曲線相切）： $$P^* = LAC(Q^*)$$
2. 根據切點條件，相切處 $LAC$ 曲線的斜率等於需求曲線的斜率：

核心觀念

1. 長期菲利普曲線（Long-Run Phillips Curve, LRPC）：
   根據貨幣學派（Friedman & Phelps）的預期擴充菲利普曲線理論，長期而言，預期通膨率等於實際通膨率（$\pi^e = \pi$），貨幣政策不具實質影響力（古典二分法與貨幣中立性成立）。因此，長期失業率固定在「自然失業率」（Natural Rate of Unemployment, $u_n$）。
   在以失業率 $u$ 為橫軸、通膨率 $\pi$ 為縱軸的座標平面上，LRPC 為一條垂直於自然失業率 $u = u_n$ 的垂直線。

2. 自然失業率的組成：
   自然失業率是指當勞動市場處於充分就業狀態時的失業率，其主要由**摩擦性失業（Frictional Unemployment）與結構性失業（Structural Unemployment）**兩者構成，不包含循環性失業（Cyclical Unemployment）：

   $$u_n = u_{\text{frictional}} + u_{\text{structural}}$$

解題方法

1. 分析摩擦性失業變動對自然失業率的影響：
   摩擦性失業源於求職者與職缺媒合過程中所產生的暫時性失業（如尋職時間成本、資訊不對稱等）。當摩擦性失業減少（例如勞動市場媒合效率提升或就業資訊更透明）時，自然失業率將相應下降：

   $$u_{\text{frictional}} \downarrow \implies u_n \downarrow$$

2. 判斷 LRPC 的位置移動：
   由於橫軸為失業率 $u$、縱軸為通膨率 $\pi$，LRPC 垂直於橫軸的數值 $u_n$。當自然失業率 $u_n$ 減少時，對應的橫軸截距變小，整條垂直線必然向左平移（Shift to the left）。

選項分析

核心觀念

消費者物價指數（CPI）衡量一般物價水準。若比較兩個時點的購買力，應以 CPI 的比例調整金額：

本題要把「今日的 100 美元」換算成「1980 年購買力相同的金額」。

解題方法

1980 年 CPI 為 80，今日 CPI 為 300。物價水準相較 1980 年上升為：

也就是說，今日的物價水準是 1980 年的 3.75 倍。因此，今日 100 美元相當於 1980 年：

所以，今日 100 美元的購買力，等同於 1980 年約 26.67 美元。

核心觀念

本題的核心觀念為總體經濟學中的名目總支出（Total Spending）或名目國內生產毛額（Nominal GDP）的決定因素。

在簡化的總體經濟環境中，一國在某年度的總支出等於所有商品與服務的「價格（Price, $P$）」乘上「實質產出／產量（Output / Real GDP, $Y$）」之總和：

對此式取全微分或以變動率（成長率）近似可得：

即名目總支出的變動方向，由**物價水準（$P$）與實質產出（$Y$）**兩者的變動方向與幅度共同決定。

解題方法

題目設定「總支出從一年到下一年增加（Total spending rises）」，意即：

我們探討物價 $P$ 與產出 $Y$ 變動的四種組合：

1. $Y$ 增加且 $P$ 增加：兩者皆同向增加，乘積必定增加（總支出必然上升）。
2. $Y$ 減少但 $P$ 增加：只要價格上漲幅度大於產出縮減幅度，乘積仍可增加（總支出可能上升）。
3. $Y$ 增加但 $P$ 下降：只要產出增加幅度大於價格下跌幅度，乘積仍可增加（總支出可能上升）。
4. $Y$ 減少且 $P$ 下降：兩者皆同向減少，乘積必定減少（總支出必然下降）。

題目問「何者不可能為真（could not be true）」，因此只需找出必定導致總支出下降的組合。

選項分析

• (A) 錯誤（此情況可能為真，故非本題所選）：
  產出減少（$Y \downarrow$）但物價上漲（$P \uparrow$）。

核心觀念

本題測驗總體經濟學中名目利率（Nominal Interest Rate）、實質利率（Real Interest Rate）、**通貨膨脹率（Inflation Rate）與利息所得稅（Tax on Interest Income）**之間的關係。

相關核心公式如下：

1. 費雪方程式（Fisher Equation）：
   $i = r + \pi$
   其中 $i$ 為名目利率，$r$ 為稅前實質利率，$\pi$ 為通貨膨脹率。
2. 稅後名目利率（After-Tax Nominal Interest Rate）：
   $i_{\text{after-tax}} = i \times (1 - t)$
   其中 $t$ 為利息所得稅率。在大多數國家的稅制中，所得稅是針對「名目利息所得」課徵，而非實質利息所得。
3. 稅後實質利率（After-Tax Real Interest Rate）：
   $r_{\text{after-tax}} = i_{\text{after-tax}} - \pi = i \times (1 - t) - \pi$
   實質報酬率等於扣稅後的名目報酬率再扣除通貨膨脹率所帶來的購買力損失。

解題方法

步驟一：計算稅前名目利率（$i$）
題目給定：

• 實質利率 $r = 3\%$
• 通貨膨脹率 $\pi = 2\%$
• 利息所得稅率 $t = 20\%$

利用費雪方程式求出名目利率：
$i = r + \pi = 3\% + 2\% = 5\%$

步驟二：計算稅後名目利率（$i_{\text{after-tax}}$）
政府對名目利息所得課徵 $20\%$ 的稅，故稅後名目利率為：
$i_{\text{after-tax}} = 5\% \times (1 - 20\%) = 5\% \times 0.8 = 4.0\%$

核心觀念

本題測驗總體經濟學中貨幣政策的**時間不一致性（Time Inconsistency）問題（由 Kydland & Prescott, 1977 以及 Barro & Gordon, 1983 提出）對菲利浦曲線（Phillips Curve）**位置的影響。

1. 附加預期的短期菲利浦曲線（Short-Run Phillips Curve, SRPC）：

   $$u = u_n - \alpha (\pi - \pi^e) \quad \Longleftrightarrow \quad \pi = \pi^e - \frac{1}{\alpha}(u - u_n)$$

   其中 $u$ 為失業率、$u_n$ 為自然失業率（Natural Rate of Unemployment）、$\pi$ 為實際通膨率、$\pi^e$ 為預期通膨率、$\alpha > 0$。

   • 在給定的預期通膨率 $\pi^e$ 下，形成一條向右下傾斜的短期菲利浦曲線。
   • 當公眾的預期通膨率 $\pi^e$ 上升時，整條 SRPC 會向上（垂直方向）或向右（水平方向）移動（即在任何給定的失業率水準下，通膨率都變得更高）。

2. 長期菲利浦曲線（Long-Run Phillips Curve, LRPC）：

   • 長期下，公眾具備理性預期且價格充分調整，$\pi = \pi^e$。
   • 失業率恆等於自然失業率（$u = u_n$），因此 LRPC 為一條垂直於自然失業率 $u_n$ 的垂直線。長期自然失業率僅取決於實質勞動市場結構（如摩擦性、結構性因素），不受名目預期通膨影響。

3. 時間不一致性的機制：

   • 若央行享有相機抉擇（Discretion）的權力，即使事前宣稱要維持「零通膨」或「低通膨」目標，事後當民眾相信並形成低通膨預期時，央行會存在誘因（Incentive）刻意製造「未預期到的通膨（Surprise Inflation, $\pi > \pi^e$）」來刺激產出、使失業率降至自然失業率以下。
   • 理性公眾預見到央行有違約與通膨傾向（Inflation Bias），因此會調高預期通膨率（$\pi^e > 0$）。
   • 最終均衡落在公眾預期到高通膨、央行不得不順應此預期，使得實際通膨率上升，而失業率仍回到自然失業率 $u_n$（即「無刺激效果，徒增通膨」）。

解題方法

由附加預期的短期菲利浦曲線可知，SRPC 的縱軸截距（高度）直接取決於預期通膨率 $\pi^e$：

核心觀念

1. 膨脹缺口（Inflationary Gap）：
   在總體經濟短期均衡中，當實際總產出（均衡所得 $Y$）大於充分就業產出（潛在產出 $Y_f$ 或 $Y^*$）時，即 $Y > Y_f$，經濟體系處於過熱狀態，面臨物價上漲與通貨膨脹的壓力。此時超額總需求所造成的缺口稱為「膨脹缺口」。
2. 消除膨脹缺口的政策目標：
   欲消除膨脹缺口、促使產出回歸充分就業水準，政府與央行必須採取緊縮性總體經濟政策（Contractionary Policy），以抑制總需求（Aggregate Demand, $AD$），使 $AD$ 曲線左移，降低過熱的產出與物價。
   • 緊縮性財政政策（Contractionary Fiscal Policy）：減少政府支出（$\Delta G < 0$）或增加稅收（$\Delta T > 0$）。
   • 緊縮性貨幣政策（Contractionary Monetary Policy）：減少貨幣供給（$\Delta M^s < 0$）或調升利率（$\Delta r > 0$）。

解題方法

從總需求方程式切入分析：

當存在膨脹缺口時，政府與央行需透過政策手段使總需求 $AD$ 減少：

1. 減少政府購買（$G \downarrow$）：
   直接減少自主性支出，透過政府支出乘數使均衡產出下降（$\Delta Y = \frac{1}{1 - MPC} \Delta G < 0$）。
2. 增加稅收（$T \uparrow$）：
   使家計單位可支配所得下降（$Y_d = Y - T \downarrow$），進而降低消費支出（$C \downarrow$），透過租稅乘數使均衡產出下降（$\Delta Y = \frac{-MPC}{1 - MPC} \Delta T < 0$）。
3. 減少貨幣供給（$M^s \downarrow$）：
   貨幣市場出現超額貨幣需求，推升市場名目利率與實質利率（$r \uparrow$），進而提高資金借貸成本，抑制廠商投資支出（$I \downarrow$）與民眾耐久財消費，導致總需求與產出下降。

核心觀念

國際收支帳的各項交易加總後必須平衡。經常帳赤字代表資金流出；資本與金融帳順差代表資金流入。若資本流入不足以支應經常帳赤字，差額由官方外匯存底減少來融通。

官方外匯存底減少會帶來資金流入，因此在國際收支的記帳上，列為正向項目。

解題方法

先將經常帳與資本及金融帳的餘額相加：

兩者合計為 $40 赤字，表示仍有 $40 的資金缺口。為支付這筆缺口，央行須動用外匯存底，故官方外匯存底減少 $40。

選項分析

核心觀念

本題測驗貨幣政策的總體經濟效應，核心在於分析**央行減少貨幣供給（緊縮性貨幣政策）**對「物價水準（Price Level）」與「名目匯率（Exchange Rate / Currency Value）」的影響。涉及的理論包含：

1. 貨幣數量學說（Quantity Theory of Money）與古典二分法 / AD-AS 模型：
   依據交易方程式 $M \cdot V = P \cdot Y$，在長期產出水準 $Y$ 由實質因素決定且流通速度 $V$ 穩定的前提下（或由總需求與總供給模型 AD-AS 觀察），貨幣供給量 $M$ 減少會使總需求曲線（AD）左移，導致國內物價水準 $P$ 下跌。
2. 購買力平價說（Purchasing Power Parity, PPP）與利率平價說（Interest Rate Parity, IRP）：
   • 購買力平價角度（長期）：名目匯率定義為 1 單位本國貨幣可兌換之外幣數量（本國貨幣價值），依據相對購買力平價說，本國物價下跌將使每單位本幣能購買更多商品，導致本國貨幣相對於外幣升值（Appreciates）。
   • 資產市場 / 利率管道角度（短中期）：貨幣供給減少導致國內名目利率上升，引發外資流入以追求較高報酬，外匯市場對本幣需求增加，促使本國貨幣升值（Appreciates）。

解題方法

1. 物價水準（Price level）之變動：
   中央銀行減少貨幣供給（$M^s \downarrow$）：

   • 在 AD-AS 模型中，實質貨幣餘額 $\frac{M}{P}$ 減少，利率上升抑制投資與消費，導致總需求（Aggregate Demand）減少，AD 曲線向左平移。
   • 在總供給（AS）不變下，市場達到新的均衡，使國內一般物價水準下跌（Price level falls）。

2. 匯率與貨幣價值（Currency value）之變動：

   • 長期購買力平價說（PPP）：
     若匯率定義為以本幣計價的直接匯率 $e$（1 單位外幣兌換本幣數量），則依據絕對購買力平價說：
     $P = e \cdot P^* \implies e = \frac{P}{P^*}$

核心觀念

本題考查總體經濟學中的李嘉圖等價假說（Ricardian Equivalence Proposition），在許多美系教科書（如 Michael Parkin）中亦常稱為李嘉圖－巴羅效應（Ricardo-Barro Effect）。

1. 核心定義與機制：
   當政府支出固定，政府透過發行公債（產生財政赤字，Government Deficits）取代當期課稅來融通支出時，具備前瞻性預期（Rational Expectations）且跨期最適化的理性家計單位會意識到：

   • 根據政府的跨期預算限制式（Intertemporal Budget Constraint），當前的減稅或公債融通，意味著未來政府必須加稅來償還本息。
   • 理性家計單位的終身財富（Lifetime Wealth）與永久所得並未增加。
   • 因此，家計單位當期的消費支出維持不變，並會將當期因減稅或移轉所獲得的資金全數儲蓄起來，使民間儲蓄增加量剛好等於政府儲蓄的減少量（即政府赤字）。

2. 可貸資金市場（Loanable Funds Market）與實質利率：
   國民儲蓄（National Saving, $S$）為民間儲蓄（$S_p$）與政府儲蓄（$S_g$）之和：

   $$S = S_p + S_g = S_p + (T - G)$$

   當政府赤字增加（$S_g$ 減少 $\Delta D$），民間儲蓄等額增加（$\Delta S_p = \Delta D$），使得可貸資金的總供給（總國民儲蓄）保持不變。因此，可貸資金市場的均衡實質利率（Real Interest Rate）不變，投資（Investment）亦不會受到排擠。

解題方法

1. 分析政府赤字與民間儲蓄之關係：
   依據李嘉圖－巴羅效應，政府赤字擴大（$G - T > 0$）時，民眾預期未來稅負提高，促使其自發性增加當期的私人儲蓄（$\Delta S_p > 0$），以備未來繳稅。
2. 分析均衡實質利率與投資的變化：
   在可貸資金市場中，總儲蓄供給曲線並未發生移動，故：
   • 均衡實質利率維持不變（No effect on the equilibrium real interest rate）。

核心觀念

本題考查**總合需求－總合供給（AD-AS）模型的自我調整機制（Self-Correcting Mechanism）與衰退缺口（Recessionary Gap）**的長期調整過程。

1. 產出缺口狀態：
   • 當潛在產出（Potential GDP, $Y_p$）大於實質產出（Real GDP, $Y$），即 $Y < Y_p$ 時，經濟體處於衰退缺口（又稱緊縮缺口，Recessionary Gap）。
2. 勞動市場狀態：
   • 由於產出低於充分就業水準，失業率高於自然失業率（$u > u_n$），勞動市場存在超額勞動供給（勞力過剩，Unemployment / Excess Supply of Labor）。
3. 長期自我調整機制（價格與工資具有彈性）：
   • 在古典與新古典綜合觀點下，名目工資（Money wage rate / Nominal wage, $W$）在長期具向下彈性。失業壓力迫使勞工接受較低的工資，使名目工資率下降。
   • 名目工資下降降低廠商的生產邊際成本，在相同的物價水準（$P$）下，廠商願意增加產出，促使短期總合供給曲線（Short-Run Aggregate Supply, SRAS）向右移動，直到產出回到潛在產出水準 $Y_p$ 為止。
4. 長期總合供給曲線（LRAS）的決定因素：
   • 長期總合供給取決於實質資源、資本存量、勞動力與生產技術水準，為一條位於潛在產出 $Y_p$ 的垂直線，不受名目變數（如物價水準、名目工資率）變動的影響。

解題方法

1. 判斷經濟所處狀態：
   • 題目設定「$Y_p > Y$」（潛在 GDP 超過實質 GDP），代表經濟體面臨景氣衰退與高失業率。
2. 分析調整傳導途徑：
   • 勞動市場供過於求 $\rightarrow$ 勞工爭取就業而壓低要價 $\rightarrow$ 名目工資率（Money wage rate）下跌。
   • 廠商生產成本下降 $\rightarrow$ 短期總合供給曲線（SRAS）右移。

核心觀念

1. 分段線性效用函數與邊際替代率（MRS）：
   邊際替代率衡量消費者在維持相同效用下，為增加一單位財貨 1 所願意放棄的財貨 2 數量：

   $$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = -\left. \frac{dx_2}{dx_1} \right|_{u=\bar{u}}$$

   分段線性函數在平滑區間為常數，但在分界折線上導數不存在（不可微）。

2. 非凸偏好（Non-convex Preferences）與角隅解（Corner Solution）：
   本題效用函數可改寫為兩線性函數的極大值：

   $$u(x_1, x_2) = \max \left\{ 3x_1 + x_2, \; \frac{7}{5}x_1 + \frac{21}{5}x_2 \right\}$$

   其無異曲線對原點呈現「凹向原點」（即遠離原點方向凸出），屬於嚴格非凸偏好。消費者偏好極端消費而非兩者折衷，在線性預算限制下，最適解必落在預算線的端點（角隅解），而非內生折點。

解題方法與推導

A. 計算邊際替代率（MRS）

根據分界線 $x_1 = 2x_2$ 分區間討論邊際效用 $MU_1 = \frac{\partial u}{\partial x_1}$ 與 $MU_2 = \frac{\partial u}{\partial x_2}$：

1. 當 $x_1 > 2x_2$ 時：

   $$u(x_1, x_2) = 3x_1 + x_2 \implies MU_1 = 3, \quad MU_2 = 1$$ $$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{3}{1} = 3$$

2. 當 $x_1 < 2x_2$ 時：

   $$u(x_1, x_2) = \frac{7}{5}x_1 + \frac{21}{5}x_2 \implies MU_1 = \frac{7}{5}, \quad MU_2 = \frac{21}{5}$$ $$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{21}{5}} = \frac{1}{3}$$

3. 當 $x_1 = 2x_2$ 時：
   無異曲線在此分界線上形成尖角折點（kink），左側斜率絕對值為 $\frac{1}{3}$，右側斜率絕對值為 $3$，函數於此處不可微，故 $MRS_{12}$ 未定義（或表示為次斜率區間不存在單一值）。

B. 求解常數 $c$

已知點 $(9, 1)$ 與點 $(c, 6)$ 位於同一條無異曲線上，效用值必相等。

1. 計算點 $(9, 1)$ 的效用值：
   檢查分界條件：$x_1 = 9$，$2x_2 = 2(1) = 2$。
   因 $9 > 2$，該點落於 $x_1 > 2x_2$ 區域：

   $$u(9, 1) = 3(9) + 1 = 28$$

2. 確定點 $(c, 6)$ 的所屬區間與數值：

   • 若 $c > 2(6) = 12$（即 $x_1 > 2x_2$）： $$u(c, 6) = 3c + 6 = 28 \implies 3c = 22 \implies c = \frac{22}{3} \approx 7.33$$ 此結果與假設 $c > 12$ 矛盾，故不成立。
   • 若 $c \le 2(6) = 12$（即 $x_1 \le 2x_2$）： $$u(c, 6) = \frac{7}{5}c + \frac{21}{5}(6) = 28$$ 兩邊同乘以 $5$： $$7c + 126 = 140 \implies 7c = 14 \implies c = 2$$ 驗證條件：$c = 2 \le 12$，合乎區間假設。

C. 導出需求函數 $x_1^*(p_1, p_2, m)$ 與 $x_2^*(p_1, p_2, m)$

消費者的效用極大化問題為：

核心觀念

本題涵蓋個體經濟學與國際貿易理論的核心主題，主要測驗以下觀念：

1. 獨占市場均衡與無謂損失（Deadweight Loss / Efficient Loss）：
   • 獨占廠商利潤極大化條件為 $MR = MC$，定價為 $P_m = P(Q_m)$。
   • 社會最適配置（完全競爭均衡）條件為 $P = MC$。
   • 獨占造成的效率損失（無謂損失）為社會最適產量與獨占產量之間，需求價格與邊際成本差額之積分（即幾何三角形面積）。
2. 小國開放貿易的短期與長期均衡：
   • 封閉市場開放後面對世界價格 $P_w$。在小國模型下，國內價格等於世界價格（$P = P_w =$$30）。
   • 短期（Short Run, SR）：國內獨占廠商面臨水平的世界價格線，成為價格接受者（$P = MR = P_w$），依 $P = MC$ 決定國內供給量；若此價格高於平均變動成本（$AVC$），廠商會繼續生產；國內需求量由 $P_w$ 代入需求函數決定。進口量為「國內需求量 $-$ 國內供給量」（若需求大於供給）。
   • 長期（Long Run, LR）：廠商可自由調整規模或進退退場。若在該世界價格下廠商的利潤為負（$P_w < AC_{\min}$），廠商將於長期退出市場（$Q_S^{LR} = 0$），全部國內需求皆由進口滿足。
3. 長期共存的政策工具（關稅／補貼）：
   • 若欲使國內廠商在長期「不退出市場」（利潤 $\pi \ge 0$）且與外國進口商在國內市場「共存」（國內需求大於國內廠商供給），必須透過課徵關稅（對進口品課稅，tax on importers）以提高國內市場價格至廠商長期的損益平衡點（最低平均成本 $AC_{\min}$）。

解題方法與詳細步驟

子題 A：計算獨占所導致的效率損失（Efficient Loss）

1. 獨占廠商利潤極大化：
   令 $MR = MC$：

   $$70 - 2Q = 10 + Q \implies 3Q = 60 \implies Q_m = 20$$

   代入需求函數求得獨占價格：

   $$P_m = 70 - 20 = 50$$

   此時邊際成本為：

   $$MC(20) = 10 + 20 = 30$$

2. 社會最適產量（完全競爭配置）：
   令 $P = MC$：

   $$70 - Q = 10 + Q \implies 2Q = 60 \implies Q_c = 30$$

   此時價格為 $P_c = 40$。

3. 計算效率損失（無謂損失，Deadweight Loss）：
   效率損失為由 $Q_m = 20$ 至 $Q_c = 30$ 之間，需求曲線與邊際成本曲線所夾之三角形面積：

   $$\text{Efficient Loss} = \frac{1}{2} \times (P_m - MC(Q_m)) \times (Q_c - Q_m) = \frac{1}{2} \times (50 - 30) \times (30 - 20) = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100$$