110 年 國立政治大學企業管理學系碩士班《微積分》

本題考驗瑕積分（Improper Integral）的計算，特別是涉及 Gamma 函數的積分。

我們可以使用分部積分法來計算此瑕積分。設 $u = x$ 且 $dv = e^{-x} dx$。
則 $du = dx$ 且 $v = -e^{-x}$。

分部積分公式為 $\int u dv = uv - \int v du$。
套用公式得：
$\int_0^\infty x e^{-x} dx = \left[ -x e^{-x} \right]_0^\infty - \int_0^\infty (-e^{-x}) dx$
$= \left[ -x e^{-x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x} dx$

首先計算第一項的極限：
$\lim_{x \to \infty} (-x e^{-x}) - (-0 \cdot e^{-0})$
$= \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{x}{e^x} \right) - 0$
此極限是 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型，我們可以使用 L'Hôpital's Rule：

本題考驗多元函數的優化問題，特別是涉及連乘積函數在線性約束下的最大值求解。通常這類問題可以透過取對數轉換為求和函數，並利用 Lagrange Multiplier 方法來求解。

首先，我們簡化函數 $f(x)$。
$f(x) = \prod_{i=1}^{10} x_i^{-0.5} x_i^{1.5} x_i^{2.5} \dots x_i^{19.5}$
注意到指數部分是一個等差數列，首項為 $-0.5$，公差為 $1$。
第 $k$ 項的指數是 $-0.5 + (k-1) \times 1 = k - 1.5$。
所以，對於每一項 $x_i$，其指數的和為：
$\sum_{j=1}^{10} (-0.5 + (j-1) \times 1) = \sum_{j=1}^{10} (j - 1.5)$
$= \sum_{j=1}^{10} j - \sum_{j=1}^{10} 1.5$
$= \frac{10 \times (10+1)}{2} - 10 \times 1.5$
$= \frac{10 \times 11}{2} - 15$
$= 55 - 15 = 40$
因此，函數 $f(x)$ 可以簡化為：
$f(x) = \prod_{i=1}^{10} x_i^{40} = \left( \prod_{i=1}^{10} x_i \right)^{40}$

我們要最大化 $f(x) = \left( \prod_{i=1}^{10} x_i \right)^{40}$，在約束條件 $g(x) = \sum_{i=1}^{10} x_i - 1 = 0$ 下，且 $0 < x_i < 1$。
由於 $40$ 是正數，最大化 $f(x)$ 等同於最大化 $h(x) = \prod_{i=1}^{10} x_i$。
進一步，由於 $x_i > 0$，最大化 $h(x)$ 等同於最大化其對數 $\ln(h(x))$。
令 $L(x) = \ln(h(x)) = \ln\left( \prod_{i=1}^{10} x_i \right) = \sum_{i=1}^{10} \ln(x_i)$。

我們使用 Lagrange Multiplier 方法。定義 Lagrange 函數為：

本題考驗定積分的計算與方程的求解，特別是涉及複合函數積分的變換。

我們首先計算定積分 $\int t e^{-t^2} dt$。
令 $u = -t^2$，則 $du = -2t dt$，即 $t dt = -\frac{1}{2} du$。
$\int t e^{-t^2} dt = \int e^u \left( -\frac{1}{2} du \right) = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C$
將 $u = -t^2$ 代回，得不定積分為 $-\frac{1}{2} e^{-t^2} + C$。

現在我們計算兩個定積分。
左邊的積分：
$\int_0^{2x} t e^{-t^2} dt = \left[ -\frac{1}{2} e^{-t^2} \right]_0^{2x}$
$= -\frac{1}{2} e^{-(2x)^2} - \left( -\frac{1}{2} e^{-0^2} \right)$
$= -\frac{1}{2} e^{-4x^2} + \frac{1}{2} e^0$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-4x^2} \right)$

本題分為兩部分，(a) 要求根據題意列出利潤函數的代數表達式，並確定係數；(b) 要求在給定需求分佈下，計算預期利潤並找出使預期利潤最大化的訂購量。

** (a) 確定利潤函數的係數 **

首先，我們分析利潤的組成部分：

1. 採購成本 (Cost)：購買 $q$ 本書的總成本為 $225q$。
2. 銷售收入 (Revenue)：賣出的書本數量是 $\min\{q, d\}$。每本售價為 $350$。因此，銷售收入為 $350 \min\{q, d\}$。
3. 滯銷損失 (Salvage Value)：未賣出的書本數量為 $\max\{0, q - d\}$。這些書本每本的回收價為 $100$。因此，回收總收入為 $100 \max\{0, q - d\}$。

總利潤 (Profit) 為 總收入 - 總成本。
$\text{Profit} = \text{Sales Revenue} + \text{Salvage Value} - \text{Purchasing Cost}$
$\text{Profit} = 350 \min\{q, d\} + 100 \max\{0, q - d\} - 225q$

現在我們將這個表達式與題目給定的形式 $C_1 \min\{q, d\} + C_2 \max\{0, q - d\} + C_3 q$ 進行比較。
$350 \min\{q, d\} + 100 \max\{0, q - d\} - 225q = C_1 \min\{q, d\} + C_2 \max\{0, q - d\} + C_3 q$

比較係數：

• 對於 $\min\{q, d\}$ 項：$C_1 = 350$。
• 對於 $\max\{0, q - d\}$ 項：$C_2 = 100$。
• 對於 $q$ 項：$-225 = C_3$。

因此，係數為 $C_1 = 350$, $C_2 = 100$, $C_3 = -225$。

** (b) 計算預期利潤並找出最佳訂購量 **

需求 $d$ 服從平均數 $\mu = 12,000$ 和標準差 $\sigma = 200$ 的常態分佈。
利潤函數為 $\text{Profit}(q, d) = 350 \min\{q, d\} + 100 \max\{0, q - d\} - 225q$。
我們需要計算預期利潤 $E[\text{Profit}(q, d)]$，並找到使之最大化的 $q$。

首先，我們將利潤函數改寫成更方便計算預期值的形式。
考慮兩種情況：

1. 需求 $d \ge q$ (訂購的書本都賣完)：此時 $\min\{q, d\} = q$ 且 $\max\{0, q - d\} = 0$。
   利潤為 $350q + 100(0) - 225q = (350 - 225)q = 125q$。
2. 需求 $d < q$ (有書本滯銷)：此時 $\min\{q, d\} = d$ 且 $\max\{0, q - d\} = q - d$。
   利潤為 $350d + 100(q - d) - 225q = 350d + 100q - 100d - 225q = (100 - 225)q + (350 - 100)d = -125q + 250d$。

所以，利潤函數可以寫成：
$\text{Profit}(q, d) = \begin{cases} 125q & \text{if } d \ge q \\ -125q + 250d & \text{if } d < q \end{cases}$

接下來計算預期利潤 $E[\text{Profit}(q)]$。由於 $q$ 是固定的訂購量，我們對需求 $d$ 求期望值。
$E[\text{Profit}(q)] = \int_{-\infty}^{\infty} \text{Profit}(q, d) f(d) dd$
其中 $f(d)$ 是需求 $d$ 的機率密度函數。
$E[\text{Profit}(q)] = \int_{-\infty}^{q} (-125q + 250d) f(d) dd + \int_{q}^{\infty} (125q) f(d) dd$
$E[\text{Profit}(q)] = -125q \int_{-\infty}^{q} f(d) dd + 250 \int_{-\infty}^{q} d f(d) dd + 125q \int_{q}^{\infty} f(d) dd$

我們知道 $\int_{-\infty}^{\infty} f(d) dd = 1$。所以 $\int_{q}^{\infty} f(d) dd = 1 - \int_{-\infty}^{q} f(d) dd$。
令 $F(q) = \int_{-\infty}^{q} f(d) dd$ 為累積分布函數 (CDF)，則 $\int_{q}^{\infty} f(d) dd = 1 - F(q)$。
$E[\text{Profit}(q)] = -125q F(q) + 250 \int_{-\infty}^{q} d f(d) dd + 125q (1 - F(q))$
$E[\text{Profit}(q)] = 125q - 250q F(q) + 250 \int_{-\infty}^{q} d f(d) dd$

為了找到最大化預期利潤的 $q$，我們對 $E[\text{Profit}(q)]$ 求導並令其為零。