109 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《財務管理》

核心觀念

本題考查債券價格與殖利率變動的關係，使用：

1. 修正存續期間（Modified Duration）估計債券價格的一階變動。
2. 凸性（Convexity）修正債券價格的二階變動。

債券價格變動近似公式為：

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\Delta y +\frac{1}{2}C(\Delta y)^2$$

其中：

• $P$：原債券價格
• $D_{\text{mod}}$：修正存續期間
• $C$：凸性
• $\Delta y$：殖利率變動，以小數表示

題目給的是 Macaulay duration，因此先換算為修正存續期間：

$$D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1+y} = \frac{9}{1.08} = 8.3333$$

解題方法

題目選項的數值是以殖利率下降 $16$ bp，也就是 $0.16\%=0.0016$ 計算；若依英文題面所寫的 $160$ bp（$1.60\%=0.016$），計算結果不會落在任何選項。因此以下依選項一致的題意，以殖利率下降 $16$ bp 解題。

殖利率下降，因此：

$$\Delta y=-0.0016$$

先忽略凸性，使用存續期間估計：

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\Delta y$$ $$= -(8.3333)(-0.0016) = 0.013333$$

因此價格變動為：

$$\Delta P = 1,080(0.013333) = 14.40$$

新債券價格：

$$P_1 = 1,080+14.40 = 1,094.40$$

加入凸性修正：

本題考驗永續年金(perpetuity)的存續期間(duration)計算。

永續年金的 Macaulay duration 公式為：
$D_{Mac} = \frac{1 + y}{y}$
其中 $y$ 為利率或殖利率。

題目中，永續年金每年支付 $100$，殖利率 $y = 9\% = 0.09$。

核心觀念

本題的核心考點為**高登股利成長模型（Gordon Growth Model）與預期本益比（Forward P/E Ratio）**的推導與計算。

1. 高登股利折現模型：
   假設股利以固定成長率 $g$ 等比成長，且投資人要求報酬率（折現率）$k > g$，則普通股當期價值 $P_0$ 為次期預期股利 $D_1$ 的折現值：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g}$$

2. 股利與每股盈餘之關係：
   次期每股股利等於次期預期每股盈餘 $E_1$ 乘上股利發放率（Dividend Payout Ratio, 記為 $d$）：

   $$D_1 = E_1 \times d$$

3. 預期本益比（Forward P/E）：
   將高登模型兩邊同除以次期每股盈餘 $E_1$，可直接推導出預期本益比公式：

   $$\frac{P_0}{E_1} = \frac{d}{k - g}$$

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解題方法

題目給定條件如下：

• 股利固定成長率 $g = 5\% = 0.05$
• 股利發放率 $d = 0.80$
• 次期預期每股盈餘 $E_1 =$$3
• 投資人要求報酬率 $k = 12\% = 0.12$

步驟一：計算次期預期股利 $D_1$

$$D_1 = E_1 \times d = \$3 \times 0.80 = \$2.40$$

步驟二：利用高登模型計算每股合理股價 $P_0$

$$P_0 = \frac{D_1}{k - g} = \frac{\$2.40}{0.12 - 0.05} = \frac{\$2.40}{0.07} \approx \$34.2857$$

步驟三：計算預期本益比 $\frac{P_0}{E_1}$

$$\text{Forward P/E} = \frac{P_0}{E_1} = \frac{\$34.2857}{\$3} \approx 11.4286 \approx 11.43$$

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本題考驗期貨交易中的保證金追繳(margin call)機制。

首先，我們需要了解期貨交易的保證金概念：

1. 合約面值 (Face Value)：期貨合約代表的資產的總價值，在此為 $100,000。
2. 賣出價格 (Selling Price)：期貨合約的交易價格，在此為 $97,843.75。
3. 原始保證金 (Initial Margin)：開倉時必須存入的最低保證金，在此為 $2,700。
4. 維持保證金 (Maintenance Margin)：帳戶中必須保持的最低保證金餘額，在此為 $2,000。
5. 保證金追繳 (Margin Call)：當帳戶餘額低於維持保證金時，交易者必須存入額外資金，使帳戶餘額回到原始保證金水平。

您是賣方(short position)，所以您的獲利或虧損與期貨價格的變動方向相反。

• 如果期貨價格下跌，您獲利。
• 如果期貨價格上漲，您虧損。

我們需要追蹤您帳戶的結算金額(settlement amount)以及是否觸發保證金追繳。

交易細節：

• 賣出日期：週一早上
• 賣出價格：$97,843.75
• 合約面值：$100,000
• 原始保證金：$2,700
• 維持保證金：$2,000

帳戶餘額追蹤：
我們從週一早上開倉時的帳戶餘額開始計算。
開倉時，您存入了原始保證金 $2,700。 帳戶餘額 =$2,700。

週一 (Monday):

• 週一早上賣出合約價：$97,843.75
• 週一結算價：$97,406.25
• 價格變動：$97,406.25 -$97,843.75 = -$437.50$
• 由於您是賣方，價格下跌代表獲利。
• 您的獲利是根據合約面值計算的。每點代表 $100,000 / 100 = 1,000$。
• 價格變動金額 = $-437.50$ (這似乎是以點數表示，但題目給的數字看起來是美元金額，而且非常接近面值。通常期貨報價會以合約面值的百分比表示，例如 97.84375。如果 $97,843.75$ 是合約的總價值，那麼價格變動的計算方式應為：
  結算價 $97,406.25$。
  您賣出的價格是 $97,843.75$。

本題考驗對 Treynor Measure (Treynor 指數) 的理解及其與其他風險衡量指標的比較。

Treynor Measure 的計算公式為：
$Treynor Measure = \frac{R_p - R_f}{\beta_p}$
其中：
$R_p$ = 投資組合的預期報酬率 (Average return of the portfolio)
$R_f$ = 無風險報酬率 (Risk-free rate)
$\beta_p$ = 投資組合的 Beta 值 (Beta of the portfolio)

題目中給定的資訊：

1. 兩個投資組合 (Buckeye Fund 和 Husker Fund) 具有相同的平均報酬率 ($R_p$)。
2. 兩個投資組合具有相同的標準差 (standard deviation)。
3. Buckeye Fund 的 Beta ($\beta_{Buckeye}$) 高於 Husker Fund 的 Beta ($\beta_{Husker}$)，即 $\beta_{Buckeye} > \beta_{Husker}$。

我們需要比較 Buckeye Fund 和 Husker Fund 的 Treynor Measure。由於兩個基金的平均報酬率 ($R_p$) 相同，且無風險報酬率 ($R_f$) 對於兩個基金也是相同的，Treynor Measure 的差異將取決於 Beta 值。

Treynor Measure 的分母是 Beta ($\beta_p$)。

• 對於 Buckeye Fund：$Treynor_{Buckeye} = \frac{R_p - R_f}{\beta_{Buckeye}}$
• 對於 Husker Fund：$Treynor_{Husker} = \frac{R_p - R_f}{\beta_{Husker}}$

由於 $R_p$ 和 $R_f$ 相同，所以分子 $(R_p - R_f)$ 對於兩個基金也是相同的。
我們知道 $\beta_{Buckeye} > \beta_{Husker}$。
當分母較大時，分數的值會較小。

本題考驗社會責任投資(Socially Responsible Investing, SRI)或 ESG 投資對有效前緣(efficient frontier)的影響。

有效前緣代表在給定的風險水平下，能夠獲得的最高預期報酬率；或者在給定的預期報酬率下，能夠承擔的最低風險。

當我們從投資機會集合中排除某些公司（例如高碳排放公司），這意味著我們的投資組合選擇範圍縮小了。

• 社會責任篩選 (Negative Screening)：排除某些特定類型的公司（如污染、高碳排放、菸草、博弈等）。
• 社會責任篩選 (Positive Screening)：選擇符合特定標準的公司。

在這裡，我們是透過「排除」高碳排放公司來縮小投資機會集合。這是一種負面篩選。

影響分析：

1. 報酬率 (Return)：通常，高碳排放或被認為「不道德」的公司，在某些情況下，可能因為其業務模式具有較高的成長潛力或提供較高的短期報酬。例如，某些能源公司或特定產業。如果這些被排除的公司提供了相對較高的報酬率，那麼排除它們可能會導致整體投資組合的預期報酬率下降。
2. 風險 (Risk)：
   • 系統性風險 (Beta)：高碳排放公司可能與某些產業週期高度相關，或者其業務模式本身就面臨較大的監管風險、聲譽風險或轉型風險。這些風險可能反映在較高的 Beta 值上。如果這些公司被排除，整體投資組合的 Beta 值可能會下降。

核心觀念

本題考查影響 IPO（首次公開發行）投資人認購意願的因素，重點包括：

1. Lockup period（閉鎖期）：限制公司內部人或既有股東在上市後出售股票的期間。
2. Book building（詢價圈購）：承銷商向機構投資人蒐集認購數量與價格，以評估市場需求。
3. IPO underpricing（IPO 低價發行）：承銷價格低於股票上市初期合理市場價格，使投資人具有初始報酬。
4. Green Shoe option（超額配售選擇權）：承銷商可額外配售一定比例股票，並在上市初期透過回補或買進股票協助穩定價格。

IPO 投資人的認購意願通常受到以下因素影響：

• 預期報酬越高，認購意願越強。
• 市場需求訊號越強，投資人越有信心。
• 上市初期價格波動與下跌風險越低，認購意願越強。

解題方法

逐一判斷四項措施是否會提高投資人對 IPO 的興趣：

• 若能提高預期報酬，屬於正面因素。
• 若能傳達市場需求強勁，屬於正面訊號。
• 若能降低上市初期價格風險，通常提高投資意願。
• 若增加內部人出售股票的壓力，則屬於負面因素。

判斷結果為：

$$\text{II、III、IV 正確；I 錯誤}$$

因此答案為 D。

各敘述分析

I. Reducing the lockup period

錯誤。

閉鎖期縮短，代表公司創辦人、經理人或原股東能更早出售持股。閉鎖期屆滿後，市場上的股票供給可能增加，形成較大的賣壓，導致：

• 股票供給增加；
• 股價下跌風險提高；
• 投資人擔心內部人提前獲利了結；
• IPO 的認購意願降低。

因此，縮短閉鎖期通常不會增加投資人興趣。

II. News release of very strong book building on the first day of the road show

正確。

若路演第一天即傳出詢價圈購需求非常強勁，表示機構投資人對該 IPO 的需求旺盛。這項資訊具有正面訊號效果，可能使其他投資人形成以下預期：

• IPO 最終定價可能較高；
• 上市後市場需求仍然強勁；
• 股票上市後具有較佳的流動性；
• 其他投資人若不及早認購，可能無法取得足夠配額。

強勁的 book building 因此會提高投資人參與 IPO 的興趣。

III. Underpricing the IPO

正確。

本題考驗在多重經濟狀態下，如何使投資組合的變異數(variance)為零。

投資組合的變異數為零意味著該投資組合的報酬率在所有可能的經濟狀態下都是完全相同的，即沒有波動性。這實際上是一個無風險的投資組合。

我們來分析各個選項：

A) 投資組合 Beta 必須為 1.0

• Beta 值衡量的是投資組合相對於市場的系統性風險。Beta 為 1.0 表示投資組合的波動性與市場整體波動性相同。這並不能保證投資組合的變異數為零，因為市場本身可能存在波動。

B) 投資組合預期報酬率在每個經濟狀態下必須相同

• 如果投資組合的預期報酬率在每個經濟狀態下都相同，這意味著無論經濟如何波動，該投資組合的報酬率都是固定的。
• 例如，假設有三種經濟狀態 A, B, C，其報酬率分別為 $R_A, R_B, R_C$。如果 $R_A = R_B = R_C = R_{fixed}$，那麼這個投資組合的報酬率是固定的 $R_{fixed}$。
• 在這種情況下，投資組合的變異數 (variance) 是衡量報酬率波動性的指標。如果所有報酬率都相同，則波動性為零，變異數也為零。
• 變異數的計算公式涉及 $(R_i - E[R])^2$，如果所有 $R_i$ 都等於 $E[R]$，那麼變異數就為零。

本題考驗淨現值法 (Net Present Value, NPV) 的特性與應用。

我們逐一分析各個選項：

A) 要求的報酬率下降時，淨現值會增加。

• NPV 公式：$NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}$，其中 $CF_t$ 是第 t 期現金流量，$r$ 是要求的報酬率 (discount rate)。
• 分析：當要求的報酬率 $r$ 下降時，折現因子 $(1+r)^t$ 的值會變大 (因為分母變小，整體項變大)，因此未來現金流量的現值會增加。由於 NPV 是所有現金流量現值的總和 (包含初期的負現金流)，當未來現金流量的現值增加時，NPV 值也會增加。
• 結論：此敘述是正確的。

B) 當內部報酬率等於要求的報酬率時，淨現值等於初始投資。

• IRR 的定義：內部報酬率 (Internal Rate of Return, IRR) 是使 NPV 等於零的折現率。即，在 IRR 下，專案的預期報酬率剛好等於要求報酬率。
• 分析：當 IRR 等於要求的報酬率 ($r$) 時，NPV 應該等於 零，而不是初始投資。初始投資是 NPV 公式中的 $CF_0$ (通常為負值)，而 NPV 等於零表示專案的預期報酬率正好能支付初始投資和要求的報酬率。
• 結論：此敘述是錯誤的。

本題考驗不同折舊方法 (直線法 vs. MACRS) 對公司稅務和現金流量的影響。

核心概念是，由於稅法允許 MACRS 折舊在早期加速，因此在稅率為正的情況下，MACRS 折舊會產生較大的稅盾效應，從而產生較大的稅後現金流。

已知資訊：

• 設備成本：$75,000
• 稅務壽命：5 年
• 邊際稅率：34%
• 直線法折舊 (Firm A)：每年折舊額相同。
• MACRS 折舊 (Firm B)：使用 5 年期 MACRS 比率。
• MACRS 比率 (Year 1-6)：20%, 32%, 19.2%, 11.52%, 11.52%, 5.76%。注意，5 年稅務壽命的資產，其 MACRS 折舊通常在 6 年內計提，最後一年是剩餘的 5.76%。

計算各年度的折舊費用：

Firm A (直線法折舊)：
每年折舊額 = 設備成本 / 稅務壽命 = $75,000 / 5 =$15,000$。

• Year 1: $15,000
• Year 2: $15,000
• Year 3: $15,000
• Year 4: $15,000
• Year 5: $15,000

Firm B (MACRS 折舊)：
每年折舊額 = 設備成本 × MACRS 比率

• Year 1: $75,000 \times 20\% =$15,000$
• Year 2: $75,000 \times 32\% =$24,000$
• Year 3: $75,000 \times 19.2\% =$14,400$
• Year 4: $75,000 \times 11.52\% =$8,640$
• Year 5: $75,000 \times 11.52\% =$8,640$
• Year 6: $75,000 \times 5.76\% =$4,320$

比較折舊費用：

• Year 1: A=$15,000$, B=$15,000$ (相同)
• Year 2: A=$15,000$, B=$24,000$ (B > A)
• Year 3: A=$15,000$, B=$14,400$ (A > B)
• Year 4: A=$15,000$, B=$8,640$ (A > B)
• Year 5: A=$15,000$, B=$8,640$ (A > B)
• Year 6: A=0, B=$4,320$

分析選項：

A) Firm A 的折舊費用每年都大於 Firm B 的費用。

• 從上面的比較可以看出，Year 2, Year 4, Year 5, Year 6，Firm B 的折舊費用都與 A 不同，且 Year 2 時 B 大於 A，Year 3-5 時 A 大於 B。所以此選項錯誤。

B) Year 2 結束時，Firm B 帳上的設備價值高於 Firm A。

• 帳面價值 (Book Value) = 原始成本 - 累積折舊。
• Firm A 在 Year 2 結束時的累積折舊 = $15,000 + 15,000 =$30,000$。 帳面價值 =$75,000 - 30,000 = $45,000$。
• Firm B 在 Year 2 結束時的累積折舊 = $15,000 + 24,000 =$39,000$。 帳面價值 =$75,000 - 39,000 = $36,000

核心觀念

本題考查：

1. 分散投資與非系統風險：單一股票持有比例過高，會承擔可藉由分散投資消除的公司特有風險。
2. 資產配置：投資組合應依投資人的風險承受度、投資期限、流動性需求、稅負與財富目標決定。
3. 集中持股與機會成本：繼續持有 Microsoft 可能獲得極高報酬，但也代表放棄投資其他資產的機會。
4. 事後偏誤：不能因為後來 Microsoft 股價大漲，就認定當時出售股票一定是錯誤決策。
5. 投資組合風險：投資組合的變異數為

$$\sigma_p^2=\sum_i\sum_j w_iw_j\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$$

當資產之間的相關係數 $\rho_{ij}$ 不等於 $1$ 時，分散投資可降低整體風險。

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A）若沒有完美事後資訊，是否會出售大量 Microsoft 股票？

解題方法

應以 1993 年 Larson 接手時可取得的資訊作判斷，而非使用後來 Microsoft 股價暴漲的結果。分析重點是：

• Gates 的財富已高度集中於 Microsoft；
• Microsoft 的公司特有風險很高；
• Gates 的人力資本、聲譽與財富都與 Microsoft 密切相關；
• 出售股票所得可配置至不同產業、不同國家與不同資產類別；
• 出售決策仍須考慮稅負、控制權與交易成本。

1. 應出售相當比例，因為持股過度集中

Gates 在 Microsoft 上市後持有約 $44.8\%$ 的股份。即使公司前景極佳，這仍是極端集中的投資組合。

Microsoft 所面臨的風險包括：

• 科技產業景氣循環；
• 競爭者推出替代產品；
• 反托拉斯訴訟與監管風險；
• 管理階層變動；
• 技術典範轉移；
• 公司治理與聲譽風險。

這些屬於 Microsoft 的公司特有風險。投資人持有整體市場投資組合後，仍須承擔市場風險，但不必額外承擔如此龐大的單一公司風險。

因此，若目標是管理 Gates 的整體財富，而非維持對 Microsoft 的控制權，出售大量 Microsoft 股票具有合理性。

2. Gates 的人力資本已與 Microsoft 高度相關

一般投資人可能透過薪資收入取得人力資本，但 Gates 的主要事業、聲譽、專業能力與 Microsoft 高度連結。這代表他的「工作收入」與「金融資產」都暴露於同一家公司。

若 Microsoft 發生重大危機，Gates 可能同時面臨：

• 股票價格下跌；
• 事業與聲譽受損；
• 慈善捐贈能力下降；
• 未來收入與資源減少。

因此，他比一般投資人更需要降低 Microsoft 股票的持有比例。

3. 出售可提高風險調整後報酬

投資決策不能只比較單一股票的預期報酬，也要比較其風險。可用 Sharpe ratio 衡量風險調整後績效：

$$\text{Sharpe Ratio} = \frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p}$$

即使 Microsoft 的預期報酬高於市場，當其持股比例極高時，投資組合波動度也會大幅上升。將部分資金配置到其他股票、債券、現金與實質資產，可降低 $\sigma_p$，改善整體風險報酬關係。

Larson 自 1995 年以來創造約 $11\%$ 的複合年報酬，且超越 S&P 500 超過 $1\%$，顯示資產管理具有一定成果。不過，單憑報酬率不能證明績效優異，仍須考慮：

• 承擔的風險；
• 投資組合波動度；
• 最大回撤；
• 稅後報酬；
• 基準指數是否適當；
• 超額報酬是否來自偶然因素。

4. 不會一次全部出售，而會分階段降低持股

合理做法不是在短時間內完全清空 Microsoft，而是設定集中度上限，並分階段出售，例如：

• 保留足以維持個人偏好與象徵意義的持股；
• 將超過目標比例的部分逐年出售；
• 透過分散交易降低市場衝擊；
• 配合稅務規劃、慈善捐贈與信託安排；
• 必要時使用限制性股票、捐贈股票或其他稅務工具。

若 Gates 必須維持控制權，出售比例則須受控制權需求限制；若不需要控制權，降低集中持股的必要性更高。

A 小結

出售大量 Microsoft 股票是合理的資產管理決策，但「出售多少」應取決於稅負、控制權、流動性需求與 Gates 的風險承受度。Microsoft 後來大幅上漲，只能說明未出售者的事後財富較高，不能反推出當時出售決策錯誤。

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B）若在 2019 年重新決定，是否建議不同的資產配置？

解題方法

核心觀念

本題為政大財管所極具代表性的股利折現模型（DDM）與公司價值評估綜合題，核心考核以下財務理論與公式：

1. 資本資產定價模型（CAPM）：
   用於評估純權益公司（All-Equity Firm）的權益資金成本（即投資人要求的必要報酬率 $k$）：

   $$k = r_f + \beta \times \left[ E(R_m) - r_f \right]$$

   其中 $r_f$ 為無風險利率，$\left[ E(R_m) - r_f \right]$ 為市場風險溢酬（Equity Risk Premium, ERP），$\beta$ 為公司系統性風險。

2. 高登成長模型（Gordon Growth Model）與內生永續成長率（$g$）：
   在僅以保留盈餘進行再投資且不發行新股與新債的假設下，公司的盈餘與股利永續成長率由保留盈餘率（Plowback Ratio, $b$）與股東權益報酬率（$\text{ROE}$）共同決定：

   $$g = b \times \text{ROE}$$

   合理股價計算式為：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g}$$

3. 企業價值分解與成長機會現值（PVGO）：
   股票價值可拆解為「零成長價值（No-Growth Value）」與「成長機會現值（Present Value of Growth Opportunities, PVGO）」：

   $$P_0 = \frac{E_1}{k} + \text{PVGO} \implies \text{PVGO} = P_0 - \frac{E_1}{k}$$
   • 當 $\text{ROE} > k$ 時，公司再投資能創造超額報酬，$\text{PVGO} > 0$；
   • 當 $\text{ROE} < k$ 時，公司再投資報酬低於資本成本，將摧毀公司價值，$\text{PVGO} < 0$。

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解題方法

(A) 2019 年底股票合理價格與成長機會現值（PVGO）

1. 計算 2019 年底投資人要求的必要報酬率（$k$）：
   依據 CAPM：

   $$k = r_f + \beta \times \text{ERP} = 2\% + 1 \times 8\% = 10\%$$

2. 計算內生永續成長率（$g$）：

   $$g = b \times \text{ROE} = 60\% \times 12\% = 7.2\%$$

3. 計算 2020 年底的預期每股股利（$D_1$ 或 $D_{2020}$）：
   已知 2020 年預期每股盈餘 $E_1 = \text{EPS}_{2020} =$$5，保留盈餘率 $b = 60\%$，則股利發放率為 $1 - b = 40\%$：

   $$D_1 = E_1 \times (1 - b) = 5 \times (1 - 0.60) = \$2$$

4. 計算 2019 年底的合理股價（$P_0$ 或 $P_{2019}$）：
   依據高登模型：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g} = \frac{2}{0.10 - 0.072} = \frac{2}{0.028} = \frac{500}{7} \approx \$71.43$$

5. 計算 2019 年底的成長機會現值（$\text{PVGO}$）：

   • 零成長情況下的股票價值： $$P_{\text{no growth}} = \frac{E_1}{k} = \frac{5}{0.10} = \$50$$
   • 成長機會現值： $$\text{PVGO} = P_0 - \frac{E_1}{k} = 71.43 - 50 = \$21.43 \quad \left( \text{精確值為 } \frac{150}{7} \approx \$21.43 \right)$$

   驗算公式：

   $$\text{PVGO} = \frac{E_1 \times b \times (\text{ROE} - k)}{k(k - g)} = \frac{5 \times 0.60 \times (0.12 - 0.10)}{0.10 \times (0.10 - 0.072)} = \frac{0.06}{0.0028} = \frac{150}{7} \approx \$21.43$$

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(B) 2020 年底利率上升後的合理除息股價（$P_1$ 或 $P_{2020}$）

1. 計算 2020 年底新的必要報酬率（$k'$）：
   無風險利率上升至 $r_f' = 5\%$，其餘參數不變：

   $$k' = r_f' + \beta \times \text{ERP} = 5\% + 1 \times 8\% = 13\%$$

2. 計算 2021 年預期每股盈餘（$E_2$）與每股股利（$D_2$）：

核心觀念

本題考核投資組合理論（Portfolio Theory）中的兩大核心架構：

1. 全球最小變異投資組合（Global Minimum-Variance Portfolio, GMVP）：
   由兩項風險性資產建構的投資組合中，使整體變異數最小化的資產權重配置公式。當兩資產相關係數為零時（$\rho_{A,B} = 0$），資產權重僅由各自的變異數決定。
2. 夏普比率（Sharpe Ratio）與資本資產配置（Capital Allocation）：
   當市場存在無風險資產（Risk-free Asset）時，理性投資人追求的是具備**最高夏普比率（斜率最大）**的風險投資組合（即切點投資組合 Tangency Portfolio / 最適風險投資組合 Optimal Risky Portfolio），再透過與無風險資產借貸形成資本配置線（CAL）。
3. 效率前緣（Efficient Frontier）的矛盾判斷：
   檢驗題目條件中資產與投資組合之風險溢酬（Risk Premium）是否合理，並利用夏普比率評估資產間的支配關係（Dominance）。

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解題方法與詳細推導

已知條件整理

• 資產 A：$E(R_A) = 12\% = 0.12$，$\sigma_A = 24\% = 0.24$，變異數 $\sigma_A^2 = 0.24^2 = 0.0576$
• 資產 B：$E(R_B) = 2\% = 0.02$，$\sigma_B = 12\% = 0.12$，變異數 $\sigma_B^2 = 0.12^2 = 0.0144$
• 共變異數：相關係數 $\rho_{A,B} = 0 \implies \sigma_{AB} = \mathrm{Cov}(R_A, R_B) = 0$
• 無風險利率：$R_f = 2\% = 0.02$

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第 A 子題：求 GMVP 之權重、期望報酬率與標準差

兩風險資產投資組合的變異數公式為：

$$\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \sigma_{AB}$$

令 $w_B = 1 - w_A$，因 $\sigma_{AB} = 0$，變異數簡化為：

$$\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + (1 - w_A)^2 \sigma_B^2$$

欲求變異數極小化，對 $w_A$ 一階微分並令其為 0：

$$\frac{d\sigma_p^2}{dw_A} = 2w_A \sigma_A^2 - 2(1 - w_A)\sigma_B^2 = 0$$

解得 GMVP 之資產 A 權重公式：

$$w_A^* = \frac{\sigma_B^2}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2}$$

將數值代入：

$$w_A^* = \frac{0.12^2}{0.24^2 + 0.12^2} = \frac{0.0144}{0.0576 + 0.0144} = \frac{0.0144}{0.0720} = \frac{1}{5} = 0.2\text{（即 } 20\%\text{）}$$

資產 B 之權重：

$$w_B^* = 1 - w_A^* = 1 - 0.2 = 0.8\text{（即 } 80\%\text{）}$$

1. GMVP 之期望報酬率 $E(R_{\mathrm{GMVP}})$：

$$E(R_{\mathrm{GMVP}}) = w_A^* E(R_A) + w_B^* E(R_B) = (0.2 \times 12\%) + (0.8 \times 2\%) = 2.4\% + 1.6\% = 4\%$$

2. GMVP 之標準差 $\sigma_{\mathrm{GMVP}}$：

$$\sigma_{\mathrm{GMVP}}^2 = (w_A^*)^2 \sigma_A^2 + (w_B^*)^2 \sigma_B^2 = (0.2^2 \times 0.24^2) + (0.8^2 \times 0.12^2)$$ $$\sigma_{\mathrm{GMVP}}^2 = (0.04 \times 0.0576) + (0.64 \times 0.0144) = 0.002304 + 0.009216 = 0.01152$$ $$\sigma_{\mathrm{GMVP}} = \sqrt{0.01152} = \sqrt{\frac{0.0576}{5}} = \frac{0.24}{\sqrt{5}} \approx 0.10733\text{（約 } 10.73\%\text{）}$$

（精確值為 $\frac{12\sqrt{5}}{25}\%$ 或約 $10.73\%$）

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第 B 子題：投資選擇與原因分析

當存在無風險資產且無風險利率 $R_f = 2\%$ 時，評估各投資工具之夏普比率（Sharpe Ratio, $SR$）：

1. 個別資產與投資組合之夏普比率計算：
   • 資產 A：

核心觀念

本題為資本預算（Capital Budgeting）中結合情境分析（Scenario Analysis）與專案現金流量估計的經典題型，核心考點包含：

1. 最悲觀情境（Worst-Case Scenario）的參數選取：
   在不考慮各變數間相關性（disregarding correlation）的假設下，選取使獲利最小化的極端值：

   • 銷量（Unit Sales, $Q$）與銷售單價（Sales Price, $P$）取下限（Lower Bound）。
   • 單位變動成本（Variable Cost, $v$）與固定成本（Fixed Costs, $FC$）取上限（Upper Bound）。

2. 營運現金流量（Operating Cash Flow, OCF）的計算：

   $$\text{OCF} = \text{EBIT}(1 - T_C) + \text{Depreciation}$$

   亦可用稅盾法（Tax Shield Approach）：

   $$\text{OCF} = (\text{Sales} - \text{VC} - \text{FC})(1 - T_C) + \text{Depreciation} \times T_C$$

3. 稅後殘值（After-tax Salvage Value, ATSV）：
   資產處分所得需扣除資產處分損益所產生的稅負：

   $$\text{ATSV} = \text{Market Salvage Value} - (\text{Market Salvage Value} - \text{Book Value}) \times T_C$$

4. 淨現值法則（Net Present Value Criterion, NPV Rule）：
   專案在最悲觀情境下能否「賺錢（make money）」，係以專案淨現值是否大於零（$NPV > 0$）為決策標準。

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解題方法

(A) 計算最悲觀情境下的營運現金流量（Worst-case OCF）

1. 決定最悲觀情境下的變數數值：

   • 銷量（$Q$）：$9,800$ 單位
   • 銷售單價（$P$）：$34
   • 單位變動成本（$v$）：$26
   • 固定成本（$FC$）：$10,200
   • 所得稅率（$T_C$）：$35\%$

2. 計算每年折舊費用（Depreciation, $D$）：
   設備採 5 年直線折舊法：

   $$D = \frac{\text{Initial Capital Spending}}{\text{Depreciation Life}} = \frac{\$150,000}{5} = \$30,000 \text{ / 年}$$

3. 計算最悲觀情境的營收、成本與息稅前利潤（EBIT）：

   • 銷貨收入（$\text{Sales}$）$= Q \times P = 9,800 \times$$$34 =$$333,200
   • 變動成本（$\text{VC}$）$= Q \times v = 9,800 \times$$$26 =$$254,800
   • 息稅折舊攤銷前利潤（$\text{EBITDA}$）$= \text{Sales} - \text{VC} - \text{FC} =$$$333,200 -$$$254,800 -$$$10,200 =$$68,200
   • 息稅前利潤（$\text{EBIT}$）$= \text{EBITDA} - D =$$$68,200 -$$$30,000 =$$38,200

4. 計算營運現金流量（OCF）：

   $$\begin{aligned} \text{OCF} &= \text{EBIT} \times (1 - T_C) + D \\ &= \$38,200 \times (1 - 0.35) + \$30,000 \\ &= \$24,830 + \$30,000 \\ &= \$54,830 \end{aligned}$$

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(B) 計算稅後殘值（After-tax Salvage Value, ATSV）

1. 計算專案第 3 年末設備之帳面價值（Book Value, $BV_3$）：
   • 專案期間為 3 年，累積提列折舊 $= 3 \times$$$30,000 =$$90,000
   • 第 3 年末帳面價值：