109 年 國立政治大學企業管理學系碩士班《統計學》

此題主要考驗對 Poisson 分布的理解與應用。

(1) 計算 10 分鐘內接獲三通電話的機率。

此問題可視為一個 Poisson process。電話的抵達率為每小時 48 通。
首先，我們需要將抵達率轉換為每分鐘的抵達率：
$\lambda_{minute} = \frac{48 \text{ calls}}{60 \text{ minutes}} = 0.8 \text{ calls/minute}$

接著，我們需要計算 10 分鐘內的平均電話抵達數：
$\mu = \lambda_{minute} \times 10 \text{ minutes} = 0.8 \times 10 = 8$

Poisson 分布的機率質量函數為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}$
其中 $X$ 是在給定時間內發生的事件次數，$k$ 是我們感興趣的事件次數，$\mu$ 是平均事件發生次數。

我們要求的是在 10 分鐘內接獲三通電話的機率，即 $k=3$：
$P(X=3) = \frac{e^{-8} 8^3}{3!} = \frac{e^{-8} \times 512}{6} = \frac{512}{6} e^{-8}$

計算數值：
$e^{-8} \approx 0.00033546$

此題考驗貝氏定理（Bayes' Theorem）的應用，特別是在垃圾郵件過濾的場景。

我們已知以下資訊：

1. 總郵件中，1/10 是垃圾郵件 (spam)，9/10 是正常郵件 (ham)。
   $P(\text{spam}) = 0.1$
   $P(\text{ham}) = 0.9$

2. 針對五個常見詞彙，在垃圾郵件和正常郵件中出現的條件機率（比例）：

| | $P(\text{word}|\text{spam})$ | $P(\text{word}|\text{ham})$ |
| :---- | :------------------------ | :------------------------ |
| available! | 0.014 | 0.041 |
| shipping! | 0.051 | 0.015 |

(1) 如果一封郵件包含 "available!"，這封郵件是垃圾郵件的機率為何？

我們要計算 $P(\text{spam} | \text{available!})$。根據貝氏定理：
$P(\text{spam} | \text{available!}) = \frac{P(\text{available!} | \text{spam}) P(\text{spam})}{P(\text{available!})}$

首先，我們需要計算 $P(\text{available!})$，即一封郵件包含 "available!" 的總體機率。這可以通過全機率公式計算：
$P(\text{available!}) = P(\text{available!} | \text{spam}) P(\text{spam}) + P(\text{available!} | \text{ham}) P(\text{ham})$
$P(\text{available!}) = (0.014 \times 0.1) + (0.041 \times 0.9)$

核心觀念

本題考查：

1. 組距資料的平均數與變異數估計。
2. 以各組組中點代表該組觀測值。
3. 兩母體比例差的假設檢定。
4. 合併樣本比例（pooled proportion）與標準常態檢定統計量。

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（1）估計桃園市年收入的平均數與變異數

① 求各組組中點

以各收入區間的中點作為該組代表值：

年收入區間	組中點 $m_i$	次數 $f_i$
$0\le X\le 60$	$30$	$39$
$60<X<80$	$70$	$18$
$80\le X<100$	$90$	$15$
$100\le X\le150$	$125$	$35$

總樣本數為

$$n=39+18+15+35=107$$

但題目文字說明每一市分別抽取 $100$ 人，而桃園市表中次數合計為

$$39+18+15+35=107$$

因此表格資料與「抽取100人」不一致。以下依表中桃園市各組次數直接計算，故取 $n=107$。

② 平均數

組距資料的平均數估計為

$$\bar X=\frac{\sum f_i m_i}{n}$$

代入資料：

$$\bar X = \frac{39(30)+18(70)+15(90)+35(125)}{107}$$ $$= \frac{1170+1260+1350+4375}{107} = \frac{8155}{107} \approx 76.22$$

因此桃園市購屋貸款人年收入平均數估計為

$$\boxed{\bar X\approx 76.22\text{ 萬元}}$$

③ 變異數

先計算平方和：

$$\sum f_i m_i^2 = 39(30^2)+18(70^2)+15(90^2)+35(125^2)$$ $$=35100+88200+121500+546875 =791675$$

樣本變異數估計為

$$s^2 = \frac{\sum f_i m_i^2-n\bar X^2}{n-1}$$

由於

$$\bar X=\frac{8155}{107}\approx76.215$$

所以

$$s^2 = \frac{791675-\frac{8155^2}{107}}{106} \approx 1284.58$$

因此桃園市購屋貸款人年收入變異數估計為

$$\boxed{s^2\approx1284.58\text{ 萬元}^2}$$

相對應的標準差約為

$$s=\sqrt{1284.58}\approx35.84\text{ 萬元}$$

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（2）檢定台北市年收入大於100萬元者的比例是否高於其他五都

① 設定母體比例

令：

• $p_1$：台北市購屋貸款人年收入大於100萬元的比例；
• $p_2$：其他五都合併後，購屋貸款人年收入大於100萬元的比例。

假設為

$$H_0:p_1\le p_2$$

核心觀念

本題綜合考查多元線性迴歸分析：

1. 單一母體平均數的 $t$ 信賴區間。
2. 迴歸係數的個別顯著性檢定。
3. ANOVA 變異分解與整體迴歸顯著性檢定。
4. 解釋變數尺度變換對迴歸估計值的影響。
5. 迴歸模型的診斷與延伸分析。

迴歸模型為

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_3+\beta_4\left(\frac{X_4}{1000}\right)+\varepsilon.$$

樣本數為 $n=30$，解釋變數個數為 $k=4$，因此迴歸誤差自由度為

$$n-k-1=30-4-1=25.$$

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（1）99% 信賴區間

解題方法

題目要求的是「母體平均租金率」，因此以 30 筆租金率 $Y$ 視為隨機樣本，使用單一母體平均數的 $t$ 信賴區間：

$$\bar Y\pm t_{0.995,29}\frac{s_Y}{\sqrt n}.$$

由資料計算：

$$\sum_{i=1}^{30}Y_i=445.1,$$

所以樣本平均數為

$$\bar Y=\frac{445.1}{30}=14.8367.$$

進一步計算得

$$\sum_{i=1}^{30}(Y_i-\bar Y)^2=103.1034,$$

因此樣本變異數與樣本標準差為

$$s_Y^2=\frac{103.1034}{29}=3.5553,$$ $$s_Y=\sqrt{3.5553}=1.8855.$$

平均數的標準誤為

$$SE(\bar Y)=\frac{1.8855}{\sqrt{30}}=0.3442.$$

99% 信賴區間的臨界值為

$$t_{0.995,29}=2.756.$$

因此誤差範圍為

$$2.756(0.3442)=0.9485.$$

故信賴區間為

$$14.8367\pm0.9485$$

即

$$\boxed{(13.8882,\ 15.7852)}.$$

解題技巧

99% 信賴區間使用 $t$ 分配，而不是標準常態分配，因為母體變異數未知且樣本數只有 30。若誤用 $z_{0.995}=2.576$，區間會偏窄。

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（2）判斷哪些變數可以刪除

核心觀念

對每一個迴歸係數進行個別 $t$ 檢定：

$$H_0:\beta_j=0, \qquad H_1:\beta_j\ne0.$$

檢定統計量為

$$t=\frac{\hat\beta_j}{SE(\hat\beta_j)},$$

自由度為 $25$。

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，

$$t_{0.975,25}\approx2.060.$$

個別檢定

變數	估計值	標準誤	$t$ 值	判斷
$X_1$	$-0.1996$	$0.0281$	$\displaystyle\frac{-0.1996}{0.0281}=-7.10$	顯著
$X_2$	$0.2772$	$0.0784$	$\displaystyle\frac{0.2772}{0.0784}=3.54$	顯著
$X_3$	$-2.3196$	$1.4302$	$\displaystyle\frac{-2.3196}{1.4302}=-1.62$	不顯著
$X_4/1000$	$0.0083$	$0.0018$	$\displaystyle\frac{0.0083}{0.0018}=4.61$	顯著

因為

$$|t_{X_3}|=1.62<2.060,$$

所以無法拒絕 $H_0:\beta_3=0$。在 5% 顯著水準下，$X_3$（vacancy rate，空置率）可考慮自模型中刪除。

其餘變數的 $|t|$ 值均大於臨界值，應保留在模型中。

結論

$$\boxed{\text{可考慮刪除 }X_3；X_1,\ X_2,\ X_4\text{ 應保留。}}$$

刪除 $X_3$ 後，應重新估計迴歸模型，因為其他係數、標準誤與 $R^2$ 都可能改變。

解題技巧

判斷變數能否刪除，不能只看係數大小，必須看

$$\frac{\text{估計係數}}{\text{標準誤}}$$

的絕對值。$X_3$ 的係數雖然為 $-2.3196$，但標準誤相對較大，因此統計上不顯著。

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（3）ANOVA 表

核心觀念

總平方和可分解為

$$SST=SSR+SSE,$$

其中：

• $SST$：總平方和；
• $SSR$：迴歸平方和；
• $SSE$：誤差平方和。

且

$$R^2=\frac{SSR}{SST}.$$

由原始 $Y$ 資料：

$$SST=\sum(Y_i-\bar Y)^2=103.1034.$$

已知

$$R^2=0.8055,$$

因此

$$SSR=R^2(SST) =0.8055(103.1034) =83.0498.$$

誤差平方和為

$$SSE=SST-SSR =103.1034-83.0498 =20.0536.$$

自由度

迴歸自由度：

$$df_R=k=4.$$

誤差自由度：

$$df_E=n-k-1=25.$$

總自由度：

$$df_T=n-1=29.$$

均方與 $F$ 統計量

迴歸均方：

$$MSR=\frac{SSR}{df_R} =\frac{83.0498}{4} =20.7625.$$

誤差均方：