114 年 國立政治大學財務管理學系碩士班《統計學》

這題是關於簡單線性迴歸模型。考驗我們對迴歸模型基本假設、參數估計、殘差平方和以及判定係數的理解。

(a) 迴歸模型中的誤差項 $\epsilon$ 代表了未被自變數 $x$ 所解釋的變異。在實際的統計模型中，我們無法窮盡所有影響依變數 $Y$ 的因素。這些未能納入模型中的其他隨機因素、測量誤差、或潛在的非線性關係，都會被歸納到誤差項中。因此，誤差項是確保模型能夠合理描述變數間關係的必要組成部分，它允許我們在自變數不能完全決定依變數的情況下，仍能進行統計推論。

(b) 根據最小平方法，迴歸參數 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的估計值 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 可以由以下公式計算：
$\hat{\beta}_1 = \frac{n(\sum x_i y_i) - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n(\sum x_i^2) - (\sum x_i)^2}$
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
其中 $n=10$ 是樣本數。

我們已知：
$\sum x_i = 80$
$\sum y_i = 1110$
$\sum x_i y_i = 9448$
$\sum x_i^2 = 782$

首先計算 $\hat{\beta}_1$：
$\hat{\beta}_1 = \frac{10(9448) - (80)(1110)}{10(782) - (80)^2} = \frac{94480 - 88800}{7820 - 6400} = \frac{5680}{1420} = 4$

接下來計算樣本均值 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$：
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{80}{10} = 8$
$\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{1110}{10} = 111$

然後計算 $\hat{\beta}_0$：
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 111 - 4(8) = 111 - 32 = 79$

所以，最小平方法估計的迴歸直線為 $\hat{Y} = 79 + 4x$。

【答案】$\hat{\beta}_1 = 4$, $\hat{\beta}_0 = 79$

(c) 殘差平方和 (Sum of Squares due to Error, SSE) 是由實際觀測值 $y_i$ 與迴歸直線預測值 $\hat{y}_i$ 之差的平方和。

這題是關於多元迴歸分析的 ANOVA 表格與迴歸係數的解釋。考驗我們對 ANOVA 表格各項目的計算、關聯性以及迴歸係數的解釋能力。

(a) ANOVA 表格中的各項目的關係如下：
Sum of Squares (SS): Regression SS (D1) + Error SS = Total SS (D7)
Degree of Freedom (DF): Regression DF (D2) + Error DF (D5) = Total DF (D7)
Mean Square (MS): MS = SS / DF
F-statistic: F = MS (Regression) / MS (Error)

我們已知：
Error SS = 650.71
Total SS = 983.63
樣本數 $n = 50$。
迴歸模型中有 4 個自變數 ($X_1, X_2, X_3, X_4$)。

首先計算 D1 (Regression SS)：
$D1 = \text{Total SS} - \text{Error SS} = 983.63 - 650.71 = 332.92$

接著計算自由度：
Error DF (D5) = $n - (\text{number of predictors} + 1)$ (加上常數項) = $50 - (4 + 1) = 50 - 5 = 45$
Regression DF (D2) = number of predictors = 4
Total DF (D7) = $n - 1 = 50 - 1 = 49$

這題考驗對假設檢定中「檢定力 (Power)」的理解與計算。檢定力是指當對立假設為真時，正確拒絕虛無假設的機率。

檢定設定：
虛無假設 $H_0: \mu \le 100$
對立假設 $H_a: \mu > 100$
樣本數 $n = 100$
母體標準差 $\sigma = 5$
顯著水準 $\alpha = 0.02$
實際母體均值 $\mu_{actual} = 102$

首先，我們需要根據顯著水準 $\alpha$ 和檢定方向 (右尾檢定) 找到拒絕域。由於母體標準差已知，我們使用 Z 檢定。
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
拒絕域為 $Z > Z_{\alpha}$。
在 $\alpha = 0.02$ 的情況下，查標準常態分配表，右尾機率為 0.02 的 $Z$ 值為 $Z_{0.02} \approx 2.054$。
所以，當 $\bar{x} > \mu_0 + Z_{\alpha} (\sigma/\sqrt{n})$ 時，我們拒絕 $H_0$。

這題是關於比例的假設檢定，特別是計算 p-value 以及解釋其意義。

(a) 我們進行關於比例 $p$ 的假設檢定：
$H_0: p \ge 0.7$
$H_a: p < 0.7$
樣本數 $n = 200$。
在樣本中，有 65 人「未」well prepared，這表示有 $200 - 65 = 135$ 人是 well prepared。
樣本比例 $\hat{p} = \frac{135}{200} = 0.675$。

我們需要計算拒絕虛無假設的最小顯著水準 $\alpha$。這個值實際上就是 p-value。
由於 $n$ 夠大 ($np_0 = 200 \times 0.7 = 140 \ge 10$ 且 $n(1-p_0) = 200 \times 0.3 = 60 \ge 10$)，我們可以近似使用 Z 檢定。
檢定統計量為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
其中 $p_0 = 0.7$ 是虛無假設下的比例。

計算 Z 統計量：
$Z = \frac{0.675 - 0.7}{\sqrt{\frac{0.7(1-0.7)}{200}}} = \frac{-0.025}{\sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{200}}} = \frac{-0.025}{\sqrt{\frac{0.21}{200}}} = \frac{-0.025}{\sqrt{0.00105}} \approx \frac{-0.025}{0.0324} \approx -0.7716$

這題考驗對 Poisson 分布及其相關概念的理解，特別是關於發生次數的機率計算，以及其對應的指數分布 (時間間隔)。

首先，題目提到「平均六位訪客每小時」，但接著說「每分鐘」的訪客數遵循 Poisson 分布。這表示我們需要將率轉換為每分鐘的平均發生率。
每小時 6 位訪客，則每分鐘的平均訪客數 $\lambda_{\text{minute}} = \frac{6 \text{ visitors}}{60 \text{ minutes}} = 0.1$ 位訪客/分鐘。

(a) 我們要計算在 12 分鐘內，沒有人會造訪網站的機率。
Poisson 分布用於計算在固定時間間隔內發生某事件的次數。
對於一個時間間隔為 $t$ 的 Poisson 分布，其平均發生次數為 $\lambda t$。
在本題中，時間間隔是 12 分鐘，所以 $\lambda \times t = 0.1 \text{ visitors/minute} \times 12 \text{ minutes} = 1.2$。
設 $X$ 為在 12 分鐘內造訪網站的人數，則 $X \sim \text{Poisson}(\lambda t = 1.2)$。
Poisson 分布的機率質量函數為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!}$
我們要求 $P(X=0)$：
$P(X=0) = \frac{e^{-1.2}(1.2)^0}{0!} = \frac{e^{-1.2} \times 1}{1} = e^{-1.2}$
使用計算器或查表計算 $e^{-1.2} \approx 0.30119$。

【答案】0.30119

這題是關於單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，用於比較三個或更多組別的平均數是否相等。

數據摘要：
組別數 (超市數量) $k = 3$ (A, B, C)
每組樣本數 (商品數量) $n_i = 6$ (對於每一家超市，有 6 種商品)
總樣本數 $N = \sum n_i = 6 \times 3 = 18$
各組樣本均值：$\bar{x}_A = 30, \bar{x}_B = 30, \bar{x}_C = 33$
各組樣本變異數：$s_A^2 = 282.8, s_B^2 = 289.2, s_C^2 = 297.6$
顯著水準 $\alpha = 0.05$

假設檢定：
$H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$ (所有超市的平均商品價格相同)
$H_a: \text{至少有一個超市的平均商品價格不同}$

(a) 計算組間平方和 (Sum of Squares for Treatment, $SS_{Tr}$ 或 $SS_A$)：
$SS_{Tr}$ 衡量各組樣本均值與總樣本均值之間的變異。
$SS_{Tr} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{grand})^2$
首先，計算總樣本均值 $\bar{x}_{grand}$。由於每組樣本數相同 ($n_i=6$)，總均值是各組均值的平均：
$\bar{x}_{grand} = \frac{\bar{x}_A + \bar{x}_B + \bar{x}_C}{3} = \frac{30 + 30 + 33}{3} = \frac{93}{3} = 31$
現在計算 $SS_{Tr}$：
$SS_{Tr} = 6(30 - 31)^2 + 6(30 - 31)^2 + 6(33 - 31)^2$
$SS_{Tr} = 6(-1)^2 + 6(-1)^2 + 6(2)^2$
$SS_{Tr} = 6(1) + 6(1) + 6(4) = 6 + 6 + 24 = 36$

【答案】$SS_{Tr} = 36$

(b) 計算檢定統計量 F：
ANOVA 的檢定統計量是 F 統計量，其公式為：
$F = \frac{MS_{Tr}}{MS_E}$
其中 $MS_{Tr}$ 是組間均方 (Mean Square for Treatment)，$MS_E$ 是組內均方 (Mean Square for Error)。

計算 $MS_{Tr}$：
$MS_{Tr} = \frac{SS_{Tr}}{df_{Tr}}$
組間自由度 $df_{Tr} = k - 1 = 3 - 1 = 2$。
$MS_{Tr} = \frac{36}{2} = 18$

計算 $MS_E$：
$MS_E$ 通常是合併各組樣本變異數的加權平均。由於每組樣本數相同，它就是各組樣本變異數的平均值：

這題主要探討統計推論中的點估計與區間估計的概念，以及它們與母體參數之間的關係。

(a) 為什麼無法計算 $\bar{x}_n - \mu$？
在統計推論中，我們通常只有樣本數據，並利用樣本統計量（如樣本均值 $\bar{x}_n$）來估計母體參數（如母體均值 $\mu$）。母體均值 $\mu$ 是我們想要了解的真實值，但它通常是未知的。
如果 $\mu$ 是未知的，我們就無法直接計算 $\bar{x}_n - \mu$ 這個差值。即使我們計算出樣本均值 $\bar{x}_n$，也無法知道它與真實母體均值 $\mu$ 之間的確切差距。
簡單來說，我們無法計算 $\bar{x}_n - \mu$，是因為 $\mu$ 是我們試圖估計的未知參數。

(b) 提供一個可計算的替代方法來量化 $\mu$ 與點估計之間的「差異」。
我們無法直接計算 $\bar{x}_n - \mu$，但我們可以量化這個「差異」的不確定性或變異性。這個替代方法就是使用「標準誤」(Standard Error)。
標準誤是樣本統計量（如樣本均值 $\bar{x}_n$）的標準差，它衡量了樣本統計量變異的程度，以及它與母體參數之間預期有多大的偏差。
對於樣本均值 $\bar{x}_n$，其標準誤 (SE) 的計算公式為：
$SE(\bar{x}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\sigma$ 是母體標準差 (population standard deviation)。
• $n$ 是樣本大小 (sample size)。

解釋與計算可行性：

1. $\sigma$ (母體標準差)： 在某些情況下，母體標準差 $\sigma$ 是已知的（例如題目 8 就假設 $\sigma$ 已知）。

這題考驗對信賴區間的計算與解釋，特別是不同信賴水準下的區間計算。

已知資訊：
樣本數 $n = 100$
母體標準差 $\sigma$ 是已知的。
99% 信賴區間為 $[127.94, 132.06]$。
$z_{0.005} = 2.575$ (這對應於 99% 信賴水準的臨界 Z 值，因為 $1 - 0.99 = 0.01$，分到兩尾就是 $0.005$)。

信賴區間的一般形式為：
$\text{CI} = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $\bar{x}$ 是樣本均值，$Z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準 $1-\alpha$ 的臨界 Z 值，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 是標準誤。

(a) 計算 95% 信賴區間。
首先，我們需要從已知的 99% 信賴區間推算出樣本均值 $\bar{x}$ 和標準誤 $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
99% 信賴區間的寬度是 $132.06 - 127.94 = 4.12$。
這個寬度等於 $2 \times Z_{0.005} \times SE = 2 \times 2.575 \times SE$。
$4.12 = 2 \times 2.575 \times SE$
$4.12 = 5.15 \times SE$
$SE = \frac{4.12}{5.15} \approx 0.800$
所以，標準誤 $SE \approx 0.800$。

樣本均值 $\bar{x}$ 是區間的中心點：
$\bar{x} = \frac{127.94 + 132.06}{2} = \frac{260}{2} = 130$